基于目標(biāo)高斯分布的定位系統(tǒng)節(jié)點最優(yōu)部署方法

周榮艷, 陳建峰, 李曉強, 譚偉杰

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2. 南陽理工學(xué)院, 河南 南陽 473004;3. 貴州大學(xué)公共大數(shù)據(jù)國家重點實驗室, 貴州 貴陽 550025)

0 引 言

分布式定位系統(tǒng)的定位精度不僅依賴于傳感器節(jié)點的定位算法、節(jié)點個數(shù)、采樣頻率等因素,節(jié)點的部署位置也是影響系統(tǒng)定位性能的重要因素之一[1-4]。節(jié)點部署算法能夠在不改變定位算法和不增加節(jié)點個數(shù)的情況下,有效提高系統(tǒng)的定位精度,得到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究,并逐步成為分布式定位系統(tǒng)研究中的一個重要分支[5-6]。

在目標(biāo)探測與定位領(lǐng)域,克拉美羅界(Cramer-Rao bound, CRB)提供了任何無偏估計量方差所能達(dá)到的一個理論下界,并且CRB的表達(dá)式是關(guān)于目標(biāo)與節(jié)點相對幾何位置的非線性函數(shù),因此常把CRB作為優(yōu)化節(jié)點與目標(biāo)相對位置的評價函數(shù)[7-10]。近年來,關(guān)于CRB的研究主要集中在兩個方面:一是根據(jù)相關(guān)理論的推導(dǎo)得到針對某些特殊目標(biāo)位置或接收特殊陣列時距離與角度估計的CRB[11-13];二是根據(jù)某一設(shè)計指標(biāo)要求,按照相應(yīng)的優(yōu)化原則,將求解CRB的問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題,采用智能優(yōu)化算法進(jìn)行迭代,尋優(yōu)從而逼近CRB[14-15]。這些方法都是分析如何減小定位估計誤差的CRB,雖然可以較好地提高目標(biāo)在某一特定位置的定位精度,但并沒有考慮目標(biāo)服從高斯分布時定位誤差的CRB。

文獻(xiàn)[16]基于到達(dá)時間(time of arrival, TOA)定位算法,以最小化平均CRB為優(yōu)化準(zhǔn)則,得出基于節(jié)點觀測性能的最優(yōu)布局與聲源出現(xiàn)概率分布直接相關(guān)的結(jié)論。文獻(xiàn)[17]研究了目標(biāo)服從高斯先驗分布的條件下狀態(tài)估計的協(xié)方差矩陣和信息矩陣,為傳感器的選擇和最優(yōu)布局提供了衡量標(biāo)準(zhǔn),并得出純方位估計中視距的方向向量垂直于協(xié)方差矩陣最大特征向量的結(jié)論。此結(jié)論應(yīng)用于文獻(xiàn)[18]中,并對目標(biāo)高斯先驗分布下異構(gòu)傳感器網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點進(jìn)行優(yōu)化配置,但需要將初始協(xié)方差矩陣進(jìn)行若干次迭代更新,計算量大且較為復(fù)雜。

近年來有些學(xué)者通過分析坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)在目標(biāo)定位和探測方面的應(yīng)用,為相關(guān)研究提供了新的思路。文獻(xiàn)[19]證明了二維笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)中幾何坐標(biāo)平移與旋轉(zhuǎn)對純方位估計算法的偽線性估計(pseudolinear estimation, PLE)與最大似然估計(maximum likelihood estimation, MLE)沒有影響,而總體最小二乘(total least squares, TLS)估計通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)發(fā)生變化,并依此為基礎(chǔ)提出了一種減小TLS估計偏差的算法,但并未考慮在三維空間中的相關(guān)問題。文獻(xiàn)[20]通過對方位角和俯仰角的測量方程進(jìn)行線性化,將未知節(jié)點估計轉(zhuǎn)化為PLE模型求解,并證明了此三維偽線性估計算法通過笛卡爾坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)可以顯著改變算法性能,從而有效地減小系統(tǒng)偏差。但此算法分別基于xy坐標(biāo)軸與z坐標(biāo)軸,并未對三維空間中的坐標(biāo)系整體進(jìn)行研究。

本文在其他學(xué)者研究的基礎(chǔ)上采用到達(dá)角(angle of arrival, AOA)定位算法,首先基于目標(biāo)高斯分布的FIM信息矩陣,研究滿足CRB的條件;之后推導(dǎo)基于三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的最大后驗概率估計(maximum a posteriori estimation, MAP)定位算法,將目標(biāo)先驗概率分布的非對角協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)化為對角陣;得到滿足CRB的最小跡時節(jié)點的最優(yōu)部署位置。

1 問題描述

在三維空間中,假設(shè)一個目標(biāo)聲源的位置s=[x,y,z]T,N個具有三維測向能力的節(jié)點位置坐標(biāo)pk=[px k,py k,pz k]T,k=1,2,…,N。如圖1所示,任一節(jié)點對目標(biāo)的觀測都有方位角φk和俯仰角θk兩個估計量,表示為

