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    數(shù)學(xué)專業(yè)多元微積分教學(xué)的幾點(diǎn)體會

    2021-07-09 10:01:10劉軾波
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年3期
    關(guān)鍵詞:微積分曲面定理

    劉軾波

    (廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 廈門361005)

    1 引 言

    數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生最重要的基礎(chǔ)課,因此各高校的數(shù)學(xué)院系對這門課都極為重視.2009年,我國啟動基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃.從2014年秋季起,廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院對入選該計(jì)劃的本科生的主要課程實(shí)行小班教學(xué),由筆者負(fù)責(zé)該班二年級第一學(xué)期的數(shù)學(xué)分析(即數(shù)學(xué)分析3)的教學(xué)工作.這門課的主要內(nèi)容就是多元微積分.為了行文方便,下文中的數(shù)學(xué)分析也專指多元微積分.

    對這些優(yōu)秀學(xué)生實(shí)行小班教學(xué)的意圖,當(dāng)然是希望在教學(xué)內(nèi)容等方面突破傳統(tǒng)教材的框架,力求有所創(chuàng)新,更好地完成數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)任務(wù).因此,對這門課進(jìn)行了一些思考和探索,逐步形成了有特色的課程內(nèi)容體系,在幾年的教學(xué)過程中形成了一份講義.此外,還與教過的本科生合作,發(fā)表了兩篇關(guān)于多元微積分的論文[1-2];這些結(jié)果現(xiàn)在已經(jīng)成多元微積分的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容.此外,我在北京大學(xué)、北京師范大學(xué)、南京大學(xué)和浙江大學(xué)等高校為本科生做有關(guān)的學(xué)術(shù)報(bào)告,介紹我們在數(shù)學(xué)分析方面的工作;2017年、2018年和2020年應(yīng)邀在復(fù)旦大學(xué)舉辦的數(shù)學(xué)分析教學(xué)研討會做報(bào)告.

    2019年6月,我應(yīng)邀在國家天元數(shù)學(xué)東南中心舉辦的數(shù)學(xué)專業(yè)課程建設(shè)研討會做報(bào)告(研討會網(wǎng)址: http:∥tianyuan.xmu.edu.cn/activities/19-20/sxkc2019/index.html).本文是根據(jù)這個報(bào)告的內(nèi)容整理而成.

    2 課程現(xiàn)代化及與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的聯(lián)系

    現(xiàn)代數(shù)學(xué)很多內(nèi)容都是高維的,適應(yīng)向量記法并能熟練操作向量值函數(shù),是成為優(yōu)秀數(shù)學(xué)家必須的素養(yǎng).因此,在講授多元微積分時(shí),特別強(qiáng)調(diào)向量的記法以及向量值函數(shù).可能很多人都已經(jīng)意識到:數(shù)學(xué)分析中很多概念和定理,用分量形式表達(dá)非常繁瑣,而用向量形式則非常簡潔,并且更能凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系;這應(yīng)該已經(jīng)成為很多同行的共識了.除此之外在教學(xué)中還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn):若不涉及向量值函數(shù),則無法充分展現(xiàn)微分學(xué)的基本思想!這一點(diǎn)將在下文進(jìn)一步闡述(見注4). 由此可見,在多元微積分教學(xué)中仔細(xì)講解向量值函數(shù),是在教學(xué)中應(yīng)該提倡的一項(xiàng)舉措.

    數(shù)學(xué)分析通常被認(rèn)為是一門古老的學(xué)問.其實(shí),只要細(xì)加研究,是可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些聯(lián)系的.在教學(xué)中,應(yīng)該善于找到這些聯(lián)系并展現(xiàn)給學(xué)生.以下結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐舉幾個例子.

    由于本文涉及的問題較多,以下十余個例子中所給的證明只是對證明思路的大致描述,一些細(xì)節(jié)因篇幅所限不得不省略.相信這些簡略的文字足以使讀者理解解決這些問題的想法.

    例1m中不存在既開又閉的非空真子集.

