結構動力學中若干問題辨析

潘旦光 魯文艷

摘要：針對結構動力學教學過程中運動方程建立、運動方程求解的若干問題進行討論，主要包括動力學和靜力學剛度系數的區(qū)別，頻響函數和脈沖響應函數的Fourier變換條件及對動力反應的影響，滯后阻尼體系的頻響函數等問題。僅考慮集中質量平動自由度的體系，動力學剛度系數是指平動自由度產生單位位移而轉動自由度放松情況下所受的力，靜力凝聚方法和單位位移法所得剛度系數是相同的;無論是無阻尼體系還是有阻尼體系，頻響函數和脈沖響應函數的Fourier變化關系都精確成立;時域特解包含穩(wěn)態(tài)振動和伴生自由振動，而頻域特解僅為體系的穩(wěn)態(tài)解，兩者之間的差別主要在振動的初始階段，自振頻率越低，差別越大。對于滯后阻尼體系，負頻率的頻響函數應為正頻率頻響函數的共軛函數。

關鍵詞：剛度系數;靜力凝聚;時域方法;頻域方法;滯后阻尼

中圖分類號： TU311.3;G642.3?? 文獻標志碼：A?? 文章編號：1005-2909（2021）02-0079-11

結構動力學是結構抗震抗風設計的基礎，是土木工程專業(yè)非常重要的一門課程[1-3]。土木工程中大量的建筑為桿系結構，因此，結構動力學的教學內容以集中質量平面桿系結構的動力反應為主。下面對桿系結構中運動方程的建立和求解中易混淆的若干問題進行討論。

在運動方程建立方面，平面桿系結構每個結點有3個自由度，包括2個平動自由度和1個轉動自由度。在靜力學位移法中通過附設剛臂和鏈桿得到體系的自由度[4]，在動力學計算中常采用集中質量模型，且忽略質量的轉動慣量，因此動力自由度僅包含平動自由度[5]。此時，以剛度法建立運動方程時動力自由度剛度系數的求解是計算的難點。事實上，動力學剛度系數和靜力學剛度系數是有區(qū)別和聯(lián)系的，為說明兩者之間的聯(lián)系，將通過靜力凝聚[6]的方法說明動力學剛度系數是轉動自由度放松下，動力平動自由度產生單位位移所需施加的力。

在運動方程的求解方面，為求體系的動力反應常用時域方法或頻域方法。時域的計算方法很多，包括杜哈梅（Duhamel）積分法、中心差分法、Newmark法等直接積分法。時域法的核心是脈沖響應函數，而頻域法的核心是頻響函數。雖然大部分教材中論述了脈沖響應函數和頻響函數互為Fourier變化對，但是，在證明時通常將時域積分上限和下限擴展到無窮大，

然后，令時域結果等于頻域結果[7-8]。這易于造成時域解和頻域解總是相等及脈沖響應函數和頻響函數成為Fourier變換對僅適用于有阻尼體系的誤解。事實上，由于伴生自由振動的存在，時域解與頻域解有一定的差別。無論體系有無阻尼，脈沖響應函數和頻響函數Fourier變化關系都是成立的。同時，隨著大量材料耗能的實驗結果與頻率無關[9-10]，此時，采用滯后阻尼模型更符合實驗結果。但直接利用滯后阻尼建立的頻響函數是關于頻率的偶函數，將導致頻域計算結果不正確。針對頻域解和時域解的問題，首先從廣義Fourier變換角度討論脈沖響應函數和頻響函數Fourier變化關系，然后，討論頻域解和時域解的差異，以及滯后阻尼模型的復系數動力方程表示方法。

一、靜力學和動力學剛度系數的區(qū)別和聯(lián)系

所謂的剛度系數是指產生單位位移所需施加的力。這個定義既適用于靜力學剛度系數又適用于動力學剛度系數。求剛度系數時，首先用附加約束將所有自由度約束，然后，使待求自由度產生單位位移，求解所需施加的力。差別在于靜力學剛度系數求解時，附加約束針對所有的平動自由度和轉動自由度。對于忽略質量轉動慣量的集中質量模型，動力自由度不包含轉動自由度，因此，附加約束僅為約束平動自由度的附加鏈桿，即動力學剛度系數求解時，附加鏈桿產生單位位移時，桿端是存在轉角的。因此，動力學剛度系數可采用靜力學中的位移法進行計算[11]，具體求解方法如下：

