相參頻率捷變雷達(dá)目標(biāo)稀疏重建性能邊界綜述

黃天耀, 李宇涵, 王 磊, 劉一民, 王希勤

(清華大學(xué)電子工程系, 北京 100084)

0 引 言

頻率捷變雷達(dá)具有優(yōu)異的抗干擾能力[1-3],從而受到越來(lái)越多的關(guān)注。采用傳統(tǒng)匹配濾波算法[4],可以對(duì)目標(biāo)進(jìn)行距離多普勒聯(lián)合估計(jì)。但傳統(tǒng)匹配濾波算法不可避免地存在旁瓣平臺(tái)問(wèn)題[5],當(dāng)場(chǎng)景中存在多個(gè)目標(biāo)特別是強(qiáng)雜波時(shí),強(qiáng)目標(biāo)/雜波的旁瓣會(huì)掩蓋弱目標(biāo),導(dǎo)致虛警和漏檢?；诖祟悊?wèn)題,早期學(xué)者認(rèn)為頻率捷變與動(dòng)目標(biāo)處理不相兼容[6]。

2005年前后新興的壓縮感知理論[7]為頻率捷變雷達(dá)的相參處理提供了新的思路。壓縮感知理論將傳統(tǒng)的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題建模為欠定方程求解問(wèn)題。利用雷達(dá)觀測(cè)場(chǎng)景內(nèi)在的稀疏性,壓縮感知算法給出方程的稀疏解,將目標(biāo)信號(hào)準(zhǔn)確重建,從而顯著減輕了旁瓣平臺(tái)問(wèn)題[8],使得頻率捷變雷達(dá)在強(qiáng)雜波中實(shí)現(xiàn)了動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)。2008年,文獻(xiàn)[5]提出了貪婪類壓縮感知算法。隨后,針對(duì)合成孔徑雷達(dá)成像[9-10]、逆合成孔徑雷達(dá)成像[11-13]、認(rèn)知波形設(shè)計(jì)[14]等不同應(yīng)用,學(xué)術(shù)界提出了相應(yīng)的稀疏重建算法。其中,文獻(xiàn)[15]基于頻率捷變雷達(dá)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),驗(yàn)證了在存有水面和地面雜波條件下分別對(duì)水面和空中小目標(biāo)的檢測(cè)能力。

研究壓縮感知算法準(zhǔn)確重建頻率捷變雷達(dá)觀測(cè)場(chǎng)景的邊界條件是基礎(chǔ)性理論問(wèn)題,具有重要的意義。本文旨在梳理介紹近年來(lái)該方向上所取得的研究成果[8,15-17],歸納總結(jié)背后的基本思想和數(shù)學(xué)原理,對(duì)比分析各個(gè)成果的理論價(jià)值,探討其在雷達(dá)裝備中的應(yīng)用前景,并展望未來(lái)可能的研究方向和思路。

1 信號(hào)模型

本節(jié)首先回顧了頻率捷變雷達(dá)的信號(hào)模型[8,15],并隨后給出矩陣形式的模型。

1.1 雷達(dá)模型

本文考慮脈間頻率捷變雷達(dá)在一個(gè)相參處理間隔(coherent processing interval,CPI)內(nèi)共發(fā)射N個(gè)單頻脈沖。將第n個(gè)脈沖的載頻記為fn=fc+CnΔf,其中fc為初始頻率,Δf為頻率間隔,Cn為第n個(gè)脈沖的跳頻碼字,且碼字之間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,服從離散均勻分布,具體記為Cn～U(M),M={0,1,…,M-1},M為載頻個(gè)數(shù)。將脈寬和脈沖重復(fù)周期分別記為T(mén)p和Tr。于是,第n個(gè)脈沖發(fā)射的波形可以表示為

ST(n,t)=rect((t-nTr)/Tp)ej2πfn(t-Tr)

(1)

式中:rect(t)為矩形脈沖函數(shù),當(dāng)0≤t≤1時(shí)函數(shù)為1,其他區(qū)域?yàn)?。

首先考慮理想單散射體的場(chǎng)景。該散射體屬于某目標(biāo)或雜波,其復(fù)散射強(qiáng)度為ζ。假設(shè)該點(diǎn)初始距離為r,沿雷達(dá)視線方向運(yùn)動(dòng),速度為v。令c為光速,在停跳假設(shè)下,第n個(gè)脈沖的回波可以記為