    證設(shè)m的非空子集U既開又閉,U≠m.取a∈mU,因U閉,有x∈U使

    因U開,可在x附近取點(diǎn)x′∈U使|x′-a|<|x-a|;這就與上式矛盾.

    在數(shù)學(xué)分析課中介紹這個簡單的例1,是為了得到以下經(jīng)典結(jié)果.

    例2設(shè)f∶m→m是C1-映射,對?x∈m,detf′(x)≠0.若f是強(qiáng)制的,即|x|→∞時(shí),|f(x)|→∞,則f(m)=m.

    證事實(shí)上,運(yùn)用反函數(shù)定理,由f的Jacobi行列式處處非零可知f的值域?yàn)殚_集;由f強(qiáng)制可知f的值域?yàn)殚]集.因此由例1即知f的值域是m.

    注1 例2的結(jié)論相當(dāng)于對?b∈m,都有x∈m使f(x)=b.因此例2可以看作非線性代數(shù)方程組的求解問題.此例也可以通過研究φ∶x|f(x)-b|2的最值來證明.進(jìn)一步,對φ應(yīng)用山路定理[3],還可以證明在例2的條件下f是單射,因此f∶m→m是微分同胚,詳見[4].

    鑒于方程的求解是數(shù)學(xué)的中心問題,以及例2的簡單性,任何學(xué)過多元微積分的數(shù)學(xué)類本科生都應(yīng)該至少知道例2的上述兩種證明方法.不幸的是在某些985高校,即使是入選拔尖計(jì)劃的優(yōu)秀學(xué)生也完全不知道這個例子.

    注2 在[1]中,把例2的結(jié)論推廣為:設(shè)n≥2,f∶m→n是C1-映射,僅有至多有限個x∈m使rankf′(x)

    變分方法在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有重要的地位.在多元函數(shù)積分學(xué)部分,作為散度定理的應(yīng)用,可以用變分的思想推導(dǎo)極小曲面方程;這是把泛函極值問題轉(zhuǎn)化為求解偏微分方程.為了研究數(shù)學(xué)、物理中一些重要的非線性偏微分方程解的存在性,也可以反其道而行之,把方程求解的問題歸結(jié)為尋找某個能量泛函的極值點(diǎn)或更一般的臨界點(diǎn),這就是非線性微分方程的變分方法[5-6].在數(shù)學(xué)分析這樣的基礎(chǔ)課中當(dāng)然不可能過多涉及偏微分方程,但是通過研究非線性代數(shù)方程來展示變分方法的威力,應(yīng)該是很有趣的.

    |F(x)|≤C(1+|x|θ),

    f=?F∶m→m.則非線性代數(shù)方程組

    即Ax=f(x)有解.

    證考慮C1-函數(shù)Φ∶m→,·x-F(x).則|x|→∞時(shí),Φ(x)→+∞,于是Φ在m中的某點(diǎn)ξ達(dá)到最小值.由多元函數(shù)極值的必要條件(Fermat定理)有?Φ(ξ)=0,即Aξ=f(ξ).這ξ就是Ax=f(x)的解.

    作為在[2]中給出的m-重積分換元公式新證明的簡單推論,立刻得到m-維Brouwer不動點(diǎn)定理(見注10). 不動點(diǎn)理論也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,應(yīng)用Brouwer不動點(diǎn)定理可以改進(jìn)例3的結(jié)果.在以下的例4中,A不必是對稱矩陣,f也不必是某個數(shù)量值函數(shù)F的梯度.

    例4設(shè)A是m-階可逆矩陣,f:m→m連續(xù)且

    (1)

    則非線性代數(shù)方程組Ax=f(x)有解.

    設(shè)b∈m,常值映射f∶xb顯然滿足例4要求的條件.于是由例4可知當(dāng)A是可逆矩陣時(shí),非齊次線性方程組Ax=b有解.因此例4可以看作線性代數(shù)中的Cramer法則的非線性推廣.方程組Ax=f(x)的求解問題等價(jià)于求映射g∶xA-1f(x)的不動點(diǎn).運(yùn)用(1)可以找到充分大的r>0使這里是球心在原點(diǎn)半徑為r的閉球,于是可以應(yīng)用Brouwer不動點(diǎn)定理得到的不動點(diǎn).具體細(xì)節(jié)留給讀者.

