一種用于多電極電磁流量計(jì)的速度重構(gòu)設(shè)計(jì)

徐文臻， 沈 悅， 馮堅(jiān)強(qiáng)， 包建東

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094； 2.南京悅迪儀表科技有限公司，江蘇 南京 210094； 3.佛山市聲碩科技有限公司，廣東 佛山 528000)

流體在管道內(nèi)的流動工況普遍存在于冶金、能源和化工等眾多領(lǐng)域，流速的測量作為工況中的一個重要指標(biāo)，其精確度對生產(chǎn)過程中流量的測量以及控制與優(yōu)化都具有重要的實(shí)際意義[1]。

電磁流量計(jì)依據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律制成，由于其內(nèi)部沒有阻礙流體流動的擾動件，而且測得的速度值與流體自身的物理參數(shù)無關(guān)，故廣泛應(yīng)用于化工、醫(yī)藥工業(yè)以及各種強(qiáng)腐蝕性、易爆易燃漿液的流量測量[2]。例如，在負(fù)擔(dān)供水任務(wù)的水庫管理中統(tǒng)計(jì)每天的放水量是一件非常重要的工作[3]，傳統(tǒng)的單對電極計(jì)量被普遍用于測量導(dǎo)電流體的流量。國內(nèi)的南京悅迪儀表科技有限公司、廈門精川自動化科技有限公司等采用一對電極的高精度中小管徑的電磁流量計(jì)的精確度級別達(dá)到0.2。然而，它只適用于中小管徑且軸對稱流的情況，在非軸對稱流或者非滿管情況下，其測量誤差較大。實(shí)際情況中，只有當(dāng)被測管道足夠長時(為5～10D，D為截面直徑)，管道流型才會發(fā)展為充分發(fā)展流，當(dāng)流速較快時，管道內(nèi)流型是不穩(wěn)定的，在管道上部會有波浪產(chǎn)生，無法通過單對電極測出精確的流速。而多電極計(jì)量可從不同電極對獲得多組電勢差，故可以提高非滿管與非軸對稱流量的測量精度[4]。

自1962年Shercliff 給出兩電極權(quán)重函數(shù)的表達(dá)式以來，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，多電極技術(shù)取到了長足的進(jìn)步。李雪菁[5]通過相關(guān)軟件對非絕緣管壁的權(quán)重函數(shù)進(jìn)行了仿真。Al-hinal等[6]對權(quán)重函數(shù)的仿真與求取進(jìn)行了推究。張小章[7]對流量計(jì)的權(quán)函數(shù)計(jì)算進(jìn)行了探索。天津大學(xué)的趙宇洋[8]采用16電極進(jìn)行了多電極電磁流量計(jì)的固-液兩相流試驗(yàn)。然而其實(shí)現(xiàn)過程中存在一定困難，主要原因是劃分區(qū)域過小、矩陣計(jì)算時間過長、制作成本和難度較高。國內(nèi)尚不能提供擁有自主知識產(chǎn)權(quán)的產(chǎn)品。本文設(shè)計(jì)了一種8電極電磁流量計(jì)，并提出了一種改進(jìn)的區(qū)域劃分方法，運(yùn)用COMSOL Multiphysics進(jìn)行有限元仿真得出電勢差，由于權(quán)函數(shù)理論公式針對8電極電磁流量計(jì)沒有精確解，故采取吉洪諾夫正則化方法，通過Matlab實(shí)現(xiàn)流場速度分布的不適定重構(gòu)求解。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，對電極數(shù)量與區(qū)域劃分重新進(jìn)行設(shè)計(jì)與改進(jìn)，旨在降低速度的重構(gòu)值誤差。與更多數(shù)量電極相比，該方法復(fù)雜度較低，在保證系統(tǒng)實(shí)時性較好的前提下，在非對稱流、非滿管的情況下仍可維持較高精確度。

1 多電極電磁流量計(jì)設(shè)計(jì)

1.1 多電極流量計(jì)測量的理論基礎(chǔ)

在對電磁計(jì)量求解Maxwell方程組時，需要設(shè)定電勢U在流量計(jì)界限處的前提條件：管道內(nèi)充滿介質(zhì)；管道與外部絕緣，即管道壁上不存在法向電流。在實(shí)際測量中，假設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B僅在x軸方向分布即B=Bx，流體介質(zhì)按軸向流動v=vz。因此在忽略湍流的情形下，電極A與電極B之間的電勢差UAB可表示為

(1)

