基于載荷相互作用效應(yīng)的Corten-Dolan改進(jìn)模型

劉其鵬，高月華，李永華

(1.大連交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,遼寧 大連 116028；2.大連交通大學(xué) 機(jī)車車輛工程學(xué)院,遼寧 大連 116028；3.南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院,江西 南昌 330063)

隨著高速鐵路的發(fā)展，軌道車輛關(guān)鍵部件的疲勞破壞問題突顯出來[1-3]。結(jié)構(gòu)的疲勞破壞影響軌道車輛的運輸安全，甚至可能會造成難以估量的嚴(yán)重后果。因此，尋求有效的疲勞壽命預(yù)測方法具有非常重要的工程意義。

對于軌道車輛的實際運營狀態(tài)，其結(jié)構(gòu)的承載狀態(tài)多為變幅載荷作用。在變幅載荷作用下，車輛結(jié)構(gòu)的疲勞累積損傷計算及壽命預(yù)測極為重要。疲勞累積損傷理論模型主要分為線性累積損傷理論和非線性累積損傷理論兩大類[4]。線性累積損傷理論以Miner法則為代表，假定疲勞損傷與循環(huán)比成線性關(guān)系，且與載荷等級次序無關(guān)。由于其概念清晰，公式簡單，許多著名的疲勞設(shè)計和評估標(biāo)準(zhǔn)仍在使用[5]。然而，Miner法則沒有考慮載荷次序及相互作用效應(yīng)，導(dǎo)致其對變幅載荷下疲勞壽命的預(yù)測精度較低[6]。

與常幅載荷相比，變幅載荷下疲勞損傷演化的最大特點在于載荷之間的相互作用效應(yīng)對疲勞壽命的影響顯著。載荷之間的相互作用效應(yīng)是指疲勞損傷與應(yīng)力加載歷史的相關(guān)性[7]，即當(dāng)前載荷下所產(chǎn)生的損傷不僅與當(dāng)前狀態(tài)相關(guān)，而且與前序的載荷大小、加載次序等密切相關(guān)。軌道車輛結(jié)構(gòu)及部件承載著比較復(fù)雜的變幅載荷作用，進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測時，載荷間的相互作用是不可忽視的。

為了提高疲勞壽命預(yù)測的準(zhǔn)確度，學(xué)者們提出了諸多非線性累積損傷模型[6,8]，其中Corten-Dolan模型[9]能夠考慮小載荷的影響，在工程中得到了較多的關(guān)注和應(yīng)用[10-17]。Corten-Dolan公式中的參數(shù)d的合理確定是該模型理論和應(yīng)用的關(guān)鍵所在，最早參數(shù)d認(rèn)為是材料常數(shù)，通過二級加載試驗確定[9]。后來學(xué)者們發(fā)現(xiàn)該參數(shù)不僅與材料屬性有關(guān)，還與應(yīng)力水平[10]、剩余強(qiáng)度[12]、加載次序及載荷作用效應(yīng)[13,17]、損傷程度和應(yīng)力狀態(tài)[15-16]等密切相關(guān)，并提出了相應(yīng)的改進(jìn)模型。這些Corten-Dolan改進(jìn)模型中關(guān)鍵參數(shù)d能體現(xiàn)載荷間的相互作用，但是針對載荷幅值及加載順序變化的情況，其疲勞壽命的預(yù)測結(jié)果仍具有較大的分散性，需進(jìn)一步深入研究。

作為軌道車輛結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測的基礎(chǔ)性研究，本文對Corten-Dolan公式中參數(shù)d的表達(dá)式進(jìn)行深入分析，在考慮小載荷、損傷程度和應(yīng)力狀態(tài)的基礎(chǔ)上引入應(yīng)力比的冪函數(shù)以表征載荷加載次序及載荷作用效應(yīng)的非線性影響，從而建立了改進(jìn)的Corten-Dolan非線性累積損傷模型?；谌N常用材料的變幅加載試驗數(shù)據(jù)，應(yīng)用全數(shù)據(jù)建模方案對本文改進(jìn)模型的預(yù)測精度進(jìn)行了驗證，并與既有模型進(jìn)行了對比分析。此外，提出了部分?jǐn)?shù)據(jù)建模-驗證的驗證方案，從應(yīng)用的角度考查本文改進(jìn)模型對未知數(shù)據(jù)的預(yù)測能力。

1 Corten-Dolan模型及既有改進(jìn)模型

根據(jù)Corten-Dolan模型，常幅載荷作用下的疲勞損傷公式為

D=mrna

(1)

