基于高階矩法的單樁承載力可靠度研究

蔡雪霽，傅 強(qiáng)，李金銅，李 瀟，孟子龍，李時(shí)章

(1.三明學(xué)院 建筑工程學(xué)院，福建 三明 365004；2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；3.北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124)

樁基礎(chǔ)是工程中常用的基礎(chǔ)形式之一，考慮巖土工程中存在著各種不確定性的影響[1]，諸多學(xué)者對(duì)單樁承載力可靠度計(jì)算與分析做了相關(guān)的研究，并取得了豐碩的研究成果。文獻(xiàn)[2]用Bayes更新減少參數(shù)主觀不確定性的影響，再結(jié)合一次二階矩法(FOSM)來計(jì)算單樁承載力可靠度。文獻(xiàn)[3]采用不求導(dǎo)數(shù)最優(yōu)化法來計(jì)算鐵路橋梁鉆孔灌注樁承載力可靠度。文獻(xiàn)[4]收集部分試樁資料，分別采用FOSM和蒙特卡洛模擬法(MCS)來計(jì)算與分析單樁承載力的可靠度。文獻(xiàn)[5]提出采用高次響應(yīng)面函數(shù)結(jié)合FOSM的響應(yīng)面法(RSM)對(duì)隱式功能函數(shù)的傾斜荷載樁進(jìn)行了可靠度計(jì)算與分析。文獻(xiàn)[6]以全概率理論為基礎(chǔ)結(jié)合FOSM來計(jì)算與分析樁底沉渣對(duì)單樁承載力可靠度的影響。文獻(xiàn)[7]重新定義了失效準(zhǔn)則偏差系數(shù)，并用FOSM計(jì)算與分析了不同失效準(zhǔn)則下單樁承載力可靠度。文獻(xiàn)[8]基于數(shù)統(tǒng)極差理論來估算靜載試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少時(shí)總體樣本的均值與方差，利用FOSM給出了樁基承載力服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的可靠度計(jì)算方法；同時(shí)將極差理論與Bayes結(jié)合給出了樁基承載力Bayes估計(jì)的計(jì)算公式。文獻(xiàn)[9]提出基于最大熵原理來計(jì)算樁基承載力可靠度方法，同時(shí)基于Bayes統(tǒng)計(jì)給出了考慮不確定性的樁基承載力可靠度分析方法，最后還提出一種改進(jìn)的樁基承載力可靠度優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[10]用FOSM來分析了國內(nèi)外不同樁基承載力設(shè)計(jì)方法對(duì)可靠度結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[11]提出Bayes理論結(jié)合MCS的樁基可靠度計(jì)算與分析方法。文獻(xiàn)[12]分別采用FOSM和MCS對(duì)工程中壓漿前后鉆孔灌注樁承載力可靠度進(jìn)行了對(duì)比分析。文獻(xiàn)[13]提出了MCS與隨機(jī)場理論相結(jié)合的考慮土性參數(shù)空間變異性的樁基承載力可靠度計(jì)算與分析方法。

針對(duì)FOSM、RSM計(jì)算過程中需要求偏導(dǎo)、尋找驗(yàn)算點(diǎn)、計(jì)算過程統(tǒng)計(jì)概念不明確且遇到復(fù)雜工況容易導(dǎo)致迭代次數(shù)較多或不收斂，MCS計(jì)算量大成本高的不足，因此，選擇一種計(jì)算相對(duì)簡便且統(tǒng)計(jì)概念清晰同時(shí)在保證精度前提下計(jì)算效率高的單樁承載力可靠度計(jì)算與分析方法具有一定價(jià)值和意義。

為此，本文發(fā)展了基于高階矩法的單樁承載力可靠度研究：本文第一部分建立了單樁承載力的功能函數(shù)；第二部分給出了高階矩法計(jì)算單樁承載力可靠度及功能函數(shù)分布的表達(dá)式；第三部分以實(shí)際工程中四根不同長徑比的樁基作為算例，采用高階矩法對(duì)樁基承載力可靠度進(jìn)行了計(jì)算，同時(shí)將高階矩法計(jì)算得到的結(jié)果與MCS及FOSM計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，最后采用樁基承載力功能函數(shù)的前三階矩對(duì)各樁承載力功能函數(shù)的分布函數(shù)進(jìn)行了模擬；第四部分是本文的結(jié)論部分。

1 單樁承載力功能函數(shù)

假定單樁極限承載力為R，樁頂總荷載效應(yīng)為S。由于各種不確定性的存在，R，S是一組隨機(jī)向量。根據(jù)可靠性的定義，當(dāng)樁基處于失效狀態(tài)時(shí)，單樁承載力功能函數(shù)可表述為

Z=G(R，S)<0，

(1)

式中R一般取決于地基土對(duì)樁的支承能力；S為上部結(jié)構(gòu)傳遞到樁頂?shù)暮奢dFk和樁基承臺(tái)及其上覆土自重Gk兩部分之和，不考慮偏心作用時(shí)，單樁承載力失效功能函數(shù)可寫成

G(X)=R-(Fk+Gk)<0.

