基于遺傳算法的非球面眼鏡片設(shè)計(jì)

李念寧，項(xiàng)華中，高健東，張 露，鄭 剛,4，陳家璧，王 成,4，張大偉,3，莊松林,3

（1.上海理工大學(xué) 醫(yī)療器械與食品學(xué)院 生物醫(yī)學(xué)光學(xué)與視光學(xué)研究所，上海 200093；2.上海理工大學(xué) 教育部光學(xué)儀器與系統(tǒng)工程研究中心，上海 200093；3.上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093；4.上海理工大學(xué) 上海市介入醫(yī)療器械工程研究中心，上海 200093）

引 言

眼鏡是用于矯正屈光不正的光學(xué)器件，通過(guò)改變?nèi)肷涔饩€的聚散度使像成于視網(wǎng)膜上。設(shè)計(jì)眼鏡片時(shí)，可以將鏡片和人眼的組合視為一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)，人眼的瞳孔直徑約3～8 mm，眼球的水平視場(chǎng)可達(dá)120°，垂直視場(chǎng)可達(dá)80°，常用視場(chǎng)范圍為0°～30°。因此這是一個(gè)小孔徑、大視場(chǎng)的光學(xué)系統(tǒng)，可以忽略球差和彗差[1-2]，像散和畸變作為兩種視場(chǎng)相關(guān)性像差是影響人眼視覺(jué)的主要因素?；儾粫?huì)影響像的清晰度，但當(dāng)配戴者使用鏡片周邊區(qū)域視物時(shí)會(huì)感到不適，甚至眩暈[3-4]。球面透鏡的中心光度準(zhǔn)確，可以較好地矯正人眼屈光問(wèn)題，但是其周邊區(qū)域的像差較大，且鏡片邊緣較厚，而非球面鏡片可以改善這些缺陷[5]。

引入非球面可以改善眼鏡片的光學(xué)性能，因?yàn)榉乔蛎姹旧泶嬖诘南裆⒖梢耘c系統(tǒng)的像散抵消。非球面眼鏡片的設(shè)計(jì)基于幾何光學(xué)的基本原理，根據(jù)光線追跡可以計(jì)算出鏡片的像散和畸變。選擇合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)降低這兩種像差是設(shè)計(jì)過(guò)程中的重點(diǎn)。在前人的研究中，阻尼最小二乘法（DLS）是光學(xué)設(shè)計(jì)中最常用的優(yōu)化算法[6]，該算法簡(jiǎn)單易行，在許多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，但是這種算法也存在容易陷入最小值、運(yùn)算速度慢、依賴初始結(jié)構(gòu)的選擇等缺點(diǎn)。遺傳算法可以解決這些問(wèn)題[7-8]。Yen和Jin[9]將遺傳算法與商業(yè)光學(xué)設(shè)計(jì)軟件相結(jié)合，設(shè)計(jì)出了可減小人眼像差的人工晶狀體；Yen和Ye[10]在設(shè)計(jì)接觸鏡時(shí)將遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，提升了鏡片的球差、彗差和調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF），使配戴者戴鏡時(shí)更舒適；唐運(yùn)海等[11]將遺傳算法用于漸進(jìn)多焦鏡子午線的優(yōu)化設(shè)計(jì)，并采用加工測(cè)試的方法驗(yàn)證了算法的可靠性。雖然遺傳算法在設(shè)計(jì)眼用設(shè)備方面已有許多應(yīng)用，但是目前還沒(méi)有用于設(shè)計(jì)單光眼鏡片的研究。

