基于ARMAX模型和稀疏正則化的結(jié)構(gòu)損傷識別方法

于 虹，朱宏平，翁 順，宋曉東，楊國靜，顏永逸，袁萬城，黨新志

(1. 華中科技大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院， 湖北 武漢 430074； 2. 中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川 成都 610031； 3. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 上海 200092)

大型工程結(jié)構(gòu)是人們工作和交通的載體，其健康服役對社會正常運(yùn)轉(zhuǎn)極其重要。工程結(jié)構(gòu)在服役過程中受到材料老化和自然災(zāi)害等因素影響，會發(fā)生不同程度的損傷，因此識別結(jié)構(gòu)中的損傷對于保障大型工程結(jié)構(gòu)的健康服役具有十分重要的意義[1,2]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對基于振動信號的損傷識別方法進(jìn)行了大量研究[3]，其中基于時間序列模型的結(jié)構(gòu)損傷識別方法受到廣泛關(guān)注。Sohn等[4]選取自回歸模型的系數(shù)作為損傷敏感特征，并利用統(tǒng)計過程控制方法識別出結(jié)構(gòu)中損傷的發(fā)生。朱軍華和余嶺[5]利用自回歸模型殘差的高階統(tǒng)計矩判斷結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷。杜永峰等[6]將損傷前后自回歸模型殘差的方差之比作為損傷敏感特征，實現(xiàn)了對結(jié)構(gòu)損傷的定位。上述基于時間序列模型的方法通常采用統(tǒng)計手段進(jìn)行損傷識別，由于難以建立統(tǒng)計指標(biāo)與結(jié)構(gòu)損傷之間的直接關(guān)系，這些方法一般僅可以識別損傷的發(fā)生，難以提供與損傷位置或程度相關(guān)的信息[7]。

結(jié)構(gòu)損傷通常只發(fā)生在整個結(jié)構(gòu)的一小部分構(gòu)件中，因此除了與損傷位置相對應(yīng)的元素之外，損傷向量中的絕大部分元素都為零，即損傷向量具有稀疏性。近年來，有學(xué)者將稀疏正則化算法引入結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域，早期主要應(yīng)用于無線傳感網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)壓縮[8]和數(shù)據(jù)恢復(fù)[9]。此后，Lai和Nagarajaiah[10]利用稀疏正則化算法識別出線性結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)，并將結(jié)構(gòu)損傷視為結(jié)構(gòu)中的恢復(fù)力變化。駱紫薇等[11,12]在基于靈敏度分析的損傷識別求解過程中加入稀疏約束條件，顯著提高了損傷識別的精度。

本文提出了一種基于有外源輸入的自回歸滑動平均模型(Auto-Regressive Moving Average with eXogenous inputs，ARMAX)和稀疏正則化的結(jié)構(gòu)損傷識別方法，實現(xiàn)了對結(jié)構(gòu)損傷的定位和定量分析。該方法首先建立與結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程相對應(yīng)的ARMAX模型，將作用在結(jié)構(gòu)上的外力視為模型的輸入，將結(jié)構(gòu)各自由度的加速度響應(yīng)視為模型的輸出。然后利用ARMAX模型的自回歸系數(shù)對結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型進(jìn)行估計，并將結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型作為損傷敏感特征。最后建立包含損傷前后結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)變化和剛度折減參數(shù)的求解方程，并使用稀疏正則化算法對方程進(jìn)行求解，解向量中的非零元素能夠反映損傷的位置和程度。通過一個六層集中質(zhì)量剪切結(jié)構(gòu)試驗，并與傳統(tǒng)損傷識別方法進(jìn)行比較，驗證了方法的有效性和準(zhǔn)確性。

1 結(jié)構(gòu)ARMAX模型

在外部激勵作用下，任一線性結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程可以表示為：

(1)

y(t)=P1y(t-1)+P2y(t-2)+Q0u(t)+
Q1u(t-1)+Q2u(t-2)+e(t)+
H1e(t-1)+H2e(t-2)