對于變幅載荷情況，臨界損傷值通常用最大應(yīng)力σ1單獨作用下疲勞破壞的損傷值表示為

(2)

變幅載荷作用下，各級載荷作用產(chǎn)生損傷的總和達(dá)到臨界值時材料就發(fā)生疲勞破壞，因此有

(3)

式中：i表示第i級載荷。

Corten和Dolan基于上述損傷公式，結(jié)合冷拔絲鋼的大量兩級試驗，并對理論公式做出簡化后，得到兩級應(yīng)力下的壽命預(yù)測公式

(4)

式中：Ng為構(gòu)件在兩級載荷作用下總的循環(huán)次數(shù)(壽命)；N1為構(gòu)件在1級(最大)應(yīng)力單獨作用下的壽命；α為1級應(yīng)力作用的循環(huán)數(shù)占總循環(huán)數(shù)的比例?？紤]到損傷發(fā)展速率正比于應(yīng)力水平，Corten-Dolan進(jìn)一步將上式中的損傷比項改寫為應(yīng)力比的形式，即

(r2/r1)1/a=(σ2/σ1)d

(5)

式中：d為參數(shù)。因此兩級應(yīng)力循環(huán)下的壽命預(yù)測公式為

(6)

Corten-Dolan認(rèn)為上式可以直接推廣到多級應(yīng)力情況，即

(7)

為了方便公式在后續(xù)敘述和應(yīng)用中的方便，上式中的σ1、N1分別用σmax、Nmax替代，表示多級載荷中的最大應(yīng)力和最大應(yīng)力單獨作用下的疲勞壽命。

依據(jù)Miner線性損傷累積理論，可以給出類似的多級變幅載荷下疲勞壽命預(yù)測公式[10]

(8)

式中：p為根據(jù)等幅加載試驗得到的常數(shù)。

對比式(7)、式(8)可以看出，二者的差別僅在于指數(shù)項，前者為d后者為p。對于變幅加載情況式(8)給出的壽命預(yù)測結(jié)果通常誤差較大[10-16]。因此，如果式(7)中d不能恰當(dāng)?shù)亟o定，其預(yù)測結(jié)果也一定會很差。所以，參數(shù)d的合理表示和確定成為Corten-Dolan公式應(yīng)用的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[16]中將其定義為包含循環(huán)次數(shù)和應(yīng)力狀態(tài)的函數(shù)

(9)

式中：ni表示第i級應(yīng)力實際作用的循環(huán)次數(shù)；Ni表示第i級應(yīng)力對應(yīng)的常幅疲勞壽命；γ為材料相關(guān)的常數(shù)，可根據(jù)不同的試驗數(shù)據(jù)結(jié)合疲勞失效判據(jù)擬合確定。文獻(xiàn)[17]中進(jìn)一步考慮了應(yīng)力比的影響，給出

(10)

2 Corten-Dolan改進(jìn)模型

2.1 Corten-Dolan模型的深入分析

從式(1)可以看出，Corten-Dolan模型通過參數(shù)a構(gòu)建了損傷值與循環(huán)數(shù)之間的非線性關(guān)系，參數(shù)r既要體現(xiàn)應(yīng)力水平對損傷的影響，還要能考慮各級應(yīng)力之間相互作用的影響。式(5)將損傷系數(shù)轉(zhuǎn)化為應(yīng)力水平的表達(dá)式，該過程將參數(shù)a、以及應(yīng)力間相互作用的影響均轉(zhuǎn)化到參數(shù)d中進(jìn)行考慮。此外，從式(6)、式(7)中也可以看到，分母中的底數(shù)項只有各級應(yīng)力與最大應(yīng)力之間的相比項σi/σmax，因此各級應(yīng)力之間的相互影響只能通過指數(shù)d來考慮。

綜上，將參數(shù)d視為簡單的材料常數(shù)很難確定合理的d值。Corten-Dolan模型中參數(shù)d的合理確定，需要考慮三方面因素：①材料屬性；②損傷與循環(huán)(或循環(huán)比)之間的非線性關(guān)系；③載荷之間相互作用效應(yīng)的影響。一個合理的途徑是將d值表示為一個函數(shù)，將以上因素分為多項變量進(jìn)行考慮。模型式(9)中通過引入?yún)?shù)γ考慮了材料屬性的影響，通過引入循環(huán)比ni/Ni的e指數(shù)考慮了當(dāng)前損傷與循環(huán)比之間的非線性關(guān)系。模型式(10)則通過引入前后兩級加載的應(yīng)力比來考慮加載次序的影響，也在一定程度上體現(xiàn)了載荷之間的相互作用效應(yīng)，使得模型對變幅載荷作用下疲勞壽命預(yù)測的可信度得到了提升。但是參數(shù)d的確定仍需進(jìn)一步深入研究和改進(jìn)，特別是對載荷之間相互作用效應(yīng)的考慮方面。