式中,a為管道內(nèi)壁半徑;L為電極對的直線距離；v為流體速度；W為權(quán)重函數(shù)，只與電磁流量計(jì)結(jié)構(gòu)相關(guān)；積分域τ實(shí)際指所有流動的流體，因?yàn)槠渌较蛏纤俣葹?，對積分沒有貢獻(xiàn)。

對于多電極電磁流量計(jì)而言，電極位置按一定的規(guī)律遍布在管道內(nèi)壁，測得的感生電勢有多組。如果將電極所在處的整個管道橫截面劃分成尺寸極小的N個測量區(qū)域，假設(shè)沿管壁布置i對測量電極，當(dāng)介質(zhì)流過橫截面時，每對電極都得到一弦端電壓Ui，管道切面處第n個區(qū)域?qū)Φ趇對電極上得到的電勢權(quán)重值記作Wn,i,則式(1)可變換為

(2)

式中,N為切面所劃分的區(qū)域個數(shù)；a為管道內(nèi)壁半徑；B為切面處的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度；vn為第n個區(qū)域內(nèi)的軸向平均速度；An為該區(qū)域的面積大?。籛n,i為第n個區(qū)域?qū)Φ趈對電極間獲取的感應(yīng)電動勢的權(quán)重函數(shù)；Ui為第i對電極間的電勢測量值。

1.2 電極設(shè)計(jì)與區(qū)域的劃分

在使用多電極電磁流量計(jì)進(jìn)行流量檢測時，電極數(shù)目的選擇至關(guān)重要。數(shù)目增多可提高測量精度，但是制作成本與制作難度會大幅提高，計(jì)算時間也會不可避免地增加，而若數(shù)目太少，數(shù)據(jù)精度較低，意義不大。故本文采用了一種8電極電磁流量計(jì)，旨在提高測量精度的同時保證時效性與成本。

趙宇洋[8]針對8電極電磁流量計(jì)采用了一種平行布置區(qū)域的方式，在8對電極的情況下劃分出3個區(qū)域，每個區(qū)域內(nèi)相對應(yīng)的電極處于該區(qū)域的中心位置。然而，這種劃分方法只能得出同一水平高度的平均流速，無法在垂直于洛倫茲力的方向進(jìn)行更精細(xì)的劃分，分辨率較低。因此筆者設(shè)計(jì)了一種分辨率更高的劃分方法。將8個電極間隔45°安裝在被測截面內(nèi)壁上，電極分布如圖1所示，e1～e8依次表示8個電極。以電極為界限，進(jìn)行豎直方向的劃分，相應(yīng)地會得到7個感應(yīng)電勢差，對應(yīng)有7個求解區(qū)域[9]。如圖1所示，從上往下將測量區(qū)域依次分成A1～A7。其中面積比較大的A4區(qū)域是被測對象橫截面積最大的區(qū)域，也是產(chǎn)生電勢差最大的區(qū)域，其他區(qū)域的面積相對來說比較小，只是A4區(qū)域面積的1/10左右。這樣可以在細(xì)化劃分區(qū)域的同時，保證時間復(fù)雜度不會過高，充分利用圓筒管道的特點(diǎn)。這種劃分方式可以讓管道內(nèi)壁的電極最大程度地讀取電勢值，通過區(qū)域權(quán)函數(shù)理論可以更詳細(xì)地反映流場內(nèi)的速度信息，提高仿真的精度。

圖1 8電極電磁流量計(jì)的區(qū)域劃分

根據(jù)式(2)的表達(dá)內(nèi)容，電極對間的感生電勢測量值為速度與權(quán)重函數(shù)和面積的乘積求和，因此，多電極電磁流量計(jì)測量公式可改寫成矩陣乘積的形式：

(3)

式中，W為i×j維度的區(qū)域權(quán)函數(shù)矩陣;V為包含i個區(qū)域軸向平均速度的速度向量;U為包含j個感應(yīng)電動勢測量值的電壓向量;A為i×i維以i個區(qū)域的面積為對角元素的對角陣。在本文的應(yīng)用中，i=j=7。

在實(shí)際應(yīng)用中，測得感應(yīng)電動勢后，多電極電磁流量計(jì)在對速度進(jìn)行重構(gòu)以及得出流量的過程，從數(shù)學(xué)角度看其本質(zhì)是一個矩陣運(yùn)算的過程。

矩陣A在完成區(qū)域劃分后，其面積大小為定值；并且電極所在坐標(biāo)處的感應(yīng)電動勢可通過電極對測量出來，為因變量，因此矩陣U也已知；而區(qū)域權(quán)函數(shù)矩陣W是只與電磁流量計(jì)結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)矩陣，通過COMSOL Multiphysics仿真可求得。

