基于MRPs的衛(wèi)星集群系統(tǒng)姿態(tài)對抗一致性控制

徐 揚(yáng), 韓明仁, 邵 將, 羅德林

(1. 西北工業(yè)大學(xué)民航學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2. 北京控制工程研究所, 北京 100089;3. 錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100094; 4. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所, 黑龍江 哈爾濱 150001;5. 廈門大學(xué)航空航天學(xué)院, 福建 廈門 361102)

0 引 言

衛(wèi)星小型化是當(dāng)前空間技術(shù)發(fā)展的重要方向之一,由于小型衛(wèi)星具備體積小、質(zhì)量輕、成本低且生產(chǎn)周期短等特點(diǎn),能夠節(jié)省將其送入軌道的燃料,因而整個(gè)壽命剖面中花費(fèi)的總成本能夠大為縮減[1]。由于衛(wèi)星體積小,不能搭載過多的設(shè)備,造成了其功能的單一,且無法獨(dú)立完成多種任務(wù)。因此,將多個(gè)小型衛(wèi)星集成為一個(gè)虛擬大衛(wèi)星,構(gòu)成一個(gè)完整的集群系統(tǒng),通過相互配合與合作用于執(zhí)行復(fù)雜的任務(wù)。例如,多個(gè)小型衛(wèi)星清理空間垃圾[2],以及空間站在軌組裝等[3]。上述問題可以歸結(jié)為多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制問題。一致性是多智能體控制的基本問題[4-5],然而在實(shí)際應(yīng)用中,多智能體系統(tǒng)有時(shí)需要進(jìn)行分組達(dá)到某種對稱的狀態(tài),本文的主要研究內(nèi)容便是圍繞該問題展開。

瑞典控制工程教授Altafini在第51屆IEEE決策與控制會議上最先提出多智能體系統(tǒng)對抗一致性的概念[6],其指出通信拓?fù)鋱D可以用權(quán)重為負(fù)的邊來表示個(gè)體之間的對抗關(guān)系,進(jìn)而將系統(tǒng)分成兩組。同時(shí),設(shè)計(jì)出一階線性系統(tǒng)的對抗一致性控制算法,使得多個(gè)一階線性系統(tǒng)收斂到絕對值相等且符號相反的兩種狀態(tài),實(shí)現(xiàn)了對抗一致性。文獻(xiàn)[7]將對抗一致性問題由兩組推廣到4組,并進(jìn)行了相關(guān)的數(shù)值仿真和驗(yàn)證。此外,文獻(xiàn)[8]分別研究了一階和二階線性系統(tǒng)的多組對抗一致性控制算法,且討論了時(shí)滯帶來的影響。然而,衛(wèi)星的動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)模型為二階非線性系統(tǒng)[9],針對不同的姿態(tài)描述方法,可以列出不同的二階非線性剛體姿態(tài)動力學(xué)方程。文獻(xiàn)[10]中采用一組廣義坐標(biāo),研究了帶有動態(tài)領(lǐng)航者的多歐拉-拉格朗日(E-L)系統(tǒng)的機(jī)械臂分布式協(xié)調(diào)跟蹤控制問題。Ren采用修正型羅德里格斯參數(shù)(modified Rodriguez parameters,MRPs)[11]分別討論了有、無參考輸入兩種情況下具有領(lǐng)航者的剛體姿態(tài)同步與跟蹤問題。文獻(xiàn)[12]使用四元數(shù)描述,引入了一個(gè)速度觀測器,通過設(shè)計(jì)跟蹤時(shí)變參考姿態(tài)的控制方案,實(shí)現(xiàn)沒有參考輸入的情況下姿態(tài)達(dá)到控制的一致。陳志明等人以分布式衛(wèi)星的姿態(tài)同步為目標(biāo)[13],設(shè)計(jì)了用歐拉四元數(shù)表述的衛(wèi)星姿態(tài)一致性算法,采用PWM控制法控制衛(wèi)星噴氣系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)變換,但是四元數(shù)描述衛(wèi)星姿態(tài)存在奇異的情況。Sun等人基于反演控制思想,討論由多個(gè)雙連桿機(jī)械手組成的多E-L系統(tǒng)在有向拓?fù)湎碌姆植际絽f(xié)同跟蹤問題[14]。梁曉龍等人針對具有固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的無人機(jī)集群,通過引入?yún)⒖季庩?duì)向量,設(shè)計(jì)了固定時(shí)間的一致性協(xié)議,使無人機(jī)集群能夠在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到狀態(tài)一致[15]。黃偉等人基于最優(yōu)控制理論,研究了導(dǎo)彈編隊(duì)控制一致性算法,使編隊(duì)能夠在實(shí)現(xiàn)固定編隊(duì)構(gòu)型的同時(shí)趨于速度一致[16]。此外,文獻(xiàn)[17-20]中對非線性系統(tǒng)的對抗一致性、分組一致性做了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[21-22]分別研究了線性系統(tǒng)的對抗一致性、分組一致性。對于存在通信時(shí)延的情況,文獻(xiàn)[23-25]采用牽制控制、Delta算子設(shè)計(jì)了解決方法。文獻(xiàn)[26-30]中針對具有時(shí)變通信拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的對抗一致性問題進(jìn)行了相關(guān)的討論。文獻(xiàn)[31-33]中研究了多智能體系統(tǒng)的多部分對抗一致性問題。文獻(xiàn)[34-36]則討論了在通信網(wǎng)絡(luò)存在干擾或者網(wǎng)絡(luò)被攻擊情況下的多智能體對抗一致性問題。上述研究中,涉及姿態(tài)的研究采用的剛體姿態(tài)描述方法有歐拉角、軸/角、旋轉(zhuǎn)矩陣、四元數(shù)、羅德里格斯參數(shù)、MRPs等。

