成人高校統(tǒng)計學三類數(shù)值平均數(shù)的教學設(shè)計與思考

◇北京市東城區(qū)職工大學 王 波

算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)是統(tǒng)計學中，描述數(shù)據(jù)分布集中趨勢的重要統(tǒng)計量。這三類平均數(shù)公式比較復雜，準確理解三類數(shù)值平均數(shù)的含義以及各自適用范圍，是合理運用統(tǒng)計分析方法解決實際問題的前提。針對成人學生的學情特點，恰當選擇典型、可深入挖掘的案例，在此基礎(chǔ)上設(shè)計由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的一系列探索情境，會令學生對三類數(shù)值平均數(shù)及其公式有自我發(fā)現(xiàn)式的收獲，從而水到渠成地實現(xiàn)教學目標，提高了課堂教學效果。

統(tǒng)計學是成人高校財經(jīng)與理工類專業(yè)的必修基礎(chǔ)課，該課程從對數(shù)據(jù)的收集、整理以及分析的學習過程，培養(yǎng)學生定量分析和認識客觀現(xiàn)象以及事物的能力。統(tǒng)計學中涉及的幾類數(shù)值平均數(shù)，屬于描述統(tǒng)計部分關(guān)于數(shù)據(jù)集中趨勢測度的主要內(nèi)容[1]。對各種數(shù)值平均數(shù)的認知與學習，不但是后續(xù)課程的基礎(chǔ)，而且也有助透過事物現(xiàn)象看本質(zhì)，從而正確分析、解決實際問題。眾所周知，成人高校的學生數(shù)學基礎(chǔ)差，而統(tǒng)計學又與數(shù)學關(guān)系極為密切，學生在抽象的統(tǒng)計學概念、公式的理解與記憶上，都存在不小的困難?，F(xiàn)行統(tǒng)計學教材缺少具有針對性的設(shè)計，諸多因素令成人學生覺得統(tǒng)計學知識枯燥無味難于理解[2]。鑒于上述原因，成人高校統(tǒng)計學教師在課程的教學設(shè)計上要付出更多的努力，要深入研究知識的形成過程，充分調(diào)動學生的積極性，設(shè)計一些典型案例，讓學生的學習有“跳一跳看得到”的發(fā)現(xiàn)與獲得感，注重喚醒學生的求知欲望。對統(tǒng)計學的定義、公式、算法，要讓學生不但知其然，更要知其所以然，從而切實提高統(tǒng)計學的課堂教學效果。

針對教學對象的特殊性，成人高校統(tǒng)計學教師可在充分考慮學生認知基礎(chǔ)上，從精心選擇恰當?shù)陌咐?，并深入挖掘案例這個角度出發(fā)，使統(tǒng)計學知識的形成過程水到渠成，易于為學生接受與理解。[3]以下是關(guān)于統(tǒng)計學中三類數(shù)值平均數(shù)的教學設(shè)計與思考。

1 算術(shù)平均數(shù)的教學設(shè)計

案例1 計算n=5個樣本觀測值的均值：4，6，1，2，3。

此時，可將這幾個數(shù)據(jù)以及它們的算術(shù)平均數(shù)描繪在數(shù)軸上，如圖1所示。經(jīng)引導，學生容易發(fā)現(xiàn)，即平均數(shù)左右兩側(cè)數(shù)據(jù)到平均數(shù)的距離和相等，這可以理解為算術(shù)平均數(shù)是該數(shù)據(jù)集的重心。更形象地解釋，如果把數(shù)據(jù)按大小排列，并把數(shù)軸想象成是蹺蹺板，則支點放在均值處時，可以達到平衡。通過這個案例，學生對算術(shù)平均數(shù)是數(shù)據(jù)集的中心位置就有了更加直觀的認識。將此特例推廣，容易得到算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)：。進一步引導學生觀察圖1，如果讓數(shù)值6變大，其余數(shù)值不變，容易看出算術(shù)平均數(shù)會隨之增大，從而得出算術(shù)平均數(shù)易受極端值干擾的性質(zhì)。

圖1 算術(shù)平均數(shù)的意義

案例2 假設(shè)某班級共30名學生，學生年齡分布如表1所示，計算該班學生平均年齡。

表1 某班學生年齡分布表

2 調(diào)和平均數(shù)的教學設(shè)計

很多統(tǒng)計學教材在引入調(diào)和平均數(shù)時或直接給出定義，或僅僅把調(diào)和平均數(shù)公式認為是算術(shù)平均數(shù)公式的變形，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)實際問題資料的情況選擇用算術(shù)平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù)公式。由于調(diào)和平均數(shù)公式形式很特殊，直接給出調(diào)和平均數(shù)的公式會讓學生感到莫名其妙；如果僅僅認為調(diào)和平均數(shù)公式是算術(shù)平均數(shù)公式的變形，又會讓學生感到調(diào)和平均數(shù)定義是多余的?？梢圆捎萌缦掳咐胝{(diào)和平均數(shù)。