    3 充分展現(xiàn)微積分的基本思想

    進(jìn)行多元微積分的教學(xué),當(dāng)然應(yīng)該透徹地講清楚微積分的基本思想,把它展現(xiàn)在學(xué)生面前.先來談微分學(xué),首先回顧一下非線性映射f∶m→n在點(diǎn)a∈m的導(dǎo)數(shù)的概念.如果有n×m矩陣A,使得當(dāng)h→0時(shí)

    f(a+h)-f(a)=Ah+o(|h|),

    (2)

    就稱f在點(diǎn)a可微;并將由此性質(zhì)唯一確定的A稱為f在a的(全)導(dǎo)數(shù),記為f′(a).熟知,A其實(shí)就是f在a點(diǎn)的Jacobi矩陣.當(dāng)然,也可以把A=f′(a)視為m到n的線性映射.

    從定義來看,線性映射f′(a)是非線性映射hf(a+h)-f(a)的近似,因此有時(shí)也稱其為f在a點(diǎn)的線性化.由于線性映射比非線性映射容易研究,很自然就希望能夠通過考察f′(a)來研究f.

    我們認(rèn)為微分學(xué)的基本思想就是通過研究非線性映射f∶m→n在點(diǎn)a的導(dǎo)數(shù)f′(a)來推斷f在a附近的局部性質(zhì).大體上說:f′(a)如何,f就大約如何(見例5).這里需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)的是,由于f在a點(diǎn)的可微性以及其導(dǎo)數(shù)的值都只與f在a點(diǎn)附近的行為有關(guān),所以只能期望得到f在a點(diǎn)附近的局部性質(zhì).下面來看一個典型的例子.為了方便起見,用Na表示含a的開集構(gòu)成的集族.

    例5設(shè)Ω∈Na,f∶Ω→n是Ck-映射.

    (i) 若f′(a)∶m→n可逆(必m=n),則f在a局部可逆.即有U∈Na及V∈Nf(a)使f∶U→V是雙射,且f-1也是Ck-映射;

    (ii) 若f′(a)∶m→n是滿射(必m≥n),則f在a局部滿.其確切含義是:b=f(a)是f(Ω)的內(nèi)點(diǎn).也就是說b點(diǎn)附近的點(diǎn)都在f的值域中,稱這個結(jié)論為局部滿射定理.特別地,如果對?x∈Ω,f′(x)都是線性滿射,則f(Ω)是n的開子集;

    (iii) 若f′(a)∶m→n是單射(必m≤n),則f在a局部單.

    注3 結(jié)論(i)正是反函數(shù)定理.結(jié)論(ii)、(iii)則是其推論;它們以及更一般的秩定理,都可以通過補(bǔ)充分量的方法轉(zhuǎn)化為相同維數(shù)的空間之間的映射,然后應(yīng)用反函數(shù)定理來證明.這是應(yīng)用反函數(shù)定理的典型手法.

    注4 例5是體現(xiàn)微分學(xué)基本思想的最佳范例:它很好地表現(xiàn)了f′(a)如何,f就大約如何這個思想.只有用向量值函數(shù),才能把它表達(dá)得如此簡練、清楚.如果按傳統(tǒng)的教法,只討論數(shù)量值函數(shù)(即n=1的情形),則情形(i)、(iii)不可能出現(xiàn),而情形(ii)也只在f′(a)≠0這個平凡的情形出現(xiàn),因此就沒法通過這個最佳范例展現(xiàn)微分學(xué)的基本思想,這無疑是一個巨大的損失.

    局部滿射定理、局部單射定理以及更一般的秩定理,對學(xué)生今后學(xué)習(xí)微分流形非常重要.因此在數(shù)學(xué)分析課中應(yīng)該不回避向量值函數(shù)、把這幾個并不困難的定理講清楚.這樣一來,數(shù)學(xué)分析的教學(xué)才能進(jìn)入廣闊的新天地.例如,鄭州大學(xué)馬建國編著的教材[7]中用局部滿射定理給出約束極值的Lagrange乘數(shù)法的一個有趣的幾何證明;注2中提到的工作[1]也是用局部滿射定理證明的.

