三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)接觸模型構(gòu)建及數(shù)值算法研究

薛 秦，朱僖禧

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院 信息與電氣工程系 ，江蘇 徐州 221008)

0 引言

在精密制造領(lǐng)域中，球類(lèi)零件的應(yīng)用日趨廣泛，對(duì)球面的精度要求也越來(lái)越嚴(yán)格。球面的形狀誤差，其精度高低對(duì)球類(lèi)零件的質(zhì)量、工作性能和使用壽命有很重要的影響。在精密測(cè)試領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)輔助測(cè)試技術(shù)不僅能完成尺寸、曲線、曲面的精密測(cè)量，還能進(jìn)行形位誤差的精確評(píng)定[1-3]。微納米坐標(biāo)測(cè)量機(jī)(CMMs)作為一種測(cè)量?jī)x器，它的出現(xiàn)標(biāo)志著計(jì)量?jī)x器從傳統(tǒng)的手動(dòng)測(cè)量向現(xiàn)代化的自動(dòng)測(cè)試技術(shù)過(guò)渡的一個(gè)里程碑。通過(guò)對(duì)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)探頭球面中心的坐標(biāo)測(cè)量，將其轉(zhuǎn)換為被測(cè)表面各點(diǎn)的坐標(biāo)。這個(gè)過(guò)程通常稱(chēng)為測(cè)量探頭半徑的補(bǔ)償[4-6]。在實(shí)際測(cè)量中，曲面在形狀和位置上的偏差量總是與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)測(cè)量模型不同。對(duì)于探測(cè)球頭上的點(diǎn)的坐標(biāo)，它是在一定誤差下確定的[7-8]。復(fù)雜曲面確定點(diǎn)的坐標(biāo)與被測(cè)表面的曲率以及探頭球體的半徑有關(guān)，被測(cè)表面曲率和探頭球體的半徑越大，確定表面點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)產(chǎn)生的誤差就越大[9-11]。

在實(shí)際測(cè)量軸承、凸輪、機(jī)床、機(jī)身和渦輪葉片等零件的復(fù)雜表面時(shí)，通常需要在探測(cè)球頭球體形狀等方面考慮以提高其精度[12]。針對(duì)目前CMM在復(fù)雜曲面測(cè)量中缺乏一個(gè)完整的數(shù)學(xué)體系，提出了一種新的球頭與零件表面接觸點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型和數(shù)值算法。即使在球面上使用了大量的點(diǎn)，也具有良好的收斂性。實(shí)驗(yàn)在測(cè)量圓環(huán)形標(biāo)稱(chēng)表面的滾珠軸承內(nèi)圈與凸輪輪廓時(shí)，成功地測(cè)試了球形探針半徑補(bǔ)償形狀誤差的方法，并且得到實(shí)際的凸輪輪廓線。

1 復(fù)雜曲面與球體半徑補(bǔ)償

以前能夠?qū)崿F(xiàn)三維補(bǔ)償確定曲面法向經(jīng)常用的是微平面法。為了確定被測(cè)曲面的法向，如圖1所示，可以在Q點(diǎn)附近測(cè)若干個(gè)點(diǎn)，例如測(cè)Q1、Q2、Q3，三個(gè)點(diǎn)(也可以取多個(gè)點(diǎn))，然后通過(guò)Q1、Q2、Q3三點(diǎn)作一個(gè)平面，這一微小平面的法線即近似為曲面的法線。為了確定Q點(diǎn)的法線方向，通常采用方形網(wǎng)格，如圖2所示。但不是簡(jiǎn)單地在Q點(diǎn)附近再去測(cè)4個(gè)點(diǎn)，而是利用與它相鄰近的4個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)Q1、Q2、Q3、Q4，然后用最小二乘法確定它的最佳擬合平面及其法線方向。值得注意的是，在實(shí)際測(cè)量中，直接得到的并不是測(cè)量點(diǎn)Q與Q1、Q2、Q3、Q4的坐標(biāo)，而是測(cè)量Q點(diǎn)和Qi點(diǎn)時(shí)測(cè)端球心位置Q及Qi的坐標(biāo)，必須根據(jù)這些擬合平面的法向進(jìn)行測(cè)頭半徑補(bǔ)償，才能得到Q和Qi各點(diǎn)坐標(biāo)值。

圖1 微平面法三維補(bǔ)償 圖2 微平面法求曲面法向

在計(jì)算復(fù)雜曲面與球體之間的接觸點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，通常因?yàn)槊x曲面和實(shí)際曲面兩者的法線不一致而產(chǎn)生誤差。這跟曲面的形狀和控制點(diǎn)的錯(cuò)誤排列有很大的關(guān)系，而這些因素在現(xiàn)階段無(wú)法確定。因此，現(xiàn)在的很多研究人員傾向于借助于各種算法來(lái)優(yōu)化法線的位置，從而使誤差最小化。接觸點(diǎn)坐標(biāo)的準(zhǔn)確度與探頭球體的形狀和尺寸密切相關(guān)。大量的測(cè)量實(shí)驗(yàn)表明球內(nèi)誤差占總測(cè)量誤差的10.4%以上，這對(duì)于復(fù)雜曲面的相關(guān)研究工作及其不利[13-14]。因此針對(duì)探測(cè)球頭形狀偏差，本文提出了一種新的方法來(lái)測(cè)量復(fù)雜曲面。在該方法中，對(duì)測(cè)得球面上的點(diǎn)進(jìn)行雙三角多項(xiàng)式逼近并建立其三維模型。圖3則為半徑補(bǔ)償?shù)臏y(cè)頭和零件的理想接觸示意圖。