考慮姿態(tài)描述時(shí)會引入奇異性問題,而四元數(shù)并不是姿態(tài)描述的最小實(shí)現(xiàn)。因此,本文采用MRPs進(jìn)行剛體姿態(tài)的描述,用3個(gè)參數(shù)即可描述姿態(tài),同時(shí)不存在奇異性問題[37]。使用E-L動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)方程[38]對單個(gè)衛(wèi)星建模,將每個(gè)衛(wèi)星看成在空間中自由運(yùn)動的剛體,研究其姿態(tài)的對抗一致性[39],解決了通過一致性算法不能使衛(wèi)星集群的姿態(tài)達(dá)到對稱狀態(tài)的問題。姿態(tài)對抗一致性應(yīng)用到航天領(lǐng)域,主要貢獻(xiàn)在于衛(wèi)星集群編隊(duì)任務(wù)中,比如利用多個(gè)衛(wèi)星組成合成孔徑雷達(dá)或空間干涉儀[40-41],需要衛(wèi)星集群編隊(duì)對于被觀測地區(qū)維持對稱的指向。文獻(xiàn)[42]中研究了衛(wèi)星在軌維護(hù)的任務(wù),其中失控衛(wèi)星的消旋也需要兩個(gè)提供在軌維護(hù)服務(wù)的衛(wèi)星以對稱的姿態(tài)從兩個(gè)方向?qū)Ψ?wù)對象進(jìn)行抓取,也涉及了姿態(tài)的對抗一致性的問題。

本文選取MRPs作為描述衛(wèi)星集群系統(tǒng)姿態(tài)的參數(shù),設(shè)計(jì)了一致性控制算法,使系統(tǒng)的姿態(tài)參數(shù)通過控制算法最終達(dá)到數(shù)值相等的狀態(tài);并構(gòu)造出一種獨(dú)特的Lyapunov函數(shù),進(jìn)行了嚴(yán)格的穩(wěn)定性證明;在所得一致性控制算法的基礎(chǔ)上,引入對抗關(guān)系通信拓?fù)鋵刂扑惴ㄟM(jìn)行再設(shè)計(jì),提出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)姿態(tài)對抗一致性的新型且穩(wěn)定的控制算法。

1 問題描述

1.1 預(yù)備知識

本文采用無向圖來描述系統(tǒng)中各個(gè)衛(wèi)星之間的通信,該圖也被稱為通信拓?fù)鋱D[43]。

通信拓?fù)鋱D可表示為

G=(V,E)

(1)

式中:G表示包含n個(gè)節(jié)點(diǎn)的無向圖;V為無向圖中節(jié)點(diǎn)的集合;E表示無向圖中邊的集合。通信拓?fù)鋱D的鄰接矩陣為

An=[aij]∈Rn×n

(2)