(2)

1.1 單樁極限承載力

單樁極限承載力R工程上有很多近似的估算方法[14]，其中用靜載荷實(shí)驗(yàn)來評(píng)估R最為直觀可靠，但靜載荷試驗(yàn)數(shù)據(jù)離散性較大且試樁樣本少(一般地基條件下試樁數(shù)量不宜少于總數(shù)的1%)導(dǎo)致誤差大，而且造價(jià)較高。本文在研究單樁豎向承載力可靠性時(shí)，R可按規(guī)范中經(jīng)驗(yàn)參數(shù)法[14]進(jìn)行估算：

(3)

式中qsi=(qs1，…，qsn)T，qs1，…，qsn為樁周第i層土的單位極限側(cè)阻力標(biāo)準(zhǔn)值(kPa)；qp為樁端土的單位極限端阻力標(biāo)準(zhǔn)值(kPa)；di為第i層土中的成孔直徑(mm)；Δli為第i層土中樁身長度(m)；Ap為樁底面積(mm2)。由于采用經(jīng)驗(yàn)參數(shù)法對(duì)qsi，qp進(jìn)行估算，因此qsi，qp的隨機(jī)不確定性遠(yuǎn)比di，li，Ap的幾何不確定性大；為簡化計(jì)算與分析，本文將qsi，qp看成隨機(jī)變量，di，Δli，Ap看成確定值。

1.2 樁頂作用效應(yīng)

對(duì)于一般受水平力較小的建筑物，樁頂在荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)組合軸心豎向力作用下，樁頂豎向荷載作用效應(yīng)S[14]：

S=S(Fk，Gk)=Fk+Gk=SG+SQ+Gk，

(4)

式中Fk為荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)組合下作用于承臺(tái)頂面的豎向力，它可寫成樁頂豎向恒載效應(yīng)SG(kN)和樁頂豎向活載效應(yīng)SQ(kN)兩部分之和；Gk為樁基承臺(tái)與承臺(tái)上土自重標(biāo)準(zhǔn)值。Fk與Gk也可通過下面式子進(jìn)行近似計(jì)算[15-16]：

S=S(Fk，Gk)=Fk+Gk=nβAigi+γTc，

(5)

式中n為樓層層數(shù)；β為軸壓力增大系數(shù)；Ai為第i層豎向構(gòu)件負(fù)載面積(m2)；gi為折算在第i層單位建筑面積上的重力荷載代表值(kN/m2)，可根據(jù)實(shí)際荷載計(jì)算，也可按框架結(jié)構(gòu)取12～14，框剪結(jié)構(gòu)取14～16，剪力墻筒體取15～18；γT為樁基承臺(tái)及其上覆土自重的加權(quán)平均重度(kN/m3)；c為承臺(tái)與其上覆土的共同體積(m3)。為簡化分析，本文僅將Fk與Gk當(dāng)做隨機(jī)變量。

2 單樁承載力可靠度分析的高階矩法

單樁承載力功能函數(shù)G(X)各階矩可表示為[17]

(6)

(7)

(8)

式中μG是G(X)的均值，是G(X)分布的位置參數(shù)；σG是G(X)的方差，為G(X)分布的刻度參數(shù)；αkG為G(X)的k階中心矩，如當(dāng)k=3時(shí)，α3G表示偏度系數(shù)，反映G(X)偏離對(duì)稱性參數(shù)；f(X)為隨機(jī)向量X的聯(lián)合概率密函數(shù)。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間點(diǎn)估計(jì)

用n表示隨機(jī)變量個(gè)數(shù)，m表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的m點(diǎn)估計(jì)，用式(6)～(8)計(jì)算G(X)的前三階矩，需要進(jìn)行mn次計(jì)算。為降低計(jì)算量，文獻(xiàn)[18-19]將單樁承載力功能函數(shù)在均值點(diǎn)處泰勒展開并忽略交叉項(xiàng)，此時(shí)計(jì)算量降低到mn-1次，此時(shí)單樁承載力功能函數(shù)G(X)可簡化成一系列一維函數(shù)之和[18]。

(9)

其中：

G(μ)=G(μ1，…，μn)，

(10)

Gi=G[μ1，…，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn]，

(11)