本文從理論角度優(yōu)化了前彎和非球面系數(shù)以平衡像差和畸變，再根據(jù)設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)鏡片進(jìn)行仿真和加工，并測(cè)量出鏡片的光度分布情況和邊緣厚度。對(duì)比測(cè)試結(jié)果與設(shè)計(jì)結(jié)果，得到最佳的結(jié)構(gòu)參數(shù)。設(shè)計(jì)過(guò)程主要分為兩步：首先將前彎和后表面非球面系數(shù)p同時(shí)作為自變量，用遺傳算法優(yōu)化得到像差較小時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，根據(jù)毛坯庫(kù)存等實(shí)際生產(chǎn)情況，確定鏡片前彎；接著將鏡片后表面非球面系數(shù)p再次作為變量，尋找該前彎下像差和畸變最小時(shí)對(duì)應(yīng)的p。本文主要對(duì)-8 D(1 D = 1 m-1)眼鏡片進(jìn)行了設(shè)計(jì)、仿真和加工，將理論結(jié)果與測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的可靠性。

1 非球面眼鏡片設(shè)計(jì)理論基礎(chǔ)

1.1 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱非球面

二次曲面由圓錐曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成，其表達(dá)式為

式中：z是表面的矢高；y是鏡片到光軸的距離；r0是曲線頂點(diǎn)處的曲率半徑；p是二次曲面系數(shù)，且p=1-e2(e2表示與球面的偏移量)。p的取值決定了整個(gè)曲面的形狀，當(dāng)p＞1時(shí)為扁橢圓，p=1時(shí)為球面，0＜p＜1時(shí)長(zhǎng)橢圓，p＜0時(shí)為雙曲面，p=0時(shí)為拋物面[2,6,12]。

根據(jù)式（1）可以發(fā)現(xiàn)，確定鏡片直徑大小后，r0和p是影響鏡片設(shè)計(jì)的主要因素，而r0的大小由前彎決定，因此，選擇合適的前彎是設(shè)計(jì)鏡片的基礎(chǔ)[13]。

1.2 光線追跡

考慮到人眼瞳孔直徑較小，進(jìn)入眼內(nèi)的光線可視為細(xì)光束，在此條件下，Antonin等[14]提出可以采用Seidel理論來(lái)表示像差，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)單面非球面眼鏡片。該理論是像差的近似表達(dá)，只適用于涉及角度小于15°的計(jì)算，雖然能反映設(shè)計(jì)過(guò)程中像差的大致走勢(shì)，但并不精確。采用光線追跡的方法可以準(zhǔn)確計(jì)算出系統(tǒng)像差的大小，避免上述問(wèn)題。

圖1是在設(shè)計(jì)眼鏡片時(shí)所用到的眼用透鏡光路示意圖[2,15]。其中，Z是人眼旋轉(zhuǎn)中心，由于連接瞳孔中心和中央凹的線總是穿過(guò)Z，而與注視的方向無(wú)關(guān)，主光線折射后也經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，因此可以在Z處設(shè)置一孔徑光闌來(lái)替代人眼的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，限制光束進(jìn)入。O是鏡片后表面的頂點(diǎn)，鏡片位于轉(zhuǎn)動(dòng)中心O前27 mm處，物距設(shè)為無(wú)窮遠(yuǎn)。人眼轉(zhuǎn)動(dòng)角度為u2′，在此模型下可簡(jiǎn)化為軸外光線斜向入射到Z點(diǎn)，與光軸形成u2′的夾角，后續(xù)像差都是基于此角度下的計(jì)算。主光線和近軸邊緣光線分別交像面于Q′和q′點(diǎn)。

圖1 眼用透鏡光路示意圖Fig.1 Geometry of the ophthalmic lens

像散ΔFO（OAE）描述了子午面和弧矢面屈光力之間的差異，可用式（2）表示；平均斜軸差ΔFM（MOE）描述了子午面和弧矢面的平均屈光力與后頂點(diǎn)屈光力之差，可用式（3）表示。這兩個(gè)概念均可用于評(píng)價(jià)眼鏡片的光學(xué)性能。

式中：FT′和FS′分別為子午和弧矢方向的屈光力；Fv′為鏡片后頂點(diǎn)屈光力。

為確定光線在各表面的入射角和折射角，采用式（4）所示光路計(jì)算基本公式對(duì)光線進(jìn)行反向追跡。可以看作由Z點(diǎn)斜向出射的光線與光軸的夾角為u2′，先后在鏡片的后表面、前表面發(fā)生折射，而后在前表面D點(diǎn)處出射。