SR(n,t)≈ζST(n,t-2(r+vnTr)/2)

(2)

經(jīng)下變頻、采樣和整理后[17],可以將某個(gè)粗分辨距離單元內(nèi)的回波寫(xiě)成如下形式:

(3)

(4)

1.2 矩陣形式模型

首先需要將雷達(dá)目標(biāo)的距離和多普勒參數(shù)域進(jìn)行離散化?？紤]到散射點(diǎn)的歸一化距離和多普勒頻率的無(wú)模糊區(qū)間為(fr,fv)∈[0,1)2,由于fr和fv的分辨單元分別為1/M和1/N,對(duì)應(yīng)于載頻的個(gè)數(shù)M(也即帶寬)和脈沖的個(gè)數(shù)N(也即時(shí)長(zhǎng)),故將距離和多普勒空間分別離散化為N個(gè)及M個(gè)格點(diǎn),使得相鄰格點(diǎn)之間的間隔恰好為對(duì)應(yīng)的分辨力。距離和多普勒域的格點(diǎn)集合分別記為R={m/M|m∈M}和V={n/N|n∈N},而N={0,1,…,N-1}。在距離多普勒參數(shù)平面內(nèi)共有MN個(gè)格點(diǎn),包含于集合R×V內(nèi)。在這種格點(diǎn)劃分方式下,每個(gè)距離-多普勒單元恰巧有1個(gè)對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)。假設(shè)散射點(diǎn)的距離及多普勒參數(shù)均恰好落在這些格點(diǎn)上,那么可以引入矩陣B∈CM×N來(lái)描述雷達(dá)目標(biāo)場(chǎng)景,矩陣的(m,n)元素表示為

同時(shí),還需引入一個(gè)觀測(cè)矩陣。具體而言,為每個(gè)格點(diǎn)定義向量φm,n∈CN。向量中的下標(biāo)(m,n)對(duì)應(yīng)格點(diǎn)(m/M,n/N),向量中的元素記為

(5)

將第n個(gè)多普勒格點(diǎn)中所有距離格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量并列,構(gòu)成矩陣D=[φ0,n,φ1,n,…,φM-1,n]∈CN×M。進(jìn)一步地將不同多普勒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矩陣并列,得到觀測(cè)矩陣Φ=[D0,D1,…,DN-1]∈CN×NM。與向量β類似,觀測(cè)矩陣Φ具有類似的成塊結(jié)構(gòu),每個(gè)子矩陣Dn可以被認(rèn)為是一個(gè)“塊”,對(duì)應(yīng)于第n個(gè)多普勒單元。

于是信號(hào)模型式(4)可以重寫(xiě)為

y=Φβ

(6)

式中:[y]n=Ss(n)。在該模型中,觀測(cè)向量y∈CN和觀測(cè)矩陣Φ是已知量,而向量β是未知量,對(duì)應(yīng)于MN個(gè)距離-速度聯(lián)合分辨單元內(nèi)散射點(diǎn)的等效散射強(qiáng)度。在頻率捷變雷達(dá)中,由于頻率點(diǎn)數(shù)往往大于1,即M>1(當(dāng)M=1時(shí),頻率捷變雷達(dá)退化為固定頻率的脈沖多普勒雷達(dá)),線性方程式(6)中未知數(shù)MN多于已知數(shù)N,所以方程是欠定的。

頻率捷變雷達(dá)中目標(biāo)重建對(duì)應(yīng)于欠定方程的原因在于,頻率捷變雷達(dá)所使用的捷變波形相當(dāng)于在時(shí)頻域的欠奈奎斯特采樣[8],這也是傳統(tǒng)匹配濾波算法存在旁瓣平臺(tái)的根本原因。對(duì)于欠定方程而言,解的唯一性難以得到保證:只要欠定方程有解,則存在無(wú)窮多組解。這意味著在沒(méi)有其他先驗(yàn)信息可用時(shí),欠定方程通常是不可解的。為了準(zhǔn)確重建雷達(dá)目標(biāo)場(chǎng)景,求解該欠定方程,需要引入額外的先驗(yàn)知識(shí),即目標(biāo)場(chǎng)景的稀疏性。

