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    無失效數(shù)據(jù)場合指數(shù)分布可靠度Bayes估計的改進

    2021-07-07 14:19:26李云飛
    關(guān)鍵詞:記憶性指數(shù)分布平方和

    曾 春, 李云飛

    (西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637009)

    0 引言

    隨著社會的不斷進步,人們對產(chǎn)品的質(zhì)量要求越來越高,在高可靠性產(chǎn)品的可靠性試驗中,往往沒有樣品失效,獲得的數(shù)據(jù)稱為無失效數(shù)據(jù),而無失效數(shù)據(jù)一般不適用于經(jīng)典的數(shù)理統(tǒng)計方法,通常采用Bayes方法處理這些數(shù)據(jù)[1-2].

    1 模型假設(shè)

    可靠性壽命試驗中的截尾試驗一般有定時截尾和定數(shù)截尾兩類,由于定數(shù)截尾試驗可以得到比較多的失效數(shù)據(jù),而無失效數(shù)據(jù)通常出現(xiàn)在定時截尾試驗中,所以本文將在定時截尾試驗下進行討論[12].

    設(shè)產(chǎn)品壽命T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布exp(λ),對應(yīng)分布函數(shù)為

    隨機抽取S個樣品,分為m組,分別進行定時截尾試驗,對應(yīng)截尾時間為ti(i=2,3,…,m),試驗樣品數(shù)分別為ni,所有樣品在試驗結(jié)束之前無一失效.由此,得到一組無失效數(shù)據(jù)(ti,ni).

    綜上,模型可做以下假設(shè):

    1)當(dāng)t0=0時,產(chǎn)品的失效概率p0=P(T≤0)=F(0)=0;

    3)0=t0ti)為t=ti時的可靠度,則有0=p0

    文獻[8]中,取p2先驗分布的核為(1-p2)2,利用指數(shù)分布的無記憶性和凸性得到Ri(i=2,…,m)的取值范圍和先驗分布分別為

    2 可靠度Ri的估計

    為了更好地利用指數(shù)分布的無記憶性,假設(shè)定時截尾時間是等間隔的,即

    t2-t1=t3-t2=…=tm-tm-1=t.

    2.1R1的估計

    在無失效數(shù)據(jù)場合,當(dāng)t=t1時,有S1個樣品未失效,取失效概率p1的估計為[8]

    由此得到R1的估計為

    2.2 Ri(i=2,3,…,m)的估計

    由于F″(t)=-λ2exp(-λt)(t>0)恒小于0,所以F(t)是關(guān)于t的凸函數(shù).由凸函數(shù)的性質(zhì),

    引理1取p2的減函數(shù)(1-p2)2作為p2的先驗分布的核,則Ri(i=2,3,…,m)的先驗分布為

    證明取p2的減函數(shù)(1-p2)2作為p2的先驗分布,則p2的先驗分布為

    由于R2=1-p2,所以R2的先驗分布為

    其中,

    因為指數(shù)分布具有無記憶性這一特征,所以

    同理,根據(jù)指數(shù)分布的無記憶性可以得到

    Ri=1-pi=P(T>ti)=P(T>ti-1)R(t),

    根據(jù)引理1所求得的Ri的先驗分布,Ri的似然函數(shù)以及Bayes定理,可得Ri的后驗分布為

    則在平方損失下,Ri的Bayes估計為:

    3 參數(shù)λ的最小二乘估計

    設(shè)產(chǎn)品壽命T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布exp(λ)時,產(chǎn)品在當(dāng)t=ti時的可靠度可表示為Ri=P(T>ti)=exp(-λti),左右兩邊取對數(shù),并變號可得

    -lnRi=λti,

    -lnRi=λti+εi,

    令yi=-lnRi,利用加權(quán)最小二乘法,使得

    值達到最小,其中

    可得λ的估計為

    由此可得平均壽命θ的估計為

    任意時刻t的可靠度估計為

    4 算例分析

    本文選用文獻[8]的試驗數(shù)據(jù),如表1所示.

    表1 某可靠性試驗的無失效數(shù)據(jù)

    表2 可靠度估計結(jié)果

    接下來,通過比較誤差平方和驗證本文提出的改進方法.趙海兵等[8]提出的方法得到的誤差平方和為2.854 864 37×10-4,而本文提出的方法得到的誤差平方和為3.762 956 49×10-6.可以看出,與趙海兵等[8]提出的方法相比,利用本文提出的方法得到的誤差平方和更小,估計精度提高了98.68%.

    5 結(jié)論

    采用Bayes方法,最關(guān)鍵的是確定先驗分布,本文充分利用指數(shù)分布的凸性和無記憶性,在文獻[8]的基礎(chǔ)上修正了可靠度Ri(i=2,3,…,m)的取值上界,從而進一步修正了可靠度Ri(i=2,3,…,m)的先驗分布,得到可靠度Ri及平均壽命θ的估計.最后通過對實際數(shù)據(jù)進行計算、分析、比較,驗證了本文提出的修正方法的合理性和可行性,同時也證明了本文提出的方法提高了可靠度估計的精度.

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