式中：i和i′分別為入射角度和出射角度；n和n′分別為入射和出射介質(zhì)的折射率。

完成初步的反向追蹤計(jì)算后，可以得知光線在每個(gè)面上的入射、出射角度等信息，在此基礎(chǔ)上計(jì)算子午、弧矢方向上的屈光力FT′和FS′，其值為鏡片在子午和弧矢方向焦距的倒數(shù)。為計(jì)算人眼轉(zhuǎn)動(dòng)u2′時(shí)兩個(gè)方向的焦距，采用如式（5）所示的Coddington方程對(duì)光線進(jìn)行正向追跡：

式中：s和t分別為弧矢和子午方向的焦距；rS和rT分別為弧矢和子午方向的曲率半徑，其表達(dá)式可由式（1）推導(dǎo)得出。根據(jù)計(jì)算所得的s和t可推導(dǎo)得到兩主方向上的屈光力，進(jìn)而可計(jì)算出OAE的值。

如圖2所示，理想像MQ和真實(shí)像MQ′之間的距離QQ′即為畸變q′，MQ和MQ′的大小可由圖中的幾何關(guān)系推出，其表達(dá)式為

圖2 鏡片畸變示意圖Fig.2 Distortion of the lens

上述方法適用于單面非球面和雙面非球面鏡片，本文選擇將眼鏡片的內(nèi)表面作為非球面來(lái)優(yōu)化其光學(xué)性能，減薄邊緣厚度。

1.3 遺傳算法

由于像散對(duì)視覺(jué)清晰度影響較大，因此將其作為優(yōu)化的首要目標(biāo)。盡管非球面鏡片的畸變比球面鏡片的畸變更小，但當(dāng)像散被消除后，畸變會(huì)變得明顯，尤其是對(duì)于高度近視患者而言，周邊區(qū)域的畸變會(huì)導(dǎo)致配戴者視物扭曲嚴(yán)重，產(chǎn)生強(qiáng)烈不適感。因此降低畸變對(duì)于眼鏡片的設(shè)計(jì)而言是有意義的。然而，完全消除畸變的條件較為苛刻，難以實(shí)現(xiàn)，且畸變減小的同時(shí)像散會(huì)增加，因此無(wú)法通過(guò)改變鏡片結(jié)構(gòu)參數(shù)同時(shí)消除像散和畸變。

平衡這兩種像差的問(wèn)題可視為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）可用于解決此類問(wèn)題，幫助平衡像差之間的關(guān)系。該算法的基本原理是模擬自然選擇和遺傳中選擇、交叉和基因突變的現(xiàn)象，雖然不能得到單一的解使得兩目標(biāo)函數(shù)均達(dá)到最小值，但通常有一組解可以使各個(gè)目標(biāo)值折衷，稱為Pareto解集。每次迭代過(guò)程中只保留優(yōu)秀的個(gè)體，經(jīng)過(guò)上百次的迭代，即可進(jìn)化出最符合設(shè)計(jì)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)參數(shù)[16]。

在設(shè)計(jì)過(guò)程中，將前彎和后表面非球面系數(shù)作為變量，將OAE和q′作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。類比于遺傳過(guò)程，個(gè)體就像染色體，自變量就像基因，隨機(jī)生成N組變量，就構(gòu)成了初始種群P0。通過(guò)非支配排序法對(duì)P0進(jìn)行排序，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的擁擠度后，用二進(jìn)制競(jìng)標(biāo)賽法將N個(gè)個(gè)體進(jìn)行比較，篩選出適應(yīng)度值最好的個(gè)體，即能使像散和畸變均較小的結(jié)構(gòu)參數(shù)，將這些優(yōu)秀個(gè)體轉(zhuǎn)移到下一種群中，進(jìn)行選擇、交叉、變異三項(xiàng)遺傳基本操作后，可得到第一代子代種群Q0。

