Origin軟件在研究三棱鏡色散關(guān)系與色散率曲線中的應(yīng)用

何文瑜

(廣州市天河中學(xué)，廣東 廣州 510623)

透射光柵測光波波長、分光計測三棱鏡玻璃的折射率是大學(xué)普通物理實驗中兩個重要的實驗，通過將兩個實驗結(jié)合，可以得出三棱鏡的折射率與波長的函數(shù)。傳統(tǒng)的手工描點作圖法在涉及色散關(guān)系曲線的作圖上顯然存在較大的誤差，求解超定方程組得出函數(shù)系數(shù)的過程也較為復(fù)雜[1]。用MATLAB軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理也需要進(jìn)行復(fù)雜的編程，耗時較長[2]。此外，幾乎沒有涉及棱鏡色散率曲線的研究，若采用傳統(tǒng)計算得出棱鏡對不同波長的色散率，再進(jìn)行手工繪色散率曲線圖，則需消耗大量時間，誤差也會進(jìn)一步加大。

本研究通過測量更多組譜線最小偏向角的數(shù)據(jù)，利用Origin數(shù)據(jù)處理軟件得出更精確可靠的三棱鏡色散函數(shù)關(guān)系式，擬合三棱鏡色散曲線和色散率曲線，簡化數(shù)據(jù)處理過程，減小實驗誤差。

1 實驗基本原理

1.1 透射光柵測光波波長

S為位于透鏡L1第一焦平面上的細(xì)長狹縫，G為光柵，光柵的縫寬為d，相鄰狹縫間不透明部分的寬度b，自L1射出 的平行光垂直地照射在光柵G上。透鏡L2將與光柵法線成θ角的衍射光會聚于其第二焦平面上的P點。由夫瑯和費衍射理論知，產(chǎn)生衍射亮條紋的條件(光柵方程)：

圖1 透射光柵測波長光路圖

d·sinθ=kλ(k=±1，±2，…，±n)

(1)

其中θ角是衍射角，λ是光波波長，k是光譜級數(shù)，光柵常數(shù)d=a+b，測量時觀察1級光譜，取k=1，即可求得λ[3]。

1.2 最小偏向角法測三棱鏡玻璃的折射率

如圖2，AB、AC是折射面，三棱鏡頂角為α。

圖2 三棱鏡折射光路圖

(2)

1.3 棱鏡的折射率與色散率

媒質(zhì)折射率與波長之間的函數(shù)關(guān)系稱為色散關(guān)系，在常用的色散公式中，擬合效果最好的是柯西色散公式[5]：

(3)

其中a，b，c是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，折射率與波長的關(guān)系曲線稱為色散曲線。

2 實驗數(shù)據(jù)處理與曲線擬合

2.1 實驗數(shù)據(jù)

用透射光柵測光波波長的實驗中，調(diào)節(jié)光柵，觀察到中央譜線為白亮線(k=0的狹縫像)，其兩旁各有兩級其他色的譜線，實驗過程中可以看到11條譜線，分別是三條紫光、兩條藍(lán)綠光、一條綠光、兩條黃光、兩條橙光和一條紅光的譜線。轉(zhuǎn)動望遠(yuǎn)鏡筒，可以讀出左右第一級衍射光譜的兩個角坐標(biāo)，兩角坐標(biāo)之差為對應(yīng)譜線衍射角θ的2倍。再用同一盞汞燈測量對應(yīng)顏色光譜的最小偏向角δ。得出的各譜線衍射角數(shù)據(jù)及最小偏向角數(shù)據(jù)如表1。

表1 汞燈11條譜線對應(yīng)的衍射角和最小偏向角測量值

利用綠光波長的理論值λ綠=546.07 nm，令k=1，由測量出的譜線衍射角并根據(jù)公式(1)可以求得各色光波長的測量值。由測量出的各光譜最小偏向角并根據(jù)公式(2)可以求得各色光所對應(yīng)的棱鏡折射率。計算結(jié)果如表2。