2 稀疏重建算法

利用觀測(cè)場(chǎng)景的稀疏性,壓縮感知算法可用于求解欠定方程。本節(jié)將首先討論雷達(dá)場(chǎng)景的稀疏性,即點(diǎn)稀疏和塊稀疏,并隨后回顧相應(yīng)的稀疏恢復(fù)算法。

2.1 觀測(cè)場(chǎng)景稀疏性

當(dāng)場(chǎng)景中目標(biāo)及雜波個(gè)數(shù)較少時(shí),該場(chǎng)景被稱為具備稀疏性。根據(jù)目標(biāo)或雜波類型,又具體分為點(diǎn)稀疏性和塊稀疏性。

點(diǎn)稀疏性適用于目標(biāo)尺寸較小的情形(相對(duì)于雷達(dá)高分辨距離單元)。此時(shí),目標(biāo)中的顯著散射點(diǎn)均集中位于1個(gè)或2個(gè)高分辨距離單元內(nèi),即Qk≈1。從信號(hào)模型的角度來(lái)看,向量β中的非零元素個(gè)數(shù)較少,且沒(méi)有其他結(jié)構(gòu)約束。通常采用“零范數(shù)”(記為l)定量描述向量的點(diǎn)稀疏性,記為‖β‖0,代表β中非零元素的個(gè)數(shù)。

‖[a0,a1,…,aN-1]T‖0,而ai=‖γi‖2。

2.2 稀疏恢復(fù)算法

針對(duì)點(diǎn)稀疏向量,壓縮感知旨在求解以下優(yōu)化問(wèn)題

min‖x‖0s.t.y=Φx

(7)

但l0范數(shù)優(yōu)化是NP難(non-deterministic polynomial-time hard, NP-hard)的組合問(wèn)題[18]。通常采用凸松弛的方法,將原始問(wèn)題松弛為l1范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,即

min‖x‖1s.t.y=Φx

(8)

該方法優(yōu)勢(shì)在于:一方面,該凸問(wèn)題可以被快速求解,另一方面l1范數(shù)最小化是l0范數(shù)最小化良好的近似,兩者在一定條件下是等價(jià)的[19]。

當(dāng)場(chǎng)景具備成塊稀疏特性時(shí),經(jīng)典的稀疏恢復(fù)算法可推廣至塊稀疏場(chǎng)景。由于成塊稀疏性相比單純的點(diǎn)稀疏性利用了更多的先驗(yàn)信息,通常具有更好的恢復(fù)性能。與式(8)類似,塊稀疏求解下述問(wèn)題

min‖x‖2,1s.t.y=Φx

(9)

除了上述基于凸松弛的算法之外,還有其他貪婪類、閾值類算法等[20]。由于l1或l2,1算法通常比對(duì)應(yīng)的貪婪類、閾值類等快速算法具有更優(yōu)的目標(biāo)重建性能,本文重點(diǎn)介紹這類凸松弛算法,并探討它們的理論性能邊界。

3 稀疏重建算法的性能邊界

欠定方程是否存在唯一的稀疏解、凸松弛算法是否能夠得到該唯一解是壓縮感知領(lǐng)域的基礎(chǔ)性問(wèn)題。CANDES等學(xué)者的工作[7]給出了凸松弛算法精確重建稀疏向量的邊界條件,為回答該問(wèn)題奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

對(duì)于相參頻率捷變雷達(dá)而言,尋找凸松弛算法的理論性能邊界同樣具有重要的意義:一方面可以評(píng)估該雷達(dá)在場(chǎng)景中的適用性,另一方面還能指導(dǎo)波形優(yōu)化設(shè)計(jì)。目前,該方向的成果主要可以分為兩類:一類分析了觀測(cè)矩陣Φ中各列(或各子矩陣)中的相干性,另一類則是基于積分幾何的理論成果,分析重建目標(biāo)場(chǎng)景的相變特性。下文將具體介紹這兩類成果。

3.1 觀測(cè)矩陣的相干性

這類研究的基本出發(fā)點(diǎn)在于:當(dāng)扁矩陣Φ中任意子矩陣(列數(shù)小于N)接近正交矩陣時(shí),欠定方程y=Φx,有唯一解。下面,將分點(diǎn)稀疏和塊稀疏兩種情形分別加以討論。

