基于改進(jìn)OMP算法的稀疏目標(biāo)微波關(guān)聯(lián)成像方法

張 瑞, 全英匯, 朱圣棋, 李亞超, 邢孟道

(1. 西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710071;2. 西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

由于成像雷達(dá)具有全天時(shí)、全天候、抗干擾能力強(qiáng)等顯著優(yōu)勢,在災(zāi)害監(jiān)測、對地觀測等方面具有廣泛應(yīng)用,已逐步成為獲取目標(biāo)精細(xì)特性的遙感設(shè)備[1]?；谀婧铣煽讖交蚝铣煽讖郊夹g(shù)的雷達(dá)設(shè)備,其成像原理均依賴于目標(biāo)與雷達(dá)間的相對運(yùn)動關(guān)系,通過發(fā)射大帶寬信號獲得距離向的高分辨率,方位向分辨率取決于合成孔徑長度[2-4]。然而,在某些凝視成像或前視成像的場合中,由于在方位向上雷達(dá)與觀測目標(biāo)不存在相對運(yùn)動關(guān)系或合成孔徑陣列與視線方向相同,不能實(shí)現(xiàn)方位向成像,難以獲得高分辨圖像。

近年來,起源于光學(xué)關(guān)聯(lián)成像技術(shù)[5]的雷達(dá)微波關(guān)聯(lián)成像技術(shù)受到海內(nèi)外越來越多學(xué)者的關(guān)注。雷達(dá)發(fā)射端通過發(fā)射隨機(jī)調(diào)制的探測信號,使其在空間中疊加產(chǎn)生時(shí)間—空間二維隨機(jī)波動的輻射場,該輻射場與目標(biāo)相互作用后,信號回波在接收端與事先存儲的參考輻射場模板進(jìn)行關(guān)聯(lián)處理,實(shí)現(xiàn)對波束內(nèi)目標(biāo)信息的解耦與提取[6-10]。

雷達(dá)微波關(guān)聯(lián)成像技術(shù)不依賴于雷達(dá)與目標(biāo)間的相對運(yùn)動關(guān)系,與傳統(tǒng)的高分辨雷達(dá)體制形成互補(bǔ),可工作于前視模式或凝視觀測模式,將其應(yīng)用在靜止或準(zhǔn)靜止平臺上可實(shí)現(xiàn)對地的長時(shí)間連續(xù)監(jiān)測、資源勘查等功能,具有廣泛的應(yīng)用前景。

目前,有關(guān)微波關(guān)聯(lián)成像技術(shù)的研究主要集中在分辨力理論、空時(shí)二維隨機(jī)輻射輻射源設(shè)計(jì)方法[11-14]、關(guān)聯(lián)重構(gòu)算法[15-17]、三維成像方法[18]、運(yùn)動目標(biāo)關(guān)聯(lián)成像[19-21]等方面。其中,由于微波關(guān)聯(lián)成像模型與壓縮感知(compressed sensing, CS)存在天然一致性,對稀疏目標(biāo)成像時(shí),能夠取得較好的成像效果,因此稀疏重構(gòu)類成像算法成為研究熱點(diǎn)。國防科技大學(xué)、西安電子科技大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)等單位對微波關(guān)聯(lián)成像技術(shù)相繼開展研究,并取得一系列研究成果[22-26]。

針對關(guān)聯(lián)重構(gòu)算法——正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)算法在每次迭代時(shí)均需求解最小二乘解而導(dǎo)致計(jì)算量大的問題,本文提出一種改進(jìn)OMP算法的稀疏目標(biāo)微波關(guān)聯(lián)成像方法,該方法可獲得良好的成像效果并且降低了計(jì)算量,有利于算法的實(shí)時(shí)化處理。本文首先闡述了雷達(dá)微波關(guān)聯(lián)成像機(jī)理,構(gòu)建了成像數(shù)學(xué)模型;然后結(jié)合共軛梯度法推導(dǎo)了改進(jìn)OMP算法公式,給出了算法實(shí)現(xiàn)步驟;最后通過仿真對比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 基于隨機(jī)輻射場的成像機(jī)理與信號模型