（1）在平動自由度相關位移處施加鏈桿約束;

（2）使鏈桿產生單位位移;

（3）用位移法或力法求解由超靜定結構支座位移引起的結構內力，并畫出彎矩圖;

（4）根據結構彎矩圖計算附加約束的支座反力，即為動力自由度的剛度系數。

以帶集中質量的橫梁剛度為有限值的剛架為例，說明動力學剛度系數的求解，如圖1（a）所示。在忽略桿件軸向變形的情況下，該結構只有一個水平自由度。為求解體系的剛度系數，可在水平位移方向附設水平鏈桿，如圖1（b）所示，并使水平鏈桿產生單位位移，此時附加鏈桿所受的力就是剛度系數。因此，通過支座位移下超靜定結構的計算，可繪制單位位移下的彎矩圖，如圖1（c）所示，取橫梁為隔離體，如圖1（d）所示，得到該體系的剛度系數k=84EI5l3，

則體系的自由振動方程為

由上面的分析可知，剛度依然是產生單位位移所需施加的力，這和靜力學的定義一樣。但橫梁剛度為有限值，圖1（b）在產生單位水平位移的同時，節(jié)點B和C是存在角位移的。靜力學中對每個角位移和線位移分別產生單位位移，其余自由度位移為零下求得剛度系數。動力學中，沒有轉動自由度相關的動力荷載，轉動自由度可由平動自由度根據靜力關系求解，而不作為獨立自由度。這表明靜力學和動力學的剛度系數本質是一樣的，動力學中轉動自由度可以采用靜力方法由平動自由度求解，無需作為獨立變量而在形成動力運動方程前將轉動自由度凝聚。從這個角度看，集中質量的剛架體系，平動自由度的動力學剛度系數實際上就是靜力學剛度系數采用靜力凝聚法而得到的結果。因此，動力學剛度系數計算時，可以先采用靜力學方法計算平動和轉動的剛度矩陣，采用靜力凝聚的方法將轉動自由度凝聚后所得的剛度就是動力學剛度系數。根據這個思路，在求解圖1的運動方程時，可先假定體系具有3個自由度：橫梁的平動自由度u，B點、C點的轉動自由度θ1和θ2，如圖2所示。

則由位移法可得體系的靜力學剛度矩陣

[K]=k11k12k13k21k22k23k31k32k33（2）

式中：剛度系數k11=24EIl3，k22=k33=8EIl，k12=k21=k13=k31=-6EIl2，k23=k32=2EIl。用u，θ1，θ2表示圖1（a）體系的自由振動運動方程為

m00000000u¨θ¨1θ¨2+k11k12k13k21k22k23k31k32k33uθ1θ2=000 （3）

由于θ1，θ2不存在慣性力，采用靜力凝聚法[7]可得

θ1θ2=-k22k23k32k33-1k21k31u（4）

將式（4）代入式（3）第一行的方程可得

mu¨+ku=0（5）

式（5）中

k=k11-k12k13k22k23k32k33-1k21k31（6）

將剛度系數代入式（6）可得k=84EI5l3，與式（1）中的剛度系數k相同。由式（4）可知，在得到u的時程后，可采用靜力方法得到θ1和θ2的時程，即轉動自由度存在但不獨立。因此，從剛度系數的角度看，靜力學和動力學是相同的，區(qū)別在于以集中質量桿系結構求解平動自由度的動力學剛度系數時，桿端的轉動自由度是放松的，而求解平動自由度的靜力學剛度系數時，轉動自由度是約束的。