在集群系統(tǒng)中,個(gè)體之間存在合作和對抗兩種關(guān)系。衛(wèi)星i與衛(wèi)星j為合作關(guān)系時(shí),通信拓?fù)鋱D中對應(yīng)的邊為正值,即aij>0;個(gè)體之間為對抗關(guān)系時(shí),通信拓?fù)鋱D中對應(yīng)的邊為負(fù)值,即aij<0。邊(i,j)的權(quán)值重用aij的大小來表示,如果沒有給出通信拓?fù)鋱D中邊的權(quán)重的實(shí)際意義,可以將aij的絕對值設(shè)定為1。當(dāng)研究一致性問題時(shí),個(gè)體之間不應(yīng)存在對抗關(guān)系,即通信拓?fù)鋱D中所有邊的權(quán)重為正值;當(dāng)研究對抗一致性問題時(shí),個(gè)體之間應(yīng)當(dāng)存在對抗關(guān)系,即通信拓?fù)鋱D中邊的權(quán)重可正可負(fù)。

MRPs定義[44]為

(3)

式中:n∈R3為歐拉軸;θ∈R為歐拉角;σ∈R3表示當(dāng)前姿態(tài)是相對于基準(zhǔn)坐標(biāo)系繞n軸旋轉(zhuǎn)θ角度之后得到的。MRPs中,n為一個(gè)單位向量,其三維坐標(biāo)的平方和應(yīng)為1,而θ的取值范圍為[0,2π),衛(wèi)星的姿態(tài)控制分為被動姿態(tài)控制和主動姿態(tài)控制,被動姿態(tài)控制一般只有一個(gè)軸是穩(wěn)定可控的,用一根軸即可描述衛(wèi)星姿態(tài),且指向精度不高,所以這里討論主動姿態(tài)控制衛(wèi)星,即三軸穩(wěn)定的姿態(tài)控制方式,其姿態(tài)可用MRPs描述。

利用MRPs表示第i個(gè)衛(wèi)星剛體姿態(tài)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程[44]為

(4)

(5)

式中:

σi為第i個(gè)衛(wèi)星的MPRs;ωi∈R3為角速度;Ji∈R3×3為慣性張量矩陣;τi∈R3為控制力矩;σ為向量積算子。

令σ=[abc]T,其中a、b、c為平方和為1的任意有理值，表示MRPs的三維分量，則σ×定義為

(6)

相對MRPs[44]定義為

(7)

式中:R(σi,σj)和σij為相對MRPs,用來表示第i個(gè)衛(wèi)星和第j個(gè)衛(wèi)星之間的姿態(tài)偏差，R(·,·)∈R3。

如果σi和σj分別滿足姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程:

(8)

(9)

則σij滿足運(yùn)動學(xué)方程:

(10)

式中:

ωij=ωi-A(σij)ωj

(11)

(12)

而相對MRPs具有如下性質(zhì):①σii=0;②σij=-σji。

1.2 問題建模

由MRPs表示的衛(wèi)星剛體姿態(tài)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程經(jīng)過變換可轉(zhuǎn)化成E-L方程的形式[9],具體如下:

(13)

式中:

Hi(σi)=(F-1)T(σi)JiF-1(σi)

(14)

(15)

為了突出MRPs表示的剛體姿態(tài)動力學(xué)方程具有轉(zhuǎn)化成E-L方程的能力，方便與其他研究成果聯(lián)系對比，本節(jié)中引用了參考文獻(xiàn)[9]中的內(nèi)容，通過式(13)～式(15)，體現(xiàn)了MRPs表示的剛體姿態(tài)動力學(xué)方程和E-L方程之間具有可以相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

當(dāng)每個(gè)衛(wèi)星的MRPs中的3個(gè)元素都達(dá)到相同值時(shí),所有衛(wèi)星的姿態(tài)就達(dá)到了一致性。其數(shù)學(xué)描述為

(16)

本文首先研究一致性控制問題,故衛(wèi)星集群系統(tǒng)中不存在互為對抗關(guān)系的個(gè)體。而對抗一致性控制問題將在本文第3節(jié)進(jìn)行描述。

2 姿態(tài)一致性控制方法

2.1 控制算法設(shè)計(jì)

姿態(tài)一致性控制算法可以設(shè)計(jì)為

(17)

式中:τi為控制力拒,在三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的姿態(tài)控制中,以輪控為主,反作用飛輪或控制力矩陀螺分別以某種構(gòu)型安裝在衛(wèi)星的3個(gè)自由度上,τi即為3個(gè)飛輪或陀螺輸出的合力矩,在實(shí)際控制中只需要轉(zhuǎn)化成與之大小對應(yīng)的電信號即可;ωi×Jiωi是為了消除姿態(tài)動力學(xué)方程中與之符號相反的項(xiàng),以達(dá)到簡化證明過程的目的;K是正增益常數(shù),其取值影響系統(tǒng)的動態(tài)性能,如果K取值過大,則輸出控制力矩較小,系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間過長,如果K取值過小,則系統(tǒng)可能出現(xiàn)振蕩,影響系統(tǒng)穩(wěn)定性,一般取值為[1, 3]。

