幾種隨機(jī)模型對(duì)北斗定位精度影響研究

孫 鵬

(新疆水利水電勘測設(shè)計(jì)研究院測繪工程院，新疆 昌吉 831100)

隨著最后一顆北斗衛(wèi)星成功發(fā)射，北斗三號(hào)全球?qū)Ш较到y(tǒng)正式開通運(yùn)行。載波雙頻或者三頻是北斗衛(wèi)星提供的精準(zhǔn)測量信號(hào)，在北斗二代提供頻率為B1I、B3I的信號(hào)基礎(chǔ)之上，北斗三代MEO衛(wèi)星與IGSO 衛(wèi)星將新增3個(gè)頻點(diǎn)為B1C、B2a、B2b的信號(hào)，這五種頻率信號(hào)為組合模型與雙差模型提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。常見的組成雙差方程中，定位解算時(shí)選擇合適的隨機(jī)模型至關(guān)重要，這關(guān)系定位解算中定權(quán)的優(yōu)劣，一個(gè)合適的隨機(jī)模型會(huì)大大提高雙差方程中質(zhì)量優(yōu)的觀測值權(quán)值，降低噪聲或者誤差較多的觀測值的權(quán)。關(guān)于隨機(jī)模型的選擇，相關(guān)文獻(xiàn)都做了大量的研究，其基本都是建立在GPS模型之上，考慮的因素也是GPS方面眾多[1-2]，為此有必要將常用的隨機(jī)模型應(yīng)用于北斗三號(hào)衛(wèi)星系統(tǒng)。

本文基于北斗開始大規(guī)模應(yīng)用的基礎(chǔ)上，以實(shí)測數(shù)據(jù)為例，以常見的四種隨機(jī)模型為討論對(duì)象，將四種隨機(jī)模型分別應(yīng)用在定位解算中，得出了各種隨機(jī)模型在實(shí)際應(yīng)用中的適用條件。這為雙差方程或者單點(diǎn)定位中隨機(jī)模型的選擇提供參考與借鑒，也為北斗衛(wèi)星全球組網(wǎng)、服務(wù)全球提供理論基礎(chǔ)。

1 北斗衛(wèi)星觀測數(shù)學(xué)模型方程

北斗衛(wèi)星提供的B1I、B3I、B1C、B2a、B2b五種頻率信號(hào)，在組成觀測方程時(shí)，不管是雙差模型還是組合模型都可應(yīng)用這五種頻率信號(hào)組成方程。在應(yīng)用最小二乘法計(jì)算時(shí)不僅需要觀測值組成的數(shù)學(xué)模型，還需要觀測值的先驗(yàn)信息。這些先驗(yàn)信息與單位權(quán)誤差構(gòu)成權(quán)值的模型，用來反映觀測值自身的誤差噪聲特性。本文在利用北斗數(shù)據(jù)時(shí)，采用雙差模型，即北斗衛(wèi)星提供的雙頻數(shù)據(jù)為例，衛(wèi)星間與測站間作差，即得到以下雙差方程式：

(1)

(2)

(3)

(4)

由此可見，雙差觀測值中的方差與協(xié)方差矩陣對(duì)定位解算結(jié)果至關(guān)重要，隨后將分別介紹常見的四種隨機(jī)模型在北斗衛(wèi)星定位解算中的應(yīng)用條件與適用條件。

1.1 等權(quán)隨機(jī)模型

(5)

1.2 高度角隨機(jī)模型

高度角隨機(jī)模型是依據(jù)某一北斗衛(wèi)星在某一歷元時(shí)刻，該衛(wèi)星相對(duì)于測站處的高度角計(jì)算建立的隨機(jī)模型。該模型認(rèn)為高度角與載波精度有很強(qiáng)的相關(guān)性，該理論依據(jù)的是高度角不同時(shí)，衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)傳播途徑也不相同。高度角與對(duì)流層延遲、電離層延遲呈正相關(guān)性，多路徑誤差減弱是由于高度角的增加導(dǎo)致的。所以常認(rèn)為高度角與載波相位精度呈正相關(guān)性。載波相位的方差可以表示為高度角函數(shù)的形式[3]，如式(6)所示。

