圖形認識的一般規(guī)律
——以三角形認識為例

張麗霞

(上饒師范學院 教育科學學院,江西 上饒 334001)

義務教育階段的數學課程是培養(yǎng)公民素質的基礎課程,具有基礎性、普及性和發(fā)展性[1]1。為了體現義務教育數學課程的整體性,《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》)統(tǒng)籌了義務教育階段課程內容,依據學生發(fā)展的生理和心理特征,將中小學劃分為三個學段。為使教學得到更好的效果,《課標》指出,為了適應時代對人才發(fā)展的需要,在數學課程中,應當注重發(fā)展學生的空間觀念、幾何直觀等素養(yǎng)[1]5。為了響應課程標準的要求,諸多學者深入實踐探究,如孔凡哲、史寧中教授探索數學幾何直觀的含義[2],華應龍進行的三角形三邊關系教學研究[3]以及汪志華對《三角形內角和》的教學設計[4]等。本文將以三角形的認識為例,探討認識圖形的一般過程。

1 教材審視

《課標》將數學知識分為“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四部分內容。其中“圖形與幾何”的內容在小學階段占據著較大比重,是小學數學的重要內容。然而,在實際教學中“圖形與幾何”的內容往往容易被忽視。比如,在圖形的認識教學中,教師易忽視圖形的概念和圖形抽象的教學過程。因此,本研究將以三角形的認識為例,探究圖形認識的一般過程。

通過對小學數學知識的整理,筆者梳理出了人教版小學數學教材中三角形知識的分布情況,并列出了小學數學中三角形知識所對應的幾何思維水平,如表1所示。

1.1 從課程標準角度分析

通過表1可以看到,三角形的知識首次出現于小學二年級上冊第三單元,內容是“角的初步認識”,其中包括了直角、銳角和鈍角的認識,認識“頂點”和“邊”。在這里有一個不可忽視的問題是,學生在學習“角的初步認識”之前已經對圖形有了初步的認識,且在二年級第一單元學習了“長度單位”,并能夠測量線段的長度,這為角的認識以及學習邊的畫法奠定了基礎?！墩n標》第三部分“課程內容”闡述了“圖形與幾何”的教學要求,要求第一學段的學生能“結合生活情境認識角,了解直角、銳角和鈍角”,且要求“能估測一些物體長度,并進行測量”?！敖堑某醪秸J識”一節(jié)的編排正遵循了課程標準的要求。

表1 小學數學三角形知識分布及范希爾幾何思維水平(人教版)

通過表1還可以看到,四年級的教材安排了三角形的相關知識。四年級(上)第三單元學習“角的度量”,而后在四年級(下)第五單元學習“三角形”的知識,主要有三角形的特性、分類以及三角形內角和的知識。角是由射線構成的,因此在“角的度量”一章中先學習了線段、直線與射線,緊接著學習角的度量,更涉及角的分類,這也為四年級下冊三角形的分類學習奠定了基礎?！墩n標》提出第二學段的學習要“了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系”和“認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形”,這些與教材中“角的度量”和“三角形”的知識相契合。四年級下冊“三角形的特性”主要學習三角形的高和底,而四年級第五單元“平行四邊形和梯形”的學習為三角形的特性奠定了基礎。由此可以得出,圖形的學習不是獨立的,如“角的度量”是對過去學習知識的綜合運用,同時為后續(xù)的學習奠定了基礎。

1.2 從范希爾幾何思維水平角度分析

范希爾幾何思維水平是幾何知識的重要理論,范希爾幾何思維水平共有五個層次的水平,分別是視覺、分析、非形式化的演繹、形式化的演繹以及嚴密性。當然,學者對范希爾理論持有不同的態(tài)度,一種觀點認為學生的思維發(fā)展不能從一個水平跳躍到下一個水平,應該是小步子漸進的;另一觀點認為這一理論從整體上描述了幾何思維的發(fā)展過程。綜上,筆者認為范希爾理論的各個水平之間沒有明確的界限,是幾何圖形學習過程的一般化描述,可以看作是數學思維發(fā)展的一般過程。

