基于小波稀疏的全息顯微成像研究

顧鵬翔，楊 波，宗 卉

（上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引 言

顯微成像是一門(mén)比較成熟的技術(shù)，而無(wú)透鏡全息顯微鏡則是一項(xiàng)新興的，具有廣闊前景的計(jì)算成像技術(shù)。無(wú)透鏡全息顯微鏡沒(méi)有復(fù)雜的光學(xué)透鏡系統(tǒng)，是通過(guò)全息成像[1]、圖像重建技術(shù)以及圖像傳感器的使用來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、輕巧、成本低，對(duì)于遠(yuǎn)程醫(yī)療、野外檢測(cè)、高校課堂實(shí)驗(yàn)這些實(shí)時(shí)的應(yīng)用場(chǎng)景需要比較短的處理時(shí)間的生物檢測(cè)等方面有著重要的意義。

為了使成像結(jié)構(gòu)盡可能緊湊，將參考光和物光在同一方向上共同傳播，并用數(shù)字圖像傳感器陣列記錄這兩束光產(chǎn)生的干涉圖樣的強(qiáng)度。由于記錄的全息圖像只包含了復(fù)雜場(chǎng)的強(qiáng)度信息，因此光在反向傳播過(guò)程中將在原始圖像上產(chǎn)生偽影。同離軸全息結(jié)構(gòu)不同，離軸全息可以通過(guò)角譜傳播去除偽影，而偽影將會(huì)對(duì)像質(zhì)產(chǎn)生很大的影響。由于數(shù)字全息顯微鏡中樣本到傳感器的距離很小，樣本和傳感器的視場(chǎng)大小是相同的，因此，偽影的影響將進(jìn)一步放大。在數(shù)字全息術(shù)中，可以通過(guò)施加偽影不滿足的物理約束來(lái)消除偽影，基于這種約束，通過(guò)迭代以減少錯(cuò)誤算法來(lái)實(shí)現(xiàn)[2]。對(duì)于單個(gè)物體，這種方法所需的全息圖的測(cè)量很簡(jiǎn)單，但是在處理密集連接的樣本（例如血液紅細(xì)胞、病理學(xué)切片等）時(shí)，會(huì)帶來(lái)很大的挑戰(zhàn)[3]。為了解決這一問(wèn)題，需要進(jìn)行多次多樣的測(cè)量，例如樣本到傳感器的距離、照明角度、波長(zhǎng)等。然而，之前的研究表明，對(duì)于病理學(xué)的切片或者生物組織等密集連接的樣本，需要進(jìn)行過(guò)度采樣[4]。例如，在對(duì)血液紅細(xì)胞進(jìn)行多高度測(cè)量時(shí)，通常需要8幅，甚至更多的具有不同高度（樣本到傳感器距離）的全息圖才能得到高質(zhì)量的重建圖像。這不僅增加了測(cè)量的數(shù)據(jù)，也增加了處理的時(shí)間?；谏鲜鰡?wèn)題，提出一種基于小波稀疏化的全息顯微成像技術(shù)。

對(duì)于生物樣本，可以在某些小波域進(jìn)行稀疏表示，用基于小波域的稀疏約束進(jìn)行圖像重建以減少所需全息圖的測(cè)量，并且得到像質(zhì)比較好的圖像。實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于緊密連接的生物樣本（例如血液紅細(xì)胞、病理切片等），三個(gè)不同的樣本到傳感器距離的全息圖就能實(shí)現(xiàn)迭代重建。

本文所述的稀疏約束方法同之前報(bào)告中的壓縮全息有很大的不同。對(duì)于孤立的物體，自由的空間傳播本身就是一種有效的壓縮感知的編碼機(jī)制，可以從傳統(tǒng)的低采樣預(yù)測(cè)出高維度的數(shù)據(jù)。而本文所述的基于小波的稀疏重建是對(duì)密集連接的樣本而不是孤立的，并且可以在20 mm2的視場(chǎng)（等于傳感器的范圍）實(shí)現(xiàn)對(duì)血液紅細(xì)胞樣本的顯微成像。

這種基于稀疏的圖像重建方法可以擴(kuò)展到其它相關(guān)的顯微鏡成像中，例如多角度或者多波長(zhǎng)的圖像重建[5-8]。還可以結(jié)合最近比較熱門(mén)的超分辨寬視場(chǎng)技術(shù)以及多路復(fù)用彩色圖像技術(shù)，可以進(jìn)一步減少全息測(cè)量的數(shù)量，利用一些新的算法，可以實(shí)現(xiàn)高效便捷的顯微技術(shù)。