(6)

式中，f函數(shù)包括余弦函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等常見函數(shù)形式。

指數(shù)函數(shù)方程式[4]：

σ=σ0(1+ae-ε(t)/ε0)

(7)

式中，σ0為相位觀測值的均方差，其滿足衛(wèi)星高度角90°時(shí)的數(shù)值；a為比例系數(shù)；ε(t)為時(shí)間與衛(wèi)星高度角函數(shù)數(shù)值；ε0為基線兩端點(diǎn)接收機(jī)公共觀測衛(wèi)星的高度角最大值。國外某學(xué)者利用大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總結(jié)了式(7)中的參考值，如表1所示。

表1 指數(shù)函數(shù)方程式中系數(shù)的借鑒值

正弦函數(shù)方程式[5]：

(8)

式中，E為北斗衛(wèi)星處于某一歷元時(shí)刻的高度角。該高度角隨機(jī)模型存在著不能準(zhǔn)確反映低高度角衛(wèi)星精度的缺點(diǎn)，在應(yīng)用中常常采用改進(jìn)后的正弦函數(shù)模型，該模型如式(9)所示。

σ2=a2+b2/(sin(E))2

(9)

式中，a、b常取經(jīng)驗(yàn)值a=4 mm、b=3 mm。

正切函數(shù)模型[6]:

(10)

式中參數(shù)含義如前文。

1.3 載噪比隨機(jī)模型

載噪比(C/N0)為載波在1 Hz寬帶上的能量輸出與噪聲在1 Hz寬帶上的輸出比值。該比值與多種噪聲有關(guān)，如信號(hào)傳播途徑中的電離層、大氣延遲、接收機(jī)端的多路徑誤差、接收端的硬件，該數(shù)值根據(jù)多次試驗(yàn)取45 db-Hz。國外某組織根據(jù)該比值推導(dǎo)了如式(11)所示的SIGMA-ε函數(shù)模型[7]。

(11)

式中，Ci可用式(12)計(jì)算而得：

(12)

式中，Bi為相應(yīng)頻率載波的帶寬，Hz；λi為該頻率載波的波長，m。北斗三號(hào)星通常取CB1I=0.002 24 m2Hz，CB3I=0.000 77 m2Hz。若排除其余干擾因素，或者為一定值時(shí)，C/N0與高度角成一成不變的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)外界影響條件發(fā)生變化時(shí)，其C/N0值比相同高度角情況下的數(shù)值要小。Brunner研究員利用C/N0數(shù)值提出了SIGMA-Δ非確定性模型：

σ2=Ci×10-(C/N0measured-aΔ)/10

(13)

式中，Δ為實(shí)際獲取值與條件值的差值；a為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，一般取2。

1.4 信號(hào)強(qiáng)度隨機(jī)模型

本節(jié)闡述的北斗衛(wèi)星隨機(jī)模型與前面敘述的隨機(jī)模型相比較，更能準(zhǔn)確反映出載波觀測值的質(zhì)量，但只有接收機(jī)能輸出C/N0原始值時(shí)，才可以應(yīng)用該模型。RINEX2.1版本以上的方可輸出C/N0數(shù)值，但由于沒有一個(gè)輸出國際標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一格式，所以導(dǎo)致很大一部分轉(zhuǎn)換程序不能輸出該數(shù)值。在標(biāo)準(zhǔn)格式RINEX2.0中，數(shù)據(jù)排列倒數(shù)第一位整數(shù)就是相應(yīng)頻率載波的信號(hào)強(qiáng)度，對(duì)應(yīng)的C/N0值通過下式得到[8]：

(14)