3.1.1 點(diǎn)稀疏場(chǎng)景與l1范數(shù)最小化方法

當(dāng)矩陣Φ滿足互不相干性性(mutual incoherence property, MIP)時(shí),式(9)能精確求解滿足一定稀疏度條件的向量x。具體而言,任意矩陣A的最大互相干系數(shù)定義為

式中:ai為矩陣A中的列。當(dāng)相干系數(shù)足夠小時(shí),矩陣A具有良好的近似正交性,能夠保證稀疏重建算法的性能,如定理1所述。

對(duì)于頻率捷變雷達(dá)而言,其觀測(cè)矩陣大概率滿足MIP性質(zhì),如定理2所述。

(10)

3.1.2 塊稀疏場(chǎng)景與l2,1范數(shù)最小化方法

點(diǎn)稀疏場(chǎng)景下的結(jié)論可以推廣到塊稀疏場(chǎng)景。對(duì)于具有成塊結(jié)構(gòu)的矩陣,Φ=[D0,D1,…,DN-1],文獻(xiàn)[22]引入塊內(nèi)相干系數(shù)和塊間相干系數(shù)來(lái)刻畫(huà)成塊矩陣的性質(zhì),具體為

式中:‖·‖s代表矩陣的譜范數(shù),即矩陣的最大奇異值。文獻(xiàn)[22]進(jìn)一步指出,當(dāng)觀測(cè)矩陣塊內(nèi)相干系數(shù)和塊間相干系數(shù)較小時(shí)(即滿足塊相干性),式(9)可以精確求解滿足一定塊稀疏條件的x。

一般情況下,討論結(jié)構(gòu)化矩陣的塊相干性是相當(dāng)困難的。文獻(xiàn)[15]首先揭示了相參頻率捷變雷達(dá)的觀測(cè)矩陣具有某種循環(huán)對(duì)稱性,基于這一特殊結(jié)構(gòu),作者研究表明其觀測(cè)矩陣以大概率滿足塊相干性,從而保證式(9)中算法在重建擴(kuò)展目標(biāo)/雜波中的有效性,如下定理所述。

定理 3[15]對(duì)于任意常數(shù)δ>0及充分大的整數(shù)N,式(5)中定義的矩陣Φ滿足塊相干性的概率不低于1-δ,塊稀疏度滿足

(11)

式中:η1和η2為依賴于δ較小的常數(shù)。

定理3顯示包含K=O(N/Mln(MN))個(gè)擴(kuò)展目標(biāo)的場(chǎng)景,式(9)中的算法可以實(shí)現(xiàn)精確重建。

定理2和定理3從矩陣相干性的角度嚴(yán)格證明了頻率捷變雷達(dá)觀測(cè)矩陣具有優(yōu)異的性能,使得壓縮感知算法能夠精確重建觀測(cè)場(chǎng)景。然而,基于相干性得到的精確重建條件式(10)和式(11)均為充分條件,且較為悲觀[23],即不少可以精確重建的場(chǎng)景并不滿足這些條件。接下來(lái),本文將介紹相變特性相關(guān)研究,并給出接近充要條件的重建條件。

3.2 相變特性

本節(jié)首先根據(jù)文獻(xiàn)[24]簡(jiǎn)要介紹相變現(xiàn)象。

壓縮感知領(lǐng)域中大量基礎(chǔ)理論性的研究工作旨在揭示形如式(8)的凸優(yōu)化算法在什么條件下能夠精確恢復(fù)原始信號(hào)。算法能否精確重建依賴于觀測(cè)數(shù)量和待解向量的稀疏度,早期的研究[25]觀察到式(8)正確恢復(fù)的成功概率存在著相變現(xiàn)象,即當(dāng)觀測(cè)數(shù)量和稀疏度在某個(gè)很小的范圍內(nèi)變化時(shí),成功概率會(huì)發(fā)生從0到1的急劇變化。

圖1 使用式(9)時(shí)實(shí)高斯矩陣的相變圖Fig.1 Phase transitions of a real-valued Gaussian matrix when using equation (9)

稱恢復(fù)概率接近50%的點(diǎn)為相變點(diǎn),這些相變點(diǎn)構(gòu)成了相變曲線。相變曲線精準(zhǔn)地刻畫(huà)了正確恢復(fù)原信號(hào)所需要的參數(shù)條件。通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)找到相變曲線的代價(jià)是巨大的,因此希望找到一個(gè)相變曲線的理論表達(dá)式。