小學生的幾何思維水平是從水平0到水平3的發(fā)展過程。學生的幾何思維水平在第一學段更多地集中在水平0;第二學段主要集中在水平1到水平2(如表1所示)。第一學段的學生思維多處于形象思維階段,以整體感知為主。如在一年級“認識圖形”一章中,學生第一次接觸平面圖形(根據形狀進行簡單的分類、認識三角形),以及在二年級上冊“角的初步認識”一章中學習角的構成,這都是通過視覺來認識三角形。在四年級下冊具體學習了“三角形”的知識,其中“三角形的特性”和“三角形內角和”等知識是非視覺辨認可得到的知識,需要學生動手實踐才可得出結論,因此“三角形的特性”和“三角形內角和”的學習更多的處于分析和非形式化的演繹層次。同樣五年級的學生要計算三角形的面積,以尋求“多邊形的面積”解決之法,這一過程需要學生經歷演繹推理,因此學生的思維水平是逐漸上升的,處于形式的演繹層次。

雖然學生的思維水平沒有明確的劃分界限,但其思維水平呈上升趨勢,這體現了教材編寫的特點[5],更是與課程標準相吻合。

2 圖形的認識過程

圖形的認識并非傳統(tǒng)的辨別、識別,而是應當從形式、要素以及要素之間的關系進行闡述。形式即視覺可見的,小學數學中的幾何圖形分為平面圖形和立體圖形兩大類;要素即構成圖形的主要元素。在幾何圖形中,基本元素有點、線、面、體、角,幾何圖形的認識需要理解這些基本元素之間的關系。因此圖形認識的一般過程是“整體—局部—整體”的過程,體現了從整體到局部,從直觀到抽象的特點[6]。當前我國大部分地區(qū)的小學為六年制?！墩n標》根據學生發(fā)展的生理和心理特征,將小學六年的學習時間劃分為兩個學段:第一學段(1－3年級)、第二學段(4－6年級)。為了更好地探究圖形的認識過程,本研究將小學的年級跨度做了更詳細的劃分。低年級為小學一、二年級,中年級為小學三、四年級,高年級為小學五、六年級。結合圖形的認識過程,低年級學生主要的學習任務是從整體上認識圖形;中年級學生的學習任務是認識圖形的“局部”特征;高年級便是圖形的應用過程,即重視數與形的結合,用數刻畫形。

2.1 低年級通過實物認識圖形的整體

《課標》要求學生要了解一些簡單幾何體和常見的平面圖形。借助范希爾的幾何思維水平得知,低年級的學生思維多處于視覺階段,即整體感知階段,表現為兒童能通過整體輪廓辨認圖形,并能進行描述;當然,低年級的學生對圖形的構成要素有了基本的認識,能進行簡單的圖形分類。但從總體來看,低年級學生對圖形的認識主要是通過具體實物來習得的。

圖1、圖2是人教版一年級下冊“認識圖形”的內容,通過圖1我們可以看到學生借助實際物體畫平面圖形;圖2是“認識圖形”的鞏固練習環(huán)節(jié),要求圈出可以畫出左邊圖形的物體,這個過程體現出一年級學生經歷了從實際物體抽象到圖形的過程,并且能通過物體的輪廓辨認圖形。因此低年級認識圖形的過程是通過實物進行的。

圖1 認識圖形

圖2 認識圖形(練習)

2.2 中年級從局部認識圖形

從《課標》角度看,1－3年級是第一學段,4－6年級是第二學段,因而中年級處于第一學段到第二學段的過渡期;從范希爾幾何思維水平看,中年級學生的幾何思維水平處于分析層次和非形式化的演繹階段,因此中年級學生在圖形的認識過程中更多的處于“局部”認識階段。著名的發(fā)展心理學家皮亞杰(Jean Piaget)把認知發(fā)展分為了四個階段,其中6－12歲處于具體運算階段,兒童的認知結構由前運算階段的表象圖式轉化為運算圖式,心理操作著眼于抽象概念,因此中年級是由形象思維到抽象思維的過渡階段。思維過渡過程中勢必要加強概念的教學以及實物抽象的過程。