由于北斗衛(wèi)星在B1I、B3I、B1C、B2a、B2b這四種頻率上的不同，直接導(dǎo)致其輸出C/N0數(shù)值不同，頻率低，輸出C/N0值低。為使信號(hào)強(qiáng)度保持正負(fù)相關(guān)性一致，某些情況可在北斗信號(hào)接收機(jī)的相應(yīng)低頻率信號(hào)強(qiáng)度上加一常數(shù)4。信號(hào)強(qiáng)度本質(zhì)上就是C/N0值的縮減值，于是信號(hào)強(qiáng)度的觀測值方差公式為[9-10]：

(15)

2 實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 實(shí)驗(yàn)一

本次實(shí)驗(yàn)位于某高校數(shù)據(jù)采集場地，基線兩端接收機(jī)位于教學(xué)樓樓頂，視線無遮擋，視野開闊。該基線長90.8 m，一端為基站，另一端基線點(diǎn)為流動(dòng)站，二者高差較小。數(shù)據(jù)接收采用2臺(tái)iGMAS型號(hào)北斗接收機(jī)，該接收機(jī)可接收北斗衛(wèi)星五種頻率數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)采集時(shí)間為2020年6月20日，數(shù)據(jù)采樣率為1 s，本次實(shí)驗(yàn)采用500個(gè)觀測歷元，衛(wèi)星截止高度角為10°。在內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理中，增加了C/N0觀測值輸出。利用成熟的研究型開源軟件GAMIT軟件包中Track模塊進(jìn)行解算，本次實(shí)驗(yàn)為比較四種隨機(jī)模型對(duì)北斗衛(wèi)星的適用條件，將四種隨機(jī)模型利用FORTRAN語言加入到Track模塊中，其中雙頻率數(shù)據(jù)選擇B1C、B2a，定位結(jié)果如圖1所示。定位結(jié)果采用內(nèi)符合精度統(tǒng)計(jì)北(N)、東(E)、高程(U)精度指標(biāo)，如表2所示。

表2 四種隨機(jī)模型的內(nèi)符合精度值/mm

由圖1可知，北方向、東方向中這四種隨機(jī)模型均表現(xiàn)出平穩(wěn)的定位結(jié)果，高程方向由于受到更多誤差的影響定位結(jié)果較為波動(dòng)。在四種隨機(jī)模型定位結(jié)果中，載噪比定位結(jié)果最為平滑，信號(hào)強(qiáng)度、高度角定位結(jié)果次之，等權(quán)隨機(jī)模型定位結(jié)果平滑效果最差。

圖1 流動(dòng)站依據(jù)不同隨機(jī)模型獲取的坐標(biāo)值

由表2可知，文中介紹的四種隨機(jī)模型定位精度由低到高為等權(quán)隨機(jī)模型、高度角隨機(jī)模型、信號(hào)強(qiáng)度隨機(jī)模型、載噪比隨機(jī)模型，如北方向載噪比定位精度為4.2，等權(quán)模型定位精度11.5，東方向載噪比定位精度4.9，等權(quán)模型定位精度10.0。衛(wèi)星處于低高度角時(shí)，大氣延遲與多路徑加劇了衛(wèi)星觀測值中噪聲，所以采用高度角隨機(jī)模型可有效減弱多路徑與大氣延遲的影響，如高度角隨機(jī)模型北方向、東方向、高程方向定位結(jié)果分別為7.4、6.9、12.7，均優(yōu)于等權(quán)模型定位結(jié)果11.5、10.0、20.1。載噪比模型、信號(hào)強(qiáng)度模型定位結(jié)果優(yōu)于高度角模型，可證明載噪比隨機(jī)模型與信號(hào)強(qiáng)度隨機(jī)模型比高度角模型更能反映觀測值質(zhì)量。

