信雜噪比約束下基于互信息的雷達(dá)波形設(shè)計

肖 宇, 鄧正宏

(1. 西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2. 空軍工程大學(xué), 陜西 西安 710051)

0 引 言

雷達(dá)通過發(fā)射信號波形來探測目標(biāo)和環(huán)境,隨著目標(biāo)的運動,探測環(huán)境在發(fā)生變化,根據(jù)目標(biāo)和環(huán)境之間的相對關(guān)系設(shè)計發(fā)射波形是認(rèn)知雷達(dá)研究[1]的關(guān)鍵問題。因此,發(fā)射信號波形設(shè)計成為影響雷達(dá)探測性能的關(guān)鍵因素之一。

波形設(shè)計的本質(zhì)是發(fā)射信號能量的分配,現(xiàn)有的波形設(shè)計方法主要以提高雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計和目標(biāo)檢測性能等[2]為目的,通過優(yōu)化準(zhǔn)則建立波形優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),結(jié)合波形約束條件,提出優(yōu)化算法等[3-4]措施實現(xiàn)波形設(shè)計。常用的優(yōu)化準(zhǔn)則包括最小均方誤差[5](minimum mean squared error,MMSE)、互信息(mutual information, MI)[6]、信雜噪比(signal to interference noise ratio, SINR)[7]等。在頻域波形設(shè)計方面,Bell[8]較早地將信息論引入雷達(dá)波形設(shè)計,基于最大信噪比(signal to noise ratio,SNR)設(shè)計波形提升目標(biāo)檢測性能,基于最大MI設(shè)計波形提升目標(biāo)信息提取能力,文獻(xiàn)[9]針對Bell[8]提出的water-filing波形中的拉格朗日乘子區(qū)間不同情況進(jìn)行了討論,本質(zhì)上是能量約束的問題。Romero[10]在Bell[8]的基礎(chǔ)上,較系統(tǒng)地給出了基于SNR和MI針對確定目標(biāo)、隨機(jī)目標(biāo)在雜波和噪聲情況下的波形設(shè)計方法。文獻(xiàn)[11]針對目標(biāo)先驗信息不確定情況下,提出了基于最大SNR與最大MI的魯棒波形設(shè)計方法,主要特點是針對目標(biāo)檢測和參數(shù)估計在能量有限約束情況下的波形設(shè)計。隨著電子對抗技術(shù)的發(fā)展,波形設(shè)計需要考慮到雷達(dá)干擾技術(shù)的問題,文獻(xiàn)[12-13]以Bell[8]提出的波形設(shè)計目標(biāo)函數(shù)模型為基礎(chǔ),將信號相關(guān)干擾作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),提出了相應(yīng)的干擾波形優(yōu)化方法,并給出了魯棒的干擾波形。文獻(xiàn)[14]從博弈論的角度給出了干擾波形的優(yōu)化方法,上述研究都是在某種優(yōu)化準(zhǔn)則下,給出了定能量約束的優(yōu)化波形設(shè)計方法,在SINR較低或者SINR約束情況下,并未給出具體的波形優(yōu)化方法。而文獻(xiàn)[15]從認(rèn)知雷達(dá)波形設(shè)計方面,給出了SNR約束條件下的波形設(shè)計方法,討論了SNR與MI之間的均衡關(guān)系,但并未明確SNR約束條件的來由,也未從理論上給出SNR的作用閾,同時并未考慮存在信號相關(guān)雜波情況下的波形設(shè)計。

本文擬從二元假設(shè)檢驗?zāi)Ｐ偷南鄬厝胧?結(jié)合相對熵的非負(fù)性條件,挖掘MI與SINR的約束關(guān)系,以及SINR對最大化MI的影響區(qū)間,并基于最大化MI準(zhǔn)則,結(jié)合SINR的約束條件,提出一種新的波形設(shè)計方法,以期為認(rèn)知雷達(dá)的波形設(shè)計提供理論支撐。

1 二元假設(shè)檢驗?zāi)Ｐ?/h2>

當(dāng)存在信號相關(guān)雜波干擾c(t)的情況下,雷達(dá)發(fā)射波形x(t)來探測具有脈沖響應(yīng)h(t)的目標(biāo),接收信號y(t)[10]可以表示為

y(t)=h(t)*x(t)+c(t)*x(t)+n(t)

(1)

對于目標(biāo)檢測問題,在二元假設(shè)檢驗?zāi)Ｐ椭?接收信號可以產(chǎn)生兩種不同的輸出結(jié)果,當(dāng)接收信號中僅有雜波和噪聲信號時,表示為假設(shè)H0,當(dāng)接收信號中同時存在目標(biāo)、雜波和噪聲信號時,表示為假設(shè)H1,即

(2)

(3)