1.1 成像機(jī)理描述

基于隨機(jī)輻射場的雷達(dá)前視微波關(guān)聯(lián)成像技術(shù)由經(jīng)典熱光源強(qiáng)度關(guān)聯(lián)成像技術(shù)發(fā)展而來。經(jīng)典熱光源強(qiáng)度關(guān)聯(lián)成像技術(shù)通過使用熱光源在特定的成像平面上產(chǎn)生強(qiáng)度隨機(jī)起伏的光場來探測目標(biāo)信息,并且將接收到的探測通道和參考通道中隨機(jī)起伏的光場強(qiáng)度進(jìn)行關(guān)聯(lián)得到目標(biāo)物體的像。

雷達(dá)微波關(guān)聯(lián)成像技術(shù)采用微波作為信號源,通過發(fā)射各種帶有調(diào)制的電磁波信號(如隨機(jī)相位調(diào)制信號),在感興趣的觀測空間中人為地構(gòu)造空時(shí)二維隨機(jī)輻射場來模擬經(jīng)典熱光源強(qiáng)度關(guān)聯(lián)成像中隨機(jī)起伏的光場。微波信號源發(fā)射隨機(jī)調(diào)制的信號,并且該信號在空間中非相干疊加,形成分別在空間維度上和時(shí)間維度上均具有非相干特性的場。該場與觀測區(qū)域的目標(biāo)相互作用后,使得回波中攜帶有目標(biāo)對不同輻射場分布的調(diào)制信息,將這些回波信號與參考隨機(jī)輻射場進(jìn)行關(guān)聯(lián)處理,得到探測平面內(nèi)目標(biāo)的成像結(jié)果。微波關(guān)聯(lián)成像原理示意如圖1所示。

圖1 微波關(guān)聯(lián)成像原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of microwave correlation imaging

輻射場可用U(r)來表示,其空間相干性的定義為

(1)

式中:r1,r2表示波束覆蓋區(qū)域內(nèi)不同的兩點(diǎn);R(r1,r2,t)表示隨機(jī)輻射場在時(shí)刻t的空間自相關(guān)函數(shù)。

輻射場U(r)的時(shí)間相干性定義為

(2)

式中：t1,t2表示兩個(gè)不同時(shí)刻;R(r,t1,t2)表示隨機(jī)輻射場在位置r處的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)。

理想情況下,空時(shí)二維隨機(jī)輻射場表現(xiàn)為理想的非相關(guān)特性,即

(3)

(4)

在波束覆蓋范圍內(nèi),同一時(shí)刻t時(shí)不同分辨單元r1、r2的電磁輻射場U(r1,t)、U(r2,t)具有非相干差異性分布特征,使得不同分辨單元被具有不同空間分布特征的輻射場所標(biāo)度;同一分辨單元r不同時(shí)刻t1、t2的電磁輻射場U(r,t1)和U(r,t2)也具有非相干差異性分布特征,使得目標(biāo)在不同時(shí)刻受到具有不同時(shí)間分布特征的輻射場所照射。

傳統(tǒng)的成像雷達(dá)如實(shí)孔徑雷達(dá),由于發(fā)射天線發(fā)射單一形式的信號波形,其在探測空間中形成的是起伏規(guī)律的電磁輻射場,空間中不同位置處的輻射場相干性較強(qiáng)。一方面,分辨率受實(shí)孔徑天線尺寸的限制,另一方面,位于同一天線波束范圍內(nèi)的不同目標(biāo)被相干性較強(qiáng)的輻射場所標(biāo)度,輻射場不能為目標(biāo)分辨帶來額外的有用信息,因此雷達(dá)分辨率較低。此外,發(fā)射天線通常發(fā)射的是具有周期規(guī)律的雷達(dá)信號,該信號在觀測空間中形成的電磁輻射場在空間上的分布并不隨時(shí)間的變化而變化,導(dǎo)致雷達(dá)回波信號在不同時(shí)刻也是相干的,增加照射時(shí)間導(dǎo)致信噪比(signal to noise ratio, SNR)提高,對雷達(dá)分辨率的提高無任何實(shí)質(zhì)性幫助。而微波關(guān)聯(lián)成像的信號源通過發(fā)射隨機(jī)調(diào)制的信號,形成具有空間和時(shí)間二維非相干特性的隨機(jī)輻射場,為雷達(dá)分辨同一波束內(nèi)的不同目標(biāo)提供額外信息。若能充分利用空時(shí)二維隨機(jī)輻射場的非相干特性,再結(jié)合相應(yīng)的成像算法,則可使得目標(biāo)超分辨成像成為可能。