在本節(jié)中研究的是姿態(tài)一致性問題,默認(rèn)了系統(tǒng)中不存在互為對抗關(guān)系的個(gè)體,因而在通信拓?fù)鋱D中不存在權(quán)重為負(fù)的邊,即aij>0。若要實(shí)現(xiàn)一致性控制,要求衛(wèi)星間通信拓?fù)鋱D的最小生成樹包含所有衛(wèi)星節(jié)點(diǎn),即其通信拓?fù)鋱D是連通圖[43]。

2.2 穩(wěn)定性證明

研究對象為非線性系統(tǒng),不能用線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的證明方法來證明其穩(wěn)定性,所以本文采用Lyapunov第二法來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

首先,求得系統(tǒng)的平衡點(diǎn):將一致性控制律式(17)代入式(5),原動力學(xué)方程變?yōu)槭?4)和如下形式：

(18)

由式(4)和式(18)可以看出,當(dāng)σi=σj且ωi=0時(shí),系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài),為系統(tǒng)達(dá)到一致性時(shí)的狀態(tài)。

使用Lyapunov第二法的第一步是要構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。其可以看成是一個(gè)能量函數(shù),若是系統(tǒng)的能量趨于減小,那么系統(tǒng)是趨于穩(wěn)定的,即函數(shù)若為負(fù)定,則可以證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Lyapunov函數(shù)并沒有固定的構(gòu)造方法,經(jīng)過仔細(xì)分析和選取指標(biāo),可將該系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)可以構(gòu)造為

(19)

對式(20)求導(dǎo),可得

(20)

式中:

(21)

將式(18)與式(21)代入式(20),可得

(22)

式中:

(23)

將式(24)代入式(23),可得

(24)

3 姿態(tài)對抗一致性控制方法

3.1 問題描述

本節(jié)中研究的系統(tǒng)模型與第2節(jié)一致,但衛(wèi)星之間的通信網(wǎng)絡(luò)有所不同,其引入了互為對抗關(guān)系的衛(wèi)星個(gè)體。

設(shè)n個(gè)衛(wèi)星的集合為H={h1,h2,…,hn},其可以被劃分成H1和H2兩個(gè)子集,H1∪H2=H。其中,在子集內(nèi)部衛(wèi)星之間的關(guān)系為合作的,而子集之間衛(wèi)星的關(guān)系為對抗的。衛(wèi)星之間通信拓?fù)鋱DG(H)中邊的權(quán)重用aij表示:

(25)

且通信拓?fù)鋱DG(H)是結(jié)構(gòu)平衡的,即G(H)中所有循環(huán)路徑上邊的權(quán)重之積為正值。

當(dāng)所有衛(wèi)星中的一部分的MRPs達(dá)到了相同的數(shù)值,而其余與之為對抗關(guān)系的衛(wèi)星的MRPs達(dá)到了前一部分的相反數(shù)時(shí),實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)的對抗一致性。如圖1所示,紅藍(lán)兩組衛(wèi)星集群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)對抗一致性,共同對于地面雷達(dá)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控。其數(shù)學(xué)描述為

圖1 衛(wèi)星集群系統(tǒng)姿態(tài)對抗一致性示意圖Fig.1 Demonstration of attitude antagonistic consensus of satellite swarm system

(26)

式中:σ0為系統(tǒng)的對抗一致性穩(wěn)定點(diǎn)。

3.2 控制算法設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明

在一致性控制算法的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)如下的對抗一致性算法:

(27)

式中:aij的取值可正可負(fù)。

設(shè)定所有衛(wèi)星的MRPs所組成的向量為

S=[σ1,σ2,…,σn]

(28)

定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)變換矩陣為

(29)

式中:di={±1}。

利用標(biāo)準(zhǔn)變換矩陣對S向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變換,使S中的部分元素變?yōu)樵档南喾磾?shù):

(30)

式中:di的取值為

(31)

即系統(tǒng)中一組衛(wèi)星的MRPs不變,另一組的MRPs變?yōu)橹暗南喾磾?shù)。將式(30)和式(31)代入式(4)和式(5),可得

(32)

(33)

(34)

(35)

此時(shí),衛(wèi)星的角加速度為

(36)

式(37)與式(19)相同,所以由一致性控制算法的證明過程可知,在此種情況下,衛(wèi)星的MRPs狀態(tài)會趨于一致且穩(wěn)定。也就是說,屬于同一組的衛(wèi)星在對抗一致性算法的控制下,最終所得的姿態(tài)會趨于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)。

(37)

(38)

此時(shí),

(39)

式(40)與式(37)形式相同,區(qū)別在于相對MRPs的輸入值變?yōu)榱嗽档南喾磾?shù)。因而,一致性算法中的所有MRPs均變?yōu)榱讼喾磾?shù),故式(40)最終趨于的穩(wěn)定值也變?yōu)樵档南喾磾?shù)。

經(jīng)過以上討論,再結(jié)合一致性算法的證明可知,在進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變換后,對抗一致性控制算法使互為對抗關(guān)系的兩組MRPs趨于互為相反數(shù)的兩個(gè)值,即實(shí)現(xiàn)對抗一致性。對MRPs向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變換,只改變了計(jì)算過程中部分MRPs的符號,并不會影響最終的穩(wěn)定值,標(biāo)準(zhǔn)變換是對MRPs數(shù)值本身的變化,而不對公式進(jìn)行改變。

經(jīng)上述證明過程,還可知衛(wèi)星姿態(tài)的對抗一致性控制算法最終穩(wěn)定值的大小,與初始MRPs向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變換后應(yīng)用一致性控制算法最終達(dá)到的穩(wěn)定值的大小相同。

4 數(shù)值仿真

本節(jié)對上文所提的姿態(tài)對抗一致性控制算法進(jìn)行數(shù)值仿真,以便驗(yàn)證所提算法的正確性。

設(shè)定集群系統(tǒng)中的衛(wèi)星數(shù)量為4個(gè),且均為中低軌道對地三軸穩(wěn)定衛(wèi)星,其中1號和2號衛(wèi)星間是合作關(guān)系,為第1組;3號和4號衛(wèi)星間是合作關(guān)系,為第2組。第1組和第2組衛(wèi)星之間互為對抗關(guān)系,系統(tǒng)通信拓?fù)淙鐖D2所示。

圖2 衛(wèi)星集群系統(tǒng)通信拓?fù)鋱DFig.2 Communication topology of satellite swarm system

通信拓?fù)鋱D的鄰接矩陣為

4個(gè)衛(wèi)星的初始MRPs為

4個(gè)衛(wèi)星的慣性張量矩陣為

由于衛(wèi)星繞地球運(yùn)動,所以其空間環(huán)境的干擾力矩也呈周期變化,對于中低軌道衛(wèi)星,其主要空間環(huán)境力矩為氣動力矩、重力梯度力矩以及地球磁場力矩[45],干擾力矩可以通過辨識的方法獲得[46],也可綜合表示為

式中:ω0為衛(wèi)星在軌運(yùn)行的軌道角速度;D=[Dx,Dy,Dz]為干擾系數(shù),其大小由衛(wèi)星的外形和軌道參數(shù)決定,一般取值為

Di=10-5～10-7,i=x,y,z

假設(shè)衛(wèi)星的軌道參數(shù)為:軌道高度a=800 km,偏心率e=0,軌道傾角為55°,其平均軌道角速度約為0.001 rad/s。

在仿真中,取Di(i=x,y,z)=10-5,K=2,同時(shí)假設(shè)4個(gè)衛(wèi)星的初始角速度均為0,用Matlab進(jìn)行仿真,所得結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 衛(wèi)星的MRPs隨時(shí)間變化曲線Fig.3 Curves of satellites MRPs varies with time

圖4 衛(wèi)星的角速度隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Curves of satellites angular velocity varies with time

圖3為4個(gè)衛(wèi)星的MRPs隨時(shí)間變化的曲線,可知其三維坐標(biāo)均穩(wěn)定在了兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)值附近。MRPs中包含歐拉軸n與歐拉角θ,其意義為:當(dāng)前剛體的姿態(tài)是相對于基準(zhǔn)坐標(biāo)系繞n軸旋轉(zhuǎn)θ之后得到的。歐拉角θ取值恒為正,也就是說剛體繞歐拉軸旋轉(zhuǎn)的方向固定,此時(shí)互為相反數(shù)的MRPs之間的區(qū)別為歐拉軸的方向相反。若一個(gè)MRPs代表的當(dāng)前姿態(tài)為基準(zhǔn)坐標(biāo)系繞n軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ,那么MRPs的相反數(shù)代表的當(dāng)前姿態(tài)為基準(zhǔn)坐標(biāo)系繞-n軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ,即繞n軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ。

因此,此時(shí)衛(wèi)星集群系統(tǒng)的狀態(tài)為:1號和2號衛(wèi)星相對于基準(zhǔn)坐標(biāo)系繞歐拉軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度;3號和4號衛(wèi)星相對于基準(zhǔn)坐標(biāo)系繞歐拉軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了某個(gè)角度。最終,4個(gè)衛(wèi)星的姿態(tài)實(shí)現(xiàn)了兩兩關(guān)于零值對稱的狀態(tài),也就是實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)的對抗一致性。同時(shí),圖4表明了衛(wèi)星最終的角速度均為0,狀態(tài)穩(wěn)定得以實(shí)現(xiàn)。由于輪控存在輸出飽和的情況,輸出的控制力矩不能過大,故圖5給出了各個(gè)衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)上述姿態(tài)機(jī)動時(shí),反作用飛輪或控制力矩陀螺輸出的合力矩情況?？梢钥吹剑敵龅牧鼐刂圃诒容^小的范圍內(nèi),未達(dá)到反作用飛輪或控制力矩陀螺的飽和輸出,且動態(tài)特性能夠得到保證。

圖5 衛(wèi)星的控制力矩隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Control torque time curves of satellites

針對4個(gè)衛(wèi)星選取不同的初始MRPs,能夠分別獲得如圖6～圖8所示的MRPs變化曲線、角速度變化曲線以及控制力矩變化曲線。可以得出,在不同初始條件下,所設(shè)計(jì)的控制律仍然能夠使得衛(wèi)星集群系統(tǒng)最終達(dá)到姿態(tài)的對抗一致。

圖6 另一組衛(wèi)星的MRPs隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Curves of another satellites MRPs varies with time

圖7 另一組衛(wèi)星的角速度隨時(shí)間變化曲線Fig.7 Curves of another satellites angular velocity varies with time

圖8 另一組衛(wèi)星的控制力矩隨時(shí)間變化曲線Fig.8 Curves of another satellites control torque varies with time

5 結(jié) 論

本文將對抗一致性拓展到了非線性系統(tǒng),用MRPs描述剛體的姿態(tài),首先對多剛體姿態(tài)一致性問題進(jìn)行了控制算法的設(shè)計(jì),并構(gòu)造Lyapunov函數(shù),經(jīng)過一系列的變換,成功證明了控制算法的穩(wěn)定性。隨后,在已經(jīng)設(shè)計(jì)出的控制算法的基礎(chǔ)上,對算法進(jìn)行改進(jìn),設(shè)計(jì)出姿態(tài)的對抗一致性控制算法,并采用標(biāo)準(zhǔn)變換方法,對整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行了分類討論,證明了其穩(wěn)定性。并且,多個(gè)衛(wèi)星的姿態(tài)通過分布式的對抗一致性控制算法能夠使系統(tǒng)達(dá)到具有對稱性的兩種穩(wěn)定狀態(tài)。同時(shí),算法是穩(wěn)定的,且控制算法最終穩(wěn)定值的大小,與初始MRPs向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變換后應(yīng)用一致性控制算法最終達(dá)到的穩(wěn)定值的大小相同。最后,設(shè)計(jì)Matlab程序進(jìn)行數(shù)值仿真,驗(yàn)證了理論的正確性。除衛(wèi)星的姿態(tài)對抗一致性外,航天器的交會對接、編隊(duì)重構(gòu)、空間對抗等任務(wù)則涉及編隊(duì)衛(wèi)星的位置對抗性,需要以Clohessy-Wiltshire(C-W)方程或者相對軌道根數(shù)描述相對運(yùn)動方程。后續(xù)也可以引入位姿參考向量,研究基于姿軌一體化的衛(wèi)星編隊(duì)實(shí)現(xiàn)期望位置和姿態(tài)同時(shí)分組對抗一致性的控制方法。

本文只是在理論層面對衛(wèi)星集群的姿態(tài)對抗一致性控制提出一種穩(wěn)定可行的控制算法，在工程實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用上還需進(jìn)一步驗(yàn)證。同時(shí)，本文研究需要在衛(wèi)星集群中衛(wèi)星初始姿態(tài)不盡相同的前提下開展，在此條件下，應(yīng)用本文中的對抗一致性控制算法，能夠使初始姿態(tài)混亂的衛(wèi)星集群，達(dá)到一種有序的對稱狀態(tài)。