脈沖噪聲非線性變換設(shè)計的研究綜述

羅忠濤, 郭人銘, 詹燕梅

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院, 重慶 400065)

0 引 言

高斯噪聲普遍存在于大多數(shù)系統(tǒng),但非高斯噪聲在一些特定場景中有決定性影響。例如,長波通信中的大氣噪聲[1],電力線通信中的電暈效應(yīng)等引起的脈沖[2-3]等,均含有大量的大幅值噪聲樣本。此類噪聲在概率密度函數(shù)(probability density function, PDF)上表現(xiàn)為具有明顯的厚拖尾,被稱為脈沖噪聲或脈沖性噪聲[4]。當存在脈沖噪聲時,基于匹配濾波的常規(guī)檢測性能會顯著下降,因此脈沖噪聲下的穩(wěn)健檢測技術(shù)研究很有必要。

脈沖噪聲抑制有多種途徑,其中一類方法是自適應(yīng)濾波,重點是設(shè)計濾波準則與算法,如恒虛警中值濾波[5]、最小分散系數(shù)準則[6]、最大相關(guān)熵準則[7]、對數(shù)最小平均次冪準則[8]等。不過,此類方法在應(yīng)用上比零記憶非線性(zero-memory nonlinearity, ZMNL)變換更復(fù)雜。

本文關(guān)注針對平穩(wěn)脈沖白噪聲的非線性變換設(shè)計。此設(shè)計的應(yīng)用結(jié)構(gòu)很簡單，只需在常規(guī)匹配濾波之前增加一個非線性處理器。其技術(shù)原理來自統(tǒng)計信號處理理論[9]。最大似然檢測是最優(yōu)檢測器[9-10],在低信噪比(signal to noise ratio，SNR)下可近似為局部最優(yōu)檢測(locally optimal detection，LOD)，然后使用LOD結(jié)構(gòu)而設(shè)計非線性變換函數(shù)。

為此，待解決問題可以描述為：在脈沖噪聲下，如何設(shè)計非線性變換函數(shù)，以提高檢測性能。近半個世紀以來，學(xué)者們在脈沖噪聲的非線性變換函數(shù)設(shè)計上一直開展著研究。

本文首先介紹針對脈沖噪聲的非線性設(shè)計問題，然后綜述工作將從噪聲模型、函數(shù)模式與設(shè)計方法3個方面梳理現(xiàn)有研究，再總結(jié)研究路線和成果上的共性規(guī)律。

1 非線性變換設(shè)計問題

根據(jù)統(tǒng)計信號處理理論，考慮基于M個樣本的信號檢測問題，設(shè)接收信號模型為

r(m)=Aisi(m)+w(m)

(1)

式中:r(m)表示接收數(shù)據(jù);si(m)表示第i假設(shè)下的待檢測確定性波形;Ai表示該波形的幅度;w(m)表示加性脈沖白噪聲,即w(m)獨立同分布,m=1,2,…,M。

設(shè)噪聲PDF為f(x),可得最大似然檢測為

(2)

即,將取得最大似然函數(shù)的假設(shè)判決為真[9]。最大似然檢測具有理論上的最優(yōu)檢測性能,但檢測器要求波形幅度Ai已知,且運算量較大,故實際運用很少[10]。

考慮低SNR下的近似最優(yōu)檢測問題時,設(shè)信號幅度Ai為非負,最大似然檢測可近似為局部最優(yōu)檢測,為

(3)

式中:glo(x)=-f′(x)/f(x)表示ZMNL變換[9]。

LOD結(jié)構(gòu)可理解為:先對數(shù)據(jù)r(m)進行非線性變換,再連接至傳統(tǒng)相關(guān)檢測?？梢姶私Y(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)匹配濾波器很接近。不過,f(x)常無閉合表達式,導(dǎo)致glo(x)需要數(shù)值計算,比較麻煩,故LOD也不易應(yīng)用。

對此,延用LOD結(jié)構(gòu)而修改其ZMNL函數(shù)。具體而言,使用另一非線性變換函數(shù),再后接匹配濾波處理,最終檢測器可記為

(4)

式中:g(x)為非線性變換函數(shù)。毫無疑問，g(x)對于檢測性能非常關(guān)鍵。

一般g(x)繼承了glo(x)的3個特點：為ZMNL奇函數(shù)；具有線性或近似線性區(qū)域，以及非線性區(qū)域；非線性區(qū)域?qū)Υ蠓禈颖拘纬梢种菩Ч?/p>

最終，非線性變換設(shè)計變成了如下問題：針對脈沖噪聲w(m)，設(shè)計非線性函數(shù)g(x)，使判決器式(4)的檢測性能達到最優(yōu)。

顯然，g(x)與噪聲分布有密切關(guān)系；g(x)函數(shù)構(gòu)造的模式需要考慮設(shè)計；g(x)函數(shù)的參數(shù)優(yōu)化又牽涉到設(shè)計方法和準則問題。這是非線性變換設(shè)計問題的3個要素，下面逐一進行介紹。

2 脈沖噪聲分布模型

脈沖噪聲的研究和處理離不開噪聲建模。目前已采用的脈沖噪聲分布模型可大致分為3類，包括對稱α穩(wěn)定(symmetricαstable, SαS)模型、Class A模型和混合模型。不同模型各具特點，并不統(tǒng)一也不等價。不過，其共同點是零均值和對稱分布。