(2)

2 利用ARMAX模型識別結(jié)構(gòu)固有頻率和振型

在對ARMAX模型的參數(shù)進(jìn)行估計之后，可以用ARMAX模型的自回歸系數(shù)組集一個矩陣G，矩陣G可以表示為：

(3)

式中：I表示尺寸為nd×nd的單位矩陣，nd為結(jié)構(gòu)自由度的個數(shù)。結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型可以分別通過矩陣G的特征值和特征向量進(jìn)行估計。將矩陣G的第k階特征值和特征向量分別表示為λk和ψk，λk和ψk滿足：

Gψk=λkψk

(4)

(5)

(6)

振型中各測點對應(yīng)元素的幅值為相對值，在不同尺度下對兩個振型向量進(jìn)行比較可能會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。因此，由矩陣G識別出的結(jié)構(gòu)振型要通過式(7)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：

(7)

式中：φk為標(biāo)準(zhǔn)化處理之后結(jié)構(gòu)的第k階振型。

將復(fù)數(shù)特征值λk寫成ak+ibk形式，結(jié)構(gòu)的固有頻率可以表示為[14]：

(8)

(9)

式中：Δt為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的采樣間隔；ωk為結(jié)構(gòu)的第k階固有圓頻率。

3 利用稀疏正則化進(jìn)行損傷識別

(10)

式中：ne為結(jié)構(gòu)中單元的個數(shù)。剛度折減系數(shù)γl的取值范圍為-1～0，γl=0表示第l個單元沒有發(fā)生損傷，γl=-1表示第l個單元完全損壞。

結(jié)構(gòu)損傷識別是一種典型的結(jié)構(gòu)動力學(xué)反問題，通過損傷狀態(tài)與未損傷狀態(tài)損傷敏感特征的變化來識別損傷。基于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的損傷識別求解方程可以表示為：

Sγ=ΔR=RD-RU

(11)

式中：RD，RU分別為未損傷狀態(tài)和損傷狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，RD，RU可以通過上文基于ARMAX模型的方法從測得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和輸入力中提取得到；S表示結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)對剛度折減系數(shù)的靈敏度矩陣。本文同時使用結(jié)構(gòu)的頻率和振型進(jìn)行損傷識別，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)向量R可以表示為：

(12)

式中：nk為獲取的模態(tài)個數(shù)。

式(11)中S可以表示為：

(13)

式中：Sω，Sφ分別為結(jié)構(gòu)固有頻率和振型對剛度折減系數(shù)的靈敏度矩陣，Sω，Sφ可以通過傳統(tǒng)方法計算得到，如Nelson方法[16]。

結(jié)構(gòu)損傷單元的數(shù)量通常遠(yuǎn)小于整個結(jié)構(gòu)中的單元個數(shù)，即損傷向量具有稀疏性，因此損傷識別問題可以轉(zhuǎn)化為求式(11)的稀疏解。式(11)的稀疏解可以通過稀疏正則化算法得到，稀疏正則化算法的目標(biāo)函數(shù)J可以表示為：

(14)

τmax=‖2STΔR‖∞

(15)

式中：‖2STΔR‖∞為向量2STΔR的l∞范數(shù)。正則化參數(shù)τ的取值對式(14)的解有較大影響，本文取τ=0.01τmax。

將式(14)改寫為：

(16)

式中：ωk為結(jié)構(gòu)的第k階固有頻率；φjk為結(jié)構(gòu)的第k階振型在測點j處的值；np為測點個數(shù)。在式(16)中，將固有頻率殘差除以未損傷狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)固有頻率，使固有頻率殘差項標(biāo)準(zhǔn)化；將頻率殘差項、振型殘差項和正則化項分別除以各自向量的長度(分別為nk，nk×np，ne)，使各項具有可比性。式(16)中的優(yōu)化問題可以通過截斷牛頓內(nèi)點法[17]進(jìn)行快速求解，解向量γ中的非零元素反映結(jié)構(gòu)損傷的位置和程度。