式中G(μ)是常數(shù)，對(duì)應(yīng)所有變量取其均值；Gi表示功能函數(shù)G(X)中第i個(gè)元素為隨機(jī)變量，其他隨機(jī)變量用自身均值μi代入；T-1(ui)表示逆正態(tài)變換，即將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間坐標(biāo)系中估計(jì)點(diǎn)ui變到原空間T-1(ui)=Xi，不難看出，式(9)將多變量的功能函數(shù)簡化為一系列單變量函數(shù)之和。

此時(shí)G(X)的前三階矩可表示為[18]

(12)

(13)

(14)

式中μG，σG，α3G為G(X)的前三階矩；μGi，σGi，α3Gi為G(X)中只含單個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的前三階矩，用點(diǎn)估計(jì)計(jì)算，公式如下：

(15)

(16)

(17)

式中ui，k表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間第i個(gè)隨機(jī)變量的k點(diǎn)估計(jì)，pk表示其對(duì)應(yīng)權(quán)重，按下式計(jì)算[18]

(18)

式中xk和wk是Hermite積分多項(xiàng)式中權(quán)函數(shù)exp(-x2)的橫坐標(biāo)和權(quán)重，表1列出7點(diǎn)估計(jì)結(jié)果。

表1 7點(diǎn)估計(jì)對(duì)應(yīng)的估計(jì)點(diǎn)與權(quán)重

2.2 單樁承載力的分布函數(shù)及可靠度指標(biāo)

選用基于三階矩標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)[20]的分布參數(shù)為G(X)前三階矩(式12-14)的三參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布[21]來描述單樁承載力功能函數(shù)G(X)的分布特性，此時(shí)G(X)的概率密度函數(shù)f(xs)為

(19)

(20)

此時(shí)，單樁承載力功能函數(shù)G(X)的可靠度指標(biāo)及其失效概率Pf也可以由G(X)的前三階矩得到[22]

(21)

Pf=Φ(-β).

(22)

綜上所述，基于高階矩法的單樁承載力可靠度計(jì)算與分析流程如圖1所示。

圖1 基于高階矩法的單樁承載力可靠度分析流程

3 工程算例

某實(shí)訓(xùn)大樓是一棟7層高的建筑，基礎(chǔ)采用樁徑D為800mm，900mm及1000mm 3種形式的沖孔灌注樁，樁長L范圍為13～50m，樁基穿越地層主要有雜填土、含粘性土礫石、強(qiáng)風(fēng)化花崗巖3種；該建筑樁基承臺(tái)及樁位布置圖如圖2所示，樁基大樣圖如圖3所示；取該工程4根不同長徑比的單樁(6#樁，9#樁，87#樁，156#樁)作為研究對(duì)象，各樁基設(shè)計(jì)參數(shù)與樁周土層參數(shù)分布資料見表2[23]。

極限側(cè)阻力qsi與極限端阻力qp的均值μi通過現(xiàn)場對(duì)各樁基周圍各層土取樣測得的側(cè)阻力以及端阻力實(shí)測平均值得到，變異系數(shù)δi同樣通過現(xiàn)場抽測各樁基周圍各層土的側(cè)阻力以及端阻力實(shí)測偏差值計(jì)算得到；文獻(xiàn)[24]認(rèn)為qsi近似服從正態(tài)分布，qp近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；本文中承臺(tái)頂面的豎向力Fk與樁基承臺(tái)與承臺(tái)上土自重標(biāo)準(zhǔn)值Gk的均值通過從PKPM設(shè)計(jì)軟件中得到；對(duì)比發(fā)現(xiàn)采用式(5)計(jì)算得到Fk與Gk的結(jié)果與軟件計(jì)算得到的結(jié)果誤差在5%以內(nèi)。根據(jù)《統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[25]曾經(jīng)的調(diào)查，F(xiàn)k與Gk近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布且變異系數(shù)取0.07；將各隨機(jī)變量參數(shù)取值以及概率分布類型匯總于表3。

表3 基本隨機(jī)變量概率模型及統(tǒng)計(jì)參數(shù)

3.1 單樁承載力功能函數(shù)的前三階矩計(jì)算

根據(jù)第二節(jié)內(nèi)容，各樁基功能函數(shù)G(X)可寫成

(23)

以6#樁為例，用Mathematic軟件進(jìn)行計(jì)算，采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的7點(diǎn)估計(jì)與Rosenblatt逆正態(tài)變換，由式(15)～(17)得到6#樁單樁承載力功能函數(shù)只含單個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)Gi的前三階矩結(jié)果列于表4。

將表4的結(jié)果代入式(12)～(14)，可得到6#樁單樁承載力功能函數(shù)G(X)的前三階矩，同理也可得到9#，87#，156#樁G(X)的前三階矩計(jì)算結(jié)果。作為精度對(duì)比，采用100萬個(gè)樣本的MCS計(jì)算得到各樁G(X)前三階矩。將以上計(jì)算結(jié)果均列于表5。

