三次數(shù)學危機作為高等數(shù)學第一課的教學探索與實踐

董 樂， 朱亞麗， 馬迎賓

(河南師范大學 數(shù)學與信息科學學院，河南 新鄉(xiāng)453000)

1 引 言

高等數(shù)學課程是我國理工科非數(shù)學專業(yè)的公共基礎課，其核心內(nèi)容為“微積分”.因為此課程內(nèi)容具有廣泛的應用性，為后續(xù)課程的學習提供了必要的數(shù)學工具；但同時它還有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，所以學生在學習的時候會感覺有些不適應.

這門課程通常在大學一年級開設，而剛走出高中、走進大學的學生往往會有“數(shù)學就是做題”的片面認識，遇到困難又容易產(chǎn)生畏難心理.并且他們的計算能力普遍強于證明能力，邏輯推理水平不高，嚴密嚴謹性把握不準確.教師如果僅僅按照教材照本宣科，或只重視做題能力的培養(yǎng)，學生難免會覺得枯燥乏味，抽象困難，對后續(xù)課程的學習也會造成影響，印證“難學”的說法.數(shù)學史融入數(shù)學教學可讓學生認識所學知識的發(fā)展歷程，從而更加深刻地理解概念本身，厘清邏輯關(guān)系，并增加教學趣味性[1-2].

此外，三次數(shù)學危機也能培養(yǎng)學生的質(zhì)疑精神，讓學生懂得危機與機遇并存，只要堅持科學的理念、正確的方法，自強不息，不斷探求、解決遇到的危機與困難，就能不斷突破，戰(zhàn)勝自我，從而使本節(jié)課成為課程思政的典型案例.

2 三次數(shù)學危機簡介

公元前六世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派提出“萬物皆數(shù)”的哲學理念，認為萬物按照一定的數(shù)量比例構(gòu)成和諧的秩序.這里的數(shù)量比例指的是互素整數(shù)的比，也就是常說的既約分數(shù)，所以畢達哥拉斯學派聲稱的“數(shù)”指的就是今天所說的有理數(shù)，他們稱其為可公度的.畢達哥拉斯定理，在中國稱為“勾股定理”，但正是這一定理得到了當時無法解釋的結(jié)果.學派中一位叫希帕索斯的門徒發(fā)現(xiàn)，對于直角邊長為1的等腰直角三角形來說，其斜邊的長無法寫成兩互素整數(shù)比的形式，即若a2=2，則a是不可公度的.這就與“萬物皆數(shù)”的說法相矛盾，第一次數(shù)學危機爆發(fā).

解決第一次數(shù)學危機并不僅僅是承認無理數(shù)存在那么簡單，還要對無理數(shù)的本質(zhì)進行準確地刻畫，但囿于數(shù)學發(fā)展水平，這種刻畫在當時是無法真正給出的.

第二次數(shù)學危機產(chǎn)生于17至18世紀，基于古代數(shù)學中割圓術(shù)、窮竭法的思想和當時科學技術(shù)發(fā)展的需要，一些科學家對求最大最小值、求曲線長度等問題的研究日漸深入，而最終牛頓和萊布尼茨兩人成為集大成者，分別由速度、加速度問題和切線問題出發(fā)獨立地構(gòu)建了微積分系統(tǒng).牛頓與萊布尼茨的方法可以解決較以前來說更為廣泛的問題，并使微積分不再是古希臘幾何的附庸和延展，而是一門獨立的科學[3].但當時微積分的理論基礎并不牢固，甚至可以說非常脆弱.許多證明被攻擊為不可靠的，或者是不嚴密的.英國的貝克萊主教稱微分法是忽略了高階無窮小才消除了誤差，因此是“依靠雙重錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結(jié)果”[3]，甚至挖苦說無窮小量是“消逝量的鬼魂”[4].這樣，有關(guān)微積分基礎的爭論導致了第二次數(shù)學危機的爆發(fā).

之后，許多杰出的數(shù)學家嘗試進行微積分的嚴密性工作.柯西的《代數(shù)分析教程》和《無窮小分析教程概論》邁出了微積分嚴密化的關(guān)鍵一步，但其中“無限趨近”和“要多小有多小”這樣的非形式化表述表明嚴密化的不徹底性.直到19世紀，魏爾斯特拉斯給出了極限和連續(xù)的“ε-δ”語言定義，并將導數(shù)、積分等概念嚴格地定義在極限的基礎上，第二次數(shù)學危機的結(jié)束才成為可能，魏爾斯特拉斯也獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號[5].

