小學(xué)生數(shù)數(shù)活動的教育意蘊

劉加霞

北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院院長，教育心理學(xué)博士，教授，教育部國培專家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”“實證研究學(xué)生是有效教學(xué)的根本”“培訓(xùn)實質(zhì)是改變與創(chuàng)新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程教材教法》《中國教育學(xué)刊》《中小學(xué)管理》《人民教育》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教學(xué)》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評價》《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計》等。

華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)（shǔ）產(chǎn)生數(shù)（shù），量（liánɡ）產(chǎn)生量（liànɡ）”。數(shù)“計數(shù)單位”的個數(shù)產(chǎn)生數(shù)，數(shù)“計量單位”的個數(shù)產(chǎn)生量。數(shù)數(shù)即獲知集合元素個數(shù)的多少，它是認識自然數(shù)的前提，也是認識四則運算、測量、探索規(guī)律以及倍比關(guān)系的重要抓手。數(shù)數(shù)內(nèi)涵豐富而深刻，它貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終，是最重要、最基礎(chǔ)的活動，甚至可以說“沒有‘數(shù)數(shù)解決不了的問題”。小學(xué)生數(shù)數(shù)活動的不同發(fā)展階段各有其教育意蘊。

一、利用“唱數(shù)”，初步感知十進制思想

數(shù)數(shù)活動的第一階段是“唱數(shù)”（也叫記憶計數(shù)），即像唱歌似的一個接一個地“唱出”各個數(shù)詞。由于漢語一字一音，有節(jié)奏、有韻律，兒童初始“數(shù)數(shù)”行為類似于念歌謠，并不理解自然數(shù)的意義。但是，兒童通過唱數(shù)能夠初步感知自然數(shù)的順序與大小——先唱的在前面（小），后唱的在后面（大），挨著唱的兩個數(shù)相鄰。唱數(shù)是正確“數(shù)出”物品個數(shù)的基礎(chǔ)。中國家庭和幼兒園都非常重視唱數(shù)，很多兒童在上小學(xué)前就能較順利地“唱到50”（可能在唱數(shù)“拐彎數(shù)”時會有停頓或者出現(xiàn)個別錯誤），初步感知自然數(shù)遵循十進制原則，這為他們進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

唱數(shù)需要用漢語正確地讀數(shù)，但是讀數(shù)與寫數(shù)不完全一致，尤其數(shù)中有“0”時。讀數(shù)符合伊夫斯在《數(shù)學(xué)史概論》中提出的“乘法分群記數(shù)法”，即在選定10作為數(shù)基后，用一組符號表示1、2……9、0（用漢語說就是一、二……九、零），再用第二組符號表示10、102、103、104……，即十、百、千、萬，等等。把這兩組符號按照從高位到低位的順序從左到右（古代是從上到下）排列出來，就能表示出任意自然數(shù)。例如，25讀作“二十五”;2003讀作“二千零三”。讀數(shù)蘊含十進制原理，但沒有位值制思想，因此不能用數(shù)字所在“位置”表示其大小，需要創(chuàng)造無數(shù)個“詞”來表示計數(shù)單位。例如“千億”的下一個計數(shù)單位是“兆”，然后是“十兆、百兆、千兆”（四位一級）;再下一個計數(shù)單位是“京”，等等。目前最大的計數(shù)單位是“古戈爾”，即10的10次冪，“谷歌”就是根據(jù)這個詞命名的。當然，若有需要，還可創(chuàng)造“新詞”以表示更大的計數(shù)單位。

目前全世界通用印度—阿拉伯十進位值制記數(shù)法來寫數(shù)，這種記數(shù)法同時遵循十進制（滿十進一，每個“位置”上的最大數(shù)字是9）與位值制（數(shù)字所在的“位置”決定其大?。┰瓌t，因此，0的“占位作用”非常重要。由于讀數(shù)時“0”有一些特殊讀法，所以讀、寫帶“0”的數(shù)是學(xué)習(xí)難點。例如，將讀數(shù)“十一”錯寫成“101”，“五萬零四十”錯寫成“50000040”。

會讀數(shù)和寫數(shù)（記錄數(shù)）是數(shù)數(shù)活動的意義所在。讀數(shù)的法則到底是什么，目前有一定爭議，筆者認為只要能夠正確表達、交流、運用“數(shù)”，沒有必要一定按照某種讀數(shù)法則讀數(shù)（考試不應(yīng)該考讀數(shù)、寫數(shù)）。例如，20003讀作“二萬零三”，也可以讀作“二個萬零個千零個百零個十加三”，雖然讀起來麻煩，但清楚地表達了各個計數(shù)單位及其個數(shù)，這是數(shù)概念的本質(zhì)。

