基于CEEMDAN方法和灰色模糊聚類(lèi)的匯率預(yù)測(cè)研究

陳黎明，龍靈芝，鄭千一

(湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410079)

一、引言

匯率作為國(guó)家間貨幣兌換的比率，是國(guó)際貿(mào)易中不可或缺的重要組成部分，也是各國(guó)調(diào)節(jié)國(guó)際收支的重要手段之一。國(guó)家間的匯率大幅波動(dòng)一方面會(huì)對(duì)貿(mào)易收支、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和國(guó)際資本流動(dòng)等宏觀層面有重要影響；另一方面，對(duì)貨幣流通、物價(jià)水平和資源配置等微觀層面也有廣泛影響。自2005年人民幣匯率制度再次改革以來(lái)，中國(guó)資本賬戶進(jìn)一步開(kāi)放，加速了人民幣國(guó)際化進(jìn)程，人民幣逐漸成為與中國(guó)有密切經(jīng)濟(jì)往來(lái)國(guó)家的“貨幣錨”[1]。人民幣匯率走勢(shì)將影響經(jīng)濟(jì)主體預(yù)期，進(jìn)而影響經(jīng)濟(jì)決策行為，若能對(duì)人民幣匯率未來(lái)走勢(shì)進(jìn)行更為準(zhǔn)確、合理的預(yù)測(cè)分析，將對(duì)微觀主體的經(jīng)貿(mào)活動(dòng)、投融資決策和宏觀經(jīng)濟(jì)的長(zhǎng)期運(yùn)行與調(diào)控具有重要現(xiàn)實(shí)意義。而匯率序列受外生因素的影響較大，波動(dòng)特征呈現(xiàn)出明顯的非線性、非平穩(wěn)性和高噪聲等特點(diǎn)，選取傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析方法往往具有較大的預(yù)測(cè)誤差，難以準(zhǔn)確捕捉匯率波動(dòng)特征。因此，選取合適的模型對(duì)匯率進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)一直是經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域需要深入研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。

二、文獻(xiàn)綜述

國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者就匯率預(yù)測(cè)問(wèn)題展開(kāi)了廣泛討論和深入研究。早期的匯率預(yù)測(cè)主要利用單模型對(duì)匯率波動(dòng)特征和波動(dòng)趨勢(shì)進(jìn)行研究，其中具有代表性的有：Alex等利用雙狀態(tài)馬爾科夫隨機(jī)模型對(duì)美元匯率進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，實(shí)證結(jié)果表明相對(duì)于隨機(jī)游走模型，該隨機(jī)模型在匯率預(yù)測(cè)方面具有更為優(yōu)良的性質(zhì)[2]。余菊以2006年至2013年的1 771個(gè)人民幣匯率日值高頻數(shù)據(jù)為樣本區(qū)間，創(chuàng)建GARCH模型對(duì)人民幣與美元、港幣、日元、歐元及英鎊之間的匯率波動(dòng)規(guī)律進(jìn)行實(shí)證分析，實(shí)證結(jié)果表明人民幣兌五大外匯幣種匯率的波動(dòng)具有長(zhǎng)記憶性和明顯的杠桿效應(yīng)[3]。鄧貴川等選取5種模型對(duì)2005年匯改后的人民幣兌美元、歐元、日元和英鎊4種主要國(guó)際匯率數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本內(nèi)模型擬合，再利用模型對(duì)匯率預(yù)期進(jìn)行外推預(yù)測(cè)，研究發(fā)現(xiàn)，相較于其他匯率預(yù)測(cè)模型，匯率基本面模型的綜合分析和預(yù)測(cè)能力更佳[4]。Ince等利用泰勒修正模型和傳統(tǒng)貨幣模型對(duì)美元兌人民幣、歐元等8種外匯數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比和綜合分析，研究結(jié)果表明，泰勒修正模型預(yù)測(cè)精度較高[5]。江春等也基于拓展泰勒模型對(duì)影響匯率的因素進(jìn)行分析，研究結(jié)果表明拓展的泰勒規(guī)則匯率模型對(duì)中國(guó)短期貨幣政策的傳導(dǎo)和實(shí)施具有較強(qiáng)的理論解釋力[6]。王全意等基于傳統(tǒng)的M—F模型，以11個(gè)國(guó)家2000—2016年的相關(guān)數(shù)據(jù)為樣本，實(shí)證分析人民幣匯率變動(dòng)與國(guó)際收支的關(guān)系，研究結(jié)果表明實(shí)際有效匯率可有效調(diào)節(jié)經(jīng)常賬戶和資本與金融賬戶[7]。Cheung等將影子利率、風(fēng)險(xiǎn)及流動(dòng)性因素納入基于生產(chǎn)率的模型和“行為均衡匯率”模型中，并將這些模型的外推預(yù)測(cè)性能與隨機(jī)可變窗口游走模型進(jìn)行了比較，實(shí)證結(jié)果表明隨機(jī)游走模型預(yù)測(cè)效果稍差[8]。李欣玨等構(gòu)建了多元自適應(yīng)可變窗算法，探測(cè)了匯率樣本外推預(yù)測(cè)模型的最大化參數(shù)同質(zhì)區(qū)間，實(shí)證結(jié)果表明，在中長(zhǎng)期(3個(gè)月至24個(gè)月)的美元、歐元、英鎊和日元兌人民幣匯率的樣本外推預(yù)測(cè)中，多元自適應(yīng)可變窗算法能顯著優(yōu)于隨機(jī)游走模型、購(gòu)買(mǎi)力平價(jià)模型等模型[9]。