在傳統(tǒng)的損傷識別方法中，通常使用Tikhonov正則化算法對式(11)進(jìn)行求解。與稀疏正則化相比，Tikhonov正則化的目標(biāo)函數(shù)中正則化項為解向量γ的l2范數(shù)：

(17)

式中：‖γ‖2為解向量γ的l2范數(shù)。式(17)中的優(yōu)化問題存在解析解，采用奇異值分解法進(jìn)行求解[18]。對于Tikhonov正則化，解向量γ中每個元素在正則化項‖γ‖2中的權(quán)重相同。而對于稀疏正則化，解向量γ中元素在正則化項‖γ‖1中的權(quán)重與該元素的大小成反比，即γ中的元素越小其權(quán)重越大[18]。于是在稀疏正則化中，只有γ中可以顯著減小殘差的元素被保留，而剩余的元素趨于零。因此，由稀疏正則化算法得到的解向量具有稀疏性，而由Tikhonov正則化算法得到的解向量中通常包含大量非零元素。

4 試驗驗證

4.1 試驗簡介

為了驗證所提出結(jié)構(gòu)損傷識別方法的有效性，對一個六層集中質(zhì)量剪切結(jié)構(gòu)進(jìn)行試驗研究，如圖1所示[19]。該結(jié)構(gòu)有六個相同的樓層，每一層的高度為210 mm，寬度為260 mm。柱子的截面尺寸為50 mm×1.27 mm，每一層的集中質(zhì)量(包含塑料梁、鋼塊和螺栓)為2.17 kg。首先在未損傷狀態(tài)下對結(jié)構(gòu)進(jìn)行測試，然后通過將損傷樓層的柱子更換為厚度更薄的鋼板來模擬結(jié)構(gòu)損傷，損傷樓層的剛度折減為20%左右。表1列出了六層集中質(zhì)量剪切結(jié)構(gòu)的損傷工況，在三種單損傷工況(工況1～工況3)中，結(jié)構(gòu)第四、五、六層的剛度分別折減20%。在多損傷工況(工況4)中，結(jié)構(gòu)第四和第六層的剛度同時折減20%。

圖1 六層集中質(zhì)量剪切結(jié)構(gòu)試驗照片

圖1所示的試驗?zāi)Ｐ桶惭b在振動臺上，在模型的基底輸入有限帶寬白噪聲激勵。在每個樓層的鋼質(zhì)量塊上安裝一個加速度傳感器，測量結(jié)構(gòu)水平方向的加速度響應(yīng)。在模型的基座上安裝一個加速度傳感器，記錄基底加速度響應(yīng)。加速度傳感器的靈敏度約為100 mV/g。采用VIBPILOT數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，截止頻率設(shè)置為15 Hz。對于所有工況，采樣頻率設(shè)置為400 Hz，加速度響應(yīng)時長為300 s。圖2給出了一條典型的通過測量得到的結(jié)構(gòu)頂部加速度響應(yīng)時程曲線。

表1 六層集中質(zhì)量剪切結(jié)構(gòu)損傷工況

圖2 典型結(jié)構(gòu)頂部加速度響應(yīng)時程曲線

4.2 結(jié)構(gòu)固有頻率和振型識別結(jié)果

將結(jié)構(gòu)基底的加速度響應(yīng)視為輸入，六個樓層處的加速度響應(yīng)視為輸出，可以建立與剪切結(jié)構(gòu)對應(yīng)的ARMAX模型。參照式(3)，利用ARMAX模型的自回歸系數(shù)構(gòu)建矩陣G。試驗剪切結(jié)構(gòu)中的自由度個數(shù)為6，因此矩陣G的尺寸為12×12。并通過矩陣G的特征值和特征向量識別結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。