1.2 雷達(dá)微波關(guān)聯(lián)成像數(shù)學(xué)模型

假設(shè)雷達(dá)陣列有M個(gè)發(fā)射陣元和N個(gè)接收陣元。發(fā)射陣元排列成均勻線陣,且發(fā)射獨(dú)立的隨機(jī)信號。在目標(biāo)成像平面建立直角坐標(biāo)系,并將成像平面離散劃分為Q個(gè)相同大小的網(wǎng)格,沿X軸方向的網(wǎng)格尺寸為ΔX,沿Y軸方向的網(wǎng)格尺寸為ΔY。假設(shè)目標(biāo)散射點(diǎn)位于成像網(wǎng)格中心,并以此時(shí)散射點(diǎn)的位置矢量r表示該網(wǎng)格的位置。

將目標(biāo)的等效后向散射系數(shù)矢量表示為

σ=[σ1,σ2,…,σq]T

(5)

式中:σq表示第q個(gè)成像網(wǎng)格中心rq處等效后向散射系數(shù),若該成像網(wǎng)格單元沒有散射點(diǎn),則σq=0。

為簡化起見,現(xiàn)考慮具有M個(gè)發(fā)射陣元和1個(gè)接收陣元的多發(fā)單收天線結(jié)構(gòu)。接收天線選定為發(fā)射天線中的參考天線(即第1個(gè)發(fā)射天線)。如此,第m(m=1,2,…,M)個(gè)發(fā)射陣元在第l(l=1,2,…,L)個(gè)脈沖內(nèi)的發(fā)射信號為

(6)

(7)

信號經(jīng)過調(diào)制后,每個(gè)陣元的發(fā)射信號頻率在脈沖之間隨機(jī)捷變。一方面,這種隨機(jī)調(diào)制的信號在空間中非相干疊加,形成具有空間和時(shí)間二維非相干特性的隨機(jī)輻射場,為后續(xù)微波關(guān)聯(lián)成像處理提供重要基礎(chǔ)。另一方面,這種形式信號的抗干擾能力較強(qiáng),特別是對基于數(shù)字射頻存儲器(digital radio frequency memory, DRFM) 的轉(zhuǎn)發(fā)式干擾抑制方面效果顯著[28]。一般而言,對方干擾機(jī)轉(zhuǎn)發(fā)的是上一個(gè)或上幾個(gè)脈沖周期的信號波形,對于當(dāng)前脈沖周期的信號來不及截獲、存儲、復(fù)制和轉(zhuǎn)發(fā)。而我方雷達(dá)接收機(jī)以當(dāng)前脈沖周期的信號作為參考進(jìn)行脈沖壓縮。由于發(fā)射信號在每個(gè)脈沖重復(fù)周期內(nèi)都是隨機(jī)捷變的,并且這種變化只由信號發(fā)射方掌握,干擾方只能被動轉(zhuǎn)發(fā),因此干擾信號經(jīng)脈沖壓縮時(shí)由于失配而被成功抑制,只有真目標(biāo)才能被正確檢測。

為方便公式推導(dǎo),假設(shè)空間中存在1個(gè)點(diǎn)目標(biāo),其等效后向散射系數(shù)記為σ0,當(dāng)存在多個(gè)點(diǎn)目標(biāo)時(shí),只需在公式上稍作修改即可,不影響公式推導(dǎo)。

在第l個(gè)脈沖內(nèi),接收陣元接收到的該單個(gè)點(diǎn)目標(biāo)的回波信號為

(8)

(9)

式中：c表示光速;r0表示等效后向散射系數(shù)為σ0的點(diǎn)目標(biāo)在成像平面坐標(biāo)系中的位置矢量;Rt,m和Rr,1分別表示第m個(gè)發(fā)射陣元和接收陣元在成像平面坐標(biāo)系中的位置矢量。

記第l個(gè)脈沖內(nèi),M個(gè)發(fā)射陣元的頻率分別為

(10)

將第l個(gè)脈沖內(nèi)接收到的目標(biāo)回波信號進(jìn)行下變頻及脈沖壓縮處理后的信號可以寫作:

(11)