隨著匯率研究進(jìn)一步深入，部分學(xué)者開(kāi)始采取分解集成策略對(duì)匯率進(jìn)行分析，此外，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural Networks，簡(jiǎn)稱(chēng)NN)、支持向量機(jī)(Support Vector Machine，簡(jiǎn)稱(chēng)SVM)等機(jī)器學(xué)習(xí)方法具有較強(qiáng)的泛化能力，能夠有效處理非線性問(wèn)題，因而近幾年來(lái)在匯率分析研究中得到廣泛應(yīng)用。王軒等采取先分解再綜合泛化分析后采用綜合集成的策略對(duì)人民幣匯率進(jìn)行實(shí)證分析，實(shí)證結(jié)果表明，基于支持向量回歸的TEI@I集成預(yù)測(cè)模型不僅適用于線性問(wèn)題分析而且適用于非線性問(wèn)題分析，對(duì)于線性特征和非線性特征共存的人民幣實(shí)際匯率也具有優(yōu)異的綜合分析能力[10]。王曉輝等基于獨(dú)立成分分析(ICA)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論相融合的多維時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型對(duì)2008年以來(lái)的多維人民幣匯率數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，研究表明IC—BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較好的預(yù)測(cè)精度[11]。黃山等基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)信號(hào)預(yù)測(cè)方法，以3種國(guó)際主要貨幣匯率的長(zhǎng)期歷史價(jià)格數(shù)據(jù)作為參考，對(duì)未來(lái)匯率價(jià)格走勢(shì)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，研究結(jié)果表明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)匯率價(jià)格的預(yù)測(cè)精度較高[12]。Furao等基于改進(jìn)的匯率預(yù)測(cè)深度信念網(wǎng)絡(luò)(DBN)模型對(duì)3個(gè)匯率序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)證表明，該方法在外匯匯率的預(yù)測(cè)方面，效果優(yōu)于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(FFNN)模型[13]。Galeshchuk基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANNs)模型，對(duì)匯率(USD/EUR，JPN/USD，USD/GBP)的面板數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，實(shí)證表明，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在匯率預(yù)測(cè)問(wèn)題上表現(xiàn)優(yōu)良[14]。Plakandaras等使用集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EEMD)方法對(duì)原始匯率序列進(jìn)行分解得到各分量序列，然后選取具有不同參數(shù)的支持向量回歸機(jī)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)證分析結(jié)果表明，與其他單預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)能力相比，SVR組合模型具有更強(qiáng)的樣本內(nèi)和樣本外預(yù)測(cè)能力[15]。傅魁等分別利用單模型和MEEMD組合模型對(duì)歐元兌美元匯率序列進(jìn)行實(shí)證預(yù)測(cè)和分析，研究結(jié)果表明MEEMD組合模型比其他單模型和EMD組合模型的短期預(yù)測(cè)能力和預(yù)測(cè)精度更好[16]。周曉波等對(duì)人民幣匯率進(jìn)行短期預(yù)測(cè)研究發(fā)現(xiàn)，GR_BP_Adaboost強(qiáng)預(yù)測(cè)模型相較于傳統(tǒng)的ARMA、ARCH 和 GARCH 模型來(lái)說(shuō)，具有更為優(yōu)良的預(yù)測(cè)能力[17]。

