基于GWO?KRG近似模型的乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設計*

谷先廣，高夢琳，王笑樂，黃岳竹

（1.合肥工業(yè)大學汽車與交通工程學院，合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學智能制造技術研究院，合肥 230009；3.太航常青汽車安全系統(tǒng)（蘇州）股份有限公司，蘇州 215100）

前言

據(jù)世界衛(wèi)生組織《2018年全球道路安全現(xiàn)狀報告》統(tǒng)計［1］，全球的道路交通死亡人數(shù)仍居高不下，每年約有135萬人死于道路交通事故。目前，道路交通傷害是全球所有年齡段人群的第八大死因，是5-29歲兒童和年輕人的主要死因。當碰撞發(fā)生時，乘員約束系統(tǒng)作為汽車安全系統(tǒng)的重要組成部分，可以有效限制乘員位移，減輕乘員損傷［2］。因此，在汽車安全性設計中，有必要對乘員約束系統(tǒng)進行優(yōu)化設計，通過提升約束系統(tǒng)的防護性能來進一步降低乘員損傷風險。

在約束系統(tǒng)優(yōu)化過程中，傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化設計方法未考慮設計變量或參數(shù)的不確定性，由于乘員約束系統(tǒng)的復雜性和高度非線性，在實際工程應用中，確定性優(yōu)化設計得到的最優(yōu)解可能會不滿足約束條件，而可靠性優(yōu)化設計方法可以彌補確定性優(yōu)化設計的不足，使優(yōu)化解遠離失效邊界，提高設計方案可靠度［3-4］。因此，在確定性優(yōu)化設計基礎上開展可靠性優(yōu)化設計具有重要的工程意義。

目前，乘員約束系統(tǒng)的優(yōu)化方法主要是仿真模型與優(yōu)化算法相結(jié)合，然而優(yōu)化過程中直接調(diào)用仿真模型進行計算，效率低下。通過構(gòu)建近似模型來代替仿真模型，可以提高優(yōu)化效率，相比傳統(tǒng)的響應面（response surface model，RSM）和徑向基函數(shù)（radical basis function，RBF）近似模型，克里金（Kriging，KRG）近似模型不僅可以描述高度非線性過程，同時也能去除數(shù)值噪聲和光滑目標響應，現(xiàn)已普遍應用于乘員約束系統(tǒng)優(yōu)化設計中［5-6］。然而，單純采用KRG模型需要大量樣本點來構(gòu)建，往往預測精度不能滿足要求，文獻［7］和文 獻［8］中 將 粒 子 群 優(yōu) 化（particle swarm optimization，PSO）算法應用到KRG建模過程，使用PSO算法得到KRG模型相關性參數(shù)的最優(yōu)解，用最優(yōu)解構(gòu)建預測模型。然而，PSO算法收斂精度低，易陷入局部最優(yōu)解［9］。

灰狼優(yōu)化（grey wolf optimizer，GWO）算法［10］已被證明在收斂速度和求解精度上均優(yōu)于PSO算法［11］，且全局尋優(yōu)能力強。因此本文中提出采用GWO算法獲取使KRG模型達到最佳預測精度的相關參數(shù)，用最優(yōu)解構(gòu)建高精度的近似模型并應用于后續(xù)的約束系統(tǒng)優(yōu)化設計中。在GWO?KRG近似模型基礎上，選取靈敏度高的約束系統(tǒng)參數(shù)作為設計變量，以加權損傷準則WIC作為優(yōu)化目標，采用多島遺傳算法（multi?island genetic algorithm，MIGA）對約束系統(tǒng)進行確定性優(yōu)化和可靠性優(yōu)化設計，并利用蒙特卡羅描述抽樣方法進行可靠性概率評估，最終得到既滿足安全性能要求又滿足可靠性需求的優(yōu)化設計結(jié)果。

1 可靠性優(yōu)化設計方法

確定性優(yōu)化設計問題數(shù)學表達式如下:

式中:f（x）為目標函數(shù)；gj（x）為約束函數(shù)；M、N分別為約束函數(shù)和設計變量個數(shù)；xiL和xiU分別為設計變量xi的下限和上限。

參數(shù)波動或其他外界因素的影響都可能導致設計結(jié)果與實際結(jié)果之間差距較大，引起潛在的性能損失和波動，甚至導致設計結(jié)果不可行。

因此，需對確定性優(yōu)化設計的結(jié)果進行可靠性評估，判斷確定性優(yōu)化設計結(jié)果是否滿足可靠度要求，若不滿足工程要求，則需要在確定性優(yōu)化設計基礎上進行下一步的可靠性優(yōu)化設計。可靠性優(yōu)化設計既能控制失效概率在一個合適的水平，又能獲得問題的優(yōu)化解，表達式為