將父代種群Pi和子代種群Qi合并，形成一個(gè)種群大小為2N的新種群，對(duì)其中的個(gè)體進(jìn)行快速非支配排序，同時(shí)計(jì)算每個(gè)支配層的個(gè)體擁擠度，采用精英策略按照Pareto等級(jí)從低到高、每層中個(gè)體擁擠度從大到小的順序?qū)⑶癗個(gè)個(gè)體放入新的父代種群Pi+1中，確保只有接近設(shè)計(jì)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)參數(shù)才能進(jìn)入下一迭代。對(duì)種群繼續(xù)進(jìn)行基本遺傳操作，不斷生成新的子代，直至程序滿足結(jié)束條件[7,8,17]。NSGA-Ⅱ算法的流程如圖3所示。經(jīng)過(guò)Gen次迭代，可優(yōu)化出最符合設(shè)計(jì)要求的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

圖3 NSGA-Ⅱ算法流程圖Fig.3 Algorithm flow chart of NSGA-Ⅱ

2 結(jié)果與討論

2.1 參數(shù)設(shè)置

本文以-8 D眼鏡片為例，鏡片和模型基本參數(shù)如表1所示。

表1 非球面鏡片的基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the aspheric lens

NSGA-Ⅱ模型中的基本參數(shù)如表2所示，OAE和MOE線性相關(guān)，因此為保證算法的優(yōu)化效率，只將OAE和q'作為優(yōu)化目標(biāo)。遺傳算法不依賴于初始結(jié)構(gòu)的選擇，只需根據(jù)以往文獻(xiàn)報(bào)道給出各參數(shù)的取值范圍[6,18-19]。

表2 NSGA-Ⅱ模型參數(shù)設(shè)置Tab.2 Settings of NSGA-Ⅱ Model

2.2 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

-8 D球面透鏡的前彎在0 ～6 D范圍內(nèi)變化時(shí)，其像散和畸變變化情況如圖4所示。隨著前彎的增大，30°處的像散逐漸減小，在4.80 D時(shí)像散為0，隨后繼續(xù)增大；畸變隨前彎的增大而減小，在-6%時(shí)趨于飽和。這說(shuō)明當(dāng)前彎為4.80 D時(shí)該球鏡為無(wú)像散系統(tǒng)，然而這個(gè)彎度對(duì)于眼鏡片而言過(guò)大，形狀較凸，從安全性和美觀性的角度而言，不適合用于眼鏡片設(shè)計(jì)中。

圖4 球面透鏡前彎變化時(shí)像散和畸變的變化情況Fig.4 Trend of astigmatism and distortion when the base curve of the spherical lens changes

本研究將前彎范圍設(shè)置為0.50 ～2.60 D來(lái)避免上述問(wèn)題，此時(shí)前表面相對(duì)而言較平，對(duì)于負(fù)透鏡而言，后表面對(duì)鏡片光學(xué)性能的影響更大，因此將后表面設(shè)為非球面。首先采用NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法優(yōu)化得出該范圍內(nèi)符合設(shè)計(jì)要求的前彎，并粗略計(jì)算其對(duì)應(yīng)的非球面系數(shù)p，結(jié)果如表3所示。

表3 不同前彎的－8D非球面透鏡對(duì)應(yīng)像散和畸變大小Tab.3 Astigmatism and distortion corresponding to different base curve of -8D aspherical lens

從表3可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前彎為1.7～2.60 D時(shí)，OAE的絕對(duì)值均小于0.20 D，畸變?cè)?.8%～9.5%之間浮動(dòng)。而在相同的前彎下，球面透鏡的OAE絕對(duì)值和畸變分別為0.30～0.55 D和9.7%～10.4%，這表明相比于球面鏡片，非球面鏡片的光學(xué)性能有顯著提升。