相變現(xiàn)象表明對(duì)于給定的參數(shù)(s,d),有效觀測(cè)個(gè)數(shù)n≥φ(s,d)時(shí),式(8)算法以接近概率1準(zhǔn)確重建x,否則,以接近概率0準(zhǔn)確重建。

需要注意,頻率捷變雷達(dá)中觀測(cè)矩陣是復(fù)數(shù)且高度結(jié)構(gòu)化的,而不是實(shí)高斯矩陣。

為了適應(yīng)復(fù)數(shù)高斯觀測(cè)矩陣,可以依照下述思路推導(dǎo)相變曲線:首先將文獻(xiàn)[24]中點(diǎn)稀疏場(chǎng)景結(jié)果推廣至塊稀疏場(chǎng)景,得到了式(9)算法下實(shí)數(shù)高斯矩陣的理論相變曲線,記為φm,m為塊的長(zhǎng)度(曲線φm解析表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[17]中命題3);而復(fù)數(shù)觀測(cè)矩陣的塊稀疏恢復(fù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)塊稀疏恢復(fù)問(wèn)題(塊的長(zhǎng)度由m變?yōu)?m)[26];于是,復(fù)數(shù)觀測(cè)矩陣下的式(9)算法的相變曲線可直接應(yīng)用φm近似得到,即φ2m/2,而復(fù)數(shù)觀測(cè)矩陣下式(8)算法的相變曲線可以看作復(fù)數(shù)觀測(cè)矩陣下的式(9)算法的一個(gè)特例(m=1)。數(shù)值仿真驗(yàn)證了該思路的有效性,所得到的相變曲線在復(fù)數(shù)高斯觀測(cè)矩陣中與實(shí)際相變圖吻合[17]。

此時(shí)得到的理論相變曲線仍然是針對(duì)高斯觀測(cè)矩陣,而頻率捷變雷達(dá)的觀測(cè)矩陣并不服從高斯分布。仿真結(jié)果表明,許多隨機(jī)矩陣與高斯矩陣具有相同的相變現(xiàn)象[27]。而數(shù)值結(jié)果顯示，頻率捷變雷達(dá)觀測(cè)矩陣同樣具有相同的相變現(xiàn)象,因此理論相變曲線φm可用于刻畫(huà)頻率捷變雷達(dá)中的相變現(xiàn)象。

下面具體介紹頻率捷變雷達(dá)中相變曲線的解析表達(dá)式[17]。在這里主要討論擴(kuò)展目標(biāo)場(chǎng)景,假設(shè)每個(gè)擴(kuò)展目標(biāo)均占滿了所有M個(gè)高分辨距離單元。針對(duì)該場(chǎng)景,討論式(8)和式(9)算法的相變圖,相關(guān)結(jié)果可以直接推廣到點(diǎn)稀疏的場(chǎng)景。

3.2.1l1范數(shù)最小化方法

頻率捷變雷達(dá)中的相變曲線Ns代表式(8)算法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確重建所需要的最少觀測(cè)數(shù)量,是關(guān)于脈沖個(gè)數(shù)N、頻點(diǎn)數(shù)M和稀疏度K的函數(shù)。需要補(bǔ)充說(shuō)明的是,這里Ns個(gè)觀測(cè)數(shù)量是從所有N個(gè)回波觀測(cè)中隨機(jī)挑選的,因此有Ns≤N。這種隨機(jī)抽選觀測(cè)的模型非常適合于刻畫(huà)部分脈沖受干擾而使回波無(wú)法使用、或者部分脈沖被設(shè)置為靜默的情形。具體表示為

(12)

式中:

其中Γ(·)為Gamma函數(shù)。

對(duì)于適當(dāng)大的M和相當(dāng)稀疏的場(chǎng)景,即N/K?1,可以進(jìn)一步給出式(12)的近似表達(dá)式：

(13)

式中:τ*是下列方程的解

(14)

數(shù)值仿真結(jié)果表明，式(13)接近式(12)的取值。近似表達(dá)式(13)比原函數(shù)式(12)更為直觀,可以看出式(8)算法重建稀疏場(chǎng)景需要的觀測(cè)數(shù)量為2MK+O(KMlog(N/K))。

