引入和聲策略的果蠅算法求解邊坡最小安全系數(shù)

李 冉，曾 宇，于廣明，李 亮

(1. 青島理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，山東 青島 266033；2. 云南省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院有限公司，云南 昆明 650041)

邊坡穩(wěn)定性分析是巖土工程中常見的課題之一。用于評(píng)價(jià)邊坡穩(wěn)定性的比較完善的方法共有3種：第1種方法是極限平衡方法。該方法視滑動(dòng)土體為剛體，不考慮土體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，假定邊坡可能的滑動(dòng)面，然后利用該滑動(dòng)土體失穩(wěn)時(shí)的靜力平衡條件求解邊坡沿該滑動(dòng)面的安全系數(shù)，利用各種優(yōu)化算法變換不同的滑動(dòng)面，并從中選擇安全系數(shù)最小的滑動(dòng)面作為設(shè)計(jì)滑動(dòng)面[1-21]。第2種方法是數(shù)值分析方法，主要包括有限單元法和有限差分法。數(shù)值分析方法考慮復(fù)雜的邊坡土層情況，考慮土體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，通過與強(qiáng)度折減法結(jié)合，自動(dòng)判斷邊坡最危險(xiǎn)的滑動(dòng)區(qū)域和相應(yīng)的滑動(dòng)安全系數(shù)[22-23]。第3種方法是極限分析方法。該方法基于塑性力學(xué)中極限分析的上、下限定理發(fā)展而來。文獻(xiàn)[24]中結(jié)合上限定理發(fā)展了極限分析上限法，并基于虛功原理，推導(dǎo)了斜條分模式下邊坡安全系數(shù)的計(jì)算方法。第1種方法雖然引入各種假定，無嚴(yán)格理論基礎(chǔ)，但是計(jì)算簡(jiǎn)單，工程經(jīng)驗(yàn)豐富，在土木工程各相關(guān)規(guī)范中得到了廣泛應(yīng)用。

目前針對(duì)極限平衡方法的研究熱點(diǎn)集中在最小安全系數(shù)的搜索方面。自20世紀(jì)90年代以來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者嘗試應(yīng)用遺傳算法、粒子群算法、蜂群算法、模擬退火算法、禁忌算法、魚群算法、和聲算法、螢火蟲算法等啟發(fā)式優(yōu)化算法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)的搜索。針對(duì)復(fù)雜程度不同的邊坡穩(wěn)定分析問題，各種算法表現(xiàn)不同，每種算法各有優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，因此在已有算法基礎(chǔ)上，融合2種或多種算法提出混合搜索算法具有較強(qiáng)的研究意義和應(yīng)用價(jià)值。本文中結(jié)合和聲搜索算法和果蠅算法，提出引入和聲策略的果蠅算法，通過復(fù)雜邊坡最小安全系數(shù)優(yōu)化求解問題，對(duì)比分析基本果蠅算法和改進(jìn)的果蠅算法的計(jì)算效率。

1 邊坡穩(wěn)定性優(yōu)化模型

邊坡穩(wěn)定性優(yōu)化模型示意圖如圖1所示。邊坡穩(wěn)定性優(yōu)化模型為

minfs(g,p,f,s)，

g—邊坡的幾何形狀；ρ—邊坡土層的密度；c—邊坡土層的黏聚力；φ—邊坡土層的內(nèi)摩擦角；f—邊坡承受的荷載，如自重、堆載等；s—邊坡滑動(dòng)面。圖1 邊坡穩(wěn)定性優(yōu)化模型示意圖

式中：fs為安全系數(shù)；g為邊坡的幾何形狀；p為邊坡土層的材料參數(shù)，包括密度ρ、內(nèi)摩擦角φ與黏聚力c；f為邊坡承受的荷載，如自重、堆載等；s為邊坡滑動(dòng)面。

邊坡最小安全系數(shù)的確定原理如下：在給定邊坡幾何形狀g、土層材料參數(shù)p、荷載f的條件下，不斷變換可能的失穩(wěn)模式s，從而找到最小的安全系數(shù)及其對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面。在極限平衡方法中，滑動(dòng)面可以假定為圓弧或非圓弧，不失一般性地，本文中假定滑動(dòng)面為非圓弧，由滿足一定規(guī)則的點(diǎn)通過樣條函數(shù)插值得到，限于篇幅，非圓弧滑動(dòng)面的模擬步驟不再贅述，具體可參閱相關(guān)文獻(xiàn)[15-16]。對(duì)于給定的非圓弧滑動(dòng)面s，采用Spencer法[17]計(jì)算安全系數(shù)fs。