二、頻響函數和脈沖響應函數的關系

在任意荷載f（t）作用下，單自由度粘滯阻尼體系的強迫振動方程可表示為

mu¨+2mωζu·+ku=f（t）（7）

式中：u，u·和u¨分別為位移、速度和加速度，m和k分別為體系的質量和剛度系數，ζ為體系的阻尼比，ω=k/m為體系的自振頻率。

在零初始條件下，由杜哈梅積分可得式（7）的時域分析結果

u（t）=∫t0p（τ）h（t-τ）dτ（8）

式中：h（t）為脈沖響應函數。利用Fourier變換可得式（7）的頻域解為

u（t）=12π∫+∞-∞H（θ）F（θ）eiθtdθ（9）

式中：F（θ）為f（t）的Fourier變化，H（θ）為頻響函數。脈沖響應函數和頻響函數為Fourier變換對。 即：

H（θ）=∫+∞-∞h（t）e-iθtdt

h（t）=12π∫+∞-∞H（θ）eiθtdθ（10）

為證明式（10）中的Fourier變換，結構動力學教材[7-8]通常將時域積分上限和下限擴展到無窮大，并令時域解和頻域解相等，即：

u（t）=∫+∞-∞p（τ）h（t-τ）dτ=12π∫+∞-∞H（θ）F（θ）eiθtdθ （11）

在時域積分下限方面，由于t<0時，p（t）=0，因此，時域積分下限由0變?yōu)?∞不影響計算結果。在時域積分上限方面，克拉夫[7]認為積分的啞標大于積分上限時，脈沖響應函數為零，因此，積分上限由t改變?yōu)?∞不影響積分結果。而俞載道[8]則認為對于有阻尼體系，當時域積分上限為+∞時，初始條件的影響對體系的影響可忽略不計，體系進入穩(wěn)態(tài)振動。這些解釋易于產生以下兩方面誤解：（1）根據克拉夫的解釋，易于誤解時域解與頻域解在任意時刻的位移反應都相等。（2）根據俞載道的解釋，只有當體系存在阻尼時，瞬態(tài)振動的影響才能被消除，此時脈沖響應函數和頻響函數互為Fourier變化對才成立。為此，從數學角度證明無阻尼體系（ζ=0）和有阻尼體系（ζ≠0）的脈沖響應函數和頻響函數互為Fourier變換對的關系。

1.無阻尼體系

無阻尼體系的脈沖響應函數可表示為

h（t）=1mωsinωtt00t<0（12）

根據Fourier變換的定義，式（12）的Fourier變換可表示為

H（θ）=∫+∞-∞h（t）e-iθtdt=1mω∫+∞0e-iθtsinωtdt （13）

利用Laplace變換[12]

∫+∞0e-atsinbtdt=ba2+b2（14）

將a=iθ，b=ω代入式（14）可得

H（θ）=1m（ω2-θ2）（15）

式（15）所得結果就是無阻尼體系的頻響函數，這表明，無阻尼體系的頻響函數和脈沖響應函數互為Fourier變化對是成立的，無需利用阻尼消除瞬態(tài)反應。

2.有阻尼體系

有阻尼體系的脈沖響應函數可表示為

h（t）=1mωde-ζωtsinωdtt00t<0 （16）

式中：ωd=ω1-ζ2為有阻尼體系的自振頻率。根據Fourier變換的定義，式（16）的Fourier變換可表示為

H（θ）=∫+∞-∞h（t）e-iθtdt=1mωd∫+∞0e-（ζω+iθ）tsinωdtdt（17）

將a=ζω+iθ，b=ωd代入式（14）可得

H（θ）=1m（ω2-θ2+i2ζωθ）（18）

式（18）所得結果就是有阻尼體系的頻響函數。式（15）和式（18）由脈沖響應函數Fourier變換的定義直接計算得到，這表明無論體系是否存在阻尼，脈沖響應函數和頻響函數都互為Fourier變換對，而無需引入其他條件。