當(dāng)衛(wèi)星信號(hào)出現(xiàn)失鎖或者遮擋情況時(shí)，即使衛(wèi)星此時(shí)高度角較大也無法用高度角隨機(jī)模型反映觀測值質(zhì)量，這時(shí)載噪比與信號(hào)強(qiáng)度隨機(jī)模型更能體現(xiàn)觀測值質(zhì)量。從圖1與表2的結(jié)果可知，載噪比、信號(hào)強(qiáng)度二者的定位結(jié)果從總體來看大致相同，在無載噪比數(shù)據(jù)時(shí)，可用信號(hào)強(qiáng)度隨機(jī)模型替代[11]。

2.2 實(shí)驗(yàn)二

本次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自某工程測量項(xiàng)目，基準(zhǔn)站架設(shè)于地基穩(wěn)固的某樓頂，流動(dòng)站位于某主干道旁，兩站均無遮擋，測站環(huán)境良好，基準(zhǔn)站與流動(dòng)站接收機(jī)均為M300 Pro型商用北斗接收機(jī)?；鶞?zhǔn)站與流動(dòng)站接收機(jī)儀器設(shè)置采樣率為1 s，衛(wèi)星高度角為10°，基線長度為1 099.4 m，該基準(zhǔn)站與流動(dòng)站高差為25.69 m。采用1 000個(gè)歷元數(shù)據(jù)參與解算，雙頻數(shù)據(jù)選擇B1I、B3I，解算策略同實(shí)驗(yàn)一。定位結(jié)果如圖2所示，內(nèi)符合精度如表3所示。

表3 流動(dòng)站坐標(biāo)內(nèi)符合精度統(tǒng)計(jì)表/mm

由圖2與表3數(shù)據(jù)可知，這三種隨機(jī)模型定位結(jié)果均較為平滑，其中高程方向定位結(jié)果與北方向、東方向定位結(jié)果在內(nèi)符合精度數(shù)值上相差較小。其中高度角模型在三個(gè)方向的定位結(jié)果均優(yōu)于其余兩個(gè)隨機(jī)模型，如高度角模型定位精度北方向、東方向、高程方向分別為5.0、4.8、5.7，均優(yōu)于載噪比模型和信號(hào)強(qiáng)度模型，這歸功于兩測站之間高差為25.69 m。當(dāng)組成雙差方程時(shí)，無法通過雙差方法將大氣延遲誤差消除掉，高差越大殘余的大氣延遲誤差越大，高度角模型可在解算雙差方程時(shí)，通過高度角這一函數(shù)調(diào)整權(quán)值來削弱殘余的大氣延遲對(duì)定位的影響。

圖2 流動(dòng)站依據(jù)不同隨機(jī)模型獲取的坐標(biāo)值

3 結(jié) 論

本文通過基線長度不同、高差不同的兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將等權(quán)模型、高度角模型、信號(hào)強(qiáng)度模型、載噪比模型在Track模塊中實(shí)現(xiàn)編程并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以兩組具有代表性的實(shí)測數(shù)據(jù)分析了這四種隨機(jī)模型的應(yīng)用條件，總結(jié)如下：

(1)等權(quán)隨機(jī)模型是一種理想的、簡單的隨機(jī)模型，本文建議在北斗數(shù)據(jù)處理中采用精度較為優(yōu)良的載噪比模型、信號(hào)強(qiáng)度模型和高度角模型，盡量不要使用等權(quán)模型，推薦根據(jù)不同情況使用這三種模型；

(2)當(dāng)基準(zhǔn)站與流動(dòng)站之間高差較大時(shí)，推薦使用高度角隨機(jī)模型，因?yàn)樵撃Ｐ湍芨佑行У販p弱大氣延遲的影響，定位結(jié)果優(yōu)于其他三種隨機(jī)模型；

(3)載噪比隨機(jī)模型、信號(hào)強(qiáng)度隨機(jī)模型定位結(jié)果大致相同，信號(hào)強(qiáng)度模型可適當(dāng)代替載噪比隨機(jī)模型，特別是無載噪比時(shí)。