綜上所述，伴隨匯率波動(dòng)特征日趨復(fù)雜化，匯率預(yù)測(cè)模型逐漸從單一模型向組合模型轉(zhuǎn)變，機(jī)器學(xué)習(xí)算法在匯率預(yù)測(cè)模型中的應(yīng)用也日趨廣泛，但當(dāng)前文獻(xiàn)主要集中在同類(lèi)模型對(duì)比分析，將傳統(tǒng)模型與機(jī)器學(xué)習(xí)算法優(yōu)勢(shì)相結(jié)合進(jìn)行匯率預(yù)測(cè)研究的文獻(xiàn)數(shù)量較少。因此，本文基于分解—重構(gòu)—集成思想，構(gòu)造CEEMDAN組合模型對(duì)人民幣匯率進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先，利用CEEMDAN方法，將原始匯率序列分解為有限個(gè)本征模態(tài)分量(IMF)和一個(gè)殘余分量；然后基于灰色模糊聚類(lèi)法對(duì)各時(shí)頻分量進(jìn)行重構(gòu)，得到高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)，并選取不同的模型對(duì)重構(gòu)項(xiàng)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)；最后，將各重構(gòu)項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行集成，得到最終預(yù)測(cè)值。本文主要貢獻(xiàn)包括以下幾個(gè)：一是將目前在工程時(shí)頻分析中廣泛應(yīng)用的改進(jìn)時(shí)頻分析方法CEEMDAN引入經(jīng)濟(jì)分析領(lǐng)域，尤其是匯率預(yù)測(cè)方面，從頻域角度對(duì)匯率序列進(jìn)行分解，揭示匯率序列在不同尺度下的波動(dòng)特征；二是利用序列動(dòng)態(tài)聚類(lèi)方法——灰色模糊聚類(lèi)，對(duì)各分量進(jìn)行分類(lèi)重構(gòu)，從而得到高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)；三是將傳統(tǒng)時(shí)序模型ARIMA和機(jī)器算法(SVM、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))相結(jié)合，增強(qiáng)模型的泛化能力，有效降低模型預(yù)測(cè)誤差。

三、CEEMDAN組合模型

(一)基于CEEMDAN的匯率序列分解

自適應(yīng)噪聲的完全集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise，簡(jiǎn)稱(chēng)CEEMDAN)方法由Torres等在2011年率先提出[18]。CEEMDAN方法通過(guò)在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的每個(gè)階段添加有限次的自適應(yīng)白噪聲，來(lái)降低重構(gòu)誤差和提高計(jì)算效率，有效解決了EMD方法中的模態(tài)混疊現(xiàn)象，還避免了EMMD方法計(jì)算量大和偽分量較多等問(wèn)題，使得IMF分量的噪聲幅值有效減小。

CEEMDAN方法中得到的模態(tài)分量必須同時(shí)滿足兩個(gè)基本條件：(1)在函數(shù)的有效區(qū)間內(nèi)，局部極值點(diǎn)數(shù)目和過(guò)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)差值為一；(2)在任何時(shí)候，局部最大值和最小值的包絡(luò)線必須為零。式中Ej(·)為未添加噪聲因子前分解原始信號(hào)得到的第j個(gè)模態(tài)分量，wi為滿足N(0,1)的高斯白噪聲，x(t)為待處理的原始信號(hào)。

具體步驟如下：

1) 在原始信號(hào)x(t)中加入具有不同零均值單位方差的白噪聲n(i)(t)，得到信號(hào)混合體x(i)(t)：

x(i)(t)=x(t)+n(i)(t)

(1)

其中，i為迭代次數(shù)i=1,2,…,m。

(2)

4) 重復(fù)步驟1)至步驟3)m次，可得第一個(gè)EEMD模態(tài)分量：

(3)

5) 在第一階段(k=1)計(jì)算第一個(gè)殘余分量：

r1(t)=x(t)-IMF1

(4)

6) 按照步驟2)至步驟5)分解每個(gè)r1(t)+ε1E1(wi(t)),(i=1,2,…,m)，得到第一個(gè)CEEMDAN模態(tài)分量，定義第二個(gè)CEEMDAN模態(tài)分量為：

(5)

7) 對(duì)于k=2,3,…,m，計(jì)算第k個(gè)殘余分量：

rk(t)=rk-1(t)-IMFk

(6)

8) 按照步驟2)至步驟5)分解每個(gè)rk(t)+εkEk(wi(t)),(i=1,2,…,m)，得到第k個(gè)CEEMDAN模態(tài)分量，定義第k+1個(gè)CEEMDAN模態(tài)分量為：

(7)

9) 對(duì)于k+1，返回步驟7)，并重復(fù)步驟7)至步驟(9)，直到殘余分量不滿足IMF分量的要求時(shí)停止分解，最終的殘余分量滿足：

(8)

其中，m為分解得到的模態(tài)分量個(gè)數(shù)。給定的待處理信號(hào)x(t)可表示為：

(9)

(二)基于灰色模糊聚類(lèi)方法的匯率序列重構(gòu)

大量研究表明，匯率序列本質(zhì)上由一系列波幅不一致的分量序列構(gòu)成，這些序列分量大致可劃分為高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)三類(lèi)，本文采用灰色模糊聚類(lèi)法將關(guān)聯(lián)度高且周期和波動(dòng)頻率相近的IMF分量合理地歸為一類(lèi)，重構(gòu)高頻項(xiàng)和低頻項(xiàng)。