2 MI與SINR的約束關(guān)系

信息論中通常使用相對熵(Kullback-Leibler divergence,KLD)來描述兩個概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)間的“距離”度量[16]。令假設(shè)H0和假設(shè)H1的相對熵表示為D(p0(Y)‖p1(Y)),其中p0(Y)、p1(Y)分別表示輸出信號Y(f)在假設(shè)H0和H1下的PDF,為了簡化算式表達(dá),將D(p0(Y)‖p1(Y))簡寫為D(p0‖p1)。同理,假設(shè)H1和假設(shè)H0的相對熵可以表示為D(p1‖p0)。

當(dāng)雷達(dá)接收端對接收信號的采樣數(shù)據(jù)量N趨于無窮大時,假設(shè)H0、假設(shè)H1之間的相對熵[17]可以表示為

(4)

(5)

將式(3)模型代入相對熵式(4)和式(5),并進(jìn)行變換,可得

(6)

(7)

由于任意兩個PDF的KLD滿足條件KLD≥0,因而假設(shè)H0和H1之間的KLDD(p0‖p1)≥0、D(p1‖p0)≥0恒成立,聯(lián)合變換式(6)和式(7),可得

(8)

從式(8)中可以看出目標(biāo)響應(yīng)與接收信號的互信息MI與SINR之間的約束關(guān)系,若令

(9)

(10)

式(8)可表示為

XINR≤MI≤SINR

(11)

其中,

(12)

(13)

式(12)所體現(xiàn)的SINR(f)與MI之間的關(guān)系,與文獻(xiàn)[10]相一致,式(13)顯示了XINR隨著SINR(f)的變化關(guān)系。從式(11)可知,在給定波形|X(f)|2的情況下,MI總被限定于某個區(qū)間,并在每個頻率時刻受到SINR(f)約束的影響。如果要從最大化MI的角度,對信號波形進(jìn)行設(shè)計,則必須要綜合考慮以SINR(f)作為約束條件。在許多以MI為準(zhǔn)則設(shè)計雷達(dá)波形的文獻(xiàn)中,缺少了SINR(f)的約束,即使在文獻(xiàn)[15]中有SNR的約束,但是并未對SNR的作用閾進(jìn)行限定討論。

從式(10)可見,SINR(f)≥0,若以SINR(f)作為坐標(biāo)橫軸,對MI、XINR的核函數(shù)繪制示意圖,如圖1所示。

圖1 MI、SINR、XINR核函數(shù)關(guān)系示意圖Fig.1 Relationship among MI, SINR and XINR kernel functions

3 雜波環(huán)境下基于MI的波形設(shè)計

基于MI準(zhǔn)則的波形優(yōu)化方法,主要通過優(yōu)化發(fā)射波形使接收信號中目標(biāo)信息量最大化。在雜波環(huán)境下,給定發(fā)射信號,最大化接收信號與目標(biāo)脈沖響應(yīng)之間的MI[10]可表示為

MI(|X(f)|2)=

(14)

式中:Ty表示接收信號的持續(xù)時間。

3.1 波形設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)

在文獻(xiàn)[8-10]中,基于MI最大化波形設(shè)計,主要受到能量的限制。因此,根據(jù)第2節(jié)的討論結(jié)果,加上SINR作為約束條件的發(fā)射波形優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)模型可表示為

SINR≤SINR0

(15)

結(jié)合第2節(jié)的分析,對于式(15),在SINR約束情況下,基于最大化MI獲得的最優(yōu)波形將不同于無約束情況的最優(yōu)波形;當(dāng)SINR0較小時,相較于無SINR約束情況,此時目標(biāo)函數(shù)MI將無法達(dá)到最大值。

根據(jù)SINR的定義,可知

(16)

其中

(17)

同理,可得

(18)

(19)

式中:h=[h[1],h[2], …,h[Lh]]T,C=[c[1],c[2], …,c[Lh]]T,則

(20)

(21)

因此,對于SINR較低的情況,也就是SINR≤SINR0時,可得

(22)

根據(jù)維納-辛欽定理,發(fā)射信號x(t)的功率譜密度|X(f)|2可表示為自相關(guān)函數(shù)Rxx(t)的傅里葉變換,經(jīng)離散采樣后,可得

(23)

其中,

Jf=[1,2cos(2πf),2cos(4πf),…,cos(2π(Lx-1)f)]T

(24)

令Sxx=[|X(f1)|2, |X(f2)|2, …, |X(fN)|2]T,J=[Jf1,Jf2, …,JfN]T,那么Sxx=JRxx。此時通過矩陣廣義逆方法,可得Rxx=J?Sxx。因此,SINR的約束條件即可表示為

(25)

根據(jù)前面的推導(dǎo),當(dāng)存在SINR約束條件時,基于最大化MI的發(fā)射波形優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)模型可表示為

