基于改進(jìn)型阿特伍德機的重力加速度測量

趙力杰,付博洋,梁子明,景銳平

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，科研和工程對重力加速度值的精度要求越來越高，精確測量重力加速度已經(jīng)成為生活中必須面對的問題。重力加速度是地球物理研究中的一個基本矢量，也是對一般力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)分析時需要考慮的一個重要參數(shù)。重力加速度的測定，對物理學(xué)、地球物理學(xué)、重力探礦、空間科學(xué)等都具有重要意義。國內(nèi)外眾多團隊都致力于重力加速度更加精確地測定，目前用到的方法有彈簧秤和利用已知質(zhì)量的鉤碼測量，滴水法測量，單擺測量，圓錐擺測量，斜槽法測量，打點計時器測量，U型管水測量，玻璃缸水測量，邁克耳孫干涉儀測量……這些方法都注重實驗原理的創(chuàng)新。在傳統(tǒng)的測量重力加速的實驗過程中，都沒有考慮到空氣阻力、滑輪的轉(zhuǎn)動慣量等對實驗結(jié)果的影響[1-3]。本實驗中，通過增加滑輪個數(shù)，提高了測量系統(tǒng)的穩(wěn)定性；通過增加系統(tǒng)運動控制系統(tǒng)，可以做到零初速度開始測量；因為引入了新的數(shù)據(jù)處理的方法來減少空氣阻力對實驗的影響，利用PASCO系統(tǒng)可以做到精確測量，軟件對數(shù)據(jù)的精確計算，軟件對圖像的精確擬合。同時我們在測量方法上也進(jìn)行了改進(jìn)，在自由落體測量傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上引入了滑輪組和電磁鐵，減小了擺動，更好地使實驗裝置位于同一平面，從而減小實驗的系統(tǒng)誤差[4-6]。

1 實驗原理

1.1 改進(jìn)型阿特伍德機測量原理

圖1是改進(jìn)型阿特伍德機模型，在理想條件下，重力加速度與三個質(zhì)量塊運動的加速度的關(guān)系如式(1)所示：

圖1 阿特伍德機的實驗原理圖

(M1+M3-M2)g=M1a1+M2a2+M3a3

(1)

通過對加速度a1、a2、a3的測量即可以實現(xiàn)對重力加速度的測量。

在傳統(tǒng)的阿特伍德機中，考慮的是理想情況，沒有考慮到空氣阻力對于實驗結(jié)果的影響，同時，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量對實驗結(jié)果也會存在影響，使得測得實驗結(jié)果比真實值偏小。為能得到更加精確的實驗結(jié)果，我們對傳統(tǒng)的阿特伍德機在實驗裝置和實驗過程進(jìn)行了改進(jìn)。

1.2 對阿特伍德機的改進(jìn)

考慮到傳統(tǒng)阿特伍德機測量重力加速的實驗中，誤差主要來源于空氣阻力以及滑輪轉(zhuǎn)動慣量的影響，對實驗原理做如下修正：

1.2.1 空氣阻力的修正

實驗中，由于物體與空氣產(chǎn)生相對運動，由于空氣黏滯力的作用，而使物體受到來自空氣的相對運動阻力，簡稱為空氣阻力，由空氣的流體力學(xué)可知：

F1為物體所受到的空氣阻力，C為空氣阻力系數(shù)，與迎風(fēng)面積、光滑程度、整體形狀相關(guān)，ρ為空氣密度，v為相對運動速度，在實驗中，我們并不改變實驗裝置的形狀，只通過增添少量砝碼，由此，我們近似地認(rèn)為C和ρ在實驗進(jìn)行中是不變的，在無風(fēng)環(huán)境中，v即為重物下落速度。

空氣阻力F1是關(guān)于速度v的函數(shù)，我們對f1在做v0處的泰勒展開。

省略高階項，得

(2)

這樣，在一個小的速度區(qū)間[v0,v]內(nèi)，我們認(rèn)為空氣阻力f1只與區(qū)間內(nèi)得初末速度相關(guān)，可以近似為一個常數(shù)。

通過Pasco測量數(shù)據(jù)，可以得到系統(tǒng)的速度時間圖像，通過選取固定的v0和v，同時使兩者差值較小時，可以近似認(rèn)為，在不同的實驗中，在這個小的速度區(qū)間[v0,v]中，空氣阻力為相同的常數(shù)。

1.2.2 轉(zhuǎn)動慣量的修正

當(dāng)系統(tǒng)在加速運動時，對滑輪的作用力表現(xiàn)為摩擦力矩，是由滑輪的轉(zhuǎn)動慣量引起的，與系統(tǒng)加速度的大小相關(guān)。

忽略滑輪微小的形變，可以將滑輪視為理想的剛體，對于剛體有力矩為：

M=Iα

滑輪對應(yīng)的角加速度為：

其中力矩與力的關(guān)系有：

(3)

1.2.3 數(shù)學(xué)處理

聯(lián)立(1)、(2)、(3)式，得到

在實驗中，令

M1=M3

∴a1=a3=a2=a

整理得到

(4)

在實驗過程中，我們只通過增加小砝碼，使加速度發(fā)生微小的變化。同時我們選取固定小區(qū)間的v0和v。

對于小M1，有：

(5)

將(5)式簡化為：

kA-b=B

(6)