具體步驟如下：

1) 確定IMF分量的參考序列和比較序列

設(shè)定IMF分量的參考序列為ci(t)，比較序列為cj(t)，i=1,2,…,m;j=1,2,…,m，對(duì)各分量序列進(jìn)行初始化處理：

(10)

2) 計(jì)算IMF分量的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)矩陣

灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)系數(shù)的含義是被評(píng)價(jià)對(duì)象與參考對(duì)象進(jìn)行絕對(duì)值比值比較，如果被評(píng)價(jià)對(duì)象與參考對(duì)象越接近，其絕對(duì)關(guān)聯(lián)系數(shù)越接近1；反之，絕對(duì)關(guān)聯(lián)系數(shù)越接近0。灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)系數(shù)表達(dá)式為：

(11)

α為分辨系數(shù)，0≤α≤1，一般取α=0.5。

關(guān)聯(lián)度是衡量一個(gè)采樣子系統(tǒng)中兩個(gè)因素或兩個(gè)變量之間相似程度或接近程度的大小，一般通過(guò)計(jì)算各采樣節(jié)點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù)來(lái)衡量灰色關(guān)聯(lián)度，但這樣可能直接造成關(guān)聯(lián)度信息的損失和影響局部點(diǎn)的關(guān)聯(lián)序列測(cè)度值，從而影響整個(gè)灰色關(guān)聯(lián)序列。本文借助灰色關(guān)聯(lián)熵定理，利用熵值法賦予不同權(quán)重，加權(quán)計(jì)算關(guān)聯(lián)度，具體表達(dá)式如下：

(12)

3) 構(gòu)建模糊等價(jià)矩陣

基于步驟2)可得灰色關(guān)聯(lián)矩陣，然后采用歐式距離法構(gòu)造模糊相似矩陣Rm，再利用傳遞閉包法求解模糊等價(jià)矩陣。

傳遞閉包法必須滿足以下3個(gè)條件：

①tc(R)是傳遞的；

②tc(R)?R；

③ 對(duì)于任何可傳遞的關(guān)系矩陣R′，存在R′?R，則tc(R′)?R。

4) 重構(gòu)序列

根據(jù)模糊等價(jià)矩陣進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類(lèi)，同時(shí)將IMF分量的波動(dòng)頻率和波動(dòng)周期性納入分析體系并選取合適的分類(lèi)閥值，從而將IMF分量自然而然地劃分成高頻部分和低頻部分，再將兩者分別進(jìn)行重構(gòu)得到高頻項(xiàng)和低頻項(xiàng)。

(三)模型選取與創(chuàng)建

鑒于高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)是由不同頻度的分量重構(gòu)得到的，所以三者的波動(dòng)特征呈現(xiàn)顯著差異，因而需要采用不同的方法對(duì)序列進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有多層前饋網(wǎng)絡(luò)，在訓(xùn)練過(guò)程中，以誤差為依據(jù)進(jìn)行反向傳播算法訓(xùn)練。一般利用梯度下降算法進(jìn)行樣本訓(xùn)練，這種方法跟糾錯(cuò)學(xué)習(xí)規(guī)則比較接近，權(quán)值在性能函數(shù)梯度的反方向進(jìn)行迭代，能夠進(jìn)行各種非線性映射，并以任意精度接近任意非線性反方向傳播函數(shù)，處理高頻數(shù)據(jù)在性能上具有顯著優(yōu)勢(shì)，因此運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)高頻項(xiàng)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。支持向量機(jī)(SVM)是一種基于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則的非線性映射和回歸方法，本質(zhì)上是將低維空間的非線性問(wèn)題投射到高維特征空間，將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，然后再利用線性方法進(jìn)行分析。大量文獻(xiàn)表明，SVM方法在低頻項(xiàng)的非線性預(yù)測(cè)和分析能力問(wèn)題上呈現(xiàn)出較為優(yōu)良的性質(zhì)，故SVM方法成為對(duì)低頻項(xiàng)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)的不二選擇。趨勢(shì)項(xiàng)波動(dòng)較為平緩，呈現(xiàn)出較為顯著的線性特征，故選取ARIMA模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。下面對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM方法和ARIMA模型做進(jìn)一步闡述：

1.BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back-ProPagation Network)又稱(chēng)反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)， 由Rumelhart等[19]率先研究提出，是對(duì)非線性可微函數(shù)進(jìn)行權(quán)值模擬訓(xùn)練的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。該輸出預(yù)測(cè)算法中數(shù)據(jù)信息參量前向反饋傳輸，而數(shù)據(jù)運(yùn)算誤差反向傳遞。學(xué)習(xí)過(guò)程中采用最速梯度下降法，即各層函數(shù)的權(quán)值根據(jù)誤差函數(shù)的負(fù)梯度方向迭代更新，直到誤差項(xiàng)足夠小，故本文選用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)高頻項(xiàng)的復(fù)雜性進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)?；跇颖緮?shù)據(jù)本身的波動(dòng)特征和區(qū)間特點(diǎn)，本文選取的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為4-4-1。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中傳遞函數(shù)為T(mén)ansig，訓(xùn)練函數(shù)為T(mén)rainlm，權(quán)重和閥值的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)算法以及性能函數(shù)分別為L(zhǎng)earngdm和Mse。此外，模型的目標(biāo)誤差設(shè)定為1×10-6，最大迭代次數(shù)設(shè)定為1 000次。具體訓(xùn)練過(guò)程如圖1所示。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法訓(xùn)練過(guò)程