    下面來談?wù)劧嘣瘮?shù)積分學(xué).積分學(xué)用于實(shí)際問題的關(guān)鍵是微元法,我們認(rèn)為這就是積分學(xué)的基本思想.至于各種積分的性質(zhì)和計(jì)算方法乃至它們之間的關(guān)系形成的整套理論體系,當(dāng)然也很重要,但大家在教學(xué)中都對此給予了足夠的重視.所以下面著重談一下微元法.

    例6(曲面的面積) 利用Gram-Schmidt正交化可以定義并證明m中以a為頂點(diǎn),以線性無關(guān)向量組為邊的平行2k-面體Pa[v]=Pa[v1,…,vk]的體積為

    (3)

    其中G=(v1,…,vk)是以vi為列向量的m×k矩陣.

    (ii) 模掉一個平移,x′(u0)∶k→m則將Pu0[du]映成S在x0=x(u0)的切空間Tx0S中的小2k-面體Px0[v].這里·x′(u0)εi.用Px0[v]的體積來近似dσ(這是微元法的要點(diǎn)),則得到面積微元

    dσ≈μ(Px0[v]) =du1…duk·μ(Px0[x′(u0)ε1,…,x′(u0)εk])

    (4)

    這里第二個等號用了(3).第一個等號用到由(3)容易推知的事實(shí):將平行2k-面體的某邊伸縮為原來的λ倍,則其體積變成原來的λ倍;見例8.

    很自然,當(dāng)u0跑遍U時(shí),把面積微元dσ累積起來,就得到m中k-維曲面S的面積

    運(yùn)用k-重積分換元公式,很容易證明上式右端的k-重積分與曲面S的參數(shù)表示的選擇無關(guān).因此這樣來定義m中k-維曲面S的面積是合理的.

    以下介紹的余面積公式通常并不是數(shù)學(xué)分析課的教學(xué)內(nèi)容,但是南京大學(xué)梅加強(qiáng)編著的教材[8]中對它做了簡單的介紹.鑒于這個公式非常有用,在課程中運(yùn)用學(xué)生正在學(xué)的常微分方程(在我校安排在二年級第1學(xué)期)的知識證明了余面積公式,見例13.這里先用微元法形式上做些推導(dǎo).

    例7(余面積公式) 設(shè)G?m是開區(qū)域,f∶G→.視Ω=f-1[a,b]為m中的物體,g:Ω→是密度函數(shù).則Ω的質(zhì)量

    任取t∈[a,b].在曲面f-1(t)上的點(diǎn)x取面元dσ.過x作法線交鄰近的曲面f-1(t+dt)于y.則

    dt=f(y)-f(x)≈?f(x)·(y-x),

    這里用到f在x的Taylor展開并略去高階無窮小量.由于?f(x)和y-x都是曲面f-1(t)在x處的法向量,即它們是共線的,在上式兩邊取模得到

    用x處的密度g(x)來近似代替以dσ為底,|y-x|為高的柱體中各點(diǎn)的密度.這柱體的體積dV和質(zhì)量dm分別等于

    將dm沿曲面f-1(t)積分,就得到環(huán)狀區(qū)域f-1[t,t+dt]的質(zhì)量

    現(xiàn)在在[a,b]上對t積分,就得到Ω的總質(zhì)量

    (5)

    這就是余面積公式.它其實(shí)就是化重積分為累次積分,只不過里層積分在一個曲面上進(jìn)行.

    注6 本例在兩個層次上運(yùn)用微元法.先取t方向的微元dt,然后在曲面f-1(t)上點(diǎn)x處取面積微元dσ,得出小柱體dV的質(zhì)量微元dm后對dσ積分得到環(huán)狀區(qū)域f-1[t,t+dt]的質(zhì)量dM,再對dt積分得到整個區(qū)域f-1[a,b]的質(zhì)量.因此,這是微元法比較復(fù)雜的應(yīng)用,但是把它介紹給學(xué)生能很好地加強(qiáng)對微元法的理解,從而提高運(yùn)用積分解決實(shí)際問題的能力.