式中:μ為目標函數(shù)的均值；P［gj（x）≤0］為滿足第j個約束函數(shù)的概率；Rj為約束函數(shù)gj（x）的期望可靠度。

失效概率的表達式為

式中:Pf為失效概率；gj(x)＞0代表失效狀態(tài)；f x(x)為基本隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

可靠性概率的計算方法主要有1階可靠性方法、2階可靠性方法和蒙特卡羅描述抽樣方法。本文中采用蒙特卡羅描述抽樣方法，先對基本隨機變量進行大量采樣，再對采樣結(jié)果進行統(tǒng)計獲得系統(tǒng)的可靠度。

2 GWO?KRG近似模型

2.1 GWO算法

GWO算法是一種群體智能優(yōu)化算法，模擬了灰狼在自然界的捕食行為。GWO算法將狼群按適應度排序分為4組:α、β、δ和ω。優(yōu)化過程如下所述。

（1）包圍，灰狼與獵物間距離更新公式為

式中:D為灰狼與獵物之間的距離；Xp為獵物位置；X為灰狼位置；t為當前迭代次數(shù)；A與C分別為收斂系數(shù)和搖擺系數(shù)。

（2）追捕，ω狼在α、β、δ狼帶領下不斷更新位置:

式中:Xα、Xβ、Xδ分別為α、β和δ狼的當前位置；Dα、Dβ、Dδ分別表示α、β、δ狼與ω狼之間的距離；X（t+1）為更新后灰狼的位置。

（3）攻擊，狼群捕獲獵物即為獲得最優(yōu)解，當|A|＜1灰狼進行局部搜索，當|A|＞1進行全局搜索。

2.2 KRG近似模型

KRG近似模型在擬合高度非線性問題時，容易獲得理想效果，其由回歸函數(shù)和隨機過程組成，其預測形式為

式中:qT(x)為回歸基函數(shù)；η為回歸系數(shù)；z（x）表示均值為0、方差為σ2的隨機過程。z（x）的協(xié)方差可以描述設計空間中任意兩點間的相關性，表達如下:

式中R（xi，xj）為任意兩個輸入變量間的相關函數(shù)，其選擇是構(gòu)建KRG近似模型的關鍵，采用工程上應用最廣泛的高斯相關函數(shù)，表達形式為

式中θ為相關性參數(shù)，描述函數(shù)輸出對輸入變化的敏感程度，因為σ2和β均為相關性參數(shù)的函數(shù)，那么KRG近似模型中唯一未知數(shù)即為相關參數(shù)，只要確定相關參數(shù)后，即可構(gòu)建KRG近似模型。

2.3 GWO?KRG近似模型

只要確定相關性參數(shù)，便可構(gòu)建KRG近似模型，故本文中使用GWO算法對其進行優(yōu)化，優(yōu)化過程即為尋找滿足KRG近似模型最佳精度評價指標的相關參數(shù)值。本文中采用的近似模型精度評價指標為最大相對誤差MRE和確定性系數(shù)R2，當MRE越接近0且R2越接近1時，所建立的近似模型精度越高。MRE和R2的表達式分別為

式中:m為驗證點數(shù)目；yi、y?i和yˉ分別對應驗證點的真實響應值、近似模型預測響應值和所有真實響應值的平均值。

GWO?KRG近似模型的具體建立過程如下。

（1）確定設計變量及取值范圍、優(yōu)化目標和約束，設計變量為相關參數(shù)，范圍為0.1-20，R2和MRE分別為優(yōu)化目標和約束。優(yōu)化表達式為

（2）使用試驗設計方法在樣本空間中獲得樣本點和驗證點，樣本點用來構(gòu)建近似模型，驗證點用來檢驗近似模型精度。

（3）設置狼群初始規(guī)模、最大迭代次數(shù)、優(yōu)化參數(shù)維度及初始化α、β和δ狼的位置。

（4）應用GWO算法在整個可行域內(nèi)搜索，不斷更新α、β、δ狼和獵物的位置，直到滿足最大迭代次數(shù)停止迭代；或滿足終止條件，則認為算法收斂。

（5）用優(yōu)化獲得的相關參數(shù)建立GWO?KRG近似模型，若R2和MRE滿足精度要求，則對相關參數(shù)進行統(tǒng)計，若不滿足，則返回步驟（2）增加樣本點。

（6）針對不同損傷指標，依次進行上述步驟（1）～（5）。

3 乘員約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設計

約束系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設計流程如圖1所示。

圖1 可靠性優(yōu)化設計流程圖

3.1 模型建立與驗證

基于某乘用車駕駛員側(cè)尺寸布置，建立乘員約束系統(tǒng)數(shù)值模型。該模型主要由地板、座椅、轉(zhuǎn)向系統(tǒng)、儀表板、防火墻、安