三、時域解和頻域解的差異

在非零初始條件下，任意荷載下式（7）的時域完全解可表示為

u（t）=e-ζωt（A1cosωdt+A2sinωdt）+∫t0 f（τ）h（t-τ）dτ （19）

u·（t）=-ζωe-ζωt（A1cosωdt+A2sinωdt）+ωde-ζωt（-A1sinωdt+A2cosωdt）+∫t0 f（τ）dh（t-τ）dtdτ（20）

在同樣情況，頻域的完全解可表示為

u（t）=e-ζωt（B1cosωdt+B2sinωdt）+12π∫+∞-∞H（θ）F（θ）eiθtdθ（21）

u·（t）=-ζωe-ζωt（B1cosωdt+B2sinωdt）+

ωde-ζωt（-B1sinωdt+B2cosωdt）+12π∫+∞-∞ iθH（θ）F（θ）eiθtdθ（22）

式（20）～式（22）是在相同初始條件下同一體系的位移和速度反應，因此，兩者的計算結果必然完全相同。但是，方程中的待定常數是不同的。若已知體系的初始位移和初始速度為u（0）和u·（0），則由式（19）和式（21）可得

u（0）=A1=B1+12π∫+∞-∞ H（θ）F（θ）dθ（23）

由式（20）和式（22）可得

u·（0）=-ζωA1+ωdA2=-ζωB1+ωdB2+12π∫+∞-∞ iθH（θ）F（θ）dθ（24）

A1和A2表示由初始條件所引起的自由振動，當體系為零初始條件時，A1和A2都等于零。事實上，體系的瞬態(tài)振動既包括由初始條件所引起的自由振動，還包括受強迫振動荷載引起的伴生自由振動[11]。而式（9）頻域解的計算結果僅包含穩(wěn)態(tài)振動，因此，頻域完全解中的待定常數B1和B2包括自由振動和伴生自由振動的影響。從這個角度看，A1和A2實際上僅反映了體系自由振動。兩種求解方法待定系數的差別在于伴生自由振動，即：

A1-B1=12π∫+∞-∞H（θ）F（θ）dθ（25）

A2-B2=12πωd∫+∞-∞（ζω+iθ）H（θ）F（θ）dθ （26）

由此可知，對于有阻尼體系，當t→+∞時，瞬態(tài)振動的影響可忽略不計，式（11）成立。對于無阻尼體系和有阻尼體系的初始階段，式（11）是不成立的。因此，式（11）僅在有阻尼體系t→+∞時才成立，而不適用于無阻尼體系，則以此為基礎進行頻響函數和脈沖響應函數的證明不是很嚴密。

為加強對時域解和頻域解差別的理解，下面分別用時域方法和頻域方法計算簡諧荷載和地震作用下單自由度體系的解。

算例1：分別用時域方法和頻域方法計算無阻尼單自由度體系在簡諧荷載f（t）=f0sinθ1t作用下的特解。

（1）時域解

根據式（12）的脈沖響應函數，由式（8）可得

u（t）=f0mω∫t0sinθ1τsin[ω（t-τ）]dτ=

-f0kθ1/ω1-θ21/ω2sinωt+f0k11-θ21/ω2sinθ1t（27）

（2）頻域解

首先計算荷載的Fourier變換

F（θ）=f0∫+∞-∞sinθ1te-iθtdt=iπf0[δ（θ+θ1）-δ（θ-θ1）]（28）

式中：δ為單位脈沖函數。將式（28）和式（15）代入（9），可得

u（t）=f0i2∫+∞-∞H（θ）[δ（θ+θ1）-δ（θ-θ1）]eiθtdθ=f0k11-θ21/ω2sinθ1t （29）

對比式（27）和式（29）可知，時域解比頻域解多一項與自振頻率相關的函數-f0kθ1/ω1-θ21/ω2sinωt。這項是體系的伴生自由振動，而頻域解僅包含穩(wěn)態(tài)振動，無阻尼體系的時域解和頻域解并不相同。