    微元法的另一精彩應(yīng)用是由Gauss公式推導(dǎo)Archimedes浮力定律.這是歐陽光中等編著的教材[9]中的一道例題,也是陳紀(jì)修等編著的教材[10]中的一道習(xí)題.因此我們這里就略而不談了.

    4 不同課程之間融會貫通

    在我國大部分高校數(shù)學(xué)院系的課程設(shè)置方案中,數(shù)學(xué)分析3(即多元微積分)一般被安排在二年級第一學(xué)期.此時(shí),學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了線性代數(shù).傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析課運(yùn)用了一些線性代數(shù)的知識,主要限于用線性映射和矩陣表達(dá)非線性映射的導(dǎo)數(shù)(見(2))、用矩陣乘法表達(dá)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈鎖法則,以及通過考察函數(shù)在臨界點(diǎn)處的Hesse矩陣的正定性來研究極值.文[11]對微積分與線性代數(shù)教學(xué)的互相促進(jìn)關(guān)系做了很好的闡述.另外,在很多學(xué)校二年級第一學(xué)期的學(xué)生同時(shí)在學(xué)習(xí)常微分方程,但是根據(jù)對國內(nèi)外微積分或數(shù)學(xué)分析教學(xué)的了解,沒有看到將常微分方程的知識應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析教學(xué)的做法.

    在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)可以對數(shù)學(xué)分析的教學(xué)發(fā)揮更大的作用.此外,近年的教學(xué)中運(yùn)用學(xué)生剛剛掌握的常微分方程知識來處理數(shù)學(xué)分析中的一些重要問題,也取得了很好的效果.以下分別介紹這兩方面的典型例子.

    4.1 線性代數(shù)

    例8(初等矩陣的妙用) 在(3)中給出了m中的平行2k-面體體積的計(jì)算公式.在應(yīng)用中往往需要用到平行多面體的體積的性質(zhì),這些性質(zhì)可以利用公式(3)結(jié)合初等矩陣來得到.例如,討論m中k-維曲面的面積時(shí),在(4)式需要以下等式

    μ(Pa[v1,…,λvi,…,vk])=|λ|μ(Pa[v1,…,vi,…,vk]).

    例9(超曲面的法向量) 設(shè)U是m-1中的開集,來求m中以正則C1-映射x∶U→m為參數(shù)表示的曲面S在點(diǎn)x0=x(u0)的法向量N.

    對?h∈m-1,γ∶tx(u0+th)是S上過x0的曲線,其切向量為

    由于N與γ′(0)正交,有

    0=γ′(0)·N=(x′(u0)h)·N=hT([x′(u0)]TN).

    由h的任意性可知[x′(u0)]TN=0.法向量N至少有一個非零分量,于是此式實(shí)際上是以剩余m-1個分量為未知量的非齊次線性方程組.由x正則即rankx′(u0)=m-1可知此方程組的系數(shù)行列式非零,于是由Cramer法則可求出法向量

    注7 大部分?jǐn)?shù)學(xué)分析教材只用三維空間中向量的叉乘討論m=3的情形,有些教材(例如[8])運(yùn)用學(xué)生比較陌生的(m-1)個m-維向量的叉乘討論m-維情形.例9用學(xué)生熟悉的線性代數(shù)來研究,顯得更為自然.作為課后的練習(xí)還可以讓學(xué)生運(yùn)用關(guān)于k個含m-1個未知數(shù)的非齊次線性方程組的理論研究m中k-維曲面的法向量問題.

    定向是流形等一些數(shù)學(xué)對象的一個整體性質(zhì).常常說Jacobi行列式大于零的映射保持定向,指的是:設(shè)φ∶m→m,a∈m,detφ′(a)>0,若是Tam的正基,則是Tφ(a)m的正基.以下的例10從另一個重要的角度討論Jacobi行列式的符號與定向的關(guān)系.

