干涉條紋寬度法和移動法測量長度的微小變化

楊建榮 ,劉波 ,姜貴文 ,吳奇成 ,毛杰鍵 ,余豪

(1.上饒師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院,江西 上饒 334001;2.江西省電動汽車部件智能化工程技術(shù)研究中心,江西 上饒 334001)

長度是基本的物理量,長度測量技術(shù)和方法是生產(chǎn)制造中的基本問題,亦是大學(xué)物理實驗中的重要教學(xué)內(nèi)容,如訓(xùn)練學(xué)生使用游標(biāo)卡尺、螺旋測微器、顯微鏡等基本微小長度測量工具。為了培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用平面鏡反射和成像規(guī)律,設(shè)計了光杠桿測量長度的微小變化。隨著人們對光的波動性認識的深入,利用光的波長度量微小長度及其變化量,提高測量微小長度的精度和技術(shù)水平,得到了廣泛的應(yīng)用。其中,劈尖干涉是一種簡單和具有重要應(yīng)用價值的光學(xué)實驗裝置,例如利用劈尖干涉測量細絲直徑[1]、測金屬線膨脹系數(shù)[2－3]和金屬絲楊氏模量[4]等。但是運用移過觀測點的干涉條紋數(shù)計算劈尖高度的變化時,往往由于條紋移動迅速,不能準確記錄條紋移動數(shù),使測量結(jié)果精度降低。為避免上述缺點,本文分析討論利用劈尖干涉條紋的寬度測量長度的變化量,推導(dǎo)出干涉條紋寬度與待測長度微小變化的數(shù)量關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生延伸實驗的技術(shù)和方法,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用科學(xué)技術(shù)解決實際問題的能力。

1 劈尖角度、高度與干涉條紋寬度的關(guān)系

設(shè)玻璃片A 和B相交于D,構(gòu)成劈尖,劈尖的角度為θ,D 距離移動端點E 的長度為d,移動端點E 處的高度為h,如圖1所示。當(dāng)波長為λ的單色光,經(jīng)玻璃片A 的上表面Q 點,經(jīng)折射到達玻璃片A 的下表面O 點,發(fā)生反射和折射,形成反射光OP和折射光OM。折射光OM 透過空氣到達玻璃片B的上表面,在玻璃片B上表面M 處發(fā)生反射,形成反射光MN,它在N 處產(chǎn)生折射光NP。光束NP與OP相遇于P點,由于它們來自同一束光QO,因此是相干光,但它們的光程不同,光程的差值為:

圖1 劈尖干涉光路圖

式中n1為空氣的折射率,近似為1,n2為玻璃片的折射率,λ/2是光在M 點由光疏介質(zhì)到光密介質(zhì)產(chǎn)生的半波損失。設(shè)ej為O 點到玻璃片B的上表面的距離,因玻璃片A 與玻璃片B間夾角很小,故可近似認為|OM|＝|MN|＝ej,|NP|＝|OP|,據(jù)此可將(1)式的光程差改寫為:

當(dāng)光程差滿足2ej＋λ/2＝(2j＋1)λ/2,j＝0,1,2,…,即滿足ej＝j(luò)λ/2時,在P點處相遇的二束光的電場方向相反,強度相減,光強減小,產(chǎn)生暗條紋。相鄰二暗條紋之間的距離所對應(yīng)的劈尖的高度差為Δh＇＝ej＋1－ej＝(j＋1)λ/2－jλ/2＝λ/2。

當(dāng)光程差滿足2ej＋λ/2＝j(luò)λ,j＝0,1,2,…,即滿足ej＝(j－1/2)λ/2時,在P點處相遇的二束光的電場方向相同,強度相加,光強增大,產(chǎn)生亮條紋。相鄰二亮條紋之間的距離所對應(yīng)的劈尖的高度差為Δh〃＝ej＋1－ej＝(j＋1－1/2)λ/2－(j－1/2)λ/2＝λ/2。

可見相鄰二明條紋或二暗條紋之間的距離所對應(yīng)的劈尖的高度差均為:

