基于非規(guī)范替換法的連續(xù)控制系統(tǒng)離散化方法

李穗 李毅 郎加云

【摘 要】 連續(xù)控制系統(tǒng)離散化的常用方法包括歐拉（Euler）法、休恩（Heun）法、龍格-庫塔（Runger-Kutta）法、雙線性（Tustin）法等，都是采用規(guī)范替換法，依據(jù)某種映射關(guān)系將s域轉(zhuǎn)換到z域，計算速度和精度都有限。在對以上方法進行分析比較的基礎(chǔ)上，本文提出了一種非規(guī)范替換法對連續(xù)時間控制系統(tǒng)進行離散化，仿真結(jié)果表明與規(guī)范替換法相比，該方法的靈活性更強、離散化精度更高。

【關(guān)鍵詞】 連續(xù)控制系統(tǒng);替換法;離散化

【中圖分類號】 TP391.7 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2096-4102（2021）02-0095-03

在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，控制系統(tǒng)的作用越來越重要。隨著計算機控制技術(shù)、數(shù)字信號處理技術(shù)、系統(tǒng)仿真等技術(shù)的快速發(fā)展，在控制系統(tǒng)中引進計算機進行離散控制的做法越發(fā)普及。依據(jù)連續(xù)控制器理論設(shè)計的離散控制器，可將連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成離散系統(tǒng)，成為現(xiàn)代離散控制系統(tǒng)設(shè)計常用的方法。連續(xù)系統(tǒng)的離散化從數(shù)學(xué)模型的角度看，是將描述系統(tǒng)的微分方程變換為描述離散系統(tǒng)的差分方程，或?qū)⑾到y(tǒng)的傳遞函數(shù)變換為離散傳遞函數(shù)。

1常用的離散化方法

1.1歐拉法（Euler法）

根據(jù)控制理論，s域到z域的變換關(guān)系為：

圖1為使用雙線性變換法離散化一階系統(tǒng)的輸出，實線為連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，虛線為離散化后的系統(tǒng)階躍響應(yīng)。

1.3 休恩法（Heun法）

對式（6）進一步變換可得

采用歐拉法的解作為迭代的估計值，對于前文中的一階慣性環(huán)節(jié)而言，其離散化計算公式為：

1.4龍格-庫塔（Runge-Kutta）法

由式（10）可知，利用泰勒級數(shù)得到最終全局誤差的階為N，并且可以通過增大N的值來獲得更精確的函數(shù)值。但是利用泰勒級數(shù)法時，需要首先確定N的值，而且需要計算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。而龍格-庫塔法則是通過計算若干次函數(shù)值的方法，構(gòu)造任意精度的近似公式，典型的龍格-庫塔法包括二階龍格-庫塔（RK2）法、三階龍格-庫塔（RK3）法和四階龍格-庫塔（RK4）法。二階的龍格-庫塔法典型算法則為休恩法，三階龍格-庫塔的一種典型算法為如式（12）的Bogacki-Shampine（BS3）法。

圖2為使用龍格-庫塔變換法離散化一階系統(tǒng)的輸出，實線為連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，虛線為離散化后的系統(tǒng)階躍響應(yīng)。

2非規(guī)范替換法

上一節(jié)中離散化連續(xù)系統(tǒng)中表示求導(dǎo)運算的微分算子都是用固定的對應(yīng)關(guān)系替換為表示位移的差分算子（規(guī)范替換法），受將n階微分方程離散化為n階差分方程的限制，只能用一次多項式或者一次多項式之比的有理分式表示微分算子與差分算子的關(guān)系，其離散化精度不超過二階（歐拉法為一階精度，雙線性變換法為二階精度）。

為了進一步提高系統(tǒng)的離散化精度，本文采用一種變化的微分算子與位移算子關(guān)系進行替換，仿真結(jié)果表明，該方法在保證離散化系統(tǒng)階數(shù)不變的情況下，能夠獲得比規(guī)范替換法更高的離散化精度。該方法采用式（13）作為連續(xù)系統(tǒng)的微分算子s的近似：

取上式的各階逼近，以五階連續(xù)系統(tǒng)為例，按式（14）取s各階逼近來獲得相應(yīng)的離散化系統(tǒng)：

以某五階連續(xù)控制系統(tǒng)為例，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：

按歐拉法求得對應(yīng)的離散化系統(tǒng)傳遞函數(shù)為（步距h=0.05）：

按Tustin法求得對應(yīng)的離散化系統(tǒng)傳遞函數(shù)為（步距h=0.05）：

按照式（14）得到非規(guī)范替換法的離散化系統(tǒng)傳遞函數(shù)為（步距h=0.05）：

利用MATLAB對式（16）、式（17）和式（18）所表示的系統(tǒng)進行仿真計算，結(jié)果如圖3所示，其中圖3（a）上方自上而下分別為利用歐拉法得到的離散系統(tǒng)H1（z）、連續(xù)系統(tǒng)G（s），利用非規(guī)范替換法得到的離散系統(tǒng)H3（z），利用Tustin法得到的離散系統(tǒng)H2（z）的幅頻特性曲線。圖3（a）下方分別為利用Tustin法得到的離散系統(tǒng)H2（z），利用非規(guī)范替換法得到的離散系統(tǒng)H3（z）、連續(xù)系統(tǒng)G（s），利用歐拉法得到的離散系統(tǒng)H1（z）的相頻特性曲線。圖3（b）為系統(tǒng)響應(yīng)特性曲線放大的結(jié)果。

由圖3可見，采用非規(guī)范替換法得到的離散系統(tǒng)幅頻和相頻響應(yīng)誤差比采用歐拉法和Tustin法得到的離散系統(tǒng)響應(yīng)更小，系統(tǒng)更穩(wěn)定。進一步改變離散步距或者連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，所得結(jié)論相同。

3結(jié)論

通過對歐拉法、雙線性變換法、休恩法、龍格-庫塔法以及非規(guī)范替換法對連續(xù)系統(tǒng)離散化的算法分析以及仿真表明，規(guī)范替換法離散化過程簡單、系統(tǒng)穩(wěn)定性好，非規(guī)范替換法則具有離散化過程靈活、離散化精度較高的特點，在實際應(yīng)用中需要根據(jù)具體情況進行選擇。

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