    例10(Jacobi行列式的符號與定向) 設(shè)Ω和D是m中的光滑閉區(qū)域,φ∶Ω→D是微分同胚.設(shè)U是m-1中的開集,x∶U→?Ω是?Ω在點(diǎn)a∈?Ω附近的局部參數(shù)表示,熟知y=φ°x∶U→?D是?D在b=φ(a)附近的局部參數(shù)表示.若detφ′(a)>0,并且

    是?Ω在a點(diǎn)的外法向量,則

    是?D在b=φ(a)點(diǎn)的外法向量.

    注8 設(shè)N是?Ω在a∈?Ω的法向量.若有ε>0,使得當(dāng)t∈(-ε,0)時(shí)a+tN∈Ω°,就稱N是?Ω在a處的外法向量.例10的關(guān)鍵是證明D中的曲線γ∶tφ(a+tN)在b=φ(a)的切向量v與的夾角是銳角.為此運(yùn)用了扁矩陣與瘦矩陣之積的行列式的Cauchy-Binet公式,以及A*A=(detA)Im等線性代數(shù)知識;這里A*是A的伴隨矩陣,Im是m-階單位陣.

    例11(重積分換元公式) 設(shè)D和Ω是m中Jordan可測的有界閉區(qū)域,φ∶Ω→D是C1-微分同胚.若f∈C(D),則有m-重積分的換元公式

    (6)

    重積分換元公式的證明是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中比較困難的問題.do Carmo的名著[12]中有一道習(xí)題,讓讀者用Green公式證明二重積分換元公式.受其啟發(fā),[2]中把這道習(xí)題的思想推廣到高維,用數(shù)學(xué)歸納法給出m-重積分換元公式(6)的一個比較簡單的證明.

    其中x∶U→m是曲面S的參數(shù)表示,N是由此參數(shù)表示按例9給出的S的法向量場.由歸納假設(shè),即(m-1)-重積分換元公式,容易證明上式右端與S的參數(shù)表示的選擇無關(guān).

    然后,利用化重積分為累次積分容易證明m-維散度定理.最后利用散度定理證明m-重積分換元公式,這時(shí)需要用到Cauchy-Binet公式,行列式按行展開等線性代數(shù)知識.

    注9 與劃分積分區(qū)域并估計(jì)每個小塊變換后的體積,進(jìn)而研究Riemann和的傳統(tǒng)證明相比,在[2]中給出的上述證明完全是巧妙的計(jì)算,便于課堂講授,學(xué)生也容易掌握.這個證明基于鏈法則和微積分基本定理(即散度定理),在思想上與一元情形(即定積分)是一脈相承的.因此,有一定理由相信這是證明重積分換元公式最合理的辦法.

    在證明的過程中,順便建立了(第一類)曲面積分的理論,包括m-維的散度定理.因此從需要的學(xué)時(shí)來看,可能比其他方法會節(jié)省一些.利用曲面的參數(shù)表示將曲面積分定義為參數(shù)區(qū)域上的(m-1)-重積分,是近些年來很多數(shù)學(xué)分析教材(例如[8,9,13,14])采用的做法.當(dāng)然,這些教材需要先用其他方法證明重積分換元公式,以保證曲面積分的定義與曲面的參數(shù)表示的選擇無關(guān).

    注10 在證明中,當(dāng)Ω是球體時(shí),只要求換元映射φ將?Ω微分同胚地映成?D,也就是說φ∶Ω→D可以既不單也不滿.于是,用[15]中的想法立刻就得到m-維Brouwer不動點(diǎn)定理.據(jù)我所知,國內(nèi)外出版的數(shù)學(xué)分析教材中幾乎都沒能探討高維的Brouwer不動點(diǎn)定理,除非先花大量篇幅介紹微分流形、微分形式以及流形上的積分和Stokes公式(見Zorich [16]). 張筑生教授的教材[17]用Green公式證明了二維的Brouwer不動點(diǎn)定理.關(guān)于Brouwer不動點(diǎn)定理的其他初等證明(即只用微積分),可見[18-19].