2.1 SαS分布

α穩(wěn)定分布是唯一一類滿足廣義中心極限定理的統(tǒng)計分布[11],SαS分布是均值為0、對稱的α穩(wěn)定分布,在脈沖噪聲中應(yīng)用非常廣,研究也很深入[11-12]。除特例柯西分布(α=1)和高斯分布(α=2)以外,SαS分布PDF無閉合表達式,只可通過其特征函數(shù)來計算:

fSαS(x)=IFT[exp(-γ|ω|α)]

(5)

式中:0<α≤2表示特征指數(shù);γ是分散系數(shù);ω是角頻率;IFT(·)表示逆傅里葉變換。參數(shù)α越小,噪聲脈沖性越強,一般α在[1,2]區(qū)間內(nèi)。當α<2時,SαS分布的方差或2階矩不存在。

當SαS分布無閉合PDF而只能數(shù)值仿真時,需適當設(shè)置幅度值x的大小范圍。并且,理論上fSαS(x)為實偶函數(shù),但注意逆傅里葉變換的程序運算可能存在虛數(shù)部分。

2.2 Class A分布

20世紀70年代,Middleton等人在考慮噪聲源屬性和噪聲時間、空間、傳播等分布的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出噪聲特征函數(shù)進而得到了3類噪聲模型[13-14]。其中,Class A模型常被用于脈沖噪聲研究,其PDF為

(6)

Class A分布的PDF可視為無窮級數(shù)求和,無閉合表達式。數(shù)值仿真時需注意控制m的取值范圍。

2.3 混合模型

混合模型的建模思路是:以小方差高斯噪聲作為背景噪聲,以大方差噪聲作為脈沖分量,二者相加構(gòu)造出混合噪聲。目前高斯混合模型[15]最為常用,其次是柯西-高斯混合模型[16-17]和高斯-拉普拉斯混合模型[18-19]。此類模型的PDF可統(tǒng)一表示為

(7)

混合模型也可采用多分量,如K分量高斯混合模型[20-21],以K=0的高斯分量表示背景高斯噪聲,其余K>0的高斯分量具有較大方差,表示脈沖噪聲。

實際上,混合模型也可看作一個隨機過程。該過程每個樣本以一定幾率取背景噪聲或脈沖噪聲。例如,二分量混合模型等價于伯努利-高斯模型[22-23],每個樣本的高斯成分或脈沖成分的發(fā)生概率服從伯努利分布。此外,隨機過程也可靈活定義,例如文獻[24]將噪聲建模為Nakagami-m分布,脈沖成分為Class A分布,其發(fā)生概率服從泊松分布。

2.4 小結(jié)

本節(jié)簡述了脈沖噪聲研究中常用的噪聲模型?？傮w而言,SαS模型的PDF沒有解析式,沒有單獨分量獨立表示背景噪聲,但滿足廣義中心極限定理,應(yīng)用最為廣泛。Class A模型和高斯混合模型應(yīng)用也較多,其中高斯混合分布可視為簡化的Class A分布?；旌夏Ｐ偷膬?yōu)勢在于具有閉合PDF,便于分析和計算。

實際工程問題和具體場景中脈沖噪聲的模型選擇,需針對具體情況展開具體分析。例如,一個基本辦法是:錄取場景噪聲數(shù)據(jù)并預(yù)處理至非線性變換前,采用分布假設(shè)檢驗、幅度分布曲線對比、Q-Q圖分位數(shù)觀察等統(tǒng)計理論方法,來確定描述該噪聲分布的最佳模型。不同場景的脈沖噪聲可能服從不同的分布。例如,蔣宇中判斷Class A模型可以很好地描述寬帶超低頻信道大氣噪聲幅度統(tǒng)計特性[25];而羅忠濤錄取大氣噪聲數(shù)據(jù)并白化濾波后的噪聲分布檢驗和PDF對比表明,其幅度近似服從SαS分布[26]。

3 非線性函數(shù)模式

脈沖噪聲模型具有不同的PDF,導(dǎo)致其LOD非線性函數(shù)glo(x)也不相同。顯然,這要求設(shè)計出不同的非線性變換函數(shù)。本節(jié)梳理常用的人造非線性變換函數(shù)模式,其共同點是:具有線性或近似線性區(qū)域,門限可供調(diào)整設(shè)計;在門限內(nèi)數(shù)據(jù)保持不變,超過門限則進行非線性變換。非線性函數(shù)的模式大致可分為5種。

3.1 削波與置零拖尾

削波器和置零器出現(xiàn)得非常早,運算也極為簡單[11，27],可分別記為

(9)

式中:T為線性區(qū)域的門限;sgn(x)為符號函數(shù)。削波和置零處理可描述為:當數(shù)據(jù)幅度不超過門限時,直接輸出;當數(shù)據(jù)幅度超過門限,則認為受到脈沖噪聲影響,進行置零或按固定值輸出。此外,符號檢測器也曾出現(xiàn)過[12，28],但近來已不見討論應(yīng)用。