在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，會(huì)根據(jù)訂單的需求選擇前表面為球面的毛坯，這些毛坯的前彎往往是幾個(gè)固定值，用自由曲面車床對(duì)毛坯的后表面進(jìn)行切削后得到所需鏡片。由于遺傳算法中初始種群是隨機(jī)生成的，因此每次計(jì)算得到的前彎都不盡相同，但都集中在某一范圍內(nèi)，根據(jù)實(shí)際毛坯的庫(kù)存情況，選擇前彎在該范圍內(nèi)的毛坯進(jìn)行加工。對(duì)于-8 D鏡片，選取2.19 D作為鏡片的前彎。

再次將p作為變量進(jìn)行優(yōu)化，可得到光學(xué)性能更優(yōu)的鏡片結(jié)構(gòu)。優(yōu)化后的p集中于-0.35～0.1范圍內(nèi)，這說(shuō)明在2.19 D的前彎下，當(dāng)p處于該范圍內(nèi)，鏡片的像散和畸變都較小。OAE的絕對(duì)值均小于0.20 D，即便畸變?cè)?%～9.35%間浮動(dòng)。如表4所示，根據(jù)OAE的不同，選取了三組結(jié)果，其OAE分別為0 D、0.1 D和0.2 D。在-0.35～0.1范圍內(nèi)，隨著p值的增大，OAE不斷減小，而畸變隨之增大。當(dāng)p為0.093時(shí)，OAE為0，最小彌散圓位于視網(wǎng)膜上，而對(duì)應(yīng)的畸變?yōu)?.33%，相對(duì)而言略大。但相比球面鏡片，三組鏡片的像散和畸變均有所減小。

將表4中的三組數(shù)據(jù)代入式（1）中，可計(jì)算出鏡片前后表面的矢高分布。鏡片的邊厚可根據(jù)矢高計(jì)算得到。相比球面透鏡，A、B、C三組鏡片的邊厚分別減少了7.88%，9.80%和10.76%。根據(jù)矢高對(duì)鏡片的光焦度分布情況進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖5所示，左圖和右圖分別為鏡片在60 mm直徑范圍內(nèi)球鏡度、柱鏡度的分布情況?？梢园l(fā)現(xiàn)鏡片A沒(méi)有像散，但畸變相對(duì)較大，邊厚也是三組中最厚的，柱鏡度最小，為-1.51 D；鏡片C是最薄的，但其最大柱鏡度為-1.98 D，是三組中最大的，這意味著鏡片光焦度從中心到邊緣變化最快，這會(huì)使配戴者用邊緣區(qū)視物時(shí)產(chǎn)生眩暈等不適感；鏡片B的光焦度變化程度相比鏡片C更平緩，厚度比鏡片A更薄。

圖5 不同設(shè)計(jì)的-8 D鏡片仿真圖Fig.5 Simulation of -8 D lenses with different design parameters

表4 優(yōu)化后三組鏡片的光學(xué)性能Tab.4 Three groups of structural parameters with different optical performance

從鏡片的邊緣厚度來(lái)看，鏡片B比鏡片A薄0.18 mm，鏡片厚度越薄，重量就越輕，配戴時(shí)對(duì)鼻梁的壓迫就越小，這對(duì)高度屈光不正患者尤其有意義。但鏡片A的光學(xué)性能更好，其像散為0，MOE也是三種設(shè)計(jì)中最小的，這意味著鏡片所成的最小彌散圓最接近人眼視網(wǎng)膜，成像質(zhì)量更佳。根據(jù)圖6可以發(fā)現(xiàn)，雖然本設(shè)計(jì)方法是針對(duì)30°角度處光學(xué)性能的優(yōu)化調(diào)整，但在該范圍之內(nèi)的OAE最大不超過(guò)0.1 D，而球鏡的OAE則隨轉(zhuǎn)動(dòng)角度的增大而增大，在30°邊緣處OAE可達(dá)0.45 D；子午和弧矢方向的屈光力很接近，在30°處重合；兩種設(shè)計(jì)鏡片的畸變均隨角度的增大而增大，在10°范圍以內(nèi)基本一致，但在10°之外的區(qū)域非球面鏡片畸變比球鏡更小。這說(shuō)明鏡片A設(shè)計(jì)的周邊區(qū)域像散比球鏡小，全視場(chǎng)范圍內(nèi)的成像質(zhì)量都符合設(shè)計(jì)要求。