設(shè)干涉條紋的寬度為S,如圖2所示,則二亮條紋之間的距離,或二暗條紋之間的距離δ,均為亮條紋寬度加暗條紋寬度,即δ＝2S。它對應(yīng)劈尖間隙的高度差由(3)式可知為λ/2。如果觀察點P的位置固定不變,到D 點的距離DF＝l,當(dāng)劈尖的夾角由θ1增大到θ2,將有N1條暗條紋(或亮條紋)通過P點,P處的高度由h1增大到h1＋Δh1,由(3)式可知Δh1＝N1λ/2,而條紋的寬度由S1減小到S2,如圖3所示;與此同時劈尖移動端E點處的高度由h 增大到h＋Δh。

圖2 干涉條紋寬度

依據(jù)上述分析,由圖3的幾何關(guān)系可得:

圖3 干涉條紋寬度與高度差的關(guān)系

由此可得:

(6)式表明劈尖干涉條紋的寬度S1,與觀察點處的高度h1、移動端點E 處的高度h,存在一一對應(yīng)的非線性關(guān)系;(7)式反映了干涉條紋移動的數(shù)量與劈尖高度變化量存在對應(yīng)的線性關(guān)系,而劈尖高度的變化量與干涉條紋的寬度S1、S2存在非線性關(guān)系。利用這些結(jié)果,可測量長度的微小變化量。

2 應(yīng)用劈尖干涉條紋變化測量長度的微小變化量

分析(7)式,波長λ是納米數(shù)量級,條紋寬度的差值是微米數(shù)量級,因此可用(7)式的關(guān)系精確測量微小長度的變化量。由于長度的變化有的是緩慢連續(xù)變化的,如熱脹冷縮現(xiàn)象中線脹系數(shù)的測量,長度隨溫度的變化是連續(xù)緩慢的;有些情況由于外界因素的突變,而引起長度迅速改變,難以觀察長度變化過程和條紋移動數(shù)量,如楊氏模量測量中外力的改變是突變的,難以觀察鋼絲的微小變化過程。對于這兩種情況,均可用劈尖干涉條紋變化測量其微小長度的變化量,分別討論如下。

2.1 條紋移動法測量長度微小緩慢連續(xù)變化量

對于長度緩慢連續(xù)變化的情況,在固定觀察點P,測量D 點到觀察點的距離DF＝l,DE＝d,代入(6)式求起始高度h1和h。當(dāng)h1發(fā)生微小變化時,觀測干涉條紋通過P點的條紋數(shù)N1,代入(7)式中的Δh1＝N1λ/2計算微小變化量。再根據(jù)圖3三角形相似可知,由此可得E 點處長度的微小變化量為:

由(8)式可知,通過測量D 點到觀察點P 的距離l、到移動端點E的距離d,以及觀測干涉條紋通過P 點的條紋數(shù)N1,代入(8)式可求得長度的微小變化量。

例1用條紋移動法(8)式,測量金屬棒的線脹系數(shù),實驗裝置如圖4所示。實驗測得金屬棒的原長為H＝49.40±0.06cm,l＝9.75±0.05 cm,d＝12.92±0.05 cm,鈉光燈的波長λ＝589.3 nm,金屬棒的溫度t與條紋移動數(shù)N 的關(guān)系如表1。用逐差法處理表1中的數(shù)據(jù),得到表2所示結(jié)果。

圖4 實驗裝置實物圖

表1 待測金屬棒的溫度t與條紋移動數(shù)N 的測量結(jié)果

表2 用逐差法處理表1的結(jié)果

相對不確定度為:

絕對不確定度為:

由此可得金屬棒線脹系數(shù)為:

實驗最終測得金屬棒的線脹系數(shù)為(1.80±0.07)×10－5℃－1。

2.2 條紋寬度法測量微小長度的變化量

對于長度不連續(xù)的突變,難以觀察長度變化過程和數(shù)清楚條紋移動數(shù)量,但可根據(jù)(7)式中的Δh＝,測量高度變化前移動端點E的條紋寬度S1,及高度變化后的條紋寬度S2,求出E處的高度變化量Δh。如果長度發(fā)生了n 次突變,則相鄰兩次突變的高度差為:

根據(jù)(9)式可測量長度每次突變時的變化量,也可測量長度連續(xù)變化時的變化量。

例2用條紋寬度法測量鋼絲的楊氏模量。在用拉伸法測量鋼絲的楊氏模量實驗中,由于外力F 的改變是不連續(xù)的,引起鋼絲的長度變化也是不連續(xù)的,是突變。因此必須用條紋寬度法測量鋼絲的長度微小變化。先測量鋼絲的直徑?,長度H,劈尖尖端至鋼絲的距離d,分別重復(fù)測量6次,結(jié)果記入表3中。其他物理量的測量方法如下:

(1)移動顯微鏡,測量D 點到移動端點E的距離d,選擇觀測點P的位置。

(2)將顯微鏡移動到固定觀測點P處,為了提高測量精度,測量連續(xù)k 條條紋的寬度A1＝kS1,然后計算一條明紋或暗紋的寬度S1＝A1/k,本實驗取k＝20。結(jié)果記入表3倒數(shù)第2行。

(3)在待測鋼絲的下端鉤砝盤上加F＝100 g砝碼,鋼絲在砝碼拉力作用下突然伸長,劈尖間距減小,干涉條紋寬度增加。將顯微鏡再次移動到固定觀測點P處,測量連續(xù)k＝20條條紋的寬度A2＝kS2,然后計算一條明紋或暗紋的寬度S2＝A2/k。結(jié)果記入表3倒數(shù)第1行。

(4)取下砝碼,重復(fù)操作步驟(2);加上100 g砝碼重復(fù)操作步驟(3)。

表3 條紋寬度法測量鋼絲的楊氏模量

該結(jié)果與參考值2.00×1011N/m2相比,相對誤差為5%。

用條紋寬度法不但可以測量突變的長度變化量,而且可以測量長度連續(xù)的變化量,以例1測量線脹系數(shù)為例,說明如下。

例3用條紋寬度法測量線脹系數(shù)。由于溫度的變化是連續(xù)的,待測金屬棒長度因熱脹冷縮而引起的變化也是連續(xù)的,本例介紹用條紋寬度法測量例1中金屬棒長度的微小連續(xù)變化。利用例1的裝置,H＝49.40±0.06 cm,d＝12.92±0.05 cm,其他量的測量方法如下:

(1)先測量室溫t1下P點處k＝20的條紋總寬度S1,分別記入表4表身中的第1、2行。

(2)將溫度升高到60至70℃,停止加熱,待溫度穩(wěn)定后,測量此溫度的大小t2,及對應(yīng)P點處k＝20的條紋寬度S2,結(jié)果分別記入表4表身中的第3、4行。

表4 條紋寬度法測量線脹系數(shù)的實驗結(jié)果

(3)分別重復(fù)步驟(1)(2)6次。

計算Δt＝t2－t1,高度差Δh＝,根據(jù)金屬棒的線脹系數(shù)α＝,可得表4中的倒數(shù)第1行結(jié)果,并求得平均值為1.81×10－5℃－1,不確定度為0.02×10－5℃－1,結(jié)果為:

例3與例1相比,不確定度更小。

2.3 分析比較

如圖1所示的劈尖具有如下特點:第一,結(jié)構(gòu)簡單,便于學(xué)生自己制作;使用方便,可以是B 玻璃片固定,A 玻璃片的活動端隨著待測物移動,測量微小長度;也可以是A 玻璃片固定,B玻璃片的活動端隨著待測物移動。第二,對于觀察點P的定位和測量,可將直角坐標(biāo)紙固定在不活動的玻璃片上,例如上例中的B玻璃片下面,用讀數(shù)顯微鏡上的千分尺測量位置。第三,與文獻[1—4]相比,觀察點P的位置可以是活動玻璃片的任意位置,不受限制,適用范圍更廣。第四,本實驗裝置和方法,既可測量連續(xù)變化的微小長度,也可測量突變的微小長度。第五,有效數(shù)字可達到5位,能精確到0.1 um。

3 結(jié)論

本文分析討論了劈尖干涉實驗裝置的干涉規(guī)律,進一步延伸應(yīng)用劈尖干涉實驗技術(shù)和方法,得到了干涉條紋移動數(shù)量和寬度,與劈尖高度和高度變化量之間的關(guān)系。根據(jù)它們存在的數(shù)量關(guān)系,提出了測量微小長度變化量的新實驗方案。對培養(yǎng)大學(xué)生應(yīng)用實驗科學(xué)技術(shù)解決實際問題的創(chuàng)新能力,具有一定的示范作用。