Sxx=[|X(f1)|2, |X(f2)|2, …, |X(fN)|2]T

(26)

從式(26)來看,該目標(biāo)函數(shù)為非凸函數(shù),因此可采取拉格朗日乘子法對波形PSD進(jìn)行優(yōu)化求解。

3.2 SINR的作用區(qū)間范圍

從式(11)可知,MI的取值介于XINR與SINR之間,同時由于MI受到SINR的約束。因此,在SINR約束條件下,基于最大化MI優(yōu)化雷達(dá)發(fā)射波形,需要對SINR0的取值范圍進(jìn)行討論。也就是對于式(26)而言,需要考慮當(dāng)SINR0處于什么區(qū)間范圍時,會對最大化MI的波形設(shè)計有影響。本節(jié)討論的出發(fā)點主要基于MI、XINR、SINR三者的相互關(guān)系,進(jìn)而為波形設(shè)計提供三者間的均衡關(guān)系。從式(12)和式(13)可知二者的導(dǎo)數(shù)為

MI(f)′=ln[1+SINR(f)]

(27)

(28)

對于頻率點k=1,2,…,N,存在SINR(fk)≥0,根據(jù)式(27)和式(28)的結(jié)果,可以推導(dǎo)出MI(f)′≥0、XINR(f)′≥0,可見MI(f)、SINR(f)、XINR(f)三者均為單調(diào)遞增函數(shù),由于MI(f)、XINR(f)與SINR(f)之間存在相互約束關(guān)系,因此三者間呈同步單調(diào)遞增趨勢。當(dāng)SINR0趨于無窮大時,相當(dāng)于無SINR約束,式(26)的目標(biāo)函數(shù)并不能實現(xiàn)MI的無窮大,因為此時存在有限能量的約束條件。對于給定頻域帶寬W的情況,無SINR約束時,式(26)的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化波形轉(zhuǎn)變?yōu)閮H有能量約束的基于最大化MI的波形設(shè)計,從而可得波形[10]為

|XMI(f)|2=max {0,B(f)[A-D(f)]}

(29)

式中:A為常數(shù);

(30)

(31)

根據(jù)前面的討論,可以得到SINR0最大值SINR(|XMI(f)|2),同理,從式(11)可以看出MI總是大于XINR,即使最小的MI也將大于最大的XINR。所以,在無約束情況下,采取拉格朗日乘子法獲得最大化XINR的優(yōu)化波形為

(32)

此時得到SINR0最小值SINR(|XXINR(f)|2),因此SINR的作用閾可表示為

SINR(|XXINR(f)|2)≤SINR0≤SINR(|XMI(f)|2)

(33)

在式(33)區(qū)間之外的SINR約束將不會對最大化MI的波形設(shè)計有任何影響。

4 仿真及結(jié)果分析

本節(jié)主要對基于最大化MI的波形設(shè)計進(jìn)行驗證,分別對雷達(dá)探測環(huán)境中存在雜波干擾、不存在雜波干擾等兩種情況,對目標(biāo)函數(shù)中存在SNR/SINR約束和不存在SNR/SINR約束等兩種條件,進(jìn)行綜合仿真對比實驗。

4.1 SNR/SINR作用閾與MI的約束關(guān)系

當(dāng)不存在雜波干擾時,在給定目標(biāo)脈沖響應(yīng)情況下,此時式(26)轉(zhuǎn)化為

Sxx=[|X(f1)|2, |X(f2)|2, …, |X(fN)|2]T

(34)

從式(34)的目標(biāo)模型來看,可以采取凸優(yōu)化的方式進(jìn)行計算,根據(jù)凸優(yōu)化工具箱,可計算當(dāng)SNR0取任意值時,最大化MI的取值情況,仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 無雜波時SNR與MI的約束關(guān)系Fig.2 Constraint relationship between SNR and MI without clutter

從圖2可以看出,當(dāng)SNR<-11 dB或SNR>12 dB時,無論SNR再小或再大,都不會影響最大化MI的取值;當(dāng)SNR介于-11 dB到12 dB區(qū)間時,隨著SNR的增大,MI在逐漸增大,二者呈單調(diào)遞增關(guān)系,這與第3.2節(jié)理論推導(dǎo)及式(33)是相符的;同時圖2曲線的上下邊界,也就是MI的最大值與最小值之間的關(guān)系,與式(11)相吻合。

同理,當(dāng)存在雜波干擾時,需要針對SINR0取不同值的情況,對式(26)進(jìn)行優(yōu)化,從式(26)的目標(biāo)函數(shù)來看,難以使用凸優(yōu)化的方式進(jìn)行計算,本文采取拉格朗日乘子法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,獲得SINR與MI的約束關(guān)系如圖3所示。