1 基本原理

1.1 稀疏表示

稀疏表示是近年來(lái)圖像處理和模式識(shí)別方向的研究熱點(diǎn)。信號(hào)稀疏表示的目的就是在給定的超完備字典中用盡可能少的原子來(lái)表示信號(hào)，可以獲得信號(hào)更為簡(jiǎn)潔的表示方式，從而更容易地獲取信號(hào)中所蘊(yùn)含的信息，方便更進(jìn)一步對(duì)信號(hào)進(jìn)行加工處理，如壓縮、編碼等[9]。信號(hào)稀疏表示方向的研究熱點(diǎn)主要集中在稀疏分解算法、超完備原子字典和稀疏表示的應(yīng)用等方面。信號(hào)稀疏表示的兩大主要任務(wù)就是字典的生成和信號(hào)的稀疏分解。對(duì)于字典的選擇，一般有分析字典和學(xué)習(xí)字典兩大類。常用的分析字典有小波字典、超完備DCT字典和曲波字典等，常用的學(xué)習(xí)字典的方法有MOD算法、K-SVD算法等。一個(gè)信號(hào)可以稀疏地表示為冗余字典中少量原子的線性組合。

字 典D=(d1,d2,···,dm)∈Rn*m(m＞n) ，其 中每一個(gè)原子dj∈Rn，信號(hào)x∈Rn可以表示為

式中a=[α1,α2,···,αm] 為分解系數(shù)，當(dāng)a中非零元素的數(shù)目?jī)H為k個(gè)時(shí)，稱a為k稀疏信號(hào)，或者稱信號(hào)x在字典D下是k稀疏信號(hào)。若m=n，字典D為完備字典，字典內(nèi)的各個(gè)原子相互正交；若m＞n時(shí)，字典D是冗余的；若m?n，字典D為過(guò)完備字典，字典內(nèi)的各個(gè)原子并不是相互獨(dú)立的[10]。

圖1形象地表示了稀疏表示的基本原理。

圖1 稀疏表示的基本原理Fig.1 The operation principle of sparse representation

1.2 角譜傳播理論

在獲得了一系列寬視場(chǎng)、低分辨率，具有不同樣本到傳感器距離的全息圖后，這些全息圖的信息可以表示為

式中： λ 為照明波長(zhǎng)；n為折射率；zi為樣本到傳感器之間的距離；o為對(duì)象函數(shù)；A為參考平面的振幅。ASP[.] 算子表示自由空間傳播的角譜，其計(jì)算方法是將信號(hào)進(jìn)行空間傅里葉變換，然后乘光學(xué)傳遞函數(shù)H(vx,vy;λ,n,zi) ，其中光學(xué)傳遞函數(shù)為

式（3）相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器，vx與vy為空間頻率之后進(jìn)行傅里葉反變換，全息圖的強(qiáng)度Ii(x,y)是通過(guò)傳感器獲取的，它的采樣間隔和像素間距是相對(duì)應(yīng)的。為了使圖像恢復(fù)的更好，還需要進(jìn)行數(shù)字注冊(cè)，使得全息圖的相位等信息都是相關(guān)的[11]。

2 算法步驟

2.1 總體方法

首先用無(wú)透鏡全息顯微鏡獲得3幅初始圖像，通過(guò)角譜傳播理論，得到恢復(fù)的初始圖像，再進(jìn)行小波稀疏處理，得到高分辨率的圖像。為了評(píng)價(jià)3幅圖的恢復(fù)效果，將8幅圖通過(guò)多高度迭代的算法恢復(fù)作為對(duì)比[12]，用SSIM算法比較相似度。

2.2 基于迭代的多高度恢復(fù)算法

這種方法是一種錯(cuò)誤減少算法，利用不同高度的全息圖作為一種物理約束，使得圖像在每一次迭代中進(jìn)行不斷的校正。如果將距離CCD傳感器最遠(yuǎn)的全息圖看做第1幅圖的話，傳播到第2幅圖時(shí)進(jìn)行振幅約束，這里的振幅是得到的全息圖強(qiáng)度的平方根，此時(shí)，全息圖得到了更新，以此類推，直到傳播到最后一個(gè)全息圖（第8幅或者16幅）；到達(dá)最后一幅圖后，進(jìn)行反向傳播，同樣將振幅不斷進(jìn)行更新，直到回到第1幅圖完成第1次迭代。此算法通常需要迭代30次或者達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)后停止。此算法在基于稀疏的圖像重建算法當(dāng)中作為初始的輸入，之后再進(jìn)行稀疏約束等操作[13]。