案例3 考慮一次去景區(qū)游玩并返回的行程，去程速度為80千米/小時；返程時交通比較擁堵，速度為20千米/小時。假定去程和返程走同一條路線，那么整個行程的平均速度是多少？

很多學生剛開始的一個很自然的想法，認為平均速度就是往返速度的平均，即千米/小時，然而很快又能發(fā)現(xiàn)好像什么地方不對。于是進一步，可設(shè)單程路長為 s 千米，則去程所用時間為小時，返程所用時間為小時。所以，往返行程的平均速度為：千米/小時。經(jīng)過這樣一個探索發(fā)現(xiàn)的過程，學生會認識到不是所有平均都是用算術(shù)平均，此時便可較為自然地引入調(diào)和平均數(shù)及其公式。

在此案例中，如果去程與返程路線不同（即往返路長不同），其他條件不變，則平均速度為去程和返程速度的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，權(quán)數(shù)為相應路長，權(quán)數(shù)的作用仍然同于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。于是可以進一步得出加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的公式：。

緊接著，可以將學生新舊知識相連接，拓展學生視野。如圖2所示，計算并聯(lián)電路的等效電阻。根據(jù)閉合電路歐姆定律可得并聯(lián)等效電阻為：。

圖2 并聯(lián)電路圖

并聯(lián)電路總電阻是兩個電阻R1和 R2的調(diào)和平均數(shù)的一半。并聯(lián)后的總電阻，比電路中任何一只電阻都小。將所學新知識與學過的舊知識相互關(guān)聯(lián)，對舊知識的再認識，可以加強學生對新知識的接受與認同。

3 幾何平均數(shù)的教學設(shè)計

幾何平均數(shù)是比較特殊的一類平均數(shù)，有其自身獨特的適用范圍。在教學中如果直接給出幾何平數(shù)的計算公式，學生很難一下子接受這種奇怪的平均數(shù)?？梢詮囊韵掳咐霂缀纹骄鶖?shù)。

案例4 假設(shè)我們有一筆3年期理財，本金為10000元，每年的利率是變動的，3年的利率分別為1%、2%、15%，那么平均年利率是多少？按復利計算3年后本金和利息的總和是多少？

開始，學生們的自然的想法是平均年利率是這3年利率的算術(shù)平均數(shù)，即。此時教師可暫不揭穿事實的真相，引導學生以此平均年利率計算3年后的本利和，計算結(jié)果為元。然而用各年的年利率，計算的3年后的本利和應為元。兩次計算的結(jié)果不同，說明我們的算法有問題，問題就出在平均年利率的計算上。這時可引導學生，從方程的角度重新思考并計算平均年利率。設(shè)平均年利率為 x，則：整理之后可得平均年利率為。毫無疑問這個結(jié)果是真正的平均年利率。所以，在計算平均利率這樣的問題中使用算術(shù)平均數(shù)是不合理的。這時教師就可以順勢引入幾何平均數(shù)及其公式，并指出幾何平均數(shù)適用于數(shù)據(jù)本身是比率的形式，而且各比率的乘積等于總的比率。學生此時也能夠比較自然的接受幾何平均數(shù)定義及其公式了。

通過以上學習，學生知道了三類數(shù)值平均數(shù)。此時教師可進一步追問，既然它們都稱為平均數(shù)，那么這三類平均數(shù)又有什么關(guān)系呢？這時可通過圖3，帶領(lǐng)學生進一步從幾何直觀上認識三類平均數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。在這個半圓圖形里，令，則，再利用數(shù)學中兩個三角形相似的有關(guān)結(jié)論可得，于是得到三類平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系是：調(diào)和平均≤幾何平均≤算術(shù)平均，當且僅當a=b時，三類平均數(shù)相等，并且三類平均數(shù)的大小都介于a和b之間。教師可引導學生把點P想象成半圓周上動點，在動態(tài)中感受三類平均數(shù)的變化情況與數(shù)量關(guān)系。

圖3 三類平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系

4 結(jié)語

提高課堂教學質(zhì)量，讓學生深刻領(lǐng)悟?qū)W科思想，進而內(nèi)化為自身能力的提高，是教師教學上的永恒追求。對于基礎(chǔ)性、理論性、應用性均較強的統(tǒng)計學教學，尤其要考慮成人學生的認知基礎(chǔ)與學習規(guī)律，教學不能簡單地灌輸和生搬硬套現(xiàn)成公式。只要教師下大力氣沉下去，精心選擇一些貼近生活的典型案例，設(shè)計合理的環(huán)環(huán)相扣的教學環(huán)節(jié)，統(tǒng)計學的教學是能夠達到“隨風潛入夜，潤物細無聲”的良好課堂教學效果的。