    4.2 常微分方程

    設(shè)g∈C1(m),?x∈S=g-1(0)有?g(x)≠0,則S是m中的光滑曲面,設(shè)p∈S.眾所周知,?g(p)與S上任一經(jīng)過p點(diǎn)的曲線γ的切向量γ′(0)都正交,因此?g(p)是S在p點(diǎn)的法向量.一個自然的問題是:設(shè)h∈m,?g(p)·h=0,S上是否有經(jīng)過p點(diǎn)的曲線以h為切向量?這個問題與約束極值的Lagrange乘數(shù)法有關(guān).對此,有如下結(jié)果.

    例12設(shè)g∈C2(m,n),p∈S=g-1(0),rankg′(p)=n.若g′(p)h=0,則有C1-映射γ∶(-ε,ε)→S使γ(0)=p且γ′(0)=h.

    利用這個結(jié)論,可以研究f∈C1(m)在約束條件g(x)=0下的約束極值問題,證明Lagrange乘數(shù)法.一些數(shù)學(xué)分析教材運(yùn)用隱函數(shù)定理給出例12的證明,這是隱函數(shù)定理的漂亮應(yīng)用,課上當(dāng)然也會講.但是.我們還運(yùn)用常微分方程的方法給出如下證明.

    γ′(t)=Y(γ(t)),γ(0)=p

    (7)

    有解γ∶(-ε,ε)→m,顯然γ(0)=p,γ′(0)=Y(p)=h.

    用Gram-Schmidt正交化將向量場Y用?gi線性表示,并利用(7)以及g′(p)h=0容易驗(yàn)證(g°γ)′(t)=0.故g(γ(t))=g(p)=0,即γ(-ε,ε)?S.

    注11 要求g∈C2(m,n)是為了對(7)應(yīng)用常微分方程解的存在唯一性定理.如果用隱函數(shù)定理來證明的話,只需要求g∈C1(m,n).上述證明是受[20]第3章啟發(fā)做出的,那里考慮的是n=1的情形,此時(shí)

    在例7中曾用微元法導(dǎo)出余面積公式.作為常微分方程對數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用的另一個例子,現(xiàn)在來證明余面積公式.

    例13(余面積公式) 設(shè)G?m為有界開集,f∈C2(G),Ω=f-1[a,b].對任意x∈Ω有?f(x)≠0.若g∈C(Ω),則

    證為簡單起見只考慮f-1(a)有統(tǒng)一的參數(shù)表示的情形,設(shè)φ∶U→m是其參數(shù)表示.利用常微分方程初值問題

    (8)

    的解x=x(t,p)可構(gòu)造微分同胚T∶U×[a,b]→Ω,(u,t)x(t,φ(u)).利用行列式按列展開、共線向量內(nèi)積的絕對值等于它們的模之積以及(8),容易算出

    這里Nt是曲面f-1(t)的參數(shù)表示uT(u,t)按照例9的方式確定的法向量.于是由重積分換元公式和化重積分為累次積分即得

    注12 上述余面積公式的證明與我的研究領(lǐng)域臨界點(diǎn)理論[5]中的形變引理有密切關(guān)系.這個證明也可以看作伍洪熙等教授的書[21]第11章講述的Riemann流形上的余面積公式在歐氏空間情形的初等版本.然而[21]中的證明需要很多微分流形和Riemann幾何方面的預(yù)備知識,所以需要把這些高級的概念解包,整理成上述的初等證明,其中的一個關(guān)鍵之處是上述證明中提及的對detT′(u,t)的巧妙計(jì)算.給出的這個改編的證明把常微分方程、線性代數(shù)完美地結(jié)合起來,很值得玩味,應(yīng)該會使學(xué)生受到很大的啟發(fā).

    注13 在2018年秋季講完余面積公式后,很驚喜地發(fā)現(xiàn)有學(xué)生運(yùn)用這個公式給出如下關(guān)于等值面的Catalan公式的極簡證明:設(shè)f∈C1(n),對?v∈,等值面f-1(v)都是封閉曲面,設(shè)其所圍立體的體積為F(v),并且F∈C1[a,b].則

    當(dāng)n≤3時(shí),Catalan公式是林源渠、方企勤的習(xí)題集[22]中的題目.由于相應(yīng)教材中沒講余面積公式,我的學(xué)生用余面積公式給出的證明當(dāng)然不是[22]的作者期望的證明.