圖1 三維AOA定位算法中方位角和俯仰角示意圖Fig.1 Illustration of azimuth angle and elevation angle in three dimensional AOA positioning algorithm

(1)

(2)

在噪聲環(huán)境中,角度測量值為真實的角度測量值和測量誤差的疊加[21],即

(3)

(4)

Φ=M0+JTΣ-1J=

M0+Φ1+Φ2

(5)

(6)

CRB為任何無偏估計量方差的確定下界,CRB為費希爾信息矩陣的逆矩陣。由文獻(xiàn)[22]可知,三維空間中AOA定位算法估計誤差的FIM可寫為

(7)

(8)

2 基于三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的MAP方法

2.1 MAP方法

p(s)=

(9)

由式(3)可得,角度測量值的似然函數(shù)為

(10)

(11)

(12)

最大后驗成本函數(shù)JMAP(s) 可表示為

(13)

則殘差為

Γ(s)=[e(s);r(s)]

(14)

其中e(t)和r(t)為

r(s)=s0-s

(15)

(16)

J1i=

(17)

式中:

(18)

設(shè)3×3矩陣J2i表示r(s)的雅克比矩陣,可得

(19)

將式(17)與式(19)結(jié)合,即可得式(13)雅克比矩陣

Ji=-[J1i;J2i]

(20)

采用高斯-牛頓算法對MAP進(jìn)行計算,則可得迭代關(guān)系式[25]

(21)

2.2 基于三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的MAP方法

由式(8)可知,當(dāng)目標(biāo)位置誤差的協(xié)方差矩陣P0=diag([a,b,c])時,則M0=diag([a-1,b-1,c-1]),由式(5)可知只需滿足等號右邊后兩項Φ1與Φ2最小時，得到tr(CRB)的最小值。當(dāng)P0為對稱矩陣時,文獻(xiàn)[17]通過將初始協(xié)方差矩陣P0進(jìn)行若干次迭代更新，將其轉(zhuǎn)化為對角陣，尋找純方位定位算法中節(jié)點的最優(yōu)部署方向,但計算量大且較為復(fù)雜。

由于目標(biāo)的先驗協(xié)方差矩陣P0在物理上相當(dāng)于一個橢球,其內(nèi)任一點都是目標(biāo)可能出現(xiàn)的位置。因為三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)并不影響橢球體的大小,且協(xié)方差矩陣P0對于任何相似變換UPUT具有不變性(其中U為酉矩陣)。可采用三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法將P0對角化,通過合適的繞x軸、y軸、z軸旋轉(zhuǎn)角度α、β、γ組成的三維旋轉(zhuǎn)矩陣R,將初始協(xié)方差矩陣P0對角化,即可得到tr(CRB)的最小值。

在本節(jié)中首先定義三維空間中的旋轉(zhuǎn)矩陣,再對三維旋轉(zhuǎn)后的MAP方法進(jìn)行推導(dǎo)。定義三維空間中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣如下所示。

(22)

其中α、β、γ分別為繞x軸、y軸、z軸逆時針的旋轉(zhuǎn)角,如圖2所示。

圖2 繞x軸、y軸、z軸逆時針的旋轉(zhuǎn)角 Fig 2 Rotation angle counterclockwise about the x -,y -,z - axis

R=RxRyRz

(23)

當(dāng)三維空間中進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時,可得旋轉(zhuǎn)后定位系統(tǒng)中各參量為

(24)

(25)

因此,旋轉(zhuǎn)后的俯仰角和方位角表示為

(26)

為了計算旋轉(zhuǎn)后的協(xié)方差矩陣可采用一階泰勒級數(shù)近似來計算旋轉(zhuǎn)后的角度噪聲。將式(3)代入到式(26)中,可得

(27)

由誤差傳播定律可知,在三維旋轉(zhuǎn)后,第k個節(jié)點的噪聲協(xié)方差矩陣可以寫為

(28)

旋轉(zhuǎn)后包含噪聲分量的角度估計為

(29)

旋轉(zhuǎn)后的tr和qr計算得到無噪聲的真實目標(biāo)位置可寫為

(30)

因此,旋轉(zhuǎn)后的MAP 可表示為

(31)

采用式(24)中旋轉(zhuǎn)后目標(biāo)先驗分布中的協(xié)方差矩陣,結(jié)合上式中的Kr,則MAP的協(xié)方差矩陣為

(32)

則式(31)可寫為

(33)

殘差為

Γ(sr)=[e(sr);r(sr)]

(34)

式中:

(35)

(36)

采用高斯牛頓法計算MAP,迭代關(guān)系式如下所示

(37)

2.3 最優(yōu)節(jié)點部署方法

本節(jié)主要研究已知目標(biāo)先驗分布的情況下純方位定位系統(tǒng)中節(jié)點的最優(yōu)部署。首先,由第2.2節(jié)的結(jié)論可知,在目標(biāo)聲源服從高斯分布的假設(shè)下,三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)能夠解決目標(biāo)先驗協(xié)方差矩陣為非對角陣的問題,可通過三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法將目標(biāo)先驗分布中的非對角協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)化為對角陣,所以在后續(xù)研究中,只考慮P0為對角陣時的CRB。由式(5)～式(8)可知CRB的跡為

tr(CRB)=tr(Φ-1)≥

(38)