其中：

A=M1+M3-M2+M1

為我們在實驗中通過改變砝碼獲得的與質(zhì)量相關(guān)的物理量；

為空氣阻力及其他阻力的影響量，在數(shù)據(jù)的直線擬合中，作為一個不影響斜率的常量，因此可以減小空氣阻力對實驗結(jié)果的影響；

為實驗中重力作用于系統(tǒng)的加速表現(xiàn)效果，為了方便計算，將滑輪轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量對于角加速度的影響等效為質(zhì)量對于加速度的影響。由實驗中測得的加速度和系統(tǒng)質(zhì)量計算所得；通過改變M1的質(zhì)量，我們可以得到多組數(shù)據(jù)(A，B)，對數(shù)據(jù)擬合得到：

k=g

為實驗最終計算所得重力加速度的結(jié)果。

圖2 實驗裝置的基本結(jié)構(gòu)圖

2 實驗裝置設(shè)計及介紹

整體結(jié)構(gòu)方案設(shè)計示意圖如圖3所示，包含：24 V穩(wěn)壓直流電源與直流電磁鐵組成運動控制系統(tǒng)；支架、砝碼及滑輪組組成阿德伍德機；光電門、PASCO數(shù)據(jù)處理終端組成數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng)。

圖3 實驗裝置的實物圖

實驗裝置整體位于水平面上，兩個支架豎直放置，支架上固定著兩個水平的帶光電門的滑輪組。實驗裝置下方固定電磁鐵。其中，實驗裝置上方兩個滑輪間隔為一個滑輪的直徑長，第三個滑輪下方固定著軟磁物質(zhì)，通過電磁鐵的吸力固定在電磁鐵上。通過調(diào)節(jié)電磁鐵和滑輪的位置，同時保證使三個滑輪位于同一個平面內(nèi)，同時使圖中所以細(xì)線的方向豎直向下，保證受力方向與運動方向一直。在繩的兩端掛上砝碼，用以調(diào)節(jié)裝置在測量過程中的加速度。

電磁鐵的工作由直流穩(wěn)壓電源控制；電磁鐵工作電源斷開后，在重力的作用下，由于M2

3 實驗過程及結(jié)果分析

3.1 實驗步驟

正確連接好實驗裝置，打開直流電源，使用電磁鐵固定好實驗裝置，同時調(diào)節(jié)好垂直關(guān)系。

打開Pasco軟件，正確操作軟件界面，開始記錄數(shù)據(jù)，同時關(guān)閉直流電源。

增大M1的質(zhì)量，重復(fù)1、2步的操作，記錄數(shù)據(jù)。

3.2 注意事項

注意調(diào)節(jié)使三個滑輪位于同一個平面內(nèi)，并保證繩子的豎直，否則會引起滑輪的前后左右擺動，影響測量數(shù)值的影響。

對于數(shù)據(jù)的選擇，我們應(yīng)該盡量選擇兩個滑輪加速度相等的數(shù)據(jù)，來保證中間的滑輪沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動，否則會增大實驗誤差，對于不符合要求的數(shù)據(jù)，應(yīng)該剔除重新測量。

3.3 數(shù)據(jù)處理

數(shù)據(jù)見表1。

表1 (A、a、B測量值)

圖4 實驗數(shù)據(jù)直線擬合

圖5 實驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

最后得重力加速度：

g=9.79±0.08 m/s2

同樣，我們也計算了在不考慮轉(zhuǎn)動慣量和空氣阻力影響的實驗數(shù)據(jù)及其處理結(jié)果作為對比。

表2 AaB測量值

以及實驗數(shù)據(jù)的處理結(jié)果：

圖6 實驗數(shù)據(jù)直線擬合

圖7 實驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

最后得重力加速度：

g=8.48±0.03 m/s2

3.4 【結(jié)果分析】

武漢的標(biāo)準(zhǔn)重力加速度為9.793 6 m/s2?？梢钥闯鲈诳紤]到轉(zhuǎn)動慣量和空氣阻力之后，實驗數(shù)據(jù)的精確度大大提高。

4 結(jié) 語

在基于阿特伍德機測量重力加速度的實驗中，我們引入了三滑輪系統(tǒng)，能夠更好地使實驗裝置位于同一平面內(nèi)，還會使實驗更加靈活；采用了電磁鐵來控制實驗的進(jìn)行，實現(xiàn)了實驗的半自動化，同時減少了人工手動操作的系統(tǒng)誤差；利用Pasco系統(tǒng)精確采集實驗數(shù)據(jù)，實現(xiàn)對加速度精確測量，同時有Pasco軟件對數(shù)據(jù)的高智能化處理，可以實現(xiàn)對實驗數(shù)據(jù)的最優(yōu)選擇；最后我們采用數(shù)學(xué)手段，通過分析和擬合盡可能減少了空氣阻力的影響，但仍不可避免。

我們應(yīng)該認(rèn)識到，重力加速的測量在不同地區(qū)的變化確實不劇烈，但對工程而言，實現(xiàn)對重力加速度的高精度測量卻有重要意義，阿特伍德機成功滿足了這一要求。本文通過對阿特伍德機的介紹與改進(jìn)，旨在提供一種較精確測量重力加速度的力學(xué)測量方法。同樣也為設(shè)計與改進(jìn)阿特伍德機提供參考。在當(dāng)前物理實驗教學(xué)與科研中，越發(fā)注重研究的綜合性、設(shè)計性與創(chuàng)新性，希望通過對本文的研究，能對相關(guān)物理實驗教學(xué)與科研提供一定的借鑒與指導(dǎo)。