無限維Hilbert空間中算子方程的正算子解

趙轉(zhuǎn)萍

（山西工程科技職業(yè)大學(xué)，山西 太原030619）

Hilbert空間上的算子方程作為近代數(shù)學(xué)的一個重要分支一直被廣泛研究，它在線性系統(tǒng)領(lǐng)域，力學(xué)和其它領(lǐng)域中都有重要應(yīng)用.在有限維空間中，矩陣方程X+A＊X-2A=Q、X-A＊X-tA=I受到眾多學(xué)者專家的關(guān)注，并得到了方程具有正定矩陣解的許多結(jié)論［1-4］.在無限維Hilbert空間中，一些學(xué)者也給出了算子方程具有正定解的條件［5-6］.本文在文獻［6］的基礎(chǔ)上進一步研究了算子方程X-s+A＊XtA=B（s≥1，0＜t＜1），其中A，B∈B（H），B＞0有正算子解的條件.

1 預(yù)備知識

設(shè)H是一個無限維可分的Hilbert空間，B（H）為H上有界線性算子集，算子A的范數(shù)、伴隨算子、譜半徑分別用記號‖·‖、A＊，r（A）表示.

定義1設(shè)A∈B（H），如果對于任意給定的x∈H都有（Ax，x）≥0，則稱A為正算子，記作A≥0.如果A是可逆正算子，記作A＞0.對于B（H）上的正算子，下列結(jié)論成立：

（1）若P≥Q＞0，則P-1≤Q-1.

（2）如果｛Xn｝是單調(diào)有界遞增（減）的正算子序列，且有上界C1（下界C2），C1、C2∈B（H），則此算子序列必收斂于一個正算子.

定義2設(shè)A∈B（H），如果滿足A＊=A，稱A是自伴算子.

定義3設(shè)A∈B（H），稱σ（A）=sup｛λ∈C，A-λI不可逆｝是算子A的譜.

引理1［7］設(shè)P、Q是B（H）上的兩個正算子，且滿足P＞Q，如果PQ=QP，則對一切t≥1，有Pt≥Qt.

引理2［7］設(shè)A、B是B（H）上的算子，如果A≥B≥0，則‖A‖≥‖B‖.

引理3［7］設(shè)A、T、B是B（H）上的算子，且A≥T≥B，則‖T‖≤max｛‖A‖，‖B‖｝.

引理4［8］設(shè)A、B是B（H）上的兩個自伴算子且A≤B，則對任意的T∈B（H）有T＊AT≤T＊BT.

2 主要結(jié)論及證明

定理1當(dāng)算子方程X-s+A＊XtA=B存在可逆正算子解X時，則X滿足

證明 設(shè)X為方程的可逆正算子解，

一方面，因為X-s=B-A＊XtA＜B，所以

另一方面，由A＊XtA＜B，變形得

即

所以

綜上可知，結(jié)論成立.

定理1給出了方程X-s+A＊XtA=B存在可逆正算子解時，解的變化范圍.

定理2如果當(dāng)0＜t＜1時算子方程X-s+A＊XtA=B存在可逆正算子解，那么

證明 由定理1知，AB-1A＊＜X-t，因此

即

定理3如果算子方程X-s+A＊XtA=B存在可逆的正算子解，則

證明 由方程知X-s=B-A＊XtA＜B，故成立，

所以

即

同理

即

因此

由引理3知

又因為A+A＊是自伴算子，所以

定理4當(dāng)s≥1，0＜t＜1時，算子方程X-s+A＊XtA=B有正算子解的充要條件是存在正算子P使得P-s+A＊PtA≤B成立.

證明 必要性 因為方程存在正算子解X，顯然當(dāng)P=X時，P-s+A＊PtA≤B恒成立.

充分性 給定算子序列｛Xk｝：

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明X0＜X1＜…＜Xk-1＜Xk＜P.

由P-s+A＊PtA≤B知

所以

即

又因為

即

另一方面，因為X0＜P，則

所以

即X1＜P，綜上知：X0＜X1＜P.

假設(shè)Xk-1＜Xk＜P成立，下證Xk＜Xk+1＜P也成立.

一方面

即

另一方面，因為Xk＜P，則

所以

即Xk+1＜P，綜上知Xk＜Xk+1＜P.

推論 若算子方程X-s+A＊XtA=B有正算子解，則當(dāng)時，

成立.

證明 由定理4中給定的算子序列知

即

所以

證畢.