3.2.2l2,1范數(shù)最小化方法

針對(duì)塊稀疏、擴(kuò)展目標(biāo)場(chǎng)景,推導(dǎo)得到式(9)算法實(shí)現(xiàn)精確重建所需要的觀測(cè)數(shù)量為

(15)

(16)

數(shù)值仿真表明式(16)能良好地逼近式(13)。

對(duì)所梳理的兩類性能邊界做一個(gè)小結(jié):利用矩陣相干性,可得到理論上嚴(yán)格的、使得式(8)和式(9)算法能夠精確重建稀疏場(chǎng)景的邊界條件,但條件較為苛刻、悲觀;而基于相變圖這一工具,可以更為精準(zhǔn)地描述算法重建觀測(cè)場(chǎng)景需要滿足的邊界條件。在后文數(shù)值仿真章節(jié)中,將通過(guò)一些實(shí)例說(shuō)明相變圖相比于矩陣相干性在數(shù)值上的優(yōu)勢(shì)。需要說(shuō)明的是,盡管高斯矩陣相變曲線對(duì)不同觀測(cè)矩陣的普適性被學(xué)術(shù)界廣泛接受,但是目前仍然缺乏結(jié)構(gòu)化矩陣(如傅里葉矩陣、頻率捷變雷達(dá)中的觀測(cè)矩陣)中相變現(xiàn)象的嚴(yán)格理論證明。

4 性能邊界的應(yīng)用

第3節(jié)中總結(jié)的性能邊界,不僅有重要的理論價(jià)值,對(duì)于提高雷達(dá)性能、指導(dǎo)波形設(shè)計(jì)也有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。本文舉3個(gè)示例說(shuō)明。

4.1 雜波下目標(biāo)是否可見(jiàn)問(wèn)題

如前文所述,如果目標(biāo)和雜波回波可以通過(guò)第2節(jié)信號(hào)模型中點(diǎn)散射體模型并且加以刻畫(huà)的話,雜波下目標(biāo)探測(cè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為利用稀疏恢復(fù)同時(shí)重建目標(biāo)和雜波中散射體的問(wèn)題。雜波中目標(biāo)是否可見(jiàn)的問(wèn)題,即變成稀疏恢復(fù)算法能否準(zhǔn)確重建稀疏場(chǎng)景的問(wèn)題。

具體而言,假設(shè)場(chǎng)景中包含Kt個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。而雜波中包含大量散射體,在整個(gè)粗分辨距離單元內(nèi)連續(xù)分布(即占據(jù)了所有M個(gè)高分辨距離單元),并占據(jù)了Kc個(gè)多普勒分辨單元,于是雜波回波可由MKc個(gè)距離多普勒單元進(jìn)行表征[15]。在該場(chǎng)景下,觀測(cè)場(chǎng)景具有顯著的成塊稀疏特性,因而采用式(9)算法重建目標(biāo)及雜波。塊稀疏度K=Kt+Kc,將(K,M,N)的取值代入相變曲線式(15)中,若計(jì)算得到的Nb大于N,說(shuō)明式(9)算法所需要的觀測(cè)個(gè)數(shù)無(wú)法被滿足,則該雜波下目標(biāo)不可見(jiàn),否則目標(biāo)可見(jiàn)。

4.2 探通一體化系統(tǒng)中資源分配問(wèn)題

探測(cè)通信等多功能一體化系統(tǒng)越來(lái)越多地受到關(guān)注。不同功能共享射頻前端可以顯著降低系統(tǒng)體積、重量、功耗等。如何在不同功能間合理地分配時(shí)間、頻率、射頻孔徑等資源是一體化系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的重要問(wèn)題。頻率捷變雷達(dá)因其獨(dú)特的時(shí)頻資源使用方式,格外適合于搭建一體化系統(tǒng)。

對(duì)于這類一體化系統(tǒng),在規(guī)劃射頻資源時(shí),可以首先根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)(M,N)和目標(biāo)場(chǎng)景的稀疏度K,代入式(12)或者式(15)中,計(jì)算得到算法所需要的最小觀測(cè)數(shù)量,記為Nx,設(shè)裕量為Ny,則在相干處理周期內(nèi),一體化系統(tǒng)僅需保證(Nx+Ny)個(gè)脈沖用于雷達(dá)探測(cè),剩余(N-Nx-Ny)個(gè)脈沖可留作他用。