2.SVM方法

SVM(Support Vector Machine，簡(jiǎn)稱(chēng) SVM)方法最初由Vapnik[20]提出，算法在學(xué)習(xí)過(guò)程中以結(jié)構(gòu)化風(fēng)險(xiǎn)最小為準(zhǔn)則。對(duì)于低維空間線性不可分情況，SVM使用內(nèi)機(jī)核函數(shù)將低維空間線性不可分的樣本投射到高維空間使其線性可分。低頻項(xiàng)的波動(dòng)頻率雖然較低，但仍具有明顯的非線性特征，利用一般的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合得到的模型誤差大且效率較低。而利用SVM對(duì)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，可大大提升運(yùn)算效率。此外，SVM能夠有效克服過(guò)擬合的問(wèn)題，泛化能力強(qiáng)。

核函數(shù)作為SVM方法的核心，是決定算法性質(zhì)優(yōu)劣的關(guān)鍵部分。常用核函數(shù)有多項(xiàng)式核函數(shù)、徑向基核函數(shù)、線性核函數(shù)。其中，徑向基核函數(shù)屬于非線性映射的核函數(shù)，且通常只有一個(gè)需要進(jìn)行合理調(diào)整的參數(shù)s(核寬度)，故只需要合理地選擇錯(cuò)誤代價(jià)參數(shù)便可用于任意分布的樣本。本文采用徑向基核函數(shù)對(duì)低頻項(xiàng)進(jìn)行處理和分析預(yù)測(cè)。

3.ARIMA模型

ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡(jiǎn)稱(chēng)ARIMA)模型由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box G E P和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Jenkins G M于1970年提出[21]。ARIMA模型的核心步驟是差分運(yùn)算，借此實(shí)現(xiàn)非平穩(wěn)時(shí)間序列的平穩(wěn)化過(guò)程，再建立模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。模型ARIMA(p,d,q)基本結(jié)構(gòu)如下：

(13)

其中，p為模型的自回歸階數(shù)，d為數(shù)據(jù)的差分次數(shù)，q為移動(dòng)平均階數(shù)，Θ(B)是移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式，φ(B)是自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，▽d=(1-B)d，{εt}是零均值白噪聲序列。

4.CEEMDAN組合模型創(chuàng)建

基于分解—重構(gòu)—集成策略，CEEMDAN組合模型的創(chuàng)建過(guò)程大致可以分為3步：一是利用CEEMDAN方法對(duì)匯率原始序列進(jìn)行有效分解，得到有限個(gè)IMF分量和一個(gè)殘余分量；二是基于灰色模糊聚類(lèi)思想對(duì)序列分解后的分量進(jìn)行重構(gòu)，得到高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)；三是根據(jù)各重構(gòu)項(xiàng)的波動(dòng)特征分別選取合適的模型進(jìn)行外推預(yù)測(cè)，重構(gòu)得到的高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)分別利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM方法和ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，最終的預(yù)測(cè)結(jié)果由各項(xiàng)的預(yù)測(cè)值集成得到。

CEEMDAN組合模型創(chuàng)建的過(guò)程如圖2所示。

圖2 CEEMDAN組合模型框架

四、匯率預(yù)測(cè)實(shí)證研究

(一)匯率原始序列特征判別

本文研究樣本為2019年1月2日至2019年11月28日的人民幣兌美元匯率中間價(jià)數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家外匯管理局)。剔除節(jié)假日后共222個(gè)原始數(shù)據(jù)，選取不同模型對(duì)2019年12月2日至2019年12月31日(排除節(jié)假日共22天)的匯率進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先對(duì)匯率原始序列進(jìn)行非線性、非平穩(wěn)性、尖峰厚尾性以及長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)，具體結(jié)果如表1所示。

由表1可知，BDS檢驗(yàn)在5%的顯著性水平下，p值均為0，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為原始序列具有非線性。ADF檢驗(yàn)中，p值為0.392，不能拒絕原假設(shè)；KPSS檢驗(yàn)中，t統(tǒng)計(jì)量的值為3.849，大于檢驗(yàn)臨界值0.463，拒絕原假設(shè)，即匯率原始序列具有非平穩(wěn)性。JB檢驗(yàn)中，p值為0，拒絕原假設(shè)，表明匯率原始序列不滿足正態(tài)性假設(shè)，即具有尖峰厚尾特征。R/S分析中，Hurst指數(shù)為0.638(大于0.5)，故匯率原始序列存在長(zhǎng)記憶性。