式中:B為信號帶寬。

在成像平面內(nèi),圍繞目標(biāo)劃分出Q個(gè)大小相同的成像網(wǎng)格,網(wǎng)格的位置矢量由其中心點(diǎn)的坐標(biāo)矢量表示。由于已知各個(gè)陣元的位置坐標(biāo)(xarray(m),yarray(m),zarray(m))和各個(gè)成像網(wǎng)格的位置矢量(xq,yq,zq),于是可計(jì)算得到第m個(gè)陣元到第q個(gè)網(wǎng)格的距離為

(12)

因此,由第m個(gè)陣元發(fā)射的信號經(jīng)第q個(gè)網(wǎng)格(σq=1)反射后,被接收陣元接收而產(chǎn)生的時(shí)延可表示為

(13)

這樣,第l個(gè)脈沖內(nèi)第q個(gè)網(wǎng)格處(即rq處)的參考信號可寫為

(14)

因此,雷達(dá)接收端接收到來自第l個(gè)脈沖內(nèi)第q個(gè)網(wǎng)格的回波信號可表示為

(15)

將成像模型寫為矩陣形式:

y=Sσ

(16)

式中：y=[y(t1),y(t2),…,y(tL)]T為回波信號向量;σ=[σ1,σ2,…,σQ]T為待恢復(fù)的目標(biāo)散射系數(shù)向量;S為采樣矩陣,其具體形式為

(17)

從式(17)可以看出,觀測矩陣不僅與雷達(dá)發(fā)射、接收陣列幾何構(gòu)型有關(guān),還與雷達(dá)信號波形、成像網(wǎng)格數(shù)、脈沖數(shù)有關(guān)。此外,由式(16)還可以看出,解雷達(dá)微波關(guān)聯(lián)成像方程是一個(gè)典型的線性逆問題求解過程,利用方程的解可以恢復(fù)目標(biāo)、重構(gòu)目標(biāo)圖像。

如果從另外一個(gè)角度來解釋待恢復(fù)目標(biāo)與空時(shí)二維隨機(jī)輻射場間的關(guān)系,可以認(rèn)為空時(shí)二維非相干隨機(jī)輻射場的差異性分布特征相當(dāng)于空間波前的隨機(jī)編碼,隨機(jī)輻射場與目標(biāo)相互作用后,目標(biāo)的信息就蘊(yùn)含在散射回波信號中。這種相互作用等于對感興趣的目標(biāo)進(jìn)行采樣或測量。從這個(gè)方面來看,式(17)描述的采樣矩陣S與稀疏重構(gòu)理論里的采樣矩陣或者觀測矩陣類似。然后,利用本地預(yù)先存儲的采樣矩陣和接收到的目標(biāo)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)和反演就可以得到原始目標(biāo)圖像。這種關(guān)于目標(biāo)與隨機(jī)輻射場間關(guān)系的解釋與CS理論不謀而合。

對于微波關(guān)聯(lián)成像,空時(shí)二維完全非相干隨機(jī)輻射場天然地滿足CS中對觀測矩陣的要求:限制等距特性。此外,雷達(dá)目標(biāo)回波信號可以看作是少數(shù)幾個(gè)強(qiáng)散射點(diǎn)回波信號疊加的結(jié)果[29]。目標(biāo)的稀疏特性是雷達(dá)成像中比較常用的先驗(yàn)信息。通常情況下,所觀測的目標(biāo)本身就具有稀疏性,此時(shí)CS中字典矩陣是一個(gè)單位陣,這樣采樣矩陣就與CS中的測量矩陣對應(yīng)起來。因此,式(16)所示的成像模型就是CS模型。另一方面,即使當(dāng)前目標(biāo)不具有稀疏特性,通常利用各種稀疏變換手段(例如小波變換)便可快速得到其稀疏表示。結(jié)合本文中的應(yīng)用場景,目標(biāo)飛機(jī)在空域中可以看作是由K個(gè)主要散射點(diǎn)組成的,在構(gòu)造成像模型時(shí),需要將目標(biāo)飛機(jī)所在成像平面劃分成Q個(gè)成像網(wǎng)格,通常K?Q。因此,飛機(jī)在空域上滿足稀疏條件。稀疏度的定義可以沿用壓縮感知理論中對于稀疏度的描述。如向量σ=[σ1,σ2,…,σQ]T中只有少于K(K?Q)個(gè)非零元素,稱K為信號的稀疏度。因此,可以將CS相關(guān)理論用于微波關(guān)聯(lián)成像處理中重構(gòu)恢復(fù)目標(biāo)圖像。