由于削波或置零處理對大幅度脈沖有顯著抑制作用,限幅處理在抑制脈沖噪聲中很有效,其中限幅門限T對抑制效果有決定性影響,最優(yōu)抑制效果也與噪聲分布有關(guān)?，F(xiàn)有研究表明,在SαS噪聲中削波器比置零器性能更好;在Class A噪聲中,置零器比削波器性能更好[29]。這說明置零器和削波器都不適合用于多種噪聲分布。

3.2 多區(qū)域組合拖尾

相比削波器和置零器的非線性區(qū)域只有一個函數(shù),后期研究設(shè)計出更為復(fù)雜的拖尾,增加設(shè)計自由度以提高檢測性能。比如,文獻[30]將削波和置零進行簡單組合,采用兩個門限分出多個非線性區(qū)域,分別采用削波和置零處理。非線性函數(shù)可寫為

(10)

式中:T1和T2為不同的門限。進一步地,文獻[31]提出將非線性區(qū)域[T1,T2]進行一定減幅,從而形成深度削波。文獻[32]的性能分析表明,深度削波技術(shù)優(yōu)于單純削波、置零或二者的組合。

在拖尾中設(shè)計多重門限和非線性區(qū)域也可行。針對K分量高斯混合模型,文獻[21]提出了多門限的拖尾設(shè)計。門限個數(shù)可人為調(diào)整,各段非線性區(qū)域的非線性變換可能是不同水平的削波處理,或者不同斜率的線性函數(shù)。

從組合拖尾的發(fā)展歷程來看,在傳統(tǒng)削波和置零處理的基礎(chǔ)上,增加非線性區(qū)域數(shù)和改變削波電平,能夠增加設(shè)計自由度并在一定程度上提高噪聲抑制性能。不過,組合拖尾設(shè)計越精細,非線性變換的分段函數(shù)越多,引入的門限和電平參數(shù)也越多,函數(shù)表達式、性能分析和參數(shù)優(yōu)化就越復(fù)雜。

3.3 單參數(shù)特定拖尾

削波或置零處理輸出固定幅度,實際上脈沖噪聲模型的LOD非線性函數(shù)為曲線,因此學(xué)者們也提出了基于特定函數(shù)的曲線拖尾函數(shù)。

在2002年Swami等人提出GZMNL (Gaussian-tailed ZMNL)函數(shù)[33],為

(11)

式中:σ為拖尾參數(shù)。針對SαS噪聲,GZMNL的σ可由SαS分散系數(shù)標準差除以0.7得到;針對不同α,T的取值應(yīng)當在σ～3σ內(nèi)。但是,T值區(qū)間的性能上下限差距太大,傳統(tǒng)GZMNL極不穩(wěn)健。

文獻[34]針對SαS分布提出的AZMNL(Algebraic-tailed ZMNL)取1/x為拖尾,既有閉合表達式,又實現(xiàn)了比削波器明顯更優(yōu)的檢測性能[35]。

3.4 單參數(shù)非分段函數(shù)

某些ZMNL函數(shù)采用單一表達式而非分段函數(shù),其線性區(qū)域不是嚴格線性而是近似線性。例如,針對柯西分布噪聲,其LOD非線性變換函數(shù)為

(12)

既在較小|x|區(qū)域內(nèi)具有近似線性,又在|x|區(qū)域外具有明顯非線性。

柯西LOD非線性采用單一表達式且同時兼具線性與非線性的要求,得到了研究者的關(guān)注。文獻[36]提出一種柯西LOD非線性變換的推廣形式:

(13)

式中:λ和β為待定參數(shù),增加了函數(shù)設(shè)計自由度。Dai等人對柯西LOD推廣式進行了簡化,并通過參數(shù)優(yōu)化使其在SαS噪聲中取得非常接近LOD的性能。同時,提出另一種非線性函數(shù)[37],即

ggg(x,T)=xe-Tx2

(14)

式中:參數(shù)T同時控制了近似線性區(qū)域的范圍和拖尾衰減的速度。此外,王平波等人還提出采用Sigmoid函數(shù)來構(gòu)造非線性函數(shù)[38],即

(15)

式中:k>0為待定參數(shù),控制對噪聲的抑制程度。

3.5 雙參數(shù)可變拖尾

以上非線性函數(shù)共有缺點是拖尾函數(shù)不夠靈活,線性區(qū)域的門限和拖尾函數(shù)不能獨立調(diào)整。實際上,觀察LOD可見,最佳非線性即glo(x)=-f′(x)/f(x)直接取決于噪聲PDF。如果ZMNL函數(shù)g(x)的拖尾相對固定,僅優(yōu)化其門限或單參數(shù),難以滿足對不同噪聲分布的LOD非線性變換的近似。

對此,羅忠濤等人提出一個新的思路:構(gòu)造雙參數(shù)的非線性變換函數(shù),一個參數(shù)控制線性區(qū)域門限,另一個參數(shù)控制拖尾衰減速度[39]。比如,以指數(shù)函數(shù)為拖尾的非線性函數(shù)設(shè)計為

(16)

式中:底數(shù)a∈(0,1]。通過調(diào)整a值,非線性函數(shù)可對大幅值樣本實現(xiàn)不同程度的抑制[39]。相似地,也可以冪函數(shù)xb為原型設(shè)計拖尾,通過調(diào)整指數(shù)參數(shù)b來實現(xiàn)可變拖尾的非線性設(shè)計[40]。此外,傳統(tǒng)GZMNL函數(shù)的高斯拖尾因子σ也可控制拖尾衰減速度[41],但是以往的研究沒有重視這一點。