表4 6#樁功能函數(shù)為單個(gè)隨機(jī)變量前三階矩計(jì)算結(jié)果

表5 MCS與高階矩法計(jì)算功能函數(shù)G(X)各階矩結(jié)果比較

表5可知，高階矩法計(jì)算各樁G(X)的前三階矩結(jié)果與MCS算出結(jié)果基本相同且用時(shí)較少，說明采用高階矩法計(jì)算能夠在保證計(jì)算精度的前提下提高計(jì)算效率。

3.2 各樁承載力功能函數(shù)可靠度指標(biāo)計(jì)算

MCS與FOSM都是工程上以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的分析結(jié)構(gòu)可靠度的一類重要方法。MCS能計(jì)算工程中各類復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度問題，而且能得到精確的計(jì)算結(jié)果，但前提是需要足夠大的樣本數(shù)且對(duì)計(jì)算機(jī)運(yùn)算速率有較高的要求；FOSM主要包括中心點(diǎn)法和驗(yàn)算點(diǎn)法(JC算法)，其中JC算法是國際結(jié)構(gòu)安全性聯(lián)合委員會(huì)(JCSS)推薦的工程實(shí)際中應(yīng)用較成熟的算法，但FOSM的計(jì)算精度與求導(dǎo)迭代得到的驗(yàn)算點(diǎn)位置選取有很大的關(guān)系，因此FOSM對(duì)一般工程有良好的適用性，但對(duì)于功能函數(shù)表達(dá)式非線性較強(qiáng)時(shí)該方法計(jì)算精度就難以保證。而采用高階矩陣法既大大減少運(yùn)算量，又避免了在驗(yàn)算點(diǎn)處求導(dǎo)迭代的問題。本工程算例給出了四根樁基通過100萬次樣本計(jì)算得到的MCS結(jié)果和通過FOSM(JC法)計(jì)算得到的結(jié)果，如表6所示。同時(shí)將表5中的結(jié)果代入式(21)～(22)可得到高階矩法計(jì)算得到的各樁承載力可靠度指標(biāo)βi及其所對(duì)應(yīng)失效概率Pfi，如表6所示。

表6 三種方法計(jì)算可靠度結(jié)果對(duì)比

表6可知，采用高階矩法計(jì)算單樁承載力的失效概率Pfi及可靠度指標(biāo)βi平均耗時(shí)較MCS法平均耗時(shí)少，說明高階矩法在滿足計(jì)算精度前提下計(jì)算效率更高；同時(shí)高階矩法較FOSM而言，統(tǒng)計(jì)概念更清晰明確，且不需要找驗(yàn)算點(diǎn)，不用迭代、求偏導(dǎo)；這里應(yīng)當(dāng)指出應(yīng)用高階矩法計(jì)算單樁承載力可靠度指標(biāo)在一定范圍內(nèi)才能保證可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果的精度，研究也表明大部分實(shí)際工程適用條件基本在該范圍之內(nèi)[25]。因此，基于高階矩法的單樁可靠度計(jì)算為實(shí)際工程中研究樁基承載力可靠性提供了一條有效途徑。

算例中4根不同樁長徑比的單樁可靠度指標(biāo)βi都在《統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[26]中給出的三級(jí)延性破壞構(gòu)件的目標(biāo)可靠度指標(biāo)之上(≥2.7)，這也與文獻(xiàn)[23]中做出的結(jié)論4根樁基承載能力具備一定的富余度的相一致。

3.3 各樁承載力功能函數(shù)的分布函數(shù)

將表5結(jié)果代入式(19)～(20)得到單樁承載力功能函數(shù)G(X)分布的概率密度函數(shù)(PDF)曲線，如圖4所示；作為對(duì)比，圖4同時(shí)給出了單樁承載力功能函數(shù)G(X)進(jìn)行100萬次MCS的頻率直方圖。

圖4 各樁G(X)的頻率直方圖以及近似PDF曲線

4 結(jié)束語

為了簡單、高效的計(jì)算與分析單樁承載力可靠度，進(jìn)行了基于高階矩法的單樁承載力可靠度的研究，采用高階矩法對(duì)實(shí)際工程中4根不同長徑比的樁基可靠度進(jìn)行了計(jì)算與對(duì)比分析，給出了各樁基可靠度指標(biāo)及其概率密度函數(shù)的近似表達(dá)式。通過這個(gè)研究中發(fā)現(xiàn)采用高階矩法進(jìn)行單樁承載力可靠度計(jì)算分析過程中既不需要尋找驗(yàn)算點(diǎn)，又不需要進(jìn)行迭代求偏導(dǎo)；該方法簡單且高效，同時(shí)還能得到各樁基承載力的功能函數(shù)的分布函數(shù)及其特征值，該方法為工程中樁基承載力可靠度的研究提供了一條有效的途徑。