表1 原始序列性質(zhì)檢驗(yàn)

(二)匯率原始序列多尺度分解

匯率原始序列經(jīng)EMD、EEMD和CEEMDAN分解后的結(jié)果分別如圖3、圖4和圖5所示。

圖3 匯率原始序列的EMD分解結(jié)果

圖4 匯率原始序列的EEMD分解結(jié)果

圖5 匯率原始序列的CEEMDAN分解結(jié)果

通過(guò)分解，展現(xiàn)了匯率原始序列的組成結(jié)構(gòu)和多尺度特征。對(duì)比可知，CEEMDAN方法的分解效果最佳。各IMF分量和殘余分量的頻率水平和振幅具有顯著差異，表明不同的分量序列間存在較大差異，需選取不同模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。

(三)分量序列重構(gòu)

基于模糊等價(jià)矩陣，對(duì)序列分解得到的各IMF分量進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類(lèi)?？紤]到每個(gè)IMF分量的波動(dòng)特征和分量之間的關(guān)聯(lián)度，IMF分量可分為{IMF1、IMF2、IMF3、IMF4}和{IMF5、IMF6}兩類(lèi)(如圖6所示)，將第一類(lèi)重構(gòu)為高頻項(xiàng)，第二類(lèi)重構(gòu)為低頻項(xiàng)。繪制原始匯率序列和各重構(gòu)項(xiàng)(高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng))的走勢(shì)圖(圖7)。

圖6 IMF分量灰色模糊聚類(lèi)

圖7 匯率原始序列和各重構(gòu)項(xiàng)走勢(shì)

為進(jìn)一步分析高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)性的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，選取平均周期、Pearson相關(guān)系數(shù)和方差比3個(gè)指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析。平均周期用來(lái)刻畫(huà)每個(gè)序列的平均波動(dòng)周期，利用快速傅氏變換(Fast Fourier Transformation，簡(jiǎn)稱(chēng)FFT)計(jì)算序列的平均波動(dòng)周期；Pearson系數(shù)用來(lái)刻畫(huà)各分量序列與原始序列之間的相似程度；方差比則用來(lái)刻畫(huà)各分量序列方差值與原始序列方差值之間的相對(duì)比重，體現(xiàn)了分量序列對(duì)原始序列的方差貢獻(xiàn)度。統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果如表2所示。

表2 匯率序列與重構(gòu)序列的統(tǒng)計(jì)分析

由表2和圖7可知，高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)的波動(dòng)特征呈現(xiàn)出顯著差異，這表明不同尺度下影響匯率波動(dòng)的因素也不盡相同。首先，從高頻項(xiàng)來(lái)看，平均周期為31.71天，周期相對(duì)較短，一定程度上表明高頻項(xiàng)對(duì)匯率的長(zhǎng)期走勢(shì)影響甚微；Pearson相關(guān)系數(shù)為0.026，表明高頻項(xiàng)和原始匯率序列的波動(dòng)特征存在顯著差異，相似度較低；方差比為2.69%，說(shuō)明高頻項(xiàng)對(duì)原始匯率序列的貢獻(xiàn)率很低?？偟膩?lái)說(shuō)，高頻項(xiàng)對(duì)匯率總體波動(dòng)的影響非常小。從前文繪制的走勢(shì)圖來(lái)看，高頻項(xiàng)波動(dòng)非常不穩(wěn)定，即便短周期內(nèi)，波動(dòng)也較為顯著，反映了匯率短期內(nèi)的非均衡特征。該現(xiàn)象主要受相對(duì)利率、外匯市場(chǎng)供需、政府干預(yù)、市場(chǎng)投機(jī)行為等一系列因素的直接影響，是匯率市場(chǎng)的正常周期性波動(dòng)，并不會(huì)影響匯率的基本波動(dòng)走勢(shì)。其次，從低頻項(xiàng)的周期性來(lái)看，平均波動(dòng)周期為222天，相對(duì)較長(zhǎng)，反映出低頻項(xiàng)對(duì)匯率的影響較大；Pearson相關(guān)系數(shù)為0.862，表明低頻項(xiàng)和匯率序列的相似度較高，序列波動(dòng)走勢(shì)較為一致；方差比為30.34%，說(shuō)明低頻項(xiàng)對(duì)原始匯率序列的貢獻(xiàn)率較大。最后，從趨勢(shì)項(xiàng)來(lái)看，無(wú)明顯周期性特征；Pearson相關(guān)系數(shù)為0.901，表明在一定條件下，可充分利用趨勢(shì)項(xiàng)來(lái)刻畫(huà)原始匯率序列的基本波動(dòng)走勢(shì)；方差比為66.97%，進(jìn)一步表明趨勢(shì)項(xiàng)是原始匯率序列的主體成分，可較為準(zhǔn)確地描繪出匯率的較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的基本波動(dòng)走勢(shì)。趨勢(shì)項(xiàng)整體走勢(shì)較為平緩，表明在中短期內(nèi)，匯率即使受到一些重大事件或某些政策的影響，而產(chǎn)生一定程度的波動(dòng)幅度，但這些波動(dòng)對(duì)匯率的中短期整體走勢(shì)影響很小，匯率波動(dòng)仍將集中于趨勢(shì)線附近的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)。