    在數(shù)學(xué)分析課中系統(tǒng)地運(yùn)用常微分方程的知識,應(yīng)該說是一個大膽的嘗試,在全世界可能都沒有先例.在我國大部分高校,常微分方程與數(shù)學(xué)分析3都在二年級第一學(xué)期開設(shè),因此,在數(shù)學(xué)分析3中運(yùn)用常微分方程的知識是完全可行的.筆者認(rèn)為這樣做有助于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體觀念和融會貫通地運(yùn)用不同課程的知識來解決問題的能力.

    5 結(jié) 論

    數(shù)學(xué)類本科生在一年級主要學(xué)習(xí)一元微積分和線性代數(shù).這兩門課分別關(guān)注一維和高維,不太可能有實(shí)質(zhì)性的交叉融合;因此一年級應(yīng)該是打基礎(chǔ)的階段.但是正如已經(jīng)看到的,在二年級第一學(xué)期,線性代數(shù)和常微分方程可以很自然地進(jìn)入數(shù)學(xué)分析的教學(xué),得到豐富多彩的結(jié)果.現(xiàn)在看來多元微積分應(yīng)該是學(xué)生接觸的第一門綜合性的課程.這樣的交叉融合,也有利于學(xué)生更好地理解線性代數(shù)和常微分方程.此外,很多學(xué)校的普通物理課在一年級第二學(xué)期和二年級第一學(xué)期開設(shè),因此,正如[23]所倡導(dǎo)的,多元微積分的教學(xué)還可以與學(xué)生正在學(xué)習(xí)的物理學(xué)結(jié)合起來,使學(xué)生對數(shù)學(xué)和物理都有更好的理解.

    本文中多次強(qiáng)調(diào),數(shù)學(xué)分析中應(yīng)該重視向量值函數(shù).在注4中清楚地表明:對向量值函數(shù)避而不談或講得不夠,就很難向?qū)W生充分展現(xiàn)微分學(xué)的基本思想.如果不熟悉向量值函數(shù),學(xué)生也將錯過數(shù)學(xué)分析中很多精彩的內(nèi)容.在二年級第一學(xué)期,學(xué)生已經(jīng)學(xué)完高等代數(shù),不應(yīng)該對處理向量和向量值函數(shù)有實(shí)質(zhì)性的困難.也許是因?yàn)楝F(xiàn)有的大部分?jǐn)?shù)學(xué)分析教材都回避向量值函數(shù)(或把它作為選學(xué)內(nèi)容)的原因,有些教師擔(dān)心學(xué)生接受不了;這種保守的觀念應(yīng)該改變.

    本文談到的這些體會和看法,雖然是這幾年為廈門大學(xué)入選拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃的優(yōu)秀學(xué)生講授多元微積分的過程中對這門課進(jìn)行思考和探索而產(chǎn)生的,但是筆者認(rèn)為這些想法和做法也完全適合其他的學(xué)生(包括非重點(diǎn)院校的數(shù)學(xué)類本科生).其理由是:在二年級第一學(xué)期,各類學(xué)生在知識儲備上幾乎沒有差別.今后,希望能有機(jī)會把筆者對本門課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到更廣泛的學(xué)生群體,為數(shù)學(xué)教育事業(yè)做出應(yīng)有的貢獻(xiàn).

    致謝作者對多元微積分教學(xué)的想法曾得到北京大學(xué)張恭慶院士的關(guān)心并受他邀請到北京大學(xué)做報(bào)告.本文部分內(nèi)容曾在一些高校為本科生做報(bào)告,并應(yīng)樓紅衛(wèi)教授邀請?jiān)趶?fù)旦大學(xué)舉辦的數(shù)學(xué)分析教學(xué)研討會報(bào)告.作者衷心感謝張恭慶院士、樓紅衛(wèi)教授,以及安排作者與本科生交流的有關(guān)高校.此外,作者感謝審稿專家提出的寶貴意見.

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