由于對成像平面進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí),網(wǎng)格數(shù)量多且尺寸小,接收信號相干性較強(qiáng)。因此,求解式(16)是一個(gè)欠定問題,且解通常不唯一。為了得到符合要求的唯一解,這里采用稀疏恢復(fù)算法求解。

已有文獻(xiàn)證明[30],若σ稀疏,求解式(16)可轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題:

(18)

式中：η表示誤差允許量；‖·‖k表示向量的lk范數(shù)。但是,求解式(18)是一個(gè)非確定性多項(xiàng)式難題(nondeterministic polynomially problem， NP)。最常見的一種解決方法是用范數(shù)代替l0范數(shù):

(19)

可以證明,若σ是稀疏的且測量矩陣S滿足一定條件時(shí),式(18)和式(19)具有相同的解。

2 微波關(guān)聯(lián)成像算法

從前面的分析可以看出,求解式(16)是一個(gè)病態(tài)的逆問題。導(dǎo)致這個(gè)逆問題病態(tài)的原因是測量數(shù)據(jù)信息量不足,實(shí)際目標(biāo)場景中蘊(yùn)含的信息量遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有限的測量數(shù)據(jù)量,僅僅采用諸如最小二乘法是無法求解或者無法獲得穩(wěn)定解的。因此,考慮利用目標(biāo)稀疏的先驗(yàn)信息,結(jié)合稀疏重構(gòu)類算法以獲得方程穩(wěn)定的解,從而恢復(fù)目標(biāo)圖像。

2.1 OMP算法

考慮采用OMP算法求解上述問題,其基本思想是從字典矩陣中,選擇與輸入信號相關(guān)性最強(qiáng)的原子,形成一個(gè)稀疏逼近,同時(shí)求出匹配殘差,然后繼續(xù)選擇與殘差最匹配的原子,反復(fù)迭代直到滿足循環(huán)終止條件為止。需要稀疏恢復(fù)的信號可以由迭代中選擇相關(guān)性最強(qiáng)原子的線性和再加上最后的殘差值來表示。如果殘差值在可以接受范圍內(nèi),則信號就是這些原子的線性組合。

對于壓縮觀測:

y=Φx

(20)

式中:yM×1為觀測所得向量;ΦM×N為測量矩陣;xN×1為原信號,其在某個(gè)變換域ΨN×N是稀疏的,即

x=Ψθ

(21)

式中:θN×1是K稀疏的,一般有K?M?N。

令傳感矩陣A為

A=ΦΨ

(22)

則

y=Aθ

(23)

OMP重構(gòu)算法的具體步驟如下。

輸入:傳感矩陣A=ΦΨ,觀測向量y,信號的稀疏度K。

步驟 1初始化Λ0=?,A0=?,r0=y,i=1。

步驟 3令Λi=Λi-1∪{λi},Ai=Ai-1∪aλi。

步驟 4計(jì)算y=Aiθi的最小二乘解:

步驟 5更新殘差

步驟 6迭代次數(shù)i=i+1,并判斷i≤K是否滿足,若滿足則返回步驟2,否則終止迭代。

其中:i表示迭代數(shù)目;ri表示殘差值;Λi表示第i次迭代索引構(gòu)成的集合;λi表示第i次迭代中得到的索引;θi為i×1維列向量;aj表示矩陣A的第j列構(gòu)成的向量;Ai為依照集合Λi選出的矩陣A的列構(gòu)成的集合。

在利用OMP算法求解式(19)過程中,涉及大量向量與向量相乘、矩陣與向量相乘的運(yùn)算,而且每迭代一次就要求解一次最小二乘問題,利用直接矩陣求逆法求最小二乘解時(shí),非常耗費(fèi)硬件空間、時(shí)間資源,這降低了算法的實(shí)時(shí)性,增加了算法的實(shí)現(xiàn)難度。因此,優(yōu)化OMP算法以利于實(shí)時(shí)處理是非常有必要的。

2.2 改進(jìn)OMP算法的稀疏恢復(fù)算法

觀察第2.1節(jié)中OMP算法步驟4可知,每一次迭代都要利用直接矩陣求逆法來求解下式的最小二乘解:

y=Aiθi

(24)

式中:Ai為M×i維矩陣,表示按索引Λi選出的矩陣A的列集合;θi為i×1維的待重建信號。式(24)是一個(gè)超定方程,這里只能求得其最優(yōu)解。定義最優(yōu)解為使殘差y-Aiθi的l2范數(shù)取得極小值時(shí)的解為