表2列出了識別的未損傷狀態(tài)和損傷狀態(tài)下剪切結(jié)構(gòu)的固有頻率，與未損傷狀態(tài)(工況0)相比，結(jié)構(gòu)中發(fā)生損傷時，結(jié)構(gòu)的固有頻率減小。四種損傷工況的頻率下降平均值分別為-1.90%，-1.79%，-1.95%，-3.53%。未損傷工況下剪切結(jié)構(gòu)的振型識別值和理論值如圖3所示。從圖中可以看出，振型識別值與理論值吻合較好，表明利用ARMAX模型自回歸系數(shù)可以準(zhǔn)確識別出結(jié)構(gòu)的振型。使用模態(tài)保證準(zhǔn)則(Modal Assurance Criteria，MAC)值表示未損傷結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)振型的相關(guān)性，MAC值的定義為：

(18)

圖3 未損傷工況下剪切結(jié)構(gòu)振型識別結(jié)果

表2 剪切結(jié)構(gòu)固有頻率及振型MAC值識別結(jié)果

4.3 結(jié)構(gòu)損傷識別結(jié)果

利用識別出的結(jié)構(gòu)固有頻率和振型建立式(11)。對于所有損傷工況，試驗結(jié)構(gòu)中僅有1層(工況1～工況3)或2層(工況4)發(fā)生損傷，而試驗結(jié)構(gòu)共有6層，即試驗結(jié)構(gòu)中的損傷具有稀疏性。因此可以通過稀疏正則化算法對式(11)進(jìn)行求解，得到能夠反映損傷位置和程度的解向量。三種單損傷工況(工況1～工況3)的損傷識別結(jié)果分別如圖4a～4c所示，SRF識別值在實際損傷樓層處較為明顯，而在其它樓層處為零或接近于零。對于工況1～工況3，實際損傷樓層處的SRF識別值分別為-0.2115，-0.2141，-0.1956，與實際損傷程度-0.20相比誤差分別為5.75%，7.03%，2.18%。圖4d給出了多損傷工況(工況4)的損傷識別結(jié)果，在第四和第六層處的SRF識別值比較明顯，在其它樓層處的SRF識別值接近于零，這與工況4的損傷位置相吻合。在第四層處的SRF識別值為-0.2153，與實際值-0.20相比誤差為7.67%；在第六層處的SRF識別值為-0.2022，與實際值-0.20吻合很好。從圖4中的損傷識別結(jié)果可以看出，利用稀疏正則化識別出的損傷樓層與實際損傷樓層吻合，且識別出的損傷程度與實際值十分接近。

為了說明稀疏正則化相比傳統(tǒng)Tikhonov正則化的優(yōu)勢，也使用Tikhonov正則化識別圖1所示剪切結(jié)構(gòu)中的損傷，識別結(jié)果如圖5所示。盡管利用Tikhonov正則化識別出的損傷位置接近實際損傷位置，但是識別出的SRF值與實際值存在較大差異，而且識別出的SRF值分布于多個樓層。比較圖4和圖5中的識別結(jié)果可以看出，稀疏正則化的識別精度要明顯優(yōu)于Tikhonov正則化。

圖4 稀疏正則化損傷識別結(jié)果

圖5 Tikhonov正則化損傷識別結(jié)果

5 結(jié) 論

本文提出一種基于時間序列ARMAX模型和稀疏正則化的結(jié)構(gòu)損傷識別方法。從對一個六層集中質(zhì)量剪切結(jié)構(gòu)的試驗分析結(jié)果，可以得到以下結(jié)論：

(1)利用時間序列ARMAX模型的自回歸系數(shù)可以識別出結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。

(2)提出的基于ARMAX模型和稀疏正則化的損傷識別方法能準(zhǔn)確識別出結(jié)構(gòu)中損傷的位置和程度。

(3)提出的基于稀疏正則化的損傷識別方法，其識別精度相比傳統(tǒng)的損傷識別方法有明顯提高。