2.2 考慮載荷間相互作用的Corten-Dolan改進(jìn)模型

變幅載荷下疲勞損傷演化及壽命預(yù)測的關(guān)鍵就在于載荷之間的相互作用效應(yīng)的考慮。一個有效的方案應(yīng)當(dāng)包含兩方面：①要有一個可靠的度量參數(shù)；②要對該參數(shù)的影響進(jìn)行充分考慮。

考慮到通過應(yīng)力比的形式來體現(xiàn)載荷間的相互作用效應(yīng)具有良好的預(yù)測性能[18]，本文改進(jìn)模型中亦采用應(yīng)力比作為基本變量對參數(shù)d進(jìn)行修正。既有的研究工作顯示載荷間的相互作用效應(yīng)對結(jié)構(gòu)累積損傷的影響并不是簡單的線性關(guān)系，而是復(fù)雜的非線性關(guān)系[7,19-20]。因此，在既有Corten-Dolan模型考慮小載荷、損傷程度和應(yīng)力狀態(tài)的基礎(chǔ)上，引入相鄰兩級應(yīng)力比的冪函數(shù)對關(guān)鍵參數(shù)d進(jìn)行修正以表征載荷間相互作用效應(yīng)的非線性影響。綜上，給出參數(shù)d的改進(jìn)表達(dá)式為

(11)

式中：當(dāng)i=1時，σi/σi-1=1?；谠撌?，改進(jìn)的疲勞壽命預(yù)測模型為

(12)

由式(12)可以看出，當(dāng)相鄰載荷為先低后高的載荷加載時，疲勞壽命非線性增加；當(dāng)相鄰載荷為先高后低的載荷加載時，預(yù)測壽命非線性減小。

通過進(jìn)一步分析，引入?yún)?shù)k可將式(9)～式 (11)中的參數(shù)d的表達(dá)式進(jìn)行統(tǒng)一，表示為

(13)

式中：k=0時對應(yīng)文獻(xiàn)[16]所提出的改進(jìn)式(9)；k=1時對應(yīng)文獻(xiàn)[17]所提出的改進(jìn)式(10)；而k=2時對應(yīng)本文所提出的改進(jìn)模型式(11)。

3 算例及對比分析

為驗證本文Corten-Dolan改進(jìn)模型的有效性及對未知數(shù)據(jù)的預(yù)測能力，基于熱軋16Mn鋼[21]、標(biāo)準(zhǔn)45號鋼和標(biāo)準(zhǔn)16Mn鋼的試驗數(shù)據(jù)[22]進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測，并將不同模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析。熱軋16Mn鋼兩級載荷下的疲勞損傷試驗在旋轉(zhuǎn)彎曲疲勞試驗機(jī)上進(jìn)行，采用的大圓弧試樣的棒材[21]。標(biāo)準(zhǔn)45號鋼和標(biāo)準(zhǔn)16Mn鋼的試驗在PLD-10型10 t高頻疲勞試驗機(jī)上進(jìn)行，采用大圓弧試樣的棒材，為恒應(yīng)力幅和對稱加載[22]。三種材料的試驗溫度均為室溫，試驗方法為先在第一級應(yīng)力水平下作用n1次, 然后第二級應(yīng)力接著作用直到破壞，得到第二級應(yīng)力下的剩余循環(huán)次數(shù)。

各材料的試驗數(shù)據(jù)見表1，其中熱軋16Mn鋼和標(biāo)準(zhǔn)45號鋼的試驗數(shù)據(jù)載荷次序發(fā)生變化，而幅值沒有變化(如熱軋16Mn鋼：高幅載荷為394 MPa，低幅載荷為345 MPa)。而對于標(biāo)準(zhǔn)16Mn鋼的試驗數(shù)據(jù)，在載荷次序發(fā)生變化的同時載荷幅值也發(fā)生了變化。對于高-低載荷加載模式1～模式5，高幅載荷為562.9 MPa，低幅載荷為392.3 MPa；對于低-高載荷加載模式6～模式8，高幅載荷為392.3 MPa，低幅載荷為372.7 MPa。這種載荷幅值及載荷次序均變化的加載模式與工程實際的載荷情況更加一致。