二、數(shù)“計數(shù)單位”，理解數(shù)概念的本質(zhì)

“數(shù)出”自然數(shù)不同計數(shù)單位的個數(shù)，再累加起來就得到這個自然數(shù)。例如，235就是“2個百+3個十+5個一”。小數(shù)的構(gòu)成與此完全相同，也遵循十進位值制原則。分數(shù)也是通過數(shù)“分數(shù)單位”的個數(shù)得到的，例如[78]就是7個[18]。由于每一個分數(shù)的計數(shù)單位不唯一且有無數(shù)個計數(shù)單位，相應(yīng)地計數(shù)單位的個數(shù)也有無數(shù)個，即分數(shù)具有它獨特的性質(zhì)（分子、分母同時乘或除以同一個非零的數(shù)，其大小不變），所以分數(shù)的構(gòu)成比自然數(shù)、小數(shù)更復(fù)雜。分數(shù)的這一特性導(dǎo)致每一個分數(shù)都“靈活多變”，有無數(shù)個“替身（等值分數(shù)）”，所以掌握分數(shù)的意義、性質(zhì)以及四則運算等都比較困難。數(shù)學(xué)直覺派代表人物克羅內(nèi)克提出，自然數(shù)是上帝創(chuàng)造的，其他的數(shù)都是人造的。自然數(shù)是認識小數(shù)、分數(shù)及其他數(shù)學(xué)知識的根基，其發(fā)展經(jīng)歷手指計數(shù)、結(jié)繩計數(shù)、象形符號表示數(shù)等過程，是非常漫長的。

瑞士心理學(xué)家皮亞杰指出，數(shù)（自然數(shù)）不是某個東西的名稱，它是事物與事物之間的相互關(guān)系，表明的是一個物體在一個序列中的位置以及一組物體中包含了多少個物體，這種關(guān)系不是直接用語言來教的，而是兒童通過感知、操作活動，在動作中體驗、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的。因此，小學(xué)生自然數(shù)概念的形成不是可以教會的，必須經(jīng)歷邊實際操作邊數(shù)數(shù)的過程，通過對具體數(shù)量的體驗和感悟抽象而來。理解自然數(shù)的多重含義離不開數(shù)數(shù)活動。

在唱數(shù)基礎(chǔ)上，數(shù)出物品的個數(shù)，抽象出自然數(shù)，理解自然數(shù)的基數(shù)含義，是數(shù)數(shù)活動的第二重教育意蘊。此階段兒童的數(shù)數(shù)活動必須遵循以下原則，否則得不到物品總個數(shù)：一個數(shù)詞對應(yīng)一個數(shù)過的物品;按正確順序說出數(shù)詞;計數(shù)可以從所數(shù)物品中的任何一個開始，但不要重復(fù)和遺漏;基數(shù)原則，即最后一個數(shù)詞是所有數(shù)過物品的總數(shù)。

小學(xué)生的數(shù)數(shù)活動有不同階段，具體可以分為：①感知計數(shù)階段：0～4個以內(nèi)的物品不需要數(shù)數(shù)也能知道其多少。②理解計數(shù)階段：5個及以上的物品需要數(shù)一數(shù)才能知道有多少。該階段主要有一一點數(shù)和按群計數(shù)（例如2個2個地數(shù)、4個4個地繼續(xù)數(shù)。這種方法需要不斷地“做加法”，學(xué)生極容易得出錯誤結(jié)果）兩種數(shù)數(shù)方法。③在半形象半抽象的數(shù)尺、數(shù)線或數(shù)軸上數(shù)數(shù)：“數(shù)”與數(shù)軸上的“點”建立一一對應(yīng)關(guān)系。這樣既可以在數(shù)軸上表示數(shù)，也可以在數(shù)軸上通過“數(shù)數(shù)”進行四則運算。

后文將進一步論述上述第三個階段，下面筆者深入分析影響第一、二個階段數(shù)數(shù)活動的因素：所數(shù)對象的物理屬性、個數(shù)多少、排列方式、結(jié)構(gòu)化程度等。如前所述，0～4個物品不需要逐一點數(shù)，憑借人的本能即可知道個數(shù);當數(shù)目大于5個時，遵循一一對應(yīng)思想數(shù)數(shù)，就不會數(shù)重、數(shù)漏。所數(shù)對象的排列方式、密集程度等因素影響小學(xué)生的數(shù)數(shù)能力，所數(shù)對象如果有順序、有結(jié)構(gòu)地擺放就容易計數(shù)，如果無結(jié)構(gòu)、散亂地擺放則容易數(shù)錯。另外，所數(shù)對象的物理屬性要相同，例如數(shù)教室里有多少人、多少盞燈等相同物品的個數(shù)。