2 基于有限元仿真的速度重構(gòu)

2.1 區(qū)域電勢的有限元仿真

為獲得實(shí)驗(yàn)所用電磁流量計(jì)的權(quán)函數(shù)，首先根據(jù)實(shí)驗(yàn)所用的流量計(jì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真。

為了獲取橫截面電極上的仿真電勢值，可在模型開發(fā)器中選擇域點(diǎn)探針，并更新結(jié)果，即可在工作區(qū)探針表得到感應(yīng)電勢。在8個電極中把e1作為參考電極，與其他7個電極構(gòu)成了7對電極組合，可以得到7×7共49個電壓測量值，如表1所示。

表1 域點(diǎn)探針獲取不同電極對間的電勢差 單位：μV

為提高權(quán)函數(shù)精度，管道內(nèi)流體速度可以適當(dāng)提高，分別在區(qū)域A1～區(qū)域A7沿管道方向施加速度(洛倫茲項(xiàng))500 m/s，經(jīng)計(jì)算得到圖2所示的7張電勢分布圖，從左到右、上到下依次是區(qū)域A1～區(qū)域A7施加速度的電勢。

圖2 7個區(qū)域激勵產(chǎn)生的電勢分布圖

其中，部分區(qū)域的感應(yīng)電勢差的仿真如圖3所示，從圖3中的數(shù)據(jù)分布可以看出，由于仿真過程中所添加的速度分布的設(shè)置，仿真得到感應(yīng)電壓數(shù)據(jù)是以第4對電極為對稱中心，同時區(qū)域劃分在測量面內(nèi)的分布也是對稱的。

圖3 部分區(qū)域的電勢差

通過傳感器得到感應(yīng)電勢差后，根據(jù)式(4)進(jìn)行速度的重構(gòu)：

(4)

得出一維速度矩陣后，將區(qū)域速度乘以對應(yīng)區(qū)域面積即可得出流量信息。

2.2 逆矩陣的求解

在經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理學(xué)方程求定解問題中，問題的定解分為兩類，一類是適定問題，該類問題具有以下3個特性：① 解是存在的；② 解是唯一的；③ 解連續(xù)依賴于初始值條件。而上述3個條件只要有一個不滿足就稱為不適定問題。

由于多電極電磁流量計(jì)中存在極化干擾、微分干擾等誤差，矩陣數(shù)據(jù)精度有限。如果采用對矩陣的精度要求較高的直接求逆法求逆矩陣，干擾與微小誤差會對速度結(jié)果造成較大的影響，所以使用直接求逆法得到的逆矩陣并不精確。

為了求得具有一定精度的穩(wěn)定近似解，數(shù)學(xué)物理學(xué)中已經(jīng)提出許多有效的解法，其中一種就是正則化方法。其原理是通過對原不適定問題中的算子添加一個合適的擾動項(xiàng)，使之穩(wěn)定，從而解決逆問題的不適定性，使得產(chǎn)生的解是存在的[10]。因此，采用選取吉洪諾夫正則化運(yùn)算法則。在Matlab中，首先使用內(nèi)置的奇異值分解函數(shù)csvd獲得待求線性方程組的參數(shù)的奇異值[u,s,v]；然后使用L曲線法l_curve(u,s,B)求得正則化參數(shù)lambda，最后使用吉洪諾夫正則化求解速度。求得的速度重構(gòu)值如圖4所示。

圖4 速度重構(gòu)值

在設(shè)置為均勻流速的情況下，對感應(yīng)電勢差仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行正則化計(jì)算后的流速分布如圖4所示，從圖4中可以看出，仿真求得的速度重構(gòu)值精度較高，誤差在1.50%以內(nèi)。

3 結(jié)束語

本文基于電磁感應(yīng)原理與權(quán)函數(shù)理論，為電磁傳感器設(shè)計(jì)了一種8電極的多電極電磁流量計(jì)。在COMSOL Multiphysics軟件上完成了勵磁線圈、圓筒形管道、洛倫茲力的設(shè)計(jì)與仿真，并使用Matlab軟件對速度重構(gòu)矩陣進(jìn)行求解。結(jié)果證明：7塊區(qū)域的劃分與正則化求解保證了系統(tǒng)在環(huán)境變化時的魯棒性與準(zhǔn)確性。重構(gòu)后的速度與理想速度的精度在±1.50%，可以較好地實(shí)現(xiàn)圓筒形電磁流量計(jì)的速度復(fù)原。