表2 汞燈11條譜線的波長以及對三棱鏡的折射率的計算值

2.2 數(shù)據(jù)處理

2.2.1 用Origin軟件最小二乘法擬合功能求三棱鏡色散函數(shù)關(guān)系

將數(shù)據(jù)輸入Origin工作表中，利用Origin軟件對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性最小二乘法擬合，得出的結(jié)果如圖3所示。

圖3 擬合報告表

2.2.2 用Origin 軟件自定義非線性擬合功能擬合三棱鏡色散曲線

通過非線性最小二乘法擬合得出的色散關(guān)系曲線如圖4，由圖像可以看出，隨著光波長的增加，其折射率逐漸減小，這樣的色散稱為正常色散。應(yīng)用色散關(guān)系曲線可以得出以下幾個信息：①若得知色光對物質(zhì)的折射率，就可通過色散公式得出光的波長，從而計算普朗克常數(shù)；②由色散關(guān)系曲線可以推出該物質(zhì)的材料；③由色散關(guān)系曲線可以估計未知波長的折射率或觀察不到的光的波長對應(yīng)的折射率。

圖4 三棱鏡色散關(guān)系的擬合曲線

用Origin軟件中的“Data Reader”功能，可以讀出擬合曲線中任意一點的橫縱坐標(biāo)值，若要讀取某一橫坐標(biāo)確定點的縱坐標(biāo)值，可用“縱向坐標(biāo)讀取工具”。圖5顯示了當(dāng)λ=401.04(紫1)時折射率n的測量值和擬合值，分別是n=1.683 1和n=1.683 7，可見擬合值與測量值吻合得較好，且由于測量光波波長時會與理論值產(chǎn)生一定的誤差，如紫1光的波長測量值的不確定度計算結(jié)果為0.8%，而擬合值可以在一定程度上減少誤差。除了可以用該工具對比測量值和擬合值，還可以讀出肉眼較難發(fā)現(xiàn)的色光對物質(zhì)的折射率，如在實驗中觀察不到波長為567.59 nm的綠光，通過色散曲線可以得出它對應(yīng)的棱鏡折射率為1.650 6，如圖6。

圖5 “縱向坐標(biāo)讀取工具”讀取數(shù)據(jù)(λ=401.04)

圖6 “縱向坐標(biāo)讀取工具”讀取數(shù)據(jù)(λ=567.59)

2.2.3 用Origin 軟件“微分”功能擬合三棱鏡色散率曲線

通過軟件“分析”菜單下的“微分”功能，選取要微分的范圍，即可對色散曲線進(jìn)行微分，得出棱鏡的色散率曲線如圖7。圖中橫坐標(biāo)為波長，縱坐標(biāo)是對折射率的一次導(dǎo)數(shù)，通過曲線可以讀出不同波長的光對應(yīng)的棱鏡色散率?？梢钥闯?，棱鏡對波長較大的光折射能力較強(qiáng)。

圖7 三棱鏡色散率曲線

3 結(jié) 語

通過運用Origin軟件中的最小二乘法擬合、繪圖、微分等功能，可以在很大程度上使數(shù)據(jù)處理過程變得更簡便、準(zhǔn)確，傳統(tǒng)的筆頭運算不能很快地得出結(jié)果，常見的利用Excel軟件也不能自定義擬合方程，只能用自帶的多項式進(jìn)行擬合，不能得出柯西色散公式形式的函數(shù)關(guān)系，缺乏科學(xué)性。且應(yīng)用Origin軟件繪圖可以準(zhǔn)確地讀出任意點的坐標(biāo)，獲取實驗過程中觀測不到的數(shù)據(jù)，能夠簡化實驗、使我們獲取更多信息。

Origin軟件的利用不僅僅局限于三棱鏡色散實驗中，更可以廣泛地用于其他物理實驗中。尤其是對于測量數(shù)據(jù)復(fù)雜、測量物理量間有某種函數(shù)關(guān)系等情況，可以采用該軟件快速準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得出更具科學(xué)性的結(jié)果。