4.3 雷達(dá)抗干擾能力提升問(wèn)題

在復(fù)雜電磁環(huán)境下,頻率捷變雷達(dá)由于可以靈活地訪問(wèn)頻譜資源,具備優(yōu)異的抗干擾能力。但當(dāng)電磁環(huán)境進(jìn)一步惡化,雷達(dá)或?qū)⒉豢杀苊馐艿絿?yán)重干擾,使得部分脈沖回波無(wú)法用于目標(biāo)重建。而可用觀測(cè)數(shù)目變少將導(dǎo)致目標(biāo)重建性能急劇下降。

第3節(jié)中總結(jié)的目標(biāo)準(zhǔn)確重建條件表明,觀測(cè)數(shù)量對(duì)準(zhǔn)確重建的成功率有重要影響。受此啟發(fā),文獻(xiàn)[16]提出了多載頻捷變波形,通過(guò)增加每個(gè)脈沖中發(fā)射的頻率個(gè)數(shù),從而增加觀測(cè)個(gè)數(shù),改善復(fù)雜電磁環(huán)境中對(duì)目標(biāo)的重建能力。仿真結(jié)果表明,在相同的觀測(cè)丟失比率下(因受干擾而丟失),多載頻捷變雷達(dá)相比于單載頻捷變雷達(dá)顯著提升了目標(biāo)重建能力,進(jìn)而提高了干擾條件下的探測(cè)能力。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

文獻(xiàn)[9,11-12,14]中通過(guò)仿真數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了頻率捷變雷達(dá)采用稀疏恢復(fù)算法后重建目標(biāo)場(chǎng)景的能力。特別是文獻(xiàn)[15]給出了在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)下,頻率捷變雷達(dá)對(duì)地面、海面雜波的抑制能力和對(duì)運(yùn)動(dòng)小目標(biāo)的檢測(cè)能力。本文不再重復(fù)上述結(jié)果,側(cè)重介紹頻率捷變雷達(dá)的相變現(xiàn)象。

圖2 頻率捷變雷達(dá)抽行矩陣相變圖Fig.2 Phase transitions of partial frequency agile radar matrices

圖3 強(qiáng)雜波下不同頻點(diǎn)數(shù)頻率捷變雷達(dá)式(9)恢復(fù)曲線Fig.3 Recovery curves of frequency agile radar matrices with different frequency points under clutters when using equation (9)

6 結(jié)束語(yǔ)

本文系統(tǒng)性地梳理總結(jié)了相參頻率捷變雷達(dá)中使用l1范數(shù)和l2,1范數(shù)最小化方法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確重建觀測(cè)場(chǎng)景所需要滿足的邊界條件。研究成果表明,相變圖可以精準(zhǔn)預(yù)測(cè)、刻畫(huà)頻率捷變雷達(dá)準(zhǔn)確重建目標(biāo)的成功率與雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)、目標(biāo)場(chǎng)景之間的顯式定量關(guān)系,并且揭示了l2,1范數(shù)最小化方法相比l1范數(shù)最小化方法更加適合于擴(kuò)展目標(biāo)重建。

未來(lái)需要重點(diǎn)研究的問(wèn)題包括:① 噪聲條件下,稀疏恢復(fù)算法性能邊界問(wèn)題?，F(xiàn)有相變圖的研究仍主要局限于無(wú)噪聲場(chǎng)景,對(duì)于有噪聲場(chǎng)景下,特別是結(jié)構(gòu)化觀測(cè)矩陣下,稀疏恢復(fù)算法重建精度的性能邊界仍然是開(kāi)放話題;② 關(guān)于目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題,如何在有噪聲條件下,精確刻畫(huà)頻率捷變雷達(dá)稀疏重建結(jié)果中的檢測(cè)概率和虛警概率,在理論和實(shí)踐層面,均有較大困難;③ 現(xiàn)有研究通常假設(shè)所有散射點(diǎn)均位于預(yù)先設(shè)置的距離多普勒離散格點(diǎn)上,實(shí)際系統(tǒng)中散射點(diǎn)在參數(shù)空間中連續(xù)分布,稀疏重建算法對(duì)于連續(xù)分布散射點(diǎn)的分辨極限也是重要且未知的話題。