2 基本果蠅算法

受果蠅尋食行為啟發(fā)，潘文超[25]于2011年提出基本果蠅算法。基本果蠅算法主要通過不同果蠅發(fā)現(xiàn)的食物濃度調(diào)整果蠅的飛行方向和距離，具有參數(shù)少、簡(jiǎn)單且易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。此外，相對(duì)于其他物種，果蠅具有敏銳的嗅覺與視覺，能夠很好地搜尋到空氣里漂浮的氣味，甚至能夠嗅到40 km以外的食物源?？拷澄镂恢煤?，能憑借視覺的敏銳度找到食物和同伴聚集的位置，然后飛向目標(biāo)源。圖2所示為基本果蠅算法的計(jì)算流程?；竟壦惴ǖ膮?shù)包括果蠅個(gè)數(shù)N、最大飛行距離L、最大迭代次數(shù)t。在算法迭代開始前，首先在搜索范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)果蠅個(gè)體，位置記為Xi=(xi1,xi2,…,xin)，i=1,2,…,N，n為正整數(shù)。x1,x2,…,xn為優(yōu)化變量個(gè)數(shù)。在邊坡穩(wěn)定分析中，為了求解最小安全系數(shù)對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面，優(yōu)化變量通常包括模擬滑動(dòng)面所需的一系列變量。

圖2 基本果蠅算法的計(jì)算流程

為了便于實(shí)現(xiàn)，令最大飛行距離為向量，即L=(l1,l2,…,ln)，其中l(wèi)i為在第i維度上的最大飛行尺度。果蠅位置的味道濃度T(Xi)類似于邊坡穩(wěn)定分析中的安全系數(shù)fs(Xi)。安全系數(shù)越小，該果蠅發(fā)現(xiàn)的食物濃度越大，對(duì)其他果蠅的吸引力越大。在基本果蠅算法中，當(dāng)前果蠅群體中味道濃度最大的果蠅位置具有特別強(qiáng)的吸引力，其他果蠅個(gè)體均飛向該個(gè)體，然后在此基礎(chǔ)上繼續(xù)依靠嗅覺和視覺找尋味道濃度更大的位置，直至迭代次數(shù)達(dá)到指定的次數(shù)。基本果蠅算法的優(yōu)勢(shì)在于具有較強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力，在當(dāng)前味道濃度最大的位置附近進(jìn)行尋優(yōu)；缺點(diǎn)在于忽視了果蠅個(gè)體在朝最大濃度位置飛行過程中的自主選擇性。為此，本文中提出引入和聲策略的果蠅算法，通過算例分析，研究果蠅個(gè)數(shù)N、最大飛行距離L對(duì)計(jì)算結(jié)果的敏感性，從而為基本果蠅算法的應(yīng)用提供借鑒。

3 引入和聲策略的果蠅算法

在基本果蠅算法中，果蠅發(fā)現(xiàn)濃度最大的個(gè)體后，會(huì)直接飛向該最優(yōu)個(gè)體。實(shí)際上，果蠅在向最優(yōu)個(gè)體飛行的過程中，仍然會(huì)保留原來個(gè)體的部分信息，并根據(jù)自己的嗅覺和視覺綜合判斷朝最優(yōu)個(gè)體飛行的程度。鑒于此，本文中引入和聲策略[4]模擬該飛行過程。設(shè)當(dāng)前最優(yōu)果蠅個(gè)體位置為Xbest=(xb1,xb2,…,xbn)，擬飛向Xbest的個(gè)體為Xi=(xi1,xi2,…,xin)，利用和聲策略，確定第i只果蠅下一次飛行到達(dá)的位置。和聲策略流程如圖3所示。

圖3 和聲策略流程

在引入和聲策略后，改進(jìn)的果蠅算法計(jì)算步驟如下：

1)設(shè)定果蠅個(gè)數(shù)N，和聲策略參數(shù)hr、pr，最大迭代次數(shù)t；

2)隨機(jī)生成N個(gè)果蠅位置X1，X2，…，XN；

3)利用Spence法[17]計(jì)算N個(gè)果蠅位置X1，X2，…，XN相應(yīng)的安全系數(shù)fs(X1)，fs(X2)，…，fs(XN)；