算例2：分別用時域方法和頻域方法計算有阻尼單自由度體系在簡諧荷載f（t）=f0sinθ1t作用下的特解。

（1）時域解

根據式（16）的脈沖響應函數，有阻尼體系的杜哈梅積分為

u（t）=f0mωd∫t0e-ζω（t-τ）sinθ1τsin[ωd（t-τ）]dτ=

-e-ζωt（ζωD+θ1Cωdsinωdt+Dcosωdt）+Csinθ1t+Dcosθ1t（30）

式中：C=f0mω21-v2（1-v2）2+（2ζv）2，D=f0mω2-2ζv（1-v2）2+（2ζv）2，v=θ1/ω。

（2）頻域解

荷載的Fourier變換如式（28）所示，將式（28）和式（18）代入（9），整理后可得

u（t）=f0i2∫+∞-∞H（θ）[δ（θ+θ1）-δ（θ-θ1）]eiθtdθ=Csinθ1t+Dcosθ1t （31）

式（30）和式（31）再一次表明時域解中包含伴生自由振動，而頻域解僅包含穩(wěn)態(tài)振動。對于有阻尼體系，時域積分上限趨向于無窮大時伴生自由振動趨向于零，時域解的穩(wěn)態(tài)振動解等于頻域解。

算例3：地震反應分析

圖3所示天津波為1976年11月25日在天津醫(yī)院臺站所采集的地震波，地震波的采樣時間間隔為0.01 s，計算時長為20.48 s。已知體系的阻尼比ζ=0.05，初始速度和初始位移為零，則天津波地震輸入作用下自振頻率分別為1 Hz和0.1 Hz體系的時域解和頻域解如圖4所示。

由圖4可知，自振頻率相對較高的1 Hz體系，在地震的初始階段，時域解和頻域解有明顯的差別，但6 s后，時域解和頻域解基本重合;而自振頻率很低的0.1 Hz體系，在整個地震持時范圍內，時域解和頻域解都有明顯差別。為分析自振頻率導致時域解和頻域解差別的原因，將地震作用的等效荷載f（t）=-mu¨g（t）進行離散Fourier變換，即

f（t）=N/2j=0ajcosθjt+N/2-1j=1bjsinθjt（32）

式中：N為時間的等分點數，θj=2πj/NΔts （j=0， 1， 2，…， N/2），Δts是采樣時間間隔，tn=nΔts （n=0，1，2，…，N-1），

a0=1NN-1n=0f（tn），aN/2=1NN-1n=0f（tn）cos（θN/2tn）。

當j=1，2，…，N/2-1時，

aj=2NN-1n=0f（tn）cos（θjtn），bj=2NN-1n=0f（tn）sin（θjtn）。

對于每項簡諧荷載，時域解都包括伴生自由振動和穩(wěn)態(tài)振動，而頻域解僅有穩(wěn)態(tài)振動。即體系的時域解為

u（t）=-e-ζωtN/2j=0（Acjsinωdt+Bcjcosωdt）-

e-ζωtN/2-1j=1（Asjsinωdt+Bsjcosωdt）+

N/2j=0（Ccjsinθjt+Dcjcosθjt）+

N/2-1j=1（Csjsinθjt+Dsjcosθjt）（33）

體系的頻域解為

u（t）=N/2j=0（Ccjsinθjt+Dcjcosθjt）+N/2-1j=1（Csjsinθjt+Dsjcosθjt）（34）

式中：

Acj=ζωDcj+θjCcjωd，Bcj=Dcj，

Asj=ζωDsj+θjCsjωd，Bsj=Dsj，

Ccj=ajk2ζvj（1-v2j）2+（2ζvj）2，

Dcj=ajk1-v2j（1-v2j）2+（2ζvj）2，

Csj=bjk1-v2j（1-v2j）2+（2ζvj）2，

Dsj=bjk-2ζvj（1-v2j）2+（2ζvj）2。

式（33）右邊的第一和第二項為不同激振頻率伴生自由振動引起的瞬態(tài)振動，式（34）頻域解中沒有伴生自由振動而只有穩(wěn)態(tài)振動。由于瞬態(tài)振動是以e-ζωt衰減，當阻尼比一定時，瞬態(tài)振動衰減與體系的自振頻率有關，自振頻率越高，衰減越快。因此，1 Hz體系經過6個自振周期后的瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動相比可以忽略不計。而0.1 Hz體系在20 s的時間內僅為2個自振周期，對于阻尼比為0.05的體系，瞬態(tài)振動僅衰減了0.47，整個振動持時內時域分析和頻域分析都有明顯差別。因此，對于長周期體系，由頻域分析得到體系的穩(wěn)態(tài)解，可能低估結構的反應。