當(dāng)以下等式同時成立時,式(38)的等號成立。

(39)

由于通過三維旋轉(zhuǎn)后P0為對角陣,則使CRB對角化的條件為[21]

(40)

滿足式(40)的方位角的集合為

C={{θ1,θ2,…,θN}|θk∈{0,±π/2},k=1,2,…,N}

{{0,0,…,0},{±π/2,±π/2,…,±π/2}}

(41)

俯仰角的集合為

Z={{φ1,φ2,…,φN}|φk∈{0,±π/2},k=1,2,…,N}

{±π/2,±π/2,…,±π/2}

(42)

3 實驗仿真

本節(jié)首先采用梯度下降算法,驗證本文基于目標(biāo)高斯分布的定位系統(tǒng)中節(jié)點最優(yōu)部署方法。假設(shè)已知目標(biāo)的先驗概率分布,系統(tǒng)中有3個節(jié)點進(jìn)行定位,并將節(jié)點位置隨意放置,文獻(xiàn)[21]中未經(jīng)三維旋轉(zhuǎn)的最優(yōu)部署位置和本文方法得到的最優(yōu)部署進(jìn)行對比,證明本文方法的優(yōu)越性。

3.1 最優(yōu)節(jié)點部署方法實驗驗證

采用牛頓梯度下降算法對定位誤差CRB的跡進(jìn)行最小化迭代尋優(yōu)[26],本實驗仿真中對牛頓梯度下降算法執(zhí)行10 000次。

實驗 1目標(biāo)聲源和傳感器之間的最小距離用r0表示,r01=r02=r03=100 m,s0=[0,0,0]T,協(xié)方差矩陣

σφ1=σφ2=0.5°,σφ3=1°。節(jié)點初始迭代坐標(biāo)位置為p1=[100,-200,0],p2=[300,200,200],p3=[-200,100,-200]。圖3(a)為節(jié)點從初始迭代位置移動到最優(yōu)部署位置的迭代軌跡。目標(biāo)在最終位置時的角度為θ1=-91.07°,θ2=89.07°,θ3=-178.07°,φ1=-0.06°,φ2=-0.013°,φ3=-88.76°。

圖3 節(jié)點迭代軌跡圖Fig.3 Iterative trajectory of the sensors

實驗 2在其他條件都不改變的條件下,設(shè)先驗分布中的協(xié)方差矩陣為非對稱矩陣

通過三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法將其轉(zhuǎn)化為對稱陣,旋轉(zhuǎn)角度為α=14.5°,β=342.1°,γ=15.4°,可得到對角矩陣

圖3(b)為節(jié)點從最初迭代位置到最優(yōu)位置的迭代軌跡,最終角度為θ1=-92.12°,θ2=88.27°,θ3=-176.72°,φ1=-0.02°,φ2=-0.047°,φ3=-87.82°。

由此可知在協(xié)方差矩陣為對角陣和非對角陣的情況下,通過最小化CRB的跡得到節(jié)點最優(yōu)部署,與理論推導(dǎo)結(jié)論一致。

3.2 節(jié)點部署對比實驗

本節(jié)將3種不同部署方法所得CRB的跡進(jìn)行對比,驗證該算法的優(yōu)越性如表1所示。

表1 3種節(jié)點部署tr(CRB)的對比

部署方法1:假設(shè)節(jié)點部署位置即為第3.1節(jié)中節(jié)點的初始迭代位置,其余條件相同。

部署方法2:文獻(xiàn)[21]中3個節(jié)點的最優(yōu)部署位置,即θ1=0°,θ2=90°,θ3=90°,φ1=90°,φ2=0°,φ3=0°。

部署方法3:第3.1節(jié)中節(jié)點部署位置。

由表1可知,隨意位置部署時的tr(CRB)值較大,而文獻(xiàn)[21]的結(jié)果由于受高斯分布中協(xié)方差矩陣的影響,也不再適用于此情況,通過三維旋轉(zhuǎn)后得到的節(jié)點部署可獲得tr(CRB)的最小值。

4 結(jié) 論

為了解決定位系統(tǒng)中目標(biāo)位置服從高斯先驗分布假設(shè)下的最優(yōu)節(jié)點部署問題,本文探討了基于三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的MAP方法,提出了一種基于目標(biāo)高斯分布的求解克拉美羅下界的方法,并依此給出了最優(yōu)的節(jié)點部署配置,最后通過梯度下降方法驗證了理論推導(dǎo)的正確性。由于本文中最優(yōu)部署方法是基于AOA定位算法,這也將在后續(xù)研究中為AOA節(jié)點定位算法的最優(yōu)布局和節(jié)點選擇等問題提供了理論指導(dǎo)和評價標(biāo)準(zhǔn),以便在實際工程應(yīng)用中獲得最佳目標(biāo)定位與探測性能。