(25)

對式(25)關(guān)于θi求梯度并令梯度值為0可得

(26)

進(jìn)一步化簡可得

(27)

Gθ=b

(28)

當(dāng)矩陣G維數(shù)較大時(shí),直接矩陣求逆法的計(jì)算量會相當(dāng)大,這將耗費(fèi)巨大的時(shí)間和空間資源。因此,本文采用共軛梯度法來求解式(28),從而避免了矩陣求逆運(yùn)算,改進(jìn)了原始的OMP算法。共軛梯度法只涉及少量的矩陣與向量相乘、向量與向量相乘運(yùn)算,從而大大降低計(jì)算數(shù)據(jù)量,節(jié)約計(jì)算資源和空間資源,增強(qiáng)整個(gè)成像恢復(fù)算法的實(shí)用性。

共軛梯度法是用來解決無約束凸二次規(guī)劃問題的一種方法。其基本思想是對于一個(gè)目標(biāo)函數(shù),找到一組方向向量,依次按此方向向量中的方向?qū)Φc(diǎn)進(jìn)行更新,使得函數(shù)值在該方向上取得最小值。在每一個(gè)新的更新方向?qū)Φc(diǎn)進(jìn)行更新時(shí),不會影響在之前方向上的更新結(jié)果。如果能找到這樣一組方向向量,那么就可保證在多次迭代后找到函數(shù)的全局極小點(diǎn)。

共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的方法,既克服了最速下降法收斂慢的缺點(diǎn),又避免了存儲和計(jì)算牛頓法所需要的二階導(dǎo)數(shù)信息。該算法具有收斂速度快、所需存儲空間少以及二次終止等優(yōu)點(diǎn),因此在解決實(shí)際問題中得到了廣泛的應(yīng)用。

將式(28)轉(zhuǎn)化為如下問題:

(29)

要應(yīng)用共軛梯度法,最關(guān)鍵的是要確定算法中的兩個(gè)參量:優(yōu)化方向p和優(yōu)化步長ρ,下面給出其推導(dǎo)過程。

(30)

在上式兩邊同時(shí)左乘p(k)TG,得

(31)

解得

(32)

已知迭代點(diǎn)θ(k)和優(yōu)化方向p(k),利用一維搜索確定優(yōu)化步長ρk,也就是求解下列問題:

(33)

為了求解式(31),這里記:

φ(ρ)=f(θ(k)+ρp(k))

(34)

[G(θ(k)+ρp(k))+b]Tp(k)=0

(35)

(36)

求解式(36)可獲得第k次的優(yōu)化步長ρk,其表達(dá)式為

(37)

利用共軛梯度法求解式(28)的詳細(xì)步驟如下所示。

算法 1 共軛梯度法輸入:對稱正定矩陣G,等式右端項(xiàng)b,初始值θ0;輸出:方程的解θ;計(jì)算殘差:r0=b-Gθ0;初始化:p0=r0;repeat for k=0,1,… do ifpk=0then return θ0 else αk=rTkrkpTkGpk; θk+1=θk+αkpk; rk+1=rk-αkGpk; βk=rTk+1rk+1rTkrk; pk+1=rk+1+βkpk; endend

2.3 算法計(jì)算復(fù)雜度分析與對比

在OMP算法迭代過程中,相比于直接矩陣求逆,采用共軛梯度法求最小二乘解能夠使得問題求解復(fù)雜度明顯降低,大大節(jié)省計(jì)算時(shí)間,提高算法的有效性和可靠性。下面詳細(xì)分析對比利用直接矩陣求逆法和利用共軛梯度法求最小二乘解的計(jì)算復(fù)雜度。

在第2.1節(jié)OMP重構(gòu)算法的步驟4中,利用直接矩陣求逆法求得y=Aiθi的最小二乘解為

(38)

通過以上分析可以看出,由于利用直接矩陣求逆來求解最小二乘解時(shí),不僅要頻繁進(jìn)行矩陣與矩陣相乘操作,還要進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算,其計(jì)算量隨信號稀疏度的增加而快速增長。此外,在硬件實(shí)現(xiàn)上需要對矩陣、向量頻繁地進(jìn)行存取,耗費(fèi)了大量的時(shí)間資源,不利于硬件電路性能的提升和整個(gè)成像稀疏恢復(fù)算法的實(shí)時(shí)化處理。