四、滯后阻尼體系的頻響函數

式（7）中的粘滯阻尼體系，阻尼力與速度成正比，具有計算簡便的特點而得到廣泛應用。粘滯阻尼的耗能與頻率相關，但很多材料的耗能與頻率無關，此時采用阻尼力與位移成正比、相位差π/2的滯后阻尼模型更符合實驗結果[5]。

fd=-iηku（35）

式中： fd為阻尼力，i=-1為純虛數，k為剛度系數，η為滯后阻尼系數。在任意荷載f（t）作用下，滯后阻尼體系的運動方程為[13]

mu¨+k（1+iη）u=f（t）（36）

式中：u為復位移反應，u¨為復加速度反應。令f（t）=eiθt，所得體系的反應即為體系的頻響函數

H（θ）=1-θ2m+k（1+iη）（37）

顯然，式（37）是關于θ的偶函數，即

H（θ）=H（-θ）（38）

式（38）表明負頻率和正頻率的頻響函數是不共軛的。由于荷載的Fourier變換會出現數學上的負頻率。為使位移頻域解Fourier逆變化后的時域解實部正確，正負激振頻率下的頻響函數應為共軛復數。因此，為確保滯后阻尼體系頻域解的正確性，應將式（37）的頻響函數[14]更改為

H（θ）=1-θ2m+k（1+isgn（θ）η）（39）

式中：sgn為符號函數，當θ>0時，sgn（θ）=1;當θ<0時，sgn（θ）=-1。下面以f（t）=cosθ1t（θ1>0）為例，討論式（39）的必要性。已知cosθ1t的廣義Fourier變換為

∫+∞-∞cosθ1t·e-iθtdt=πδ（θ+θ1）+δ（θ-θ1） （40）

若以式（37）為頻響函數，則體系的位移解為

u=121-θ21m+（1+iη）keiθ1t+121-θ21m+（1+iη）ke-iθ1t=cosθ1t-θ21m+（1+iη）k（41）

若以式（39）為頻響函數，則體系的位移解為

u=121-θ21m+（1+iη）keiθ1t+121-θ21m+（1-iη）ke-iθ1t=（k-θ21m）cosθ1t+ηksinθ1t（k-θ21m）2+（ηk）2（42）

對于復系數的微分方程，f（t）=cosθ1t下方程的解等于f（t）=eiθ1t下方程解的實部[15]。在f（t）=eiθ1t下方程的復反應為

u=1-θ21m+（1+iη）keiθ1t（43）

顯然，式（42）和式（43）的實部相等，而式（41）并不等于式（43）的實部，因此，對滯后阻尼體系進行頻域分析時，應在滯后阻尼中考慮激振頻率符號的影響，以使負頻率和正頻率的頻響函數互為共軛復數。

五、結語

1）動力學和靜力學剛度系數從原理上是相同的。對于忽略質量轉動慣量的集中質量模型，動力學剛度系數是指平動自由度產生單位位移而轉動自由度放松下所受的力。動力學剛度系數也可直接利用靜力學剛度矩陣，采用靜力凝聚的方法計算。在動力學中，轉動自由度并非獨立變量，利用靜力凝聚方法可由平動自由度反應時程計算轉動自由度反應時程。

2）無論是無阻尼體系還是有阻尼體系，頻響函數是脈沖響應函數的Fourier變化都精確成立。時域特解包含穩(wěn)態(tài)振動和伴生自由振動，而頻域特解僅為體系的穩(wěn)態(tài)解，兩者之間的差別主要在振動的初始階段，自振頻率越低，瞬態(tài)振動的持續(xù)時間越長，此時頻域解在較長的時程內存在誤差。

3）對于滯后阻尼體系，在進行頻域分析時，頻響函數應在滯后阻尼中考慮激振頻率符號的影響，以使負頻率和正頻率的頻響函數互為共軛復數。參考文獻：

[1]

陳清軍，李文婷.結構動力學課程多元化教學方法探討[J].高等建筑教育，2015，24（2）：47-52.