2.3 基于小波稀疏的多高度恢復(fù)算法

基于小波稀疏的多高度恢復(fù)算法流程圖如圖2所示。

圖2 基于小波稀疏的多高度恢復(fù)算法流程圖Fig.2 Flowchart of multi-height recovery algorithm based on wavelet sparsity

此算法的基本思路參考圖3所示。

圖3 多高度恢復(fù)算法Fig.3 Multi-height recovery algorithm

第一步：對(duì)3幅不同高度的全息圖進(jìn)行正向角譜傳播，物理約束后，振幅得到校正，進(jìn)行反向角譜傳播，最終回到物平面，得到較高分辨率的全息圖，作為下一步的輸入。

第二步：將上一步結(jié)果進(jìn)行小波正變換，得到一系列小波系數(shù)，此時(shí)，還不認(rèn)為是稀疏的，需要進(jìn)一步稀疏化。

第三步：確定稀疏域，并不斷更新稀疏域的振幅，這里需要保證小波系數(shù)中大的值不變，同時(shí)更新其余的系數(shù)，將系數(shù)值很小的變?yōu)榱恪?/p>

第四步：減少稀疏域以外區(qū)域的錯(cuò)誤，通過(guò)放縮來(lái)調(diào)節(jié)系數(shù)的大小。

第五步：在小波域中，對(duì)圖像進(jìn)行閾值去燥處理，最后，進(jìn)行小波反變化。不斷重復(fù)以上步驟，直到收斂為止[14]。

2.4 評(píng)估成像質(zhì)量

運(yùn)用SSIM算法對(duì)基于小波稀疏的恢復(fù)圖像進(jìn)行像質(zhì)評(píng)估[15]。SSIM算法是基于結(jié)構(gòu)相似性的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)，結(jié)構(gòu)性表現(xiàn)在圖像的像素間存在著很強(qiáng)的相關(guān)性，而大多數(shù)的質(zhì)量評(píng)估方法是使用線性變換來(lái)分解圖像信號(hào)，例如，均方誤差（MSE）、峰值信噪比（PSNR）等，不涉及相關(guān)性，因此，這種方法可以更加直觀的來(lái)比較失真圖像與參考圖像結(jié)構(gòu)的相似性。

SSIM測(cè)量系統(tǒng)是通過(guò)檢查圖像的對(duì)比度、亮度、結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系來(lái)獲取信息。其中，圖像的對(duì)比度是通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)偏差 σp來(lái)評(píng)估的，其表達(dá)式為

式中：N為分塊總數(shù)，利用的是滑動(dòng)窗將圖像分塊；xi、yi分別為x、y方向的像素指數(shù)； μp代表第p幅圖（即Up）的亮度。

結(jié)構(gòu)是通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖像的協(xié)方差 σ1,2來(lái)評(píng)估的，其表達(dá)式為

根據(jù)以上可將兩幅圖的SSIM定義為

式中C1,C2是穩(wěn)定常數(shù)。為了避免分母為0造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定，令C1=(k1L)2,C2=(k2L)2,k1?1,k2?1 ,k1,k2為值很小的常數(shù)，L為圖像灰度級(jí)數(shù)，對(duì)于8 bit灰度圖像，L=255 。

3 基于小波稀疏的圖像處理

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

無(wú)透鏡全息顯微鏡如圖4所示。一種局部相干光源（氙燈附在單色器上，帶寬5 nm），耦合到單模光纖（直徑100 μm）。取樣距離（光源到樣本的距離）Z1為10 cm，傳感器距離（樣本到傳感器的距離）Z2為0.7～1 mm。使用CCD傳感器對(duì)樣品進(jìn)行采樣，此時(shí)，樣品的視場(chǎng)等于CCD的有效區(qū)域，這樣得到無(wú)透鏡全息圖，通過(guò)對(duì)不同Z2上的樣品進(jìn)行多重強(qiáng)度測(cè)量來(lái)重建密集樣本的圖像。考慮到在線全息圖可能出現(xiàn)的旋轉(zhuǎn)和變化，需要對(duì)成像數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)字注冊(cè)、對(duì)準(zhǔn)，然后經(jīng)過(guò)迭代處理，恢復(fù)缺失的光學(xué)信息，這樣就可以在不需要任何復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)的情況下，實(shí)現(xiàn)樣本的顯微成像[16]。