表1 不同材料基于本文改進(jìn)模型的壽命預(yù)測結(jié)果

3.1 疲勞壽命預(yù)測結(jié)果的對比分析

依據(jù)式(12)，基于熱軋16Mn鋼、標(biāo)準(zhǔn)45號鋼以及標(biāo)準(zhǔn)16Mn鋼的全部試驗數(shù)據(jù)對參數(shù)γ進(jìn)行反演分析(全數(shù)據(jù)建模方案)，并計算相應(yīng)的參數(shù)d和壽命預(yù)測結(jié)果。表1給出了熱軋16Mn鋼和標(biāo)準(zhǔn)45號鋼的壽命預(yù)測結(jié)果。d2為式(13)k=2時的值，(∑np)/Ng表示試驗壽命與預(yù)測壽命的比值，二者均為無量綱量。由表1結(jié)果可以看出，本文模型的預(yù)測結(jié)果比較接近試驗結(jié)果,具有較高的預(yù)測精度。

針對熱軋16Mn鋼、標(biāo)準(zhǔn)45號鋼以及標(biāo)準(zhǔn)16Mn鋼材料，將本文改進(jìn)模型對疲勞壽命的預(yù)測結(jié)果與文獻(xiàn)[16-17]中模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了對比，見圖1。

圖1 采用不同模型預(yù)測疲勞壽命對比

從圖1(a)可以看出，對于熱軋16Mn鋼，前5種加載模式(載荷由高到低)下，本文改進(jìn)模型與文獻(xiàn)[17]中模型的預(yù)測結(jié)果比較相近，預(yù)測精度均顯著高于文獻(xiàn)[16]模型的預(yù)測結(jié)果。對于后3種加載模式(載荷由低到高)，本文改進(jìn)模型的預(yù)測結(jié)果顯著優(yōu)于文獻(xiàn)中模型的預(yù)測結(jié)果。

從圖1(b)可以看出，對于標(biāo)準(zhǔn)45號鋼，本文模型的預(yù)測結(jié)果最優(yōu)，略優(yōu)于文獻(xiàn)[17]的預(yù)測結(jié)果，明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[16]的預(yù)測結(jié)果。進(jìn)一步對比文本模型與文獻(xiàn)[17]模型結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對于高-低的載荷加載模式(模式1—模式4)2種模型的預(yù)測結(jié)果相近；而對于低-高的載荷加載模式(模式5—模式7)，本文模型預(yù)測結(jié)果略優(yōu)。

從圖1(c)可以看出，對于標(biāo)準(zhǔn)16Mn鋼，本文模型預(yù)測結(jié)果明顯最接近試驗值。對于高-低的載荷加載模式(模式1—模式5)，3種模型的預(yù)測結(jié)果比較相近；而對于低-高的載荷加載模式(模式6—模式8)，本文模型預(yù)測結(jié)果最優(yōu)，文獻(xiàn) [17]中模型的預(yù)測結(jié)果次之，文獻(xiàn) [16]中模型的預(yù)測結(jié)果的誤差較大，工程上已難以接受。

綜上，各模型預(yù)測結(jié)果的對比分析顯示了本文改進(jìn)模型對變幅載荷下結(jié)構(gòu)的壽命預(yù)測是比較有效的。尤其針對載荷次序變化的同時載荷幅值也發(fā)生變化的情況，本文改進(jìn)模型的預(yù)測精度明顯優(yōu)于文獻(xiàn)中既有模型的預(yù)測精度，這說明本文改進(jìn)模型能夠較好地表征變幅載荷下載荷相互作用效應(yīng)的影響。

3.2 對未知數(shù)據(jù)預(yù)測能力的對比分析

既有的工作應(yīng)用建立預(yù)測模型的試驗數(shù)據(jù)對預(yù)測模型進(jìn)行了驗證，并沒有應(yīng)用額外的試驗數(shù)據(jù)對所得的預(yù)測模型進(jìn)行驗證，難以保證預(yù)測模型的實際應(yīng)用性?；诖吮疚膹膶嶋H應(yīng)用的角度出發(fā)提出了一種部分?jǐn)?shù)據(jù)建模方案，該方案是將試驗數(shù)據(jù)分為兩組，一組為建立預(yù)測模型的數(shù)據(jù)，為模型已知數(shù)據(jù)；另一組為驗證預(yù)測模型的數(shù)據(jù)，為模型未知數(shù)據(jù)。該方案能對模型對未知數(shù)據(jù)的預(yù)測能力進(jìn)行有效的驗證，能夠檢驗預(yù)測模型的工程應(yīng)用可行性。