3.6 小結(jié)

本節(jié)簡述和歸納了常見的非線性變換的函數(shù)模式。圖1為典型非線性函數(shù)的示意圖，其中GGM表示高斯化-廣義匹配(Gaussianization and generalized matching, GGM)濾波方法。

圖1 常用的非線性函數(shù)模式Fig.1 Widely-used nonlinearity functions

人為構(gòu)造的非線性變換大多可分割為線性區(qū)域和非線性區(qū)域。對于非線性區(qū)域,削波或置零的限幅處理最為傳統(tǒng),信號處理也最簡單;結(jié)合多個非線性區(qū)域和抑制水平的組合拖尾設(shè)計,能在一定程度上提升抑制能力,但函數(shù)過于復(fù)雜且參數(shù)較多;單一表達式的非分段函數(shù),以單一參數(shù)同時控制其近似線性區(qū)域和拖尾衰減速度;最后,雙參數(shù)拖尾函數(shù)設(shè)計,可獨立調(diào)節(jié)線性區(qū)域門限和非線性區(qū)域抑制程度,故能適應(yīng)不同分布。并且,相比于多區(qū)域混合方法,可變拖尾的表達式更簡潔,便于計算和分析。

4 設(shè)計方法與準則

非線性變換在確定函數(shù)模式之后,還需對函數(shù)中的待定參數(shù)進行設(shè)計和優(yōu)化。噪聲沖擊性強弱等特性會反映在模型參數(shù)上,而非線性變換函數(shù)必須自適應(yīng)設(shè)計才能優(yōu)化對該噪聲的抑制效果。非線性函數(shù)設(shè)計準則和設(shè)計方法有多種,歸納總結(jié)為大致4種:基于分析近似方法、基于正態(tài)變換方法、最大輸出SNR法以及最大效能準則。

4.1 分析近似方法

分析近似方法的分析對象可以是噪聲數(shù)據(jù)、PDF規(guī)律和LOD非線性函數(shù),分析結(jié)果是為非線性函數(shù)的待定參數(shù)賦值。

通過反復(fù)試驗,觀察不同參數(shù)值對檢測性能的影響,可為非線性函數(shù)參數(shù)賦值提供寶貴經(jīng)驗。例如,Swami等人在提出GZMNL時,門限和拖尾方差參數(shù)是憑經(jīng)驗賦值為某區(qū)間內(nèi)[33]。張楊勇等人對大氣噪聲采用削波處理的門限是按照幅度概率來選取,而此概率值取決于人工經(jīng)驗[27]。這種做法雖然看似粗糙,但在噪聲分布認識不足的情況下卻是穩(wěn)健且有效的選擇。并且,該方法的設(shè)計與處理運算很簡單,故在長波通信中經(jīng)常使用。

在噪聲分布信息可知時,非線性變換的精細設(shè)計變?yōu)榭赡?。一個思路是,既然LOD是最佳非線性變換函數(shù),如能優(yōu)化非線性函數(shù)參數(shù)以使其與LOD達到某種意義上的近似,那么設(shè)計的非線性函數(shù)也應(yīng)當能夠趨近LOD的最優(yōu)性。例如,文獻[36]提出了柯西非線性推廣式后,再在最小2范數(shù)距離或最小均方差準則下優(yōu)化參數(shù)(λ,β)。

直接分析PDF,根據(jù)LOD計算特性展開近似,也可為非線性函數(shù)設(shè)計提供指導(dǎo)和參考。文獻[34]分析了SαS分布PDF的漸近冪級數(shù)表達式,從極限的角度將非線性區(qū)域的拖尾函數(shù)近似取為1/x,再在均方差最小準則下完成線性區(qū)域門限的設(shè)計[36]。文獻[42]簡化了Class A分布為高斯混合分布,將高斯成分和非高斯成分PDF相等點作為削波門限。文獻[43]基于對Class A噪聲PDF公式和LOD曲線的分析,分別設(shè)計了削波和置零的門限值。

4.2 正態(tài)變換方法

將接收數(shù)據(jù)進行正態(tài)變換,也是一個抑制脈沖噪聲的有效辦法。王平波等人分析的G濾波非線性變換函數(shù)[44]為

(17)

式中:F(x)表示脈沖噪聲分布的累積分布函數(shù);Φ(x)表示正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。采用高斯混合分布,王平波對比分析了高斯化濾波與LOD非線性變換的曲線差異。后來,Li等人先后運用雙參數(shù)高斯-柯西混合模型近似SαS分布,設(shè)計了基于正態(tài)變換的次優(yōu)接收機[45-46]。

正態(tài)變換只能取得次優(yōu)檢測性能。羅忠濤等人將正態(tài)變換與廣義匹配濾波相結(jié)合[47],提出一種新的非線性變換函數(shù),即

(18)

分析表明,GGM方法可取得比正態(tài)變換更優(yōu)的檢測性能,且能適用于噪聲分布未知的情況。

換個角度看,正態(tài)化或GGM方法的非線性函數(shù)沒有刻意設(shè)計線性或非線性區(qū)域,而是與LOD一樣完全依賴于噪聲PDF。不過,盡管正態(tài)化或GGM處理對脈沖噪聲具有抑制效果,但其抑制原理并沒有相關(guān)理論支撐,并且檢測性能與LOD也有明顯差距。羅忠濤等人對仿真與實測數(shù)據(jù)的檢測仿真表明,非線性變換輸出數(shù)據(jù)正態(tài)性與檢測性能之間不存在正相關(guān)的必然聯(lián)系[26]。