圖6 30°區(qū)域內(nèi)鏡片光學(xué)性能對(duì)比Fig.6 Optical performance comparison of lenses in 30° region

Sun等[6]采用阻尼最小二乘法來(lái)優(yōu)化鏡片，雖然鏡片的像散幾乎為0，厚度也顯著降低，但畸變甚至比球面透鏡更大；且鏡片的前表面是一個(gè)平面，并不是作為眼鏡片的最佳選擇。且采用阻尼最小二乘法前，需要確定初始結(jié)構(gòu)參數(shù)，以此作為基礎(chǔ)進(jìn)行優(yōu)化，這需要設(shè)計(jì)者有一定的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，否則會(huì)使優(yōu)化陷入局部最小值，從而無(wú)法獲得滿足設(shè)計(jì)要求的結(jié)構(gòu)。根據(jù)李蕊等[20]所采用的鏡-眼模型，采用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件設(shè)計(jì)一個(gè)同樣的-8 D鏡片，其前表面曲率半徑r1初步定為300 mm，后表面曲率半徑r2采用光焦度求解方式確定，人眼轉(zhuǎn)動(dòng)角度為30°，中心厚度、折射率等參數(shù)與表1中的數(shù)據(jù)一致。將鏡片后表面的非球面系數(shù)和r1作為變量，在默認(rèn)評(píng)價(jià)函數(shù)中將邊厚最大值限制為9 mm，將降低光斑半徑作為優(yōu)化目標(biāo)，用阻尼最小二乘法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，易得到圖7所示結(jié)果。優(yōu)化后的r1為79.5 mm，換算成前彎為8.4 D，前表面形狀過(guò)凸，導(dǎo)致整個(gè)鏡片邊緣處越過(guò)了人眼前表面；且該鏡片后表面周邊區(qū)為平面，平面和曲面之間存在連接點(diǎn)，不光滑，不利于加工；雖然整個(gè)系統(tǒng)的均方根（RMS）光斑半徑為9.9 μm，光學(xué)性能有所提升，但該結(jié)構(gòu)不適合作為眼鏡片使用，需要對(duì)系統(tǒng)作進(jìn)一步調(diào)整后才能得到符合要求的設(shè)計(jì)結(jié)果。而遺傳算法不需要構(gòu)建初始結(jié)構(gòu)，降低了對(duì)設(shè)計(jì)人員的要求，把目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)代入程序即可進(jìn)行設(shè)計(jì)，操作簡(jiǎn)單且結(jié)果更優(yōu)。將鏡片A的設(shè)計(jì)參數(shù)代入上述模型中，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8所示。-8 D近視狀態(tài)下的裸眼RMS半徑為95.7 μm，而戴鏡后RMS光斑半徑為13.5 μm，成像質(zhì)量顯著提升；雖然提升幅度不如最小二乘法所得結(jié)果，但鏡片結(jié)構(gòu)更為合理，面型光滑，無(wú)反曲點(diǎn)，易于加工，更適合作為眼鏡片使用。

圖7 采用阻尼最小二乘法優(yōu)化后的光路結(jié)構(gòu)Fig.7 Optimized structure with damping least squares