[2]魯正，翁渝峰.中外土木工程防災專業(yè)結構動力學課程比較研究[J].高等建筑教育，2018，27（4）：13-17.

[3]潘旦光，丁民濤. 結構力學抽象理論實物化教學方法研究[J].高等建筑教育，2018，27（2）：57-60.

[4]龍馭球，包世華，袁駟. 結構力學（I）[M]. 4版.北京：高等教育出版社，2018.

[5]Chopra A K. Dynamics of Structures： Theory and Applications to Earthquake Engineering[M].New Jersey： Englewood Cliffs， Prentice-Hall， 1995.

[6]Cammarata A， Sinatra R， MADDO P D. Static condensation method for the reduced dynamic modeling of mechanisms and structures[J]. Archive of Applied Mechanics， 2019， 89（10）：2033-2051.

[7]R.克拉夫，J.彭津.結構動力學[M].王光遠，譯. 北京：高等教育出版社，2006.

[8]俞載道.結構動力學基礎[M].上海：同濟大學出版社，1987.

[9]Zhou L， Su Y S. Cyclic loading test on beam-to-column connections connecting SRRAC beams to RACFST columns [J]. International Journal of Civil Engineering，2018， 16（11）： 1533–1548.

[10]Sheng M P， Guo Z W， Qin Q， et al. Vibration characteristics of a sandwich plate with viscoelastic periodic cores [J]. Composite Structures，2018， 206： 54–69.

[11]潘旦光.結構力學（下）[M].北京：清華大學出版社，2016.

[12]桂子鵬，康盛亮.數學物理方程[M].上海：同濟大學出版社，1987.

[13]Ribeiro A M R， Maia N， Silva J M. Free and forced vibrations with viscous and hysteretic damping： a different perspective[C]//Proc. MZD-5th Int. Conf. Mechanics and Materials in Design， 2006.

[14]Chen J T， You D W. An integral-differential equation approach for the free vibration of a SDOF system with hysteretic damping [J]. Advances in Engineering Software， 1999， 30（1）： 43-48.

[15]何鐘怡. 復本構理論中的對偶原則[J]. 固體力學學報，1994（2）：177-180.

Analysis of several problems in structural dynamics

PAN Danguanga，b，LU Wenyana

（a.Department of Civil Engineering; b.Beijing Key Laboratory of Urban Underground

Space Engineering， University of Science and Technology

Beijing， Beijing 100083，P. R. China）

Abstract：

To discuss several problems in the process of establishing and solving equations of motion in structural dynamics teaching. It mainly includes the difference of stiffness coefficients between dynamic and static mechanics as well as their relationship by the static condensation， the Fourier transformation condition from impulse response function to frequency response function and their effect on dynamic response， the frequency response function of the hysteretic damping system. For the lumped-mass system with only translational degree of freedom， the stiffness in dynamics is the force required along DOF due to unit displacement at translational DOF and relaxation of rotational DOFs， and the stiffness coefficients obtained by the static condensation method and the unit displacement method are identical; Whether a system with damping or not， the Fourier transformation relationship between the frequency response function and the impulse response function is accurate; the particular solution includes steady-state vibration and free adjoint vibration in the time domain， however， only the steady-state vibration in the frequency domain. Their difference is evident for the initial stage of vibration. The difference is more noticeable for small natural frequency. For a system with hysteretic damping， the frequency response function of the negative frequency should be the conjugate function of that of the corresponding positive frequency.

Key words：

stiffness coefficients; static condensation; time domain method; frequency domain method; hysteretic damping

（責任編輯 周 沫）