教學(xué)中，為學(xué)生提供可操作的直觀化學(xué)具（最好不用帶“圖”的卡片以及糖果等，這些材料的某些特征容易分散學(xué)生的注意力）非常重要。這樣的學(xué)具分三個層次：一是齊性（每一個的物理特征都相同，表示的意義也相同）、無結(jié)構(gòu)的直觀化學(xué)具，例如散的小棒、豆子、紐扣、第納斯（Dienes）木塊等;二是有結(jié)構(gòu)的直觀化學(xué)具，例如十根一小捆、百根一大捆的小棒;三是有結(jié)構(gòu)的半直觀半抽象化學(xué)具，例如算盤、計數(shù)器。這些學(xué)具，能幫助小學(xué)生在操作與數(shù)數(shù)活動中逐步理解“數(shù)位”，進而深入理解用印度—阿拉伯十進位值制記數(shù)法表示出來的自然數(shù)。

三、在數(shù)軸上“數(shù)出”四則運算的結(jié)果，多視角理解運算

“數(shù)”在數(shù)尺、數(shù)線或數(shù)軸上有兩種含義：一是表示數(shù)軸上的點，一個數(shù)與一個點建立一一對應(yīng)關(guān)系;二是用數(shù)表示數(shù)軸上線段的長度。當以“0”為起點時，這兩種含義相同。在數(shù)軸上表示數(shù)，只能刻畫數(shù)的大小順序，蘊含著數(shù)形結(jié)合思想，但不能凸顯“數(shù)”概念所蘊含的十進制、位值制思想。例如，下述問題“誰離胡蘿卜更近（如圖1）”“填上數(shù)（如圖2）”就是在數(shù)尺上認識數(shù)的相對大小，這個內(nèi)容較為抽象，能豐富小學(xué)生對“數(shù)”概念的理解。

數(shù)數(shù)活動與四則運算密切相關(guān)。例如，向前（右）繼續(xù)數(shù)就是加法;往后（左）倒著數(shù)就是減法;幾個幾個地往前數(shù)就是乘法;幾個幾個地往后數(shù)就是除法，能夠數(shù)到“0”就是整除，不能數(shù)到“0”且還剩幾個就是有余數(shù)除法。通過數(shù)數(shù)得到計算結(jié)果是“最原始”的方法，其思維含量較高。例如求“6+3=？”用數(shù)數(shù)的方法獲得結(jié)果就需要學(xué)生進行“二重計數(shù)”（此概念出自朱莉婭·安吉萊瑞《如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感》）：繼續(xù)數(shù)3個數(shù)，數(shù)到了9，所以結(jié)果是9。在此過程中還有一個難點，即要從7而不是6開始數(shù)。

在數(shù)尺（數(shù)線、數(shù)軸）上進行數(shù)數(shù)活動，為學(xué)生理解四則運算提供了新視角（滲透數(shù)形結(jié)合思想），很多教材都設(shè)計了該類學(xué)習(xí)任務(wù)（如圖3、圖4）。

這類學(xué)習(xí)任務(wù)對很多學(xué)生來說都有難度，解題時要把算式中的一個加數(shù)（被減數(shù)）看作數(shù)尺上的“點”，另一個加數(shù)（減數(shù)）看作“線段”，計算的結(jié)果又是數(shù)尺上的“點”。

弗賴登塔爾認為，這種解釋缺乏對稱性，從文法上分析，一個是運算的直接對象，另一個卻是間接的，有的數(shù)是“點”，有的數(shù)是“線段”，這種方法對學(xué)生而言很難?；诖?，他提出了運算的“算子解釋”法，即用數(shù)軸上的“有向線段（剛性的小棒）”表示算式中的每一個數(shù)。例如“3”不是數(shù)軸上的“點”，而是將每一“點”向右移動3個單位的映射，也就是用長度是3的帶箭頭的線段表示，3+5就是長度是3和5的兩個有向線段首位相接，得到長度是8的有向線段。

數(shù)數(shù)活動具有豐富的教育意蘊。數(shù)數(shù)活動除了數(shù)出集合元素的個數(shù)，進一步理解運算以外，2個2個地數(shù)、5個5個地數(shù)等方法，還可以幫助小學(xué)生感悟數(shù)列的變化規(guī)律，進一步認識數(shù)的特性。例如5個一數(shù)，末尾的數(shù)要么是0，要么是5。數(shù)數(shù)活動蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想。例如“點數(shù)”時，學(xué)生必然要用到一一對應(yīng)原則，一一對應(yīng)是學(xué)習(xí)函數(shù)的思想方法儲備。另外，在數(shù)數(shù)時，學(xué)生必須有序地數(shù)，有序地觀察，有序地思考，“有序”也是數(shù)學(xué)的重要思想方法。

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