共軛梯度法只涉及少量的矩陣與向量相乘、向量與向量相乘、標(biāo)量間運(yùn)算,數(shù)據(jù)量小且數(shù)據(jù)間的一致性較強(qiáng),這樣就節(jié)約了計(jì)算時(shí)間資源,利于算法實(shí)現(xiàn)和實(shí)時(shí)性處理。

3 仿真結(jié)果及分析

根據(jù)式(14),可將常用的微波關(guān)聯(lián)成像方法分為匹配濾波法、最小二乘法、稀疏重構(gòu)法。本小節(jié)通過數(shù)值仿真對比這三種方法的性能。表1給出了具體的仿真參數(shù)取值。

表1 參數(shù)設(shè)置

仿真場景如圖2所示,圖2(a)是一個(gè)由3個(gè)散射點(diǎn)組成的簡單目標(biāo),圖2(b)是一個(gè)由8個(gè)散射點(diǎn)組成的飛機(jī)目標(biāo),兩種目標(biāo)都是稀疏的,但稀疏度不同。

圖2 原始目標(biāo)Fig.2 Original target

針對圖2(a)的目標(biāo)場景,分別利用匹配濾波法、最小二乘法、傳統(tǒng)OMP算法和改進(jìn)OMP稀疏重構(gòu)算法進(jìn)行仿真,其中SNR=5 dB。

由于匹配濾波法是將回波信號y與采樣矩陣S進(jìn)行相關(guān)處理,該方法利用了空時(shí)二維隨機(jī)輻射場的非相干特性,因此回波信號中與采樣矩陣相關(guān)程度較高的列會在圖中產(chǎn)生尖峰。但實(shí)際中形成的隨機(jī)輻射場不能滿足理想的時(shí)空完全非相干特性,這會大大影響成像質(zhì)量。如圖3所示,圖中紅色圓圈標(biāo)出的點(diǎn)即為目標(biāo)散射點(diǎn),目標(biāo)勉強(qiáng)可見。

圖3 匹配濾波法仿真結(jié)果(3個(gè)點(diǎn)目標(biāo))Fig.3 Simulation result of matched filtering method (three point targets)

圖4 最小二乘法仿真結(jié)果(3個(gè)點(diǎn)目標(biāo))Fig.4 Simulation result of least square method (three point targets)

從現(xiàn)有的仿真結(jié)果質(zhì)量上來看,傳統(tǒng)的OMP算法和改進(jìn)的OMP算法在重構(gòu)結(jié)果的質(zhì)量方面差異性不大，如圖5和圖6所示，但從算法處理用時(shí)、硬件實(shí)現(xiàn)難度以及算法實(shí)時(shí)性上來看,本文所提方法在運(yùn)算量上具有巨大優(yōu)勢,有利于算法地實(shí)現(xiàn)和實(shí)時(shí)性處理，4種算法進(jìn)行目標(biāo)恢復(fù)成像的用時(shí)如表2所示。

圖5 傳統(tǒng)OMP稀疏重構(gòu)結(jié)果(3個(gè)點(diǎn)目標(biāo))Fig.5 Sparse reconstruction result of traditional OMP method (three point targets)

圖6 改進(jìn)OMP稀疏重構(gòu)結(jié)果(3個(gè)點(diǎn)目標(biāo))Fig.6 Sparse reconstruction result of improved OMP method (three point targets)

表2 4種算法運(yùn)行時(shí)間對比

由于利用傳統(tǒng)OMP算法求解成像方程時(shí),需要涉及大量的向量與向量相乘、矩陣與向量相乘運(yùn)算,而且每迭代一次就要求解一次最小二乘問題,非常耗費(fèi)硬件空間、時(shí)間資源,降低了算法的實(shí)時(shí)性,增加了算法的實(shí)現(xiàn)難度。此外,由于改進(jìn)的OMP算法增加了稀疏先驗(yàn)信息的約束,所以削弱了逆問題求解過程中的病態(tài)性,降低了采樣矩陣S病態(tài)性造成的成像不穩(wěn)定,提高了雷達(dá)成像質(zhì)量。

針對圖2(b)的飛機(jī)目標(biāo),分別利用匹配濾波法、最小二乘法、傳統(tǒng)OMP算法和改進(jìn)OMP稀疏重構(gòu)算法進(jìn)行仿真。其中SNR=5 dB。