為了對極限理論進行完善，魏爾斯特拉斯在1860年提出用遞增有界數(shù)列來定義無理數(shù).1872年和1883年，戴德金和康托爾又分別用分割和基本序列來定義無理數(shù).這些努力都證明了實數(shù)系的完備性，標志著分析算術(shù)化運動的完成，也宣告了第一次數(shù)學危機的最終結(jié)束[5].在分析的嚴格化過程中，無窮多個元素組成的集合成為無法回避的重點概念.康托爾在研究“函數(shù)的三角級數(shù)表達式的唯一性問題”時接觸到了無窮點集，隨后一步步地發(fā)展出一般集合的概念，并把集合論發(fā)展成為一門獨立的學科[6].而隨著集合論占統(tǒng)治地位，現(xiàn)代數(shù)學時代正式到來.康托爾的超限基數(shù)與超限序數(shù)理論在數(shù)學界引起軒然大波，但最終獲得認可，并飽受贊譽.不料，羅素悖論橫空出世，它是那么地簡潔明晰，而且所涉及的正是集合論中最重要的方面，所以給予已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學基礎并被大部分數(shù)學家認可的集合論以致命一擊，直接導致了第三次數(shù)學危機.

為解決危機，德國數(shù)學家策梅羅把集合作為不加定義的原始概念，并規(guī)定滿足他給出的幾條公理，在弗蘭克爾的改進下形成了“策梅羅-弗蘭克爾集合論公理系統(tǒng)”，簡稱“ZF系統(tǒng)”.此外，馮·諾依曼等人通過另一種排除悖論的方式構(gòu)建了所謂的“NBG系統(tǒng)”.但是將集合論建立在一系列公理之上，引起了許多數(shù)學家的非議，這些公理的合理性爭論一直延續(xù)至今.

三次數(shù)學危機分別以“希帕索斯悖論”、“貝克萊悖論”和“羅素悖論”為導火索，是數(shù)學發(fā)展到一定階段，在一定的背景下產(chǎn)生的認識上的“觀念危機”[7].而且，危機都涉及到了整個數(shù)學的基礎部分[8]，并危及眾多重要數(shù)學成果的正確性，成為無法回避的矛盾，從而引起數(shù)學界的高度重視.為了化解危機，許多杰出數(shù)學家做了大量工作，從各個角度進行了多次的嘗試，而且往往歷經(jīng)漫長的歷史時期才結(jié)束危機.每一次的“轉(zhuǎn)危為安”，都會使數(shù)學前進一大步，使人類的數(shù)學理念得到更新和升華，并且得到許多“副產(chǎn)品”，出現(xiàn)更多的與當前時代緊密相連的數(shù)學分支，促進科學技術(shù)更快更好地發(fā)展[9-10].

3 教學設計與實踐

馬克思主義哲學家阿爾都塞認為科學的危機實質(zhì)上是科學家自發(fā)的哲學的危機，又與實踐的意識形態(tài)相關(guān)聯(lián)，這就使得哲學成為了應對與化解科學危機的主戰(zhàn)場[11].用三次數(shù)學危機作為高等數(shù)學課程的第一課，可以加深學生對數(shù)學本質(zhì)的認識，其教學設計按照時間順序，由第一次數(shù)學危機開始，到第三次數(shù)學危機結(jié)束.本節(jié)給出對每次數(shù)學危機的設計思路、實施方案和實踐效果與反思，這些設計考慮了學生情況、課程特點、課程內(nèi)容與數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.1 第一次數(shù)學危機

3.1.1 設計思路

高等數(shù)學的授課對象為大一新生，他們剛剛經(jīng)歷過高考選拔，從高中進入大學學習.與中學側(cè)重知識傳授和方法應用不同，大學培養(yǎng)的學生要富有質(zhì)疑精神，對書本和老師給出的學習內(nèi)容要多問“為什么”.所以，高等數(shù)學的第一課應該培養(yǎng)學生的質(zhì)疑精神，告訴學生對學習內(nèi)容不能直接全盤接受，更不能人云亦云.而第一次數(shù)學危機的過程就是學生質(zhì)疑老師的過程，希帕索斯對“萬物皆(有理)數(shù)”的質(zhì)疑使無理數(shù)登上歷史舞臺，并最終形成了完備的實數(shù)系統(tǒng).

此外，大一學生的計算能力較強，而證明水平偏弱，對第一次數(shù)學危機的介紹可以培養(yǎng)學生的邏輯推理這一核心素養(yǎng)，培養(yǎng)“只有數(shù)學證明的命題才令人信服”的觀念.

3.1.2 實施方案

首先簡單介紹古希臘的重要哲學派別——畢達哥拉斯學派.該學派提出“數(shù)”是萬物的本源，而所稱的“數(shù)”其實僅是今天所說的有理數(shù)；并且，“畢達哥拉斯定理”享譽西方，即我國的“勾股定理”(經(jīng)典的證明方法中學已給出，這里不必贅述).