4.3 最大SNR法

相比PDF分析或數(shù)據(jù)正態(tài)性,檢測性能更有理由成為非線性設(shè)計優(yōu)劣的判斷標準。脈沖噪聲影響下信號檢測的常見指標有通信系統(tǒng)的誤碼率指標和有無判決的虛警-檢測概率指標。如能在給定傳播信道下針對某個檢測器,推導(dǎo)出檢測統(tǒng)計量或其分布與非線性變換g(x)的關(guān)系,就可以想辦法來尋找最優(yōu)化指標的參數(shù)值。文獻[48]分析削波器對檢測判決門限的直接影響,以最大化條件正確概率和條件虛警概率之差為目標。王平波等人考慮信號有無的檢測問題,推導(dǎo)了檢測統(tǒng)計量的分布,給出了恒虛警下檢測概率與Sigmoid函數(shù)參數(shù)[38]和限幅器參數(shù)[49]的關(guān)系。

檢測統(tǒng)計量和檢測性能的推導(dǎo)可能比較復(fù)雜,非線性變換輸出SNR無疑是一個很有意義的指標。Zhidkov針對伯努利-高斯隨機過程的脈沖噪聲,分析了置零器門限對輸出SNR的影響[22],又分析了削波、置零及混合方法的輸出SNR[30]。文獻[32]增加了對深度削波的分析,并采用擬牛頓法尋找輸出SNR的最大值。大部分最大化SNR的分析方法采用了高斯混合分布作為噪聲模型,因為該分布公式比較簡單,有利于SNR分析。

針對脈沖噪聲下的電力線通信,Rabie等人近年來做了大量工作[15,50-52]。針對Class A模型及高斯混合模型,以最大輸出SNR為準則,側(cè)重考慮正交頻分多路復(fù)用信號峰值功率對脈沖噪聲參數(shù)估計的影響,提出置零器門限選擇的動態(tài)方案。文獻[52]提出了一種新的正交頻分多路復(fù)用方案,可降低脈沖噪聲對SNR的影響。

4.4 最大效能準則

在多樣本檢測中樣本數(shù)較大時,SNR可由效能函數(shù)很好地衡量。效能函數(shù)的來源是:針對信號模型式(1)的確定性信號檢測問題,在較低SNR下,當非線性變換g(x)輸出的方差有界且樣本數(shù)較大(如M>100)時,式(4)中檢測統(tǒng)計量近似服從高斯分布。將輸出SNR計算式中與噪聲分布f(x)和非線性函數(shù)g(x)的有關(guān)項定義為效能函數(shù)：

(19)

式中:θ表示非線性函數(shù)的參數(shù)向量。

效能函數(shù)的詳細推導(dǎo)可參考文獻[9],文獻[35]也有類似的推導(dǎo)。文獻[38]推導(dǎo)的偏移系數(shù)可視為效能函數(shù)在具體情況下的一個變形。效能函數(shù)與SNR直接相關(guān),直接決定了系統(tǒng)的通信性能和虛警-檢測性能。

考慮噪聲分布f(x)一定時,效能函數(shù)僅取決于g(x),故能很好地表征g(x)的優(yōu)劣。對于式(19),可從理論上證明最大效能值由glo(x)取得,與LOD推導(dǎo)結(jié)果相符。不過,非線性設(shè)計研究在很長時間內(nèi)都沒有重視效能函數(shù),只是將其用于性能驗證。Vastola計算了Class A噪聲中削波、置零和符號處理在不同門限下的效能值,并與LOD相比較[28]。Hyungkook基于PDF分析設(shè)定限幅器門限,采用效能作性能驗證[43,53]。

效能函數(shù)不僅可作驗證指標,而且可以直接作為設(shè)計指標。如此一來,非線性函數(shù)設(shè)計問題變成了參數(shù)尋優(yōu)問題,即

(20)

最大效能準則的數(shù)值求解方法是其關(guān)鍵。羅忠濤等人分別仿真了SαS和Class A噪聲中削波和置零兩種非線性函數(shù)的效能函數(shù)特性[29],因其是削波/置零門限的光滑凸函數(shù),故用線搜索方法自動求解,其結(jié)果與文獻[54]吻合。

對于雙參數(shù)非線性函數(shù),效能函數(shù)最大化問題轉(zhuǎn)化為二維數(shù)值尋優(yōu)問題[39-41]。通過理論證明或仿真驗證可得,基于常用噪聲模型如SαS、Class A和高斯混合噪聲的效能函數(shù)曲面,是關(guān)于參數(shù)的連續(xù)、光滑和一定區(qū)域內(nèi)的凸函數(shù)。因此,采用Powell方法或單純形法等數(shù)值尋優(yōu)工具來解決此類問題[55-57]。

4.5 小結(jié)