4)挑選安全系數(shù)最小的果蠅位置，記為Xbest；

5)利用圖3所示的和聲策略產(chǎn)生第i個(gè)果蠅位置，i=1,2，…，N；

6)迭代次數(shù)加1，轉(zhuǎn)步驟3)繼續(xù)進(jìn)行搜索，直至迭代次數(shù)達(dá)到t。

4 算例分析

圖4所示考慮空間變異特性的邊坡。坡高為10 m，考慮不排水工況下邊坡的短期穩(wěn)定性，強(qiáng)度參數(shù)取為不排水強(qiáng)度cu，即考慮黏聚力與內(nèi)摩擦角的綜合強(qiáng)度。假設(shè)cu服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，均值為40 kPa，變異系數(shù)為30%，即標(biāo)準(zhǔn)差為12 kPa，cu的空間變異特性用一維(垂直)隨機(jī)場(chǎng)模擬，采用厚度為1 m的水平土層離散整個(gè)邊坡。該均質(zhì)邊坡被離散為12個(gè)水平的小土層，即不排水強(qiáng)度為cu(1)～cu(12)。在每個(gè)小水平土層內(nèi)，土體參數(shù)完全相關(guān)。在不同的小水平土層之間，土體材料參數(shù)不同，但是具有一定的相關(guān)性。根據(jù)隨機(jī)場(chǎng)理論，相關(guān)性隨著小水平土層之間距離的增大而減小，例如，cu(1)與cu(2)之間的相關(guān)性比cu(1)與cu(12)之間的相關(guān)性強(qiáng)。相關(guān)性的計(jì)算公式為

(1)

cu(i)—第i水平土層的不排水強(qiáng)度，i=1,2,…，12。圖4 考慮空間變異特性的邊坡

式中：ρcu(i)cu(j)為cu(i)與cu(j)之間的相關(guān)系數(shù)；yi為cu(i)小水平土層中心的y坐標(biāo)；yj為小水平土層cu(j)中心的y坐標(biāo)；λ為波動(dòng)范圍，是描述土層空間變異特性的參數(shù)。λ越大，則不同水平土層之間的相關(guān)系數(shù)越大。當(dāng)λ→+∞時(shí)，不同水平土層之間的相關(guān)系數(shù)均為1。

在得到相關(guān)系數(shù)矩陣后，可以利用Cholesky分解生成符合指定概率密度函數(shù)的一系列樣本。每個(gè)樣本實(shí)際上是指cu(1)～cu(12)共12個(gè)cu值。本文中的算例即針對(duì)隨機(jī)生成的10個(gè)樣本展開。表1所示為波動(dòng)范圍為1 m時(shí)，隨機(jī)生成的10個(gè)樣本值。本文中采用連續(xù)7個(gè)點(diǎn)的直線連接來模擬非圓弧滑動(dòng)面，因此優(yōu)化變量個(gè)數(shù)為7，即n=7。

表1 波動(dòng)范圍為1 m時(shí)生成的10個(gè)樣本值 kPa

4.1 基本果蠅算法參數(shù)的敏感性分析

選取果蠅群體數(shù)N=10，20，30，40，50，最大飛行距離L=(10,10,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0)，最大迭代次數(shù)t=500，針對(duì)每個(gè)樣本值進(jìn)行10次計(jì)算，得到10個(gè)最小安全系數(shù)值，利用10個(gè)安全系數(shù)值的平均值作為該樣本條件下基本果蠅算法的結(jié)果。圖5(a)所示為不同群體個(gè)數(shù)時(shí)，10個(gè)樣本條件下10次計(jì)算的平均值。由圖可知，對(duì)于某個(gè)樣本，隨著群體個(gè)數(shù)N的增加，基本果蠅算法的尋優(yōu)能力逐漸增強(qiáng)，即安全系數(shù)平均值逐漸減小。圖5(b)所示為不同群體個(gè)數(shù)時(shí)，10個(gè)樣本條件下10次計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。由圖可知，不同群體個(gè)數(shù)時(shí)，10次計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差呈現(xiàn)不同的規(guī)律。當(dāng)群體個(gè)數(shù)較小時(shí)(N=10)，對(duì)于第3樣本，標(biāo)準(zhǔn)差最小，但是安全系數(shù)平均值最大。綜合來看，當(dāng)群體個(gè)數(shù)較小時(shí)，算法尋優(yōu)效率低。由此可知，當(dāng)果蠅群體個(gè)數(shù)取大于50時(shí)，可以獲得較好的結(jié)果。