(四)集成與預(yù)測(cè)

不同的波動(dòng)特征，宜選取不同的預(yù)測(cè)模型，從而進(jìn)一步提高整體預(yù)測(cè)精度。對(duì)于高頻項(xiàng)，選取BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)；對(duì)于低頻項(xiàng)，選取SVM模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)；對(duì)于趨勢(shì)項(xiàng)，可以看出明顯的線性變化特征，故選取ARIMA模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。利用上述模型得到各重構(gòu)項(xiàng)的預(yù)測(cè)值后，再對(duì)各預(yù)測(cè)值進(jìn)行集成，便可得到最終的預(yù)測(cè)值。

為了檢驗(yàn)CEEMDAN組合模型的準(zhǔn)確性和預(yù)測(cè)性能，將模型預(yù)測(cè)結(jié)果與ARIMA、SVM、LM-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等單模型，以及ARIMA-SVM、EMD組合模型和EEMD組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。本文選用MAE、MSE、MAPE和MSPE四項(xiàng)誤差指標(biāo)來(lái)準(zhǔn)確衡量各模型的預(yù)測(cè)精度，各模型預(yù)測(cè)誤差如表3所示。

表3 不同模型的預(yù)測(cè)誤差

為進(jìn)一步對(duì)比模型對(duì)匯率序列走勢(shì)的預(yù)測(cè)效果，繪制2019年12月2日至2019年12月31日的原始匯率序列走勢(shì)和各組合模型預(yù)測(cè)匯率走勢(shì)對(duì)比圖，如圖8所示。

圖8 原始匯率序列和組合模型預(yù)測(cè)序列走勢(shì)

表3給出了各模型的預(yù)測(cè)誤差，組合模型預(yù)測(cè)誤差明顯低于單模型。從單模型來(lái)看，無(wú)論是從絕對(duì)誤差指標(biāo)(MAE和MSE)分析，還是以相對(duì)誤差指標(biāo)(MAPE和MSPE)作為衡量依據(jù)，ARIMA模型的預(yù)測(cè)誤差均最大。若以MAE作為衡量指標(biāo)，LM-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)誤差為0.284 5，而SVM模型預(yù)測(cè)誤差為0.142 0，LM-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度低于SVM模型。究其原因，MAE是絕對(duì)誤差指標(biāo)，當(dāng)預(yù)測(cè)值中一旦存在異常點(diǎn)，則可能造成較大的偏差?；诖耍瑢⑾鄬?duì)誤差指標(biāo)(MAPE和MSPE)納入考量體系，實(shí)證表明LM-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)誤差低于SVM模型。結(jié)合各指標(biāo)分析結(jié)果可知，單模型中，ARIMA模型的預(yù)測(cè)誤差較大，而LM-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)誤差較小。從組合模型來(lái)看，重構(gòu)的組合模型的預(yù)測(cè)誤差明顯低于ARIMA-SVM組合模型，尤其是EEMD組合模型和CEEMDAN組合模型，兩模型在絕對(duì)誤差指標(biāo)MSE下的預(yù)測(cè)誤差遠(yuǎn)小于ARIMA-SVM模型和EMD組合模型，甚至不在同一精度分位數(shù)。結(jié)合圖8分析可知，ARIMA-SVM模型預(yù)測(cè)序列走勢(shì)與原始匯率序列走勢(shì)雖較為貼合，但是偏離原始匯率序列較遠(yuǎn)，無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)匯率值，使得模型整體預(yù)測(cè)誤差較高。在相對(duì)誤差指標(biāo)MAPE和MSPE下，EEMD組合模型的預(yù)測(cè)誤差分別為0.003 7和9.351 6×10-4，CEEMDAN組合模型的預(yù)測(cè)誤差分別為0.001 2和6.812 9×10-4，故CEEMDAN組合模型預(yù)測(cè)精度更高。分析圖8中CEEMDAN組合模型預(yù)測(cè)序列與原始匯率序列走勢(shì)可知，CEEMDAN組合模型能夠較為準(zhǔn)確地捕捉匯率序列預(yù)期走勢(shì)的拐點(diǎn)，對(duì)整體走勢(shì)刻畫(huà)較為準(zhǔn)確，從而使得模型整體預(yù)測(cè)誤差較低。 總體而言，單模型對(duì)匯率序列的分析和預(yù)測(cè)效果不及組合模型，而在組合模型中，CEEMDAN組合模型預(yù)測(cè)效果更優(yōu)。