圖3 測(cè)頭和零件的理想表面

本文提出的方法主要針對(duì)探測(cè)球頭的形狀偏差，需要建立一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型。算法使用球體表面任何點(diǎn)的法線通過(guò)其中心。因此，復(fù)雜曲面與探測(cè)球體接觸點(diǎn)的計(jì)算是通過(guò)一種數(shù)值算法來(lái)實(shí)現(xiàn)。利用球面上的點(diǎn)在法向上與標(biāo)稱(chēng)表面的距離最小。因此探測(cè)球體面向被測(cè)表面部分上的所有點(diǎn)形成一個(gè)循環(huán)，然后在與法向相交的條件下，在名義面上均有一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)；最后從找到的所有距離值中選擇一個(gè)最小距離，根據(jù)最小距離值δi，可以認(rèn)為球體與復(fù)雜曲面的接觸點(diǎn)位置即對(duì)應(yīng)于找到的最小距離的方向。

2 三坐標(biāo)測(cè)量曲面模型構(gòu)建

使用三個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系(圖4)進(jìn)行坐標(biāo)測(cè)量。其中包括：(1)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)固定系統(tǒng)(X0，Y0，O0，Z0)；(2)固定件系統(tǒng)(X1，Y1，O1，Z1)；(3)移動(dòng)探針系統(tǒng)(X2，Y2，O2，Z2)。一般情況對(duì)于三個(gè)坐標(biāo)系而言，它們的相互位置是已知的。通過(guò)使用CMM軟件來(lái)完成一個(gè)坐標(biāo)系到另一個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

圖4 CMM測(cè)量坐標(biāo)系模型

計(jì)算的初始數(shù)據(jù)：1)坐標(biāo)x1、y1、z1和法線方向n1X、n1Y、n1Z的零件標(biāo)稱(chēng)表面；2)中心坐標(biāo)為x20，y20，z20和表面坐標(biāo)為x2i，y2i，z2i的球體。

接觸點(diǎn)處標(biāo)稱(chēng)表面的法向參數(shù)方程為：

(1)

其中t是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)。

球體的參數(shù)方程可以表示為：

(2)

其中，θ，φ是球體在經(jīng)緯度上的角度；ri是球體上第i個(gè)點(diǎn)的半徑。具體示意圖如圖5所示。球面點(diǎn)的半徑ri可以以數(shù)組的形式給出(θ，φ，ri)或通過(guò)依賴(lài)關(guān)系近似：

圖5 切點(diǎn)計(jì)算空間模型

(3)

式中，r0是球體的平均半徑，k、m是經(jīng)緯度中的諧波數(shù)，ak、am、φk、θm是諧波的振幅和初始相位。

通過(guò)將方程組(1)和(2)的右側(cè)相等，可得出：

(4)

由式(4)可以得到法向與名義面和球面相交點(diǎn)的坐標(biāo)。如式(5)：

(5)

在坐標(biāo)軸上的投影中，法向方程的形式為(式中，u、φ是零件標(biāo)稱(chēng)表面的曲線參數(shù))：

(6)

結(jié)合公式(5)和(6)可得出：

(7)

對(duì)(7)式用數(shù)值方法進(jìn)行求解。將計(jì)算出來(lái)的參數(shù)θ和φ的值帶入(2)式中，計(jì)算球面上點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)。假設(shè)用實(shí)線表示實(shí)際的復(fù)雜曲面，虛線則表示標(biāo)稱(chēng)表面。分別計(jì)算從球體上的第i個(gè)接觸點(diǎn)到零件標(biāo)稱(chēng)表面的距離δi。從得到的δi值中，選擇與實(shí)際接觸點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最小值。

