淺析動(dòng)力學(xué)問題正交分解時(shí)坐標(biāo)系的建立

焦健生

[摘? ?要]解決多個(gè)力作用于物體的動(dòng)力學(xué)問題，通常采用正交分解法分析物體所受的力，這時(shí)就需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。在處理相關(guān)問題的過程中，不少學(xué)生由于不能結(jié)合實(shí)際問題建立直角坐標(biāo)系，導(dǎo)致解題過程變得比較復(fù)雜，甚至導(dǎo)致解答錯(cuò)誤。文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探討用正交分解法分析物理所受的力時(shí)坐標(biāo)系的建立。

[關(guān)鍵詞]正交分解;坐標(biāo)系;動(dòng)力學(xué)問題

[中圖分類號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）14-0036-03

解答物理習(xí)題是學(xué)生在物理學(xué)習(xí)過程中掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)展能力的重要環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑。通過解題，學(xué)生的物理觀念和科學(xué)思維得以培養(yǎng)，分析問題和解決問題的能力得以提升。

解題有方法、講技巧，方法技巧運(yùn)用得當(dāng)，可以事半功倍。高中物理動(dòng)力學(xué)方面的習(xí)題是解題技巧性較強(qiáng)的一類習(xí)題，學(xué)生解題時(shí)往往有兩大困難，一是對(duì)物體進(jìn)行受力分析時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤;二是對(duì)物體所受的力不能正確地進(jìn)行合成與分解。如果學(xué)生掌握了一定的知識(shí)、方法和技巧，那么，學(xué)生解題速度和正確率都會(huì)大大提高。本文就運(yùn)用正交分解法解答動(dòng)力學(xué)問題時(shí)建立直角坐標(biāo)系的方法、技巧進(jìn)行分析探討。

一、解決物體受力平衡問題時(shí)，以少分解力為原則建立坐標(biāo)系

動(dòng)力學(xué)方面的習(xí)題可分為平衡類和非平衡類兩大類，這兩類習(xí)題一般可按如圖1所示的思維流程圖求解。其中“建坐標(biāo)”和“分解力”是正交分解的兩個(gè)關(guān)鍵步驟。正交分解法作為分解力的一種方法，對(duì)處理涉及三個(gè)以上力的問題時(shí)優(yōu)勢(shì)非常明顯，利用正交分解法分解力的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系。

物體若受到多個(gè)力作用而平衡，由于沒有加速度，物體所受的合外力等于零，解決此類多力平衡問題時(shí)，我們常用正交分解法對(duì)力進(jìn)行分解，由于物體處于平衡狀態(tài)，可以在任意方向建立一個(gè)直角坐標(biāo)系。原則上來說，坐標(biāo)系的建立是隨意的，但若真的隨意建立坐標(biāo)系，往往會(huì)使解題過程復(fù)雜化，錯(cuò)誤率也會(huì)增加。要想使解題既簡便又準(zhǔn)確，那就得講方法、講技巧，于是，我們應(yīng)該盡可能地將直角坐標(biāo)系的兩個(gè)軸與物體所受的力中的某些力的作用線重合，以達(dá)到少分解力的目的。

（1）木塊與斜面間的摩擦力大小;

審題后，我們首先要對(duì)木塊進(jìn)行受力分析，容易發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)N與Ff 垂直，重力mg與水平力F垂直，于是可以選擇沿FN與Ff 的方向建立直角坐標(biāo)系。

受力分析：物體受4個(gè)力作用，如圖3所示：推力F、重力mg、彈力FN、摩擦力[Ff] 。

建立坐標(biāo)：建立如圖3所示的直角坐標(biāo)。將重力mg和推力F分解到x、y兩坐標(biāo)軸上，根據(jù)力的平衡分別列出兩個(gè)平衡方程，得：

本題中由于重力mg與水平力F垂直，所以，也可以F的作用線為x軸，以mg的作用線為y軸，按直角方向分解FN、Ff 來求解。

二、解決物體非平衡的直線運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，可以加速度方向?yàn)橐蛔鴺?biāo)軸建立坐標(biāo)系

勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力一定不為零，也一定有加速度，根據(jù)牛頓第二定律可知，合外力和加速度必定同向。運(yùn)用力的合成或分解求出合外力是解決動(dòng)力學(xué)問題的關(guān)鍵，如何挖掘合外力呢？正交分解法是常用的方法，對(duì)物體進(jìn)行受力分析后，以加速度方向?yàn)橐蛔鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而分解不在坐標(biāo)軸上的力，這是求解這類題的關(guān)鍵。