圖3 有雜波時SINR與MI的約束關(guān)系Fig.3 Constraint relationship between SNR and MI with clutter

圖3與圖2所示結(jié)果具有相似的情況,符合第3.2節(jié)的理論推導(dǎo),當(dāng)SINR介于-15 dB到8 dB區(qū)間時,會對基于最大化MI設(shè)計的波形有影響,該區(qū)間不同于圖2所示區(qū)間的變化范圍,SINR的影響區(qū)間總體發(fā)生了左移,主要原因在于雜波引起了約束的變化。由于雜波的加入,使得最大化MI值的區(qū)間范圍有所擴(kuò)展,并且相較于圖2的MI值減小了近10倍,這個減小范圍將根據(jù)雜波PSD的不同而不同。

4.2 有SINR約束和無SINR約束的波形對比

考慮到對比分析,本節(jié)分別針對無雜波、有雜波兩種情況,對SINR約束下基于最大化MI的波形進(jìn)行仿真。從SNR/SINR的作用閾中選取1 dB SINR作為約束閾值,并使用Sxx-NoSNR/SINR表示無SNR/SINR約束時的優(yōu)化波形,使用Sxx-SNR/SINR表示有SNR/SINR約束時的優(yōu)化波形。在無雜波影響情況下,使用式(34),采用凸優(yōu)化方法,對波形進(jìn)行仿真,并進(jìn)行歸一化處理,如圖4所示。

圖4 無雜波時有、無SNR約束的波形設(shè)計對比Fig.4 Comparison of waveform designs with and without SNR constraints when there is no clutter

在能量有限情況下,圖4所示基于最大化MI的波形信號能量,分布于具有目標(biāo)脈沖響應(yīng)的所有頻率點,在目標(biāo)PSD越強(qiáng)的地方,分配的波形信號能量越多,波形隨頻率的變化關(guān)系與目標(biāo)PSD隨頻率的變化關(guān)系相一致。當(dāng)在目標(biāo)函數(shù)中加入SNR約束進(jìn)行波形優(yōu)化時,波形的總體變化趨勢不變,不同之處在于不同的頻率點分布能量會出現(xiàn)有限的波動,也就是在不同頻率點,相較于無SNR約束情況,獲取的MI存在有限的波動,主要原因在于不存在雜波的情況下,SNR約束與能量約束存在等效約束關(guān)系。

在有雜波影響情況下,使用式(26),采用拉格朗日乘子法對波形進(jìn)行優(yōu)化仿真,并進(jìn)行歸一化處理,如圖5所示。

圖5 有雜波時有、無SINR約束的波形設(shè)計對比Fig.5 Comparison of waveform designs with and without SINRconstraints when there is clutter

由于受到雜波的影響,在無SINR約束時,波形能量主要分布在目標(biāo)PSD強(qiáng)、雜波PSD弱的地方,而在雜波PSD強(qiáng)、目標(biāo)PSD弱的地方分配較少的能量,這與文獻(xiàn)[8,10,15]所示結(jié)論是一致的,因為波形優(yōu)化方法都是基于water-filing方法。當(dāng)存在SINR約束時,波形能量分配發(fā)生了變化,傾向于在有限能量下,更好地利用能量來提取目標(biāo)信號,即在目標(biāo)PSD強(qiáng)、雜波PSD弱的頻率點,波形分配能量有所下降,因為此時分配的能量足夠提取目標(biāo)信號;而在存在目標(biāo)、且雜波PSD弱的頻率點,波形分配能量有所增加,因為在此部分頻率點分配能量,能夠更多地提取目標(biāo)信號?？傊?基于最大化MI設(shè)計的波形需要在不同頻率點獲得目標(biāo)的相關(guān)信息,當(dāng)存在SINR約束時,波形能量分配更傾向于有目標(biāo)響應(yīng)且無雜波或雜波信號弱的頻率點,以便增大MI,提取目標(biāo)信號。

5 結(jié) 論

在雜波環(huán)境下,為提升目標(biāo)估計性能,本文綜合考慮SINR準(zhǔn)則與MI準(zhǔn)則間的均衡關(guān)系,提出了一種SINR約束下基于最大化MI的波形設(shè)計方法。同時,基于KLD的約束條件,從理論上推導(dǎo)了SINR的作用閾,進(jìn)一步限定了基于最大化MI的波形設(shè)計。仿真結(jié)果表明,在SINR的約束下,能夠充分發(fā)揮最大化MI的特性增大目標(biāo)信息提取量,相較于無SINR約束的情況,波形信號能量會在存在目標(biāo)信號、且無雜波信號或雜波信號弱的頻率點有所增加。根據(jù)MI與SINR之間的約束均衡關(guān)系,有助于深入開展認(rèn)知雷達(dá)波形設(shè)計方面的研究工作。