此外，從理論上來(lái)看，由于匯率序列具有非線性、非平穩(wěn)性和長(zhǎng)記憶性等波動(dòng)特征，影響了模型的預(yù)測(cè)效果，其中，ARIMA模型的預(yù)測(cè)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如SVM模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。組合模型中，CEEMDAN組合模型的預(yù)測(cè)和分析效果最佳，這是因?yàn)镋MD組合模型和EEMD組合模型中在進(jìn)行序列分解時(shí)存在模態(tài)混疊、計(jì)算量大以及偽分量等復(fù)雜問(wèn)題，降低了匯率序列的分解效率，進(jìn)而直接影響到最終的匯率序列預(yù)測(cè)和分析效果，而CEEMDAN組合模型在分解時(shí)采用CEEMDAN方法，該方法通過(guò)在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的每個(gè)階段添加有限次的自適應(yīng)白噪聲對(duì)EEMD方法進(jìn)行優(yōu)化，降低了重構(gòu)誤差，提高了計(jì)算效率，使得模型整體的預(yù)測(cè)誤差最??；而ARIMA-SVM模型預(yù)測(cè)誤差較大，則是因?yàn)樵摻M合模型雖然能夠利用ARIMA模型和SVM模型分別對(duì)匯率序列中的線性特征顯著部分和非線性特征顯著部分進(jìn)行預(yù)測(cè)，但由于線性和非線性特征混疊嚴(yán)重，影響了模型的預(yù)測(cè)效果。

五、結(jié)論

本文針對(duì)匯率序列的非線性、非平穩(wěn)性和長(zhǎng)記憶性等特點(diǎn)，基于分解—重構(gòu)—集成策略通過(guò)構(gòu)建CEEMDAN組合模型對(duì)人民幣兌美元匯率序列的波動(dòng)特征進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫(huà)并利用模型進(jìn)行樣本外推預(yù)測(cè)，對(duì)匯率短期走勢(shì)進(jìn)行預(yù)判分析。實(shí)證研究表明相較于單模型和其他組合模型，CEEMDAN組合模型的預(yù)測(cè)效果最佳，其主要具有3項(xiàng)特點(diǎn)：第一，CEEMDAN方法克服了EMD、EEMD方法中模態(tài)混疊、運(yùn)行效率不佳等缺點(diǎn)，能夠更加準(zhǔn)確對(duì)匯率序列進(jìn)行分解，從而清晰地展現(xiàn)匯率序列在不同尺度下的波動(dòng)特征。第二，采用灰色模糊聚類(lèi)法對(duì)IMF分量進(jìn)行重構(gòu)，一方面能夠避免直接對(duì)各分量進(jìn)行預(yù)測(cè)的運(yùn)算量大問(wèn)題；另一方面，在灰色模糊聚類(lèi)過(guò)程中引入灰色關(guān)聯(lián)熵賦權(quán)，使得高頻項(xiàng)和低頻項(xiàng)的重構(gòu)更為準(zhǔn)確客觀。第三，高頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)具有不同的波動(dòng)特征，采用單一方法難以保證預(yù)測(cè)精度，而有針對(duì)性地選取不同的方法進(jìn)行組合預(yù)測(cè)，可有效提升整體預(yù)測(cè)精度。

綜上所述，本文構(gòu)建的CEEMDAN組合模型在匯率預(yù)測(cè)方面具有良好的理論分析性能，一方面有利于深入理解匯率波動(dòng)的本質(zhì)特征和規(guī)律性；另一方面有助于對(duì)人民幣兌美元匯率的未來(lái)短期走勢(shì)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。與此同時(shí)，該模型為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型算法，不僅適用于人民幣匯率的預(yù)測(cè)，而且適用于其他宏觀經(jīng)濟(jì)變量的分析和預(yù)測(cè)，適用范圍較廣。

在未來(lái)的研究過(guò)程中，如何利用CEEMDAN組合模型對(duì)包括匯率在內(nèi)的宏觀經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行分析仍然有許多有意義的研究方向。如匯率區(qū)間長(zhǎng)度增大時(shí)，是否需要對(duì)匯率序列進(jìn)行結(jié)構(gòu)性判斷，然后分階段對(duì)匯率序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后加權(quán)集成；對(duì)于離散型數(shù)據(jù)，將其連續(xù)化后再利用CEEMDAN模型進(jìn)行預(yù)測(cè)是否妥當(dāng)；如何拓展模型的應(yīng)用領(lǐng)域等等，都是需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。