斜拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題多解分析

王燕

[摘? ?要]斜拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的典型問(wèn)題，對(duì)初學(xué)者而言，這類(lèi)問(wèn)題不容易處理。文章結(jié)合一道典型例題分析探討幾種不同的解答方法。

[關(guān)鍵詞]斜拋運(yùn)動(dòng);多解;合成與分解

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）14-0055-02

斜拋運(yùn)動(dòng)是日常生活中比較常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題，高考中也時(shí)常出現(xiàn)，分析解答這類(lèi)題有一定的難度，解答方法也比較多，能有效考查學(xué)生的綜合能力。下面結(jié)合一道例題的分析解答，介紹這類(lèi)題的多種解法。

[例題]如圖1，滑雪運(yùn)動(dòng)員從初始滑道（光滑）上下降45 m后起跳，起跳角度與水平面夾角為30°，且起跳不損失動(dòng)能。降落滑道可看作一個(gè)傾斜角為30°的斜面，求運(yùn)動(dòng)員在空中飛行的時(shí)間，以及落地后速度與斜面的夾角。（重力加速度取10 m/s2）

思維導(dǎo)引：本題是斜面下滑運(yùn)動(dòng)與斜拋運(yùn)動(dòng)的結(jié)合，亦是“直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)”與“曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)”的有機(jī)結(jié)合。難點(diǎn)是斜拋運(yùn)動(dòng)與斜面相遇，學(xué)生難以對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)情況做出正確判斷。具體解答時(shí)，可從運(yùn)動(dòng)的合成與分解、斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程、斜拋運(yùn)動(dòng)射程方程、運(yùn)動(dòng)矢量圖等不同角度做出復(fù)雜或簡(jiǎn)捷的幾類(lèi)不同解法[1]。

解法1.運(yùn)動(dòng)的合成與分解

思路點(diǎn)撥：水平面上的斜拋運(yùn)動(dòng)是比較熟悉的情境，而此題是斜面上的斜拋運(yùn)動(dòng)，如何將陌生的情境轉(zhuǎn)化為熟悉的情境，是解答本題的關(guān)鍵。

解析：學(xué)生習(xí)慣了沿水平和豎直方向建立坐標(biāo)系，如果按照這種思維定式進(jìn)行下去，需要分解的物理量較多，這樣一來(lái)問(wèn)題就變得復(fù)雜了，如何合理建立坐標(biāo)系呢？

如圖2，可以嘗試以降落滑道為x軸，以垂直于降落滑道為y軸，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)要分析可知x和y軸方向上的初速度為：

思路點(diǎn)撥：這和我們熟悉的水平面上的斜拋運(yùn)動(dòng)，又有點(diǎn)區(qū)別，區(qū)別在哪里呢？

原來(lái)重力產(chǎn)生的加速度豎直向下，會(huì)使物體在x和y軸方向上的運(yùn)動(dòng)分別為勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因此需要對(duì)加速度沿坐標(biāo)軸方向進(jìn)行分解。

這樣的話(huà)，運(yùn)動(dòng)員在y方向上就相當(dāng)于豎直上拋運(yùn)動(dòng)。

落到斜面上時(shí)速度在x和y軸方向上的分量分別為

解法2.斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程

解析：本題中斜面是直線(xiàn)，而運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線(xiàn)，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看本題為曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)與直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的問(wèn)題。如若建立合適的直角坐標(biāo)系，利用斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程與斜面方程求解交點(diǎn)，則成了我們熟悉的一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題了。

思路點(diǎn)撥：為了便于理解，在這里簡(jiǎn)要給出斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程的推導(dǎo)過(guò)程。

推導(dǎo)過(guò)程：如圖3所示，取拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向，拋射角為[θ]，拋出時(shí)t取0，對(duì)任何斜拋，小球有：

消去時(shí)間t，得拋體運(yùn)動(dòng)軌跡的方程

以起跳點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系。

解析：一旦交點(diǎn)P坐標(biāo)確定了，即可通過(guò)水平位移或豎直位移求時(shí)間，進(jìn)而求出水平速度與豎直速度，這樣求解落地速度與豎直方向的夾角就水到渠成了。

故落地速度與水平方向夾角為60°，與斜面方向夾角為30°

解法3.運(yùn)用斜拋運(yùn)動(dòng)射程方程

思路點(diǎn)撥：因滑雪運(yùn)動(dòng)員起跳速度、起跳角度與斜面傾角都已為定值，因此我們推知斜面落點(diǎn)固定，換言之，此斜拋運(yùn)動(dòng)的射程應(yīng)該是由速度和傾角決定的物理量，因此可以在解法2的基礎(chǔ)之上，大膽推導(dǎo)斜拋運(yùn)動(dòng)的射程方程。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)員飛向滑道時(shí)，剛飛起時(shí)速度與水平方向夾角為[θ=60°]，滑道與水平方向夾角為[α=-30°]，設(shè)射程為s，在滑道上落點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

將兩式代入斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程得：

同解法2可得落地速度與斜面方向夾角為30°。

解法4.運(yùn)用矢量圖，并結(jié)合正弦定理

思路點(diǎn)撥：此種解法較為特殊，但卻極為簡(jiǎn)便，由高中物理知識(shí)可知，位移為矢量，遵循平行四邊形法則或者三角形法則。我們?cè)O(shè)想若無(wú)重力或重力加速度，運(yùn)動(dòng)員將與沿水平方向成30°斜向上方向運(yùn)動(dòng)，若無(wú)初速度，將沿豎直向下的方向運(yùn)動(dòng)。因此實(shí)際的運(yùn)動(dòng)是這兩種運(yùn)動(dòng)的合成，真實(shí)的位移亦是這兩種位移的合成，最終運(yùn)動(dòng)員落在傾角為30°的斜面上[2]。

解析：數(shù)學(xué)是物理的工具，由正弦定理尋找角與邊的內(nèi)在聯(lián)系，合理建立比例方程，求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

如圖4所示，由正弦定理可知：

同解法1或2可得落地時(shí)速度方向與斜面的夾角為30°。

【解后反思】

作為運(yùn)動(dòng)學(xué)中一類(lèi)典型的斜拋問(wèn)題，解法1是利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的常規(guī)解法，但明顯耗時(shí)耗力。解法2和解法3不僅要求考生熟練掌握斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程，對(duì)學(xué)生的數(shù)理結(jié)合能力要求也很高。解法4則巧妙運(yùn)用運(yùn)動(dòng)矢量圖，化繁為簡(jiǎn)，準(zhǔn)確而快速地求解。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 沈衛(wèi).莫管方法“老”，只看“巧”不“巧”：論拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中正交分解法的應(yīng)用[J].物理教學(xué)，2020（5）：56-58.

[2]? 林曼虹，以“問(wèn)題解決”為導(dǎo)向的高端備課：以“整體法和隔離法的交叉應(yīng)用”為例[J].物理教師，2018（7）：31-32+36.

（責(zé)任編輯 易志毅）