圖4 全息顯微鏡工作圖Fig.4 Hologram microscopy

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證基于小波稀疏的圖像重建算法，在不同的高度（即樣品到傳感器的距離）獲得了一組（8幅）圖。首先，將基于迭代的多高度恢復(fù)方法應(yīng)用于這8幅全息圖上，并將此恢復(fù)的高分辨圖作為參考圖像，如圖5所示。用基于小波稀疏的方法來(lái)恢復(fù)同樣的3幅不同高度的圖像，效果是可以與8幅圖的恢復(fù)結(jié)果相對(duì)比的，如圖6所示。為了量化圖像重建的質(zhì)量，我們對(duì)這些圖像進(jìn)行SSIM計(jì)算，結(jié)果如表1所示。對(duì)于人體血液樣本，用基于小波稀疏的重建方法，其SSIM值為0.840 7；在此基礎(chǔ)上，用4幅不同高度的全息圖進(jìn)行小波稀疏恢復(fù)，結(jié)果如圖7所示，其SSIM值為0.870 3。

圖5 8幅圖迭代重建結(jié)果Fig.5 Iterative reconstruction results of eight images

圖6 3幅圖小波稀疏重建結(jié)果Fig.6 Iterative reconstruction results of three images

表1 不同切片對(duì)應(yīng)恢復(fù)方法的SSIM值Tab.1 The SSIM value of different slices corresponds to the recovery method

圖7 4幅圖小波稀疏重建結(jié)果Fig.7 Iterative reconstruction results of four images

以上結(jié)果表明，我們可以減少至少兩倍的全息圖數(shù)量將圖像恢復(fù)出來(lái)，這不僅減少了測(cè)量的次數(shù)和時(shí)間，同時(shí)還能滿足空間分辨率以及顯微鏡的視野，這對(duì)于無(wú)透鏡顯微鏡的實(shí)現(xiàn)及其重要。在基于稀疏的多高度恢復(fù)方法中，我們使用了一個(gè)CCD傳感器，它的像素大小為 2.2 μm，達(dá)到了傳統(tǒng)臺(tái)式顯微鏡的分辨率。這不僅不需要顯微鏡復(fù)雜的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，也不需要很多的鏡片來(lái)成像，還降低了顯微鏡的成本。

我們已經(jīng)證明了多高度全息成像可以用稀疏表示來(lái)恢復(fù)圖像，但同時(shí)，基于稀疏的信號(hào)恢復(fù)還可以用于其它的物理測(cè)量，例如，多角度照明，波長(zhǎng)掃描等，這些在生物樣品的測(cè)量方面運(yùn)用非常廣泛。

另外，本文所述的小波變換可以是很多種小波變換，例如μmCDF97小波變化，這在壓縮圖像方面也有很大的運(yùn)用。對(duì)于稀疏表示，還可以運(yùn)用自適應(yīng)的方法，例如字典學(xué)習(xí)都可以達(dá)到稀疏化，超分辨的目的。對(duì)于本項(xiàng)工作而言，其主要目的是減少原始數(shù)據(jù)的測(cè)量，同時(shí)保證圖像的質(zhì)量，因此，選擇合適的測(cè)量方法以達(dá)到所要求的目標(biāo)是最重要的。

重構(gòu)算法中一個(gè)很重要的方面就是初始化，當(dāng)在自由空間傳播時(shí)，低空間頻率的信號(hào)包含了關(guān)于樣本的大部分信息，因此低頻小波帶是不能被認(rèn)為是稀疏的。另一方面是各個(gè)全息圖的距離需要經(jīng)過(guò)不斷的嘗試，找到初始化最優(yōu)時(shí)的距離。

4 結(jié) 論

本文研究了一種基于小波稀疏的圖像重建算法，用于對(duì)密集連接的樣本進(jìn)行數(shù)字在線全息成像。這種算法能夠利用不同的高度（樣品到傳感器距離）的少量全息圖來(lái)重構(gòu)生物樣本的圖像，這比之前基于迭代的多高度重建方法中使用的全息圖的數(shù)量至少減少了兩倍。使用人體血液切片實(shí)現(xiàn)了無(wú)透鏡超分辨的要求，且視野達(dá)到了20 mm2，這對(duì)于生物醫(yī)學(xué)、臨床醫(yī)學(xué)等方面都會(huì)有很大的幫助，大大提高了實(shí)驗(yàn)效率，同時(shí)還降低了顯微鏡的成本。這種基于稀疏的重建方法還可以運(yùn)用在其他超分辨全息成像技術(shù)中，例如，多個(gè)照明角度或多個(gè)照明波長(zhǎng)，這些成像技術(shù)都可以用來(lái)增強(qiáng)相干全息顯微鏡的空間帶寬。