如圖7所示,由仿真結(jié)果很難分辨出飛機(jī)目標(biāo)。這是由于匹配濾波法是將回波信號y與采樣矩陣S進(jìn)行相關(guān)處理,其本質(zhì)還是利用隨機(jī)輻射場的時(shí)空非相干特性。若采樣矩陣S中各列的相關(guān)性很強(qiáng),則經(jīng)相關(guān)處理后,圖上會出現(xiàn)很多幅度值較大的點(diǎn),導(dǎo)致原始目標(biāo)被其淹沒,難以分辨。

圖7 匹配濾波法仿真結(jié)果(飛機(jī)目標(biāo))Fig.7 Simulation result of matched filtering method (aircraft target)

最小二乘法的仿真結(jié)果如圖8所示。由于最小二乘法對噪聲和誤差極其敏感,且輻射場的時(shí)空相干性較強(qiáng),所以該算法不能正確得到飛機(jī)目標(biāo)圖像,成像失敗。

圖8 最小二乘法仿真結(jié)果(飛機(jī)目標(biāo))Fig.8 Simulation result of least square method (aircraft target)

圖9和圖10分別給出了利用傳統(tǒng)OMP算法和所提的改進(jìn)OMP稀疏重構(gòu)算法的仿真結(jié)果。兩種算法在有噪聲的情況下能夠準(zhǔn)確恢復(fù)目標(biāo),得到正確的目標(biāo)圖像。但所提算法優(yōu)化了傳統(tǒng)OMP算法以利于實(shí)時(shí)處理,改進(jìn)后的OMP算法數(shù)據(jù)量小且數(shù)據(jù)間的一致性較強(qiáng),節(jié)約了計(jì)算時(shí)間資源,有利于算法硬件實(shí)現(xiàn)和實(shí)時(shí)性處理。

圖9 傳統(tǒng)OMP稀疏重構(gòu)結(jié)果(飛機(jī)目標(biāo))Fig.9 Sparse reconstruction result of traditional OMP method (aircraft target)

圖10 改進(jìn)OMP稀疏重構(gòu)結(jié)果(飛機(jī)目標(biāo))Fig.10 Sparse reconstruction result of improved OMP method (aircraft target)

由于實(shí)現(xiàn)匹配濾波法只需進(jìn)行矩陣的相關(guān)運(yùn)算,因此耗時(shí)最短。但如前面所述,該方法的性能受眾多因素影響,其成像效果差。改進(jìn)OMP算法耗時(shí)與匹配濾波法相當(dāng),但不論是在有噪聲的情況下還是當(dāng)采樣矩陣S的非相干性不理想時(shí),其成像結(jié)果均令人滿意,為3種算法中最優(yōu)異的一種。最小二乘法耗時(shí)最長,原因在于該方法計(jì)算過程中需要進(jìn)行大型矩陣與矩陣相乘操作以及矩陣求逆運(yùn)算,計(jì)算量隨著網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)目、脈沖數(shù)、信號稀疏度的增加而迅速增加,因此非常耗時(shí)。此外,由于受到噪聲和采樣矩陣S非相干性不理想等因素的影響,該方法的成像效果非常差。傳統(tǒng)OMP算法步驟涉及大量的向量與向量相乘、矩陣與向量相乘運(yùn)算,而且每迭代一次就要求解一次最小二乘問題,利用直接矩陣求逆法求最小二乘解時(shí),非常耗費(fèi)硬件空間與時(shí)間資源。

4 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)OMP算法在每次迭代時(shí),均需利用直接矩陣求逆法求解目標(biāo)函數(shù)的最小二乘解而導(dǎo)致計(jì)算量大的問題,本文提出一種改進(jìn)OMP算法的稀疏目標(biāo)微波關(guān)聯(lián)成像方法。首先,闡明了微波關(guān)聯(lián)成像原理并構(gòu)建了微波關(guān)聯(lián)成像數(shù)學(xué)模型;然后,利用共軛梯度法對OMP算法中的直接矩陣求逆步驟進(jìn)行了改進(jìn),并分析了改進(jìn)后算法的計(jì)算量;最后,通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與匹配濾波法、最小二乘法、傳統(tǒng)OMP算法相比,所提算法能夠獲得良好的成像效果,降低了算法計(jì)算量,有利于算法的實(shí)時(shí)化處理。