最后，老師將問題推廣，給學生留下思考題：

3.2 第二次數(shù)學危機

3.2.1 設計思路

第二次數(shù)學危機與高等數(shù)學課程內(nèi)容密切相關(guān)，對它的介紹可以直接回應學生初學時最大的困惑——為什么要用“ε-δ”語言來給出極限的定義.

歷史發(fā)展的順序是先有微積分應用于實際問題，后有極限的嚴格定義完善其理論基礎；但是一般教材都是極限定義在先，導數(shù)和積分在后.如果老師按照這樣的順序講授，就會使學生不知道為什么極限要用如此抽象的方式定義，產(chǎn)生畏難心理或者逆反心理，并對后面的學習造成負面影響.而如果先講導數(shù)和積分，后講極限，那么導數(shù)和積分的定義將無法講授，因為它們都是通過極限給出定義的.

介紹第二次數(shù)學危機，通過講述貝克萊對無窮小的譏諷、牛頓與萊布尼茨的束手無策、柯西等人的不懈努力和魏爾斯特拉斯的另辟蹊徑，可以使學生了解歷史的真相，一起感受無窮小嚴格定義難產(chǎn)的無奈，最終體會到極限“ε-δ”語言定義的必然性和巧妙所在.

3.2.2 實施方案

微積分的出現(xiàn)是歷史的必然.老師首先需要指出，在費馬等一批數(shù)學家工作的基礎之上，牛頓和萊布尼茨建立了較為完善的微積分系統(tǒng)，但是仍有一些關(guān)鍵性問題無法解釋清楚.

這時拋出貝克萊對牛頓責難的“求xn的流數(shù)(導數(shù))”的例子[6]，其中符號與現(xiàn)代記法保持一致：

為了求xn的流數(shù)，假設在相同的時間內(nèi)，x通過流動變化為x+Δx，即x有增量Δx，同時xn變化為

貝克萊指責說，在過程中先取一個非零的Δx進行計算，最終卻又讓它“消失”，這本身就是一個前后矛盾的推理，并稱這些消失的增量為“消逝量的鬼魂”，甚至稱牛頓是“瞪著眼睛說瞎話”，“從兩個互相矛盾的假設，不可能得出任何合理的結(jié)論.”

老師應該說明，此處的Δx實際上是趨于零的，也就是后面將要學到的極限為零的無窮小量，牛頓和萊布尼茨都曾經(jīng)嘗試給出無窮小量的準確描述，但是都失敗了.第一次數(shù)學危機產(chǎn)生之后，一些數(shù)學家將代數(shù)中的“數(shù)”和幾何中的“量”分離開來，導致了代數(shù)與幾何的脫離，并一度使幾何幾乎成為數(shù)學發(fā)展的全部；第二次數(shù)學危機中，有的數(shù)學家(例如麥克勞林)也嘗試用幾何建立流數(shù)學說，從而回擊貝克萊，但更多的數(shù)學家(例如歐拉和拉格朗日)則依靠代數(shù)表達式的形式演算.

為了和后面極限的內(nèi)容接軌，老師需指明化解第二次數(shù)學危機的關(guān)鍵點.牛頓去世近一百年后，柯西從定義“變量”和“函數(shù)”出發(fā)，利用極限的概念定義無窮小量，他稱“無窮小”就是收斂到極限0的變量，而極限的定義則是“當一個變量逐次所取的值無限趨近一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小有多小，這個定值就叫做所有其他值的極限.” 雖然柯西用極限定義無窮小使微積分嚴格化進程前進了一大步，但其給出的極限定義不夠嚴謹，其中“無限趨近”和“要多小有多小”無法嚴格界定.德國人魏爾斯特拉斯也指出“一個變量趨近一個極限”的說法，會讓人想起時間和運動，這樣會使人認為討論是在物理背景下進行的.

最后老師的介紹以魏爾斯特拉斯的工作結(jié)束，但不宜給出其極限定義的細節(jié)，而只需給出三個方面的說明：①擺脫時間、運動等物理元素；②奠基在算術(shù)概念的基礎上，擺脫幾何的束縛；③終止了第二次數(shù)學危機.細節(jié)在后面講授極限部分的時候再給出.

3.3 第三次數(shù)學危機

3.3.1 設計思路

許多高等數(shù)學教材從集合講起，而集合的概念學生在中學已經(jīng)學過，大多認為此概念相對簡單.但是，這一概念是現(xiàn)代數(shù)學的基礎之一，而且正是這一看似簡單的概念導致了第三次數(shù)學危機，動搖了數(shù)學的基礎.