為有效地檢驗預(yù)測模型對載荷相互作用敏感度，本文將載荷先高后低的試驗數(shù)據(jù)作為模型已知數(shù)據(jù)，載荷先低后高的數(shù)據(jù)為模型未知數(shù)據(jù)。即，建模所用數(shù)據(jù)中不包含載荷次序及幅值變化的任何信息。

對于熱軋16Mn鋼、標(biāo)準(zhǔn)45號鋼及標(biāo)準(zhǔn)16Mn鋼的試驗數(shù)據(jù)，基于已知數(shù)據(jù)(載荷先高后低)進(jìn)行預(yù)測模型的建立和驗證，并將本文改進(jìn)模型與文獻(xiàn)既有模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，詳細(xì)數(shù)據(jù)見表2。對于建立預(yù)測模型的已知試驗數(shù)據(jù)，3種模型的預(yù)測結(jié)果幾乎一致，表中僅列出了模型未知數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果。

表2 不同材料數(shù)據(jù)建模的預(yù)測結(jié)果對比

不同模型的預(yù)測結(jié)果對比見圖2。由表2和圖2可以看出，對于建立模型的已知試驗數(shù)據(jù)，3種模型的預(yù)測結(jié)果幾乎一致，都比較接近試驗值。而對于未參與建模的未知數(shù)據(jù)，各模型給出的壽命預(yù)測值差別較大，而本文模型得到預(yù)測結(jié)果接近試驗值，預(yù)測精度較高。文獻(xiàn)[16]模型的預(yù)測誤差較大，難以應(yīng)用于工程實際。

圖2 不同材料部分?jǐn)?shù)據(jù)建模的預(yù)測結(jié)果對比

該對比分析的建模數(shù)據(jù)不包含載荷次序及載荷幅值變化的任何信息，而本文改進(jìn)模型卻能比較準(zhǔn)確地預(yù)測載荷次序和幅值變化加載模式下的疲勞壽命，說明本文改進(jìn)模型能夠充分體現(xiàn)載荷相互作用效應(yīng)對疲勞壽命的影響，有較好的實際應(yīng)用性。

4 結(jié)論

本文針對變幅載荷下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命預(yù)測，建立了改進(jìn)的Corten-Dolan累積損傷模型，總結(jié)如下。

(1) 在既有Corten-Dolan模型考慮小載荷、損傷程度和應(yīng)力狀態(tài)的基礎(chǔ)上，引入前后兩級載荷應(yīng)力比的冪函數(shù)對參數(shù)d進(jìn)行修正，建立了考慮載荷之間相互作用非線性效應(yīng)的Corten-Dolan模型，可有效地進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測。同時，引入?yún)?shù)k將此類改進(jìn)模型表達(dá)式進(jìn)行了統(tǒng)一。

(2)通過應(yīng)用全數(shù)據(jù)建模方案對本文改進(jìn)模型的疲勞壽命預(yù)測性能進(jìn)行了驗證，并與既有模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了對比分析。結(jié)果表明本文改進(jìn)模型預(yù)測精度有所提高，尤其針對載荷加載次序及載荷幅值均變化的情況，本文模型預(yù)測結(jié)果明顯優(yōu)于既有模型。

(3)從實際應(yīng)用角度出發(fā)，應(yīng)用部分?jǐn)?shù)據(jù)建模方案對本文改進(jìn)模型的預(yù)測能力進(jìn)行了驗證。結(jié)果表明本文改進(jìn)模型不僅能有效地提高疲勞壽命預(yù)測的精度，而且能夠在載荷加載次序及幅值變化未知的情況下較為準(zhǔn)確地預(yù)測疲勞壽命。這說明本文改進(jìn)模型能更好地表征加載次序以及載荷幅值變化等載荷相互作用效應(yīng)對疲勞壽命的影響，驗證了本文改進(jìn)模型的工程應(yīng)用可行性。

(4)本文雖未考慮試驗數(shù)據(jù)的離散性影響，但預(yù)測模型的結(jié)果對比分析已經(jīng)充分表明了本文改進(jìn)模型具有良好的預(yù)測能力，為軌道車輛結(jié)構(gòu)的疲勞壽命預(yù)測提供了更好的理論基礎(chǔ)。