Zeeman 場引起的三組分ERD 自旋軌道耦合的二維費(fèi)米氣體能譜偏移

陳正方

（江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西 贛州 341000）

1 引言

最近，超冷原子氣體的自旋軌道耦合效應(yīng)[5]受到了廣泛的關(guān)注?？烧{(diào)控粒子間相互作用強(qiáng)度和粒子間距離的新型實(shí)驗(yàn)手段使人們能夠探索這種新奇的效應(yīng)[2]。目前，人們已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了人工的自旋軌道耦合，首先是玻色氣體，然后是費(fèi)米氣體。最早實(shí)現(xiàn)自旋軌道耦合的是NIST 的小組。他們實(shí)現(xiàn)的是一種Equal-Rashba-Dresshauls(ERD)的自旋軌道耦合[3]，這種自旋軌道耦合是將Rashba 自旋軌道耦合和Dresshauls自旋軌道耦合進(jìn)行等量的疊加。相比于傳統(tǒng)的Rashba 和Dresshauls 自旋軌道耦合，這種新型的自旋軌道耦合具有各向異性。在這篇文章中我們主要的研究是含有ERD 自旋軌道耦合的費(fèi)米氣體。不同于玻色氣體，費(fèi)米氣體主要是自旋為半整數(shù)的粒子組成的氣體，它符合費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)。費(fèi)米子滿足泡利不相容原理這一重要的性質(zhì)，即兩個(gè)費(fèi)米子不能同時(shí)占據(jù)同一個(gè)量子態(tài)。在絕對零溫下，不含有相互作用的費(fèi)米粒子會兩兩依次占據(jù)不同的能帶形成費(fèi)米海。但是一旦考慮粒子間相互作用，這種費(fèi)米海就變得不再穩(wěn)定，這會引起新的集體激發(fā)模式。在費(fèi)米面上，一端的粒子會與另一端的粒子產(chǎn)生配對產(chǎn)生Cooper 對。Cooper 對的存在解釋了為什么費(fèi)米氣體中也存在超導(dǎo)效應(yīng)以及玻色愛因斯坦凝聚態(tài)。進(jìn)一步的通過配對狀態(tài)的不同我們可以將Cooper 對分為質(zhì)心動量為零和質(zhì)心動量不為零的兩種不同形式。在這篇文章中，我們主要討論了三組分含有ERD 自旋軌道耦合的二維費(fèi)米氣體的能譜，并且研究了zeeman 場對系統(tǒng)能譜的影響，進(jìn)一步研究了變化的能譜對形成Cooper 對形式的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在沒有zeeman 場時(shí)體系能譜是相互對稱的，如果考慮費(fèi)米氣體中有微弱的吸引勢，那么在同一能級上，費(fèi)米面上左右兩端方向相反大小相同動量的粒子將發(fā)生配對。在存在zeeman 場時(shí)，體系的能譜發(fā)生偏移，同樣考慮費(fèi)米氣體的微弱吸引勢，那么粒子之間依舊會發(fā)生配對，但是發(fā)生配對的粒子的動量方向相反大小不同。

2 理論推導(dǎo)和圖像

2.1 理論推導(dǎo)

我們以NIST 小組實(shí)現(xiàn)的模型作為研究對象。

這里主要包含了三組份的費(fèi)米氣體[3,4]。贗自旋向上、贗自旋向下以及無自旋這三種原子超精細(xì)態(tài)。超精細(xì)態(tài)上的粒子在受到了Raman 激光的激發(fā)后會躍遷到一個(gè)虛能級上，隨后放出光子回落到另一個(gè)超精細(xì)態(tài)上，因此這些超精細(xì)態(tài)被Raman 激光耦合。在進(jìn)行絕熱近似并在原有的模型中加入zeeman 場后可以得到體系的單粒子哈密頓量。

圖1 NIST 實(shí)現(xiàn)人工自旋軌道耦合原理圖[1]

其中

我們定義了δ為在Raman 過程中的雙光子失諧，h= ?ΩR/2表示等效Zeeman 場強(qiáng)度，ΩR是激光的Rabi頻率。作為能量單位，這里的m是原子質(zhì)量。波矢kL作為動量單位。為了方便起見，我們在本章中只考慮雙光子失諧δ= 0的情況。我們將哈密頓量對角化得到單粒子矩陣的本征值和本征向量。哈密頓量和本征值的對應(yīng)關(guān)系如下所示：

2.2 Zeeman 場對系統(tǒng)的影響

zeeman場使得在kx方向上對稱的能譜發(fā)生了偏移。體系的費(fèi)米表面發(fā)生形變，導(dǎo)致單粒子能帶的反轉(zhuǎn)對稱性破壞。因此，不可能在同一波段找到兩個(gè)動量相反但能量相同的費(fèi)米子。當(dāng)我們考慮在兩個(gè)精細(xì)態(tài)，中加入微弱相互吸引作用，系統(tǒng)就會產(chǎn)生粒子配對。這里我們考慮的是等布居數(shù)的費(fèi)米粒子系統(tǒng)，因?yàn)椴坏炔季謹(jǐn)?shù)的費(fèi)米粒子也會引起動量不為零的配對。沒有zeeman場時(shí)，粒子的配對方式應(yīng)該是同一能級上動量為+kx自旋為與動量為-kx自旋為的粒子進(jìn)行配對，對應(yīng)的cooper對的配對質(zhì)心動量為kx+(-kx)=0。當(dāng)存在zeeman場時(shí)，由于能帶發(fā)生了偏移，就會導(dǎo)致同一能帶上的兩個(gè)粒子的動能發(fā)生了位移，因此進(jìn)行配對的兩個(gè)粒子將變成同一能級上動量為+kx+Q自旋為與動量為-kx自旋為的粒子，此時(shí)粒子間的配對質(zhì)心動量變成了Q，如圖3所示。

圖2 沒有zeeman場的情況下，ky =0三組份費(fèi)米子的能譜

圖3 存在zeeman場的情況下，ky =0三組份費(fèi)米子的能譜

在動量為ky軸的能譜中我們發(fā)現(xiàn)，zeeman場使得E2和E3之間的能隙 ΔE1變大，E1和E2之間的能隙 ΔE2變小，如圖4、5所示。但是能譜的對稱性沒有遭到破壞。這說明ERD形式的自旋軌道耦合具有各向異性，而加入的zeeman場只能引起能譜kx方向上的偏移。對于ky方向單粒子的反轉(zhuǎn)對稱性并沒有被破壞。因此在考慮配對情況時(shí)只需要參考kx軸上的能譜。

圖4 沒有zeeman場的情況下，k x =0時(shí)三組份費(fèi)米子的能譜

圖5 存在zeeman場的情況下，k x =0時(shí)三組份費(fèi)米子的能譜

3 總結(jié)

我們研究了zeeman 場對于含有ERD 自旋軌道耦合的二維三組分費(fèi)米粒子能譜的影響。當(dāng)不存在zeeman場時(shí)，費(fèi)米粒子的能譜是關(guān)于動量對稱的。因此，加入微弱吸引勢后，粒子間將發(fā)生質(zhì)心動量為零的配對。當(dāng)存在zeeman 場時(shí)，費(fèi)米粒子的能譜發(fā)生了偏移，原本同一能帶上動量對稱的兩個(gè)粒子發(fā)生了動量上的位移。當(dāng)加入微弱吸引勢后，粒子間將發(fā)生質(zhì)心動量不為零的配對。