(a)安全系數(shù)平均值

算法參數(shù)取N=50，t=500，最大飛行距離分別取L=(10,10,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0)、L=(5,5,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0)和L=(1,1,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0)，研究最大飛行距離對(duì)算法參數(shù)的影響。為了便于敘述，以上3種飛行距離依次稱為飛行距離1、2、3。圖6所示為不同飛行距離時(shí)安全系數(shù)平均值的變化。由圖可知，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為10時(shí)，飛行距離3對(duì)其中6個(gè)樣本給出了最小的安全系數(shù)平均值，飛行距離1對(duì)其中4個(gè)樣本給出了較好的結(jié)果。由此可見，針對(duì)不同樣本情況，需要采取不同的飛行距離進(jìn)行計(jì)算。

圖6 基本果蠅算法最大飛行距離L的敏感性分析

4.2 引入和聲策略的果蠅算法敏感性分析

在引入和聲策略的果蠅算法中，首先設(shè)定果蠅個(gè)數(shù)N=10，和聲策略參數(shù)pr=0.1，分別選取和聲策略參數(shù)hr=1.0，0.95,0.85，研究hr對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。圖7(a)所示為10個(gè)樣本時(shí)，不同hr參數(shù)條件下，安全系數(shù)平均值的變化。為了便于比較，圖7(a)中還給出了基本果蠅算法在N=10條件下，飛行距離1時(shí)的結(jié)果。由圖可知，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為9時(shí)，改進(jìn)的果蠅算法的結(jié)果均優(yōu)于基本果蠅算法的。不同的hr會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果。hr取值越大，安全系數(shù)平均值越小，算法的尋優(yōu)效率越高。建議hr取值大于0.95。

(a)聲策略參數(shù)hr

設(shè)定hr=0.95，pr=0.1，分別研究N=10,20,30,40,50時(shí)，10個(gè)樣本條件下的安全系數(shù)平均值變化情況。圖7(b)所示為不同果蠅群體個(gè)數(shù)N對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。由圖可知，與基本果蠅算法類似，隨著N的增加，安全系數(shù)的平均值逐漸減小，說明改進(jìn)的果蠅算法中群體個(gè)數(shù)不應(yīng)取得過小，建議取為大于50。

4.3 2種果蠅算法對(duì)比分析

為了驗(yàn)證本文中改進(jìn)的果蠅算法的優(yōu)勢(shì)，對(duì)2種果蠅算法進(jìn)行對(duì)比分析。在基本果蠅算法中，取飛行距離為1。在改進(jìn)的果蠅算法中，取hr=0.95，pr=0.1，分別對(duì)比N=10,20,30,40,50時(shí)，2種果蠅算法的尋優(yōu)能力，結(jié)果如圖8所示。由圖可以看出，在N相同時(shí)，改進(jìn)的果蠅算法的尋優(yōu)能力均優(yōu)于基本果蠅算法的，表明引入和聲策略對(duì)基本果蠅算法的飛行起到了良好的促進(jìn)作用，也證明了果蠅個(gè)體在飛向濃度最大的位置時(shí)，有選擇保留原來位置的趨勢(shì)，這種趨勢(shì)會(huì)使群體獲得更好的食物。

5 結(jié)論

在邊坡穩(wěn)定分析中，快速求解最小安全系數(shù)具有較強(qiáng)的工程意義和研究?jī)r(jià)值，尤其對(duì)于考慮空間變異特性的邊坡而言更是如此。本文中綜合和聲策略和基本果蠅算法，提出改進(jìn)的果蠅算法并進(jìn)行邊坡穩(wěn)定分析，研究了基本果蠅算法中群體個(gè)數(shù)N和最大飛行距離L對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，其次還分析了和聲策略參數(shù)hr、pr對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，得到以下主要結(jié)論：

1)基本果蠅算法和改進(jìn)的果蠅算法中果蠅個(gè)數(shù)N對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較大，建議N取為大于50。

2)最大飛行距離L對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較復(fù)雜，針對(duì)不同問題建議采用不同飛行距離進(jìn)行試算，最終找到最優(yōu)結(jié)果。

3)在改進(jìn)的果蠅算法中，hr應(yīng)盡量取較大值，一般建議取為大于0.95，pr建議取為0.1。