非線性變換設(shè)計的最終目標是提高信號檢測的性能。盡管有時需要考慮信號本身的影響,但大多數(shù)情況下非線性變換的性能主要取決于噪聲。畢竟,信號檢測之所以困難,就是因為信號幅度相對于噪聲來說過低,而此時基于多樣本的信號檢測成為必要。效能函數(shù)直接決定了輸出SNR,最大化效能就意味著最大SNR。此外,對于少量樣本檢測問題,基于中心極限定理的效能或SNR方法不再成立,但其他方法繼續(xù)有效。

在4種設(shè)計方法中,分析近似方法常用于對噪聲PDF或LOD非線性函數(shù)的分析和近似,后來又應(yīng)用于非線性函數(shù)最優(yōu)參數(shù)的近似計算。這是因為,最大SNR或最大效能準則下的非線性函數(shù)g(x)的參數(shù)值往往是數(shù)值計算,不利于實時獲取,因此可采用某函數(shù)近似描述g(x)參數(shù)與噪聲參數(shù)的關(guān)系,給出g(x)參數(shù)的解析計算式[41,49,54]。

5 研究路線與規(guī)律

上文對脈沖噪聲非線性變換的設(shè)計研究進行了3個方面的梳理,歸納了大部分研究工作主要涉及到的噪聲模型、非線性函數(shù)模式和設(shè)計方法與準則。本節(jié)總結(jié)常見研究技術(shù)路線的共性規(guī)律,舉例展示部分最新研究進展,以及本領(lǐng)域研究的一些有用成果。

5.1 常見研究路線

非線性變換設(shè)計中常見的研究路線可歸納為:針對某噪聲模型(SαS分布、Class A分布、混合分布及其他分布的一種或多種),采用某非線性函數(shù)模式(置零、削波、柯西推廣、指數(shù)拖尾等其中一種),根據(jù)某種設(shè)計方法或準則(分析近似方法、最大SNR及最大效能等其中一種),來優(yōu)化設(shè)計非線性函數(shù)的待定參數(shù),達到抑制脈沖噪聲和提升檢測性能的效果。

該研究路線既符合實際信號處理問題的研究需要,也在很多團隊研究工作中得以采用和遵循。下面列舉3個技術(shù)路線研究實例,同時也展示本領(lǐng)域的最新進展。

(1) 基于Class A噪聲PDF分析的非線性設(shè)計

Hyungkook團隊從2014年至2017年在Class A脈沖噪聲抑制方面做了不少工作。例如,文獻[43]以Class A分布為脈沖噪聲建模,然后采用置零器gbl(x,T)和削波器gcl(x,T)抑制噪聲,最后采用分析近似法去設(shè)計待定門限參數(shù)T,分析Class A分布PDF與LOD曲線特點,對比置零和削波函數(shù)曲線。將置零器門限設(shè)置為

(21)

而削波器門限被設(shè)置為

(22)

仿真表明,所設(shè)計的置零器非常接近LOD效能,但削波器差距較大。

針對具體噪聲PDF或LOD分析獲得的非線性函數(shù)設(shè)計方法的針對性很強,但適用噪聲范圍受限。不過,此類研究提供了解析函數(shù),便于使用。

(2) 基于偏振系數(shù)的單參數(shù)非線性函數(shù)優(yōu)化

王平波團隊長期從事脈沖噪聲的抑制研究工作,近年來研究恒虛警檢測問題,推導(dǎo)了檢測統(tǒng)計量的漸近分布,得到關(guān)于檢測概率的關(guān)鍵參量即偏移系數(shù)[37-38,49],該系數(shù)與噪聲分布和非線性函數(shù)的相關(guān)量為

(23)

實際上該參量與效能函數(shù)是等價的,因為脈沖噪聲f(x)和非線性函數(shù)g(x)性質(zhì)滿足等式:

(24)

王平波等人以偏移系數(shù)為優(yōu)化目標,分析了單參數(shù)非線性函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)值,再通過近似擬合法,提出了非線性函數(shù)參數(shù)的快速賦值方法。

對于高斯混合噪聲,將Sigmoid函數(shù)式的參數(shù)賦值為

kop,dw≈2/σ1

(25)

而削波器式(9)的門限應(yīng)當賦值為

Top,dw≈σ1

(26)

對于SαS噪聲,柯西推廣的非線性函數(shù)式的參數(shù)近似賦值為

β2op,dw=γα/2(17 730e-11.75α+18.15e-3.03α)

(27)

而式(13)中參數(shù)λ本身不影響檢測性能。仿真表明,柯西推廣非線性在SαS噪聲中的最優(yōu)效能是LOD效能的99%以上,但在Class A噪聲中會下降到93%以下。

(3) 基于效能最優(yōu)的雙參數(shù)非線性函數(shù)設(shè)計

羅忠濤等人的非線性設(shè)計研究注重“為各種分布的脈沖噪聲”提出“一個統(tǒng)一的最優(yōu)抑制解決方法”[39],達到了優(yōu)化目標、非線性函數(shù)和優(yōu)化方法3個方面的統(tǒng)一。

首先,盡管不同噪聲的LOD差異很大,但低SNR下的檢測性能都可以用效能函數(shù)式來衡量,因此效能函數(shù)可作為統(tǒng)一的優(yōu)化目標。

其次,傳統(tǒng)非線性函數(shù)模式只適用于一種噪聲分布。例如,削波器較適合SαS噪聲,而置零器更適合Class A噪聲[29]。這說明不同噪聲分布要求有不同的拖尾函數(shù)。為此,羅忠濤等人提出了具有可變拖尾的雙參數(shù)非線性函數(shù)模式[39]。