上面提出的數(shù)值方法收斂的條件可以歸納為：1)被測(cè)量表面不存在奇異點(diǎn)；2)被測(cè)曲面曲率小于測(cè)球曲率。在實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，可以對(duì)測(cè)頭進(jìn)行正確選擇以達(dá)到這些條件。本文所提出算法的優(yōu)點(diǎn)明確，對(duì)于復(fù)雜曲面測(cè)量測(cè)點(diǎn)位置分布不均勻的問(wèn)題，測(cè)頭探測(cè)的精度以及收斂性不受其影響。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量凸輪輪廓以及測(cè)量圓環(huán)形標(biāo)稱(chēng)表面的滾珠軸承內(nèi)圈，成功地測(cè)試了球形探針半徑補(bǔ)償形狀誤差的方法。坐標(biāo)測(cè)量機(jī)作為一臺(tái)高精密的測(cè)量系統(tǒng)，它對(duì)于環(huán)境因素(空氣、溫度、濕度)要求非常高。因此本文中CMM安放在精密恒溫箱內(nèi)，高精密恒溫箱本身放置在一間溫度變化在20 ℃±0.05 ℃、相對(duì)濕度值(RH)為50%的恒溫室內(nèi)。這樣做的目的是盡量減小外界因素對(duì)CMM測(cè)長(zhǎng)系統(tǒng)的影響，以便提高微納米三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的穩(wěn)定性情況。坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的體積誤差為1.76+L/332 μm，探頭長(zhǎng)度為58 mm，探頭球體直徑為1.89 mm。CMM將測(cè)量結(jié)果保存為探頭球體中心點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)CMM軟件中的標(biāo)準(zhǔn)算法和自行開(kāi)發(fā)的MATLAB算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

凸輪輪廓經(jīng)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量后，以文本文件格式輸出，直接讀取測(cè)量結(jié)果，可以根據(jù)需要設(shè)定直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)輸出。表1以及表2為得到的紅寶石測(cè)球中心點(diǎn)的坐標(biāo)及測(cè)頭經(jīng)過(guò)補(bǔ)償后的被測(cè)輪廓點(diǎn)的坐標(biāo)，以直角坐標(biāo)的形式顯示，補(bǔ)償后的點(diǎn)形成的輪廓線即為凸輪的實(shí)際廓線。

從表1以及表2可以看出，補(bǔ)償后實(shí)際輪廓線點(diǎn)的坐標(biāo)更加準(zhǔn)確。將上述數(shù)據(jù)讀入相關(guān)工程軟件，即可快速得到凸輪的實(shí)際表面廓線。然后根據(jù)軟件的功能，可以根據(jù)需要與理論廓線進(jìn)行比較，或做出所需的零件三維實(shí)體模型，快速直觀地了解產(chǎn)品的形狀，為設(shè)計(jì)制造提供可靠的理論依據(jù)。如圖6所示的是在軟件中表示的凸輪輪廓線，外側(cè)的曲線為測(cè)量形成的測(cè)頭球心軌跡線，內(nèi)側(cè)的曲線為測(cè)頭直徑經(jīng)過(guò)補(bǔ)償以后的凸輪實(shí)際輪廓線。如果凸輪為內(nèi)凹型，則應(yīng)向外側(cè)補(bǔ)償測(cè)頭半徑，以得到實(shí)際的凸輪輪廓線。

表1 測(cè)頭中心點(diǎn)坐標(biāo)(單位：μm)

表2 補(bǔ)償后實(shí)際廓線點(diǎn)的坐標(biāo)(單位：μm)

圖6 凸輪輪廓線

圓環(huán)體經(jīng)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量后，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)算法與本文提出算法所測(cè)得的形狀誤差數(shù)據(jù)擬合圖如圖7和圖8所示。

圖7 圓環(huán)體被測(cè)量表面形狀誤差均方差對(duì)比

圖8 圓環(huán)體被測(cè)量表面形狀誤差最大值對(duì)比

由圖7和圖8中的數(shù)據(jù)分析表明，本文所提出的算法在考慮了探頭球體形狀的情況下，所得出的測(cè)量結(jié)果誤差小。在圓環(huán)體的12個(gè)被測(cè)截面中，標(biāo)準(zhǔn)算法的形狀誤差在9.48～15.71 μm之間，改進(jìn)算法的形狀誤差在8.59～14.08 μm之間，采用新的數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)處理算法，使測(cè)量誤差平均降低了11.88%。

4 結(jié)果分析

本文建立了一種新的球頭與零件表面接觸點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型和數(shù)值算法。研究過(guò)程中充分考慮球面探針的形狀，可以減小復(fù)雜曲面的測(cè)量誤差。該算法的核心思想是球面上的點(diǎn)陣列在法向上與標(biāo)稱(chēng)表面的距離最小。實(shí)驗(yàn)測(cè)量凸輪輪廓以及測(cè)量圓環(huán)形標(biāo)稱(chēng)表面的滾珠軸承內(nèi)圈，成功地模擬出凸輪輪廓線形狀。通過(guò)對(duì)滾動(dòng)軸承內(nèi)圈環(huán)面測(cè)量算法的驗(yàn)證，表明該算法可以將形狀誤差降低11.88%。實(shí)驗(yàn)成功地測(cè)試了球形探針半徑補(bǔ)償形狀誤差的方法。因此，所建立的數(shù)學(xué)模型將有助于在CMMs上測(cè)量復(fù)雜而精密的曲面，進(jìn)一步闡明了測(cè)頭補(bǔ)償技術(shù)的核心問(wèn)題與關(guān)鍵技術(shù)，具有較強(qiáng)的實(shí)用性，將對(duì)曲線、曲面的測(cè)量具有重要的意義。