對第三次數(shù)學危機的介紹可以使學生更深刻地理解集合的概念，并且提醒學生這一“簡單”的概念其實并不簡單，使學生重視對集合的學習.

3.3.2 實施方案

“高等數(shù)學”課程并不強調(diào)實數(shù)的完備性，所以老師在設計第二次危機之后數(shù)學發(fā)展的銜接時，只需介紹康托爾的研究導致了集合論的誕生.

接著便可以讓“羅素悖論”登場了.基于認知情況，老師可以先給出“理發(fā)師悖論”這一通俗化的形式：一個鄉(xiāng)村理發(fā)師，只給所有不給自己刮臉的人刮臉，那么他是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，那么按規(guī)定他不能給自己刮臉；如果他不給自己刮臉，那么他需要給自己刮臉.然后再給出其集合形式：集合S由一切不是自身元素的集合所組成，那么S是否屬于S呢？如果S屬于S，按定義它不能屬于S；如果S不屬于S，則它又屬于S.顯然這不符合“排中律”，也徹底攻擊了集合的“確定性”原則，第三次數(shù)學危機爆發(fā)了.

解決第三次數(shù)學危機的方案不宜作為課堂講授的重點，老師可以簡述為：康托爾本人其實早就發(fā)現(xiàn)了問題，稱不能說“由一切集合所成的集合”；后期策梅洛和馮·諾依曼等人又給出了公理化集合論的方案，但是公理化集合論的相容性尚未證明.

3.4 實踐效果

三次數(shù)學危機都是數(shù)學發(fā)展到一定階段，對關(guān)鍵問題出現(xiàn)的“認識危機”，客觀反映了人類對數(shù)學的認知規(guī)律，其矛盾點或與高等數(shù)學內(nèi)容關(guān)系密切，與大學新生的學情契合.筆者團隊歷經(jīng)三年，對計算機類專業(yè)、化學類專業(yè)等15個班1300余名學生進行了探索實踐，與之前傳統(tǒng)第一課模式授課班級比較，學生通過了解數(shù)學史實，對高等數(shù)學的內(nèi)容產(chǎn)生了更為濃厚的興趣，并且在以后的學習中明顯重視定義出現(xiàn)的背景和定理的證明，也表現(xiàn)出了明顯的探索精神和質(zhì)疑精神.通過問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，89.58%的學生認為三次數(shù)學危機作為高等數(shù)學第一課可以提升學習數(shù)學的興趣，反過來認為不可以的僅占2.08%；有89.36%的學生認為數(shù)學史引導提升了自己的探索精神，反過來認為沒有提升探索精神的僅占4.26%；有93.75%的學生希望老師在教學過程中適當加入數(shù)學史內(nèi)容，反過來不希望的學生僅占4.17%.從這些數(shù)據(jù)可以看出，三次數(shù)學危機作為高等數(shù)學第一課，不僅提升了學生學習高等數(shù)學的興趣，而且培養(yǎng)了學生的探索精神，達到了預期的目標.通過對提出反面意見學生的個人訪談，一般認為課堂中加入的數(shù)學史內(nèi)容與具體專業(yè)學情結(jié)合還不充分，這些意見為筆者團隊下一步工作指明了方向.

圖1 問卷調(diào)查主要問題結(jié)果餅圖

4 結(jié) 論

三次數(shù)學危機作為數(shù)學史上的重要事件，有推動數(shù)學發(fā)展的重要作用.用三次數(shù)學危機作為高等數(shù)學課程的第一課，除了使學生了解相關(guān)史實之外，還會對課程中極限、連續(xù)、導數(shù)、微分等概念的學習有較大幫助，并提醒學生注意集合等基礎概念的學習和理解.根據(jù)筆者的具體實踐，學生了解了數(shù)學發(fā)展中的矛盾與碰撞，便獲悉了概念產(chǎn)生的前因后果，明白了證明對于命題的重要性，初學時的困惑大大減少，學習成績也有明顯的提升.

更重要的是，這種第一課的講授方式還會培養(yǎng)學生的質(zhì)疑精神和嚴謹理念，讓學生了解到萬事萬物發(fā)展過程中都會遇到問題和危機，這些危機大多都是“認識危機”，也正是這些觸及根本的危機帶來了跨越性發(fā)展和本質(zhì)性提高.讓學生明白已有的知識、結(jié)果、方法并非是終極真理，數(shù)學也一直在向前發(fā)展，為之后獨立思考和大膽創(chuàng)新打下堅實的基礎.

致謝作者非常感謝審稿人提出的問題和建議，感謝參考文獻所提供的優(yōu)質(zhì)素材和啟發(fā)，本文是作者團隊在前人豐富研究成果的基礎之上所得.