[例2]如圖4所示，質(zhì)量為m的小木塊放在傾角為θ的斜面上，小木塊和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。如沿水平方向加一個(gè)力F，使小木塊沿斜面向上以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則F大小是多少？

審題后，我們知道本題中小木塊的加速度沿斜面向上。以加速度方向即沿斜面向上的方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系，然后將力沿平行于斜面和垂直于斜面兩個(gè)方向分解，分別利用兩個(gè)方向的合力與加速度的關(guān)系列出方程，即可求解。

受力分析：物體受4個(gè)力作用（如圖5所示），它們是推力F、重力mg、彈力FN、摩擦力Ff。

建立坐標(biāo)：建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，并按直角方向分解F和mg;

建立如下兩個(gè)方程并求解：

本題若以“橫平豎直”來建立直角坐標(biāo)，則需要分解傾斜向上的加速度，雖可求解本題，但高中物理一般情況下不要求分解加速度，以免增加解題的難度。

三、解決圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，選過圓心的直線為一個(gè)坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系

求解圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題，挖掘向心力至關(guān)重要。向心力是做圓周運(yùn)動(dòng)的物體指向圓心的合外力，在向心力作用下物體的速度方向不斷改變，其大小與線速度、角速度、周期和頻率等存在一定的關(guān)系。如何挖掘向心力呢？在分析物體受力情況后，如果用正交分解法對(duì)力進(jìn)行分解，則應(yīng)選過圓心的直線為一個(gè)坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系。

[例3]如圖6所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線的夾角[θ=30°]，一條長為l的繩，一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O，另一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），小球以速率v繞圓錐體的軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。試分析討論v從零開始逐漸增大的過程中，球受圓錐面的支持力及擺角的變化情況。

審題后，我們發(fā)現(xiàn)本題由于小球剛好對(duì)錐面沒有壓力時(shí)，小球受重力和繩子的拉力，由于小球受兩力作用做圓周運(yùn)動(dòng)，可用平行四邊形定則來合成兩個(gè)力，求得指向圓周運(yùn)動(dòng)圓心的合力，即為小球的向心力。當(dāng)然也可以用正交分解法建立一軸過小球做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心的直角坐標(biāo)分解拉力，從而獲得指向圓心的合力，即向心力，設(shè)此時(shí)小球的速率為v0，則有[F向=mgtan 30°=mv20lsin30°]，解得[v0=36gl]，這是小球剛好對(duì)錐面沒有壓力時(shí)的臨界速度。

當(dāng)[v

由表達(dá)式可知，小球速度越大，支持力越小。

聯(lián)立上面兩式求解可知，速度越大，繩與軸線夾角φ越大，拉力也越大。

四、若物體所受各力垂直，有時(shí)也可按正交分解法分解加速度

當(dāng)物體受到的各個(gè)力相互垂直且加速度不在受力方向上時(shí)，如果以加速度的方向?yàn)橐粋€(gè)軸建立直角坐標(biāo)系，那么分解的力會(huì)較多，這樣比較煩瑣。此時(shí)，我們可以根據(jù)物體的受力情況，讓盡可能多的力位于直角坐標(biāo)系的兩個(gè)軸上，少分解力，轉(zhuǎn)而分解加速度，從而達(dá)到化繁為簡和快速求解的目的。

[例3]如圖9所示，一超市的斜坡電梯與水平面的夾角為30°，現(xiàn)要測試電梯性能，讓其以一個(gè)較小的恒定加速度a向上運(yùn)動(dòng)，電梯站有一人，若他對(duì)梯面壓力是其重力，則人與梯面間的摩擦力是其重力的多少倍？

對(duì)人進(jìn)行受力分析后可知，重力mg、支持力FN、摩擦為Ff，這三個(gè)力相互垂直（如圖10所示），剛好可以落在直角坐標(biāo)的兩個(gè)軸上。我們可以考慮分解加速度而不分解力，建立如圖11所示的直角坐標(biāo)系，選Ff的方向?yàn)閤軸正方向，分解加速度a，可得[ax=acos 30°]，[ay=asin 30°]。

建立方程并求解，由牛頓第二定律有：

綜上所述，方法是解決問題的鑰匙，在解決力學(xué)問題時(shí)，靈活而得法地建立直角坐標(biāo)系是分析處理作用力的關(guān)鍵。在教學(xué)過程中，既要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，也要培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

（責(zé)任編輯 易志毅）