最后,最大效能準則下的雙參數(shù)非線性設(shè)計問題轉(zhuǎn)化成二維數(shù)值尋優(yōu)問題。例如,指數(shù)拖尾非線性函數(shù)設(shè)計問題描述為

(28)

該問題可采用一般數(shù)值尋優(yōu)工具求解,適用于各種噪聲分布,設(shè)計結(jié)果在SαS、Class A和高斯混合分布中均能取得LOD效能的99%以上。

此外,為實現(xiàn)非線性函數(shù)參數(shù)計算的實時性,羅忠濤等人提出了兩種快速設(shè)計方法[41]。一是考慮ZMNL函數(shù)g(x)的參數(shù)為噪聲模型參數(shù)的函數(shù),基于多項式擬合思路并估計各階系數(shù),然后可快速計算出g(x)參數(shù);二是繪制噪聲參數(shù)與g(x)最優(yōu)參數(shù)的表格,使用時查找實時噪聲參數(shù)位置,再插值計算對應(yīng)的g(x)參數(shù)值。

5.2 研究成果和規(guī)律

縱觀現(xiàn)有的大部分非線性變換設(shè)計,關(guān)于研究發(fā)展和工作成果及其規(guī)律小結(jié)如下。

(1) 噪聲分布無大改變,對象從單一到多種。目前常用的脈沖噪聲模型在20年前早已有之。不過,以往研究常針對單一噪聲模型提出非線性設(shè)計方法,而羅忠濤等人研究針對多種噪聲模型的統(tǒng)一解決方法。實際運用時,如能確定噪聲模型及其參數(shù),則既可用符合該模型的設(shè)計方法,又可采用統(tǒng)一設(shè)計方法。如果噪聲PDF不符合已知分布,最大效能準則依然適用。

(2) 非線性函數(shù)多樣化,模式種類在擴展。傳統(tǒng)非線性函數(shù)是置零器和削波器,后來發(fā)展出組合拖尾、新的非分段函數(shù)和可變拖尾模式,得到了多樣化的非線性函數(shù)。相比傳統(tǒng)非線性函數(shù),新提出的非線性函數(shù)的參數(shù)物理意義不明顯。但是,歸功于設(shè)計準則和數(shù)理方法的發(fā)展,新非線性參數(shù)可通過數(shù)值優(yōu)化和近似擬合得以有效設(shè)計,其檢測性能超過了傳統(tǒng)函數(shù)。

(3) 最優(yōu)化理論和數(shù)值優(yōu)化方法提供了新思路。效能函數(shù)在1984年已用于性能驗證,但長期不得重用,其原因可能是所含計算過于復(fù)雜而難以直接用于ZMNL設(shè)計。借助于近20年長足發(fā)展的最優(yōu)化理論和數(shù)值優(yōu)化方法,效能最優(yōu)化問題得以解決。在理論推導(dǎo)效能函數(shù)部分特性和仿真驗證其局部凸性后,采用一般數(shù)值優(yōu)化工具即可解決非線性函數(shù)的參數(shù)優(yōu)化問題。圖2描繪了SαS分布γ=1下多種非線性變換的最優(yōu)效能,其中置零、削波、柯西推廣、以及指數(shù)拖尾(雙參數(shù)可變拖尾)均采用單純形法尋優(yōu)。由圖2可見,LOD具有理論上的最高效能;雙參數(shù)非線性的最優(yōu)效能達到了LOD的99%以上,在檢測性能上非常理想;柯西推廣非線性與指數(shù)拖尾幾乎相同,性能損失不到1 dB;削波器和置零器明顯更差,只能算次優(yōu)。

圖2 SαS噪聲中非線性函數(shù)的最優(yōu)效能Fig.2 Optimal efficacy of nonlinearity function in the SαS noise

最后再仿真Class A噪聲下多種非線性變換的MSK通信誤碼率。參數(shù)設(shè)置為A=0.1,Γ=0.01,σ=1,M=144。逐位檢測誤碼率的蒙特卡羅實驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 MSK通信誤碼率仿真Fig.3 Simulation of MSK communication bit error ratios

總體看來,LOD、置零器和指數(shù)拖尾的誤碼率性能為最優(yōu);GGM和柯西推廣有微弱下降;削波器下降明顯;不采用非線性處理的線性相關(guān)檢測性能極差。

6 未解問題與展望

對于脈沖噪聲非線性變換的研究已經(jīng)持續(xù)近半個世紀。在函數(shù)設(shè)計上,從簡單的取符號、置零和削波處理,發(fā)展為結(jié)合置零/削波/深度削波的組合拖尾,再到能夠很好擬合LOD非線性函數(shù)的雙參數(shù)非線性函數(shù)。針對低SNR下多樣本檢測情形,以效能最大化為優(yōu)化目標,設(shè)計的雙參數(shù)非線性變換已經(jīng)能夠達到與LOD幾乎相同的性能。在檢測性能已很滿意的情況下,非線性變換函數(shù)設(shè)計的研究可以著眼于以下兩個問題。