圖8 鏡片A的光路結(jié)構(gòu)Fig.8 Structure of lens A

從仿真結(jié)果看，鏡片C的光度分布情況最不符合設(shè)計(jì)要求，因此只將鏡片A、B和球面透鏡用數(shù)控自由曲面加工車床進(jìn)行加工，并用面型測(cè)量?jī)x（VM-2000）來(lái)測(cè)量60 mm直徑內(nèi)的光度分布情況，測(cè)量結(jié)果如圖9所示。鏡片A和B的球鏡度從中心向邊緣分別改變了2.00 D和2.50 D，鏡片邊緣處最大柱鏡度分別為-1.25 D和-1.75 D。與仿真結(jié)果相比，變化趨勢(shì)相同，變化量約有0.25 D的誤差，但在可接受范圍內(nèi)。使用焦度計(jì)（NIDEK LM-600P，日本）測(cè)量鏡片A和B的中心光焦度，結(jié)果分別為-7.98 D和-7.99 D，與設(shè)計(jì)值的誤差為0.02 D和0.01 D，在允差范圍內(nèi)。

圖9 不同設(shè)計(jì)的-8D鏡片測(cè)量光度分布圖Fig.9 Measurements of power of -8D lenses with different design parameters

通過(guò)設(shè)計(jì)-8 D鏡片，可以發(fā)現(xiàn)NSGA-Ⅱ算法可以有效優(yōu)化非球面眼鏡片的光學(xué)性能。為進(jìn)一步驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性，利用該方法設(shè)計(jì)了-5～-12 D的透鏡，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的像差和厚度，結(jié)果如圖10所示，可以看到所有鏡片的軸外像差均有所降低，邊緣厚度平均減少了8.5%。

圖10 -5～-12 D鏡片設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.10 Design results of lenses with different power of -5 to -12 D

本研究采用的設(shè)計(jì)方法中，像散雖然并沒(méi)有完全消除，但仍在人眼可接受范圍內(nèi)，且畸變比球面透鏡?。粚?duì)前彎進(jìn)行了優(yōu)化，使鏡片呈新月形，不僅有助于提升鏡片的光學(xué)性能，也使鏡片外觀更美觀。此外，大部分研究進(jìn)行理論分析和仿真，而本研究中對(duì)設(shè)計(jì)的鏡片進(jìn)行了加工和測(cè)試，通過(guò)實(shí)踐證明了理論的可行性，對(duì)鏡片實(shí)際生產(chǎn)具有指導(dǎo)意義。

3 結(jié) 論

本文重點(diǎn)研究了通過(guò)改變非球面鏡片的結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)降低其像散和畸變，采用光線追跡計(jì)算眼鏡片的像差，改變前彎和非球面系數(shù)后像差得以減小，然而隨著像散的減小，畸變隨之增大。為解決該多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，引入NSGA-Ⅱ算法來(lái)平衡像差以獲得更好的視覺(jué)效果。本文重點(diǎn)闡述了-8 D鏡片的設(shè)計(jì)過(guò)程，并得出以下結(jié)論：

1）眼鏡片的畸變隨前彎的增大而減小，并趨于一個(gè)固定值，不能完全消除；

2）對(duì)于單面非球面透鏡，不能同時(shí)消除多個(gè)像差，本文將像散作為最主要的像差進(jìn)行校正；

3）采用雙曲面作為鏡片后表面是最適合負(fù)透鏡的形式；

4）通過(guò)模擬自然選擇的過(guò)程，將光線追跡與NSGA-Ⅱ算法相結(jié)合，可以有效計(jì)算出多組參數(shù)，從中篩選出像差小、厚度薄的鏡片結(jié)構(gòu)參數(shù)。

本文還將理論結(jié)果與實(shí)際生產(chǎn)情況相結(jié)合，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。該算法也適用于其他眼用透鏡，如正透鏡和柱鏡。此外，還可以對(duì)高階系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以進(jìn)一步研究其對(duì)非球面透鏡設(shè)計(jì)的影響。本文中僅將后表面作為非球面，該設(shè)計(jì)方法也可應(yīng)用于雙面非球面鏡片的設(shè)計(jì)，可獲得光學(xué)性能更好、厚度更薄的鏡片。