2.2.1 揭示概念本質

概念教學是培養(yǎng)學生科學素養(yǎng)的途徑。概念教學要經歷如下環(huán)節(jié):(1)概念屬性的分析、比較、綜合;(2)概括知識本質特征得到本質屬性;(3)下定義;(4)概念的辨析;(5)用概念判斷具體事例;(6)建立與相關概念的聯系。四年級下冊“三角形”充分體現了概念教學的重要性。接下來將借助“三角形的高”具體闡釋圖形中概念教學的重要意義。

例1“三角形的高”。人教版四年級下冊第五單元“三角形的特性”部分涵蓋了三角形的定義、三角形的高和底等知識(如圖3)。“從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線,頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高”。想要畫出三角形的“高”,就需要明確“對邊”和“垂線”的概念。我們知道,三角形是由3條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點相連),故三角形的對邊是指三角形的某個頂點(或某個角)所對的邊,即三角形中的某條線段。垂線是指兩條直線相交成直角,其中的一條直線叫作另一條直線的垂線。由此可知,實際意義上的高是指從三角形的一個頂點到它的對邊所在的直線作垂線。若找到“對邊”后仍無法畫出垂線段,應當適當延長頂點所對的邊,由此便可以解決學生畫高的困難(見圖4)。

圖3 三角形的高

圖4 三角形的高(練習)

2.2.2 實物的抽象

《課標》提出學生要初步形成數感和空間觀念,感受符號和幾何直觀的作用,因此中年級的學生要經歷實物的抽象過程。在研究中,我們把抽象理解為認識某一特性的思維活動,抽象的起點是經驗事實,抽象的過程可以概括為“分離—提純—簡略”;從范希爾幾何思維水平的角度看,抽象的過程就是進行形式的演繹過程。在此過程中,學生能建立圖形性質之間的聯系,能探求圖形的內在屬性,并做簡單的演繹推理。例如,學生在了解三角形的各個要素后要學習“三角形穩(wěn)定性”,同時要求學生掌握三邊之間的關系。其中,三角形的三邊關系推導方式體現在七年級下冊,在這里不做過多贅述。

例2“三角形穩(wěn)定性”。三角形的穩(wěn)定性是三角形的特性之一。三角形的穩(wěn)定性是數學知識生活化的體現,相反地,將實際生活數學化的過程也是進行抽象的過程。

四年級下冊“三角形的特性”涉及了三角形的穩(wěn)定性。通過對矩形和三角形進行拉伸,對比發(fā)現三角形更不容易變形(圖5)?；诖私Y論,生活中也運用了這一特征。如屋頂、籃球架、埃菲爾鐵塔都運用了三角形穩(wěn)定性這一特征,這就是數學知識抽象的過程。

圖5 三角形的穩(wěn)定性

2.3 高年級要重視圖形的應用

《課標》指出,數學課程應當注重發(fā)展學生的符號意識、空間觀念、幾何直觀,同時要特別注重發(fā)展學生的應用意識。應用意識主要包含兩方面內容:一方面是用數學知識解決實際問題,另一方面是現實生活中的問題可以通過抽象,形成數學問題加以解決。從皮亞杰的認知發(fā)展階段來看,高年級學生的思維處于抽象邏輯水平,即范希爾幾何思維水平的第3層次——形式的演繹階段。這一階段,要求學生能深入了解圖形的特征,更全面地認識圖形。因此圖形的認識要經歷“整體—局部—整體”的過程,其中圖形的應用是最后環(huán)節(jié)。

例3三角形面積的應用。人教版五年級上冊教材和六年級上冊教材中分別安排了“平行四邊形的面積”(圖6)、“圓的面積”(圖7)的內容。圖6是平行四邊形面積的推導過程。將平行四邊形切割成一個三角形和梯形,通過平移得到矩形,進而推導出平行四邊形的面積公式。圖7是圓的面積推導過程,將一個圓分成若干等份,拼成一個近似的平行四邊形。二者的共性是將復雜圖形切割成三角形,重新組成新的簡單圖形。通過這兩個例子可以看出,平面幾何領域中三角形的應用較為廣泛。

圖6 平行四邊形的面積

圖7 圓的面積

3 教學建議

基于以上研究可以得出,圖形的認識包含三個過程,分別是從整體上認識圖形、圖形局部特征的認識以及圖形的應用環(huán)節(jié)。其中關鍵是對圖形局部特征的認識,包含了揭示概念本質和抽象的環(huán)節(jié)。這個結論不僅適用于小學數學知識,對于中學數學同樣適用。例如,相似三角形以及全等三角形的內容都是通過局部認識整體。故依據本研究所得結論,提出以下幾點教學建議:

3.1 巧用圖形特點,經歷具體到抽象的轉換

數學學科本身是經由具體實際到抽象概括發(fā)展而來的。抽象主要包含數量與數量的關系、圖形與圖形的關系。現實世界里的圖形是三維的,幾何學中研究的對象是抽象的產物。抽象為人們學習和交流、探索和發(fā)現數學問題提供了很大便利,也幫助學生更準確地認識具有實際意義的圖形。因此圖形的教學要巧用圖形特征,實現具象到抽象概念的轉化。培養(yǎng)學生的抽象能力,可以從以下幾方面著手:首先要夯實學生的基礎知識。要學生經歷具象到抽象的轉化過程,勢必要以學生原有知識為基礎。小學數學知識分為“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個部分的內容,這些知識分布于不同的章節(jié),學生只有掌握各知識點,才有可能建構合理的知識體系。知識的缺失勢必會阻礙學生具象思維向抽象思維的轉化。其次,給予學生充足的探索時間,讓學生經歷抽象化的過程。抽象意味著抽取共同的、本質的特征,即保留事物的基本要素和基本特征的過程。教學過程中,教師可以呈現實物,引導學生從具體圖形中抽象出幾何圖形,經歷圖形的抽象過程。最后,充分利用現代信息技術手段培養(yǎng)學生的抽象能力。隨著人工智能的發(fā)展,越來越多的人看到了現代信息技術的優(yōu)勢。信息技術的教學不僅能提高學生的學習興趣,還可以形象地展示出物體與抽象的圖形之間的聯系,進而提高學生的抽象能力。

3.2 理解概念本質,提高解題能力

概念能夠客觀地反映事物的內在聯系,把握概念的本質,有助于學生對新知識的理解,能夠幫助學生理解復雜知識的內涵,從而使知識更容易被接受。因此在實際教學中,務必要重視概念的教學。首先是引入數學概念。由于概念是抽象的,因此在認識概念的過程中,教師應注意鼓勵學生參與探究概念的活動,讓學生在探究的過程中了解概念的形成過程,以加深對相關概念的感知,掌握其本質特征。其次是概念的理解階段。經歷了概念的引入環(huán)節(jié),學生對數學概念有了初步的認識,此時教師可以組織學生用自己的語言表述出數學概念。在交流過程中,教師起到調節(jié)與控制的作用,引導學生揭示出概念的本質。學生們也會從他人的表述中發(fā)現自己在表述概念時存在的不足。最后是概念的鞏固與運用階段。人的記憶過程包括識記、保持和再現的環(huán)節(jié),遺忘是與保持相反的心理過程。為了減緩遺忘的速度,勢必要對所學知識進行有效的復習鞏固。知識的鞏固環(huán)節(jié)必然少不了練習,有效的練習可以幫助學生重新認識概念的本質特征,尤其是正例和反例的使用,可以加深學生對數學概念的記憶,同時也可以在練習中鍛煉數學思想方法,提高其解決問題的能力。

3.3 強化圖形特點,滲透數形結合思想

生活中蘊含著大量的數學信息,小學階段更要滲透數形結合思想,運用數學知識解決實際問題。數形結合的思想可以使抽象的問題直觀化,有助于揭示問題本質。因此在教學過程中要滲透數形結合思想,建立現實問題與抽象圖形的聯系[7]。滲透數形結合思想,首先要提升教師滲透數形結合思想的意識。數形結合思想始終貫穿于數學教學的始終,數形結合思想的培養(yǎng)不僅可以幫助學生解決數學問題,更能培養(yǎng)學生的數學思維能力,為今后數學學習奠定基礎。其次,教師在教學過程中,要有意識地培養(yǎng)學生以數解形的意識。所謂以數解形就是將復雜的圖形問題規(guī)范化的過程。以數解形可以準確地描述出圖形中各個量的關系,使模糊的數學問題更加清晰,有助于揭示出圖形中所蘊含的本質內涵,進而促進學生形象思維和抽象思維的協調發(fā)展。