6.1 噪聲分布未知

噪聲分布未知的情況可分為兩種。

一是噪聲模型已知,但分布參數(shù)未知,可采用參數(shù)估計算法。例如,SαS模型可采用基于樣本分位數(shù)的參數(shù)估計方法[11],Class A模型可采用基于樣本模值分布的參數(shù)估計方法[58]?；谀Ｐ蛥?shù)估計值,得到PDF估計,再使用噪聲分布已知下的非線性函數(shù)設(shè)計方法。

二是噪聲模型未知,可采用核密度估計(kernel density estimation, KDE)方法[59]。設(shè)觀測樣本Xn,n=1,2,…,N, 由KDE得其PDF估計為

(29)

式中:K(x)表示核函數(shù),一般具有零值對稱性;h控制核函數(shù)的寬度。針對脈沖噪聲,一種有效且穩(wěn)健的賦值方法為

h=0.79N-1/5RIQ

(30)

式中:RIQ為四分間距,表示對噪聲方差的一種衡量[60]。

6.2 改進效能尋優(yōu)

對于最大效能準則,最優(yōu)可變拖尾設(shè)計在已知PDF噪聲下可取得LOD效能的99%。不過,目前研究和算法設(shè)計還存在兩個問題。

(1) 效能關(guān)于待設(shè)計參數(shù)的函數(shù)特性沒有完整的理論證明。對于某些非線性函數(shù),可以證明效能函數(shù)是連續(xù)和分段可微的[40],但是其單調(diào)性或凸性卻難以進行理論分析。

(2) 效能函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)均無解析式,只能采用數(shù)值計算。效能公式中的積分項只能用向量求和近似,這會涉及到f(x)的x取值范圍和間隔設(shè)置。并且,尋優(yōu)算法需要多次迭代計算效能,最終導(dǎo)致設(shè)計算法的運算量較大。

優(yōu)化算法的迭代次數(shù)與參數(shù)初始值非常相關(guān),通過合理設(shè)置可以加快尋優(yōu)速度。目前看來,個人電腦能在數(shù)秒內(nèi)完成參數(shù)尋優(yōu),但一些運算能力較差的設(shè)備就難以完成實時設(shè)計。因此,有必要開展進一步研究,改進效能函數(shù)運算或優(yōu)化算法以提高尋優(yōu)效率。

如能預(yù)測某場景可能出現(xiàn)的噪聲分布,則可采用離線方法實現(xiàn)快速設(shè)計。針對可能出現(xiàn)的噪聲進行離線設(shè)計,建立噪聲分布與最優(yōu)參數(shù)的對應(yīng)數(shù)據(jù)庫,或者建立非線性變換參數(shù)關(guān)于噪聲分布參數(shù)的近似函數(shù)關(guān)系[43],即可取得最優(yōu)可變拖尾的解析式,滿足非線性函數(shù)設(shè)計在速度和性能上的要求。

6.3 展望未來研究

針對低SNR下多樣本檢測問題,目前的非線性變換設(shè)計已能取得基本最優(yōu)性能。對于未來可能的研究,有以下3個方面。

(1) 分布未知情形下非線性變換的穩(wěn)健設(shè)計?？稍O(shè)計PDF一階導(dǎo)數(shù)的估計方法以提高其精度和穩(wěn)健性,或者轉(zhuǎn)換效能計算公式以規(guī)避一階導(dǎo)數(shù)運算。比如,積分運算對于估計誤差的容忍度比求導(dǎo)運算更好,這也是高斯化和GGM方法的優(yōu)點。

(2) 簡化效能尋優(yōu)算法,提高尋優(yōu)算法效率。深入分析效能函數(shù)計算方法,改進效能計算和數(shù)值尋優(yōu)算法,減少效能公式所含的數(shù)值運算,盡量替代為閉合表達式,提高優(yōu)化算法的運算效率。

(3) 將現(xiàn)有方法運用于有色或非平穩(wěn)脈沖噪聲研究。雖然本文討論的脈沖噪聲是獨立同分布的平穩(wěn)隨機過程,考慮脈沖噪聲可能時變或與同頻干擾并存環(huán)境[61],本文綜述的設(shè)計方法也有一定的參考價值。

7 結(jié)束語

本文對脈沖噪聲下的非線性變換設(shè)計的研究進展進行了比較系統(tǒng)的綜述。從脈沖噪聲的分布模型、非線性函數(shù)的模式、設(shè)計方法或準則3個方面,對國內(nèi)外研究進行了梳理?？偨Y(jié)了大部分研究工作的技術(shù)路線,即“針對某噪聲模型,采用某非線性函數(shù),基于某設(shè)計方法,優(yōu)化該函數(shù)參數(shù),以提升檢測性能”,并介紹了3個代表性研究工作作為實例。

最后,考慮檢測困難問題大多出現(xiàn)在低SNR下,針對基于多樣本的信號檢測問題,結(jié)合最大效能準則的可變衰減拖尾設(shè)計,所得非線性變換能夠?qū)崿F(xiàn)與LOD基本相同的檢測性能。該方法針對各種噪聲模型均有效,且其閉合表達式有利于信號處理。在檢測性能基本達到上限的情況下,未來研究可著眼于改進設(shè)計方法以適應(yīng)噪聲分布未知和較小運算量的要求,也為非平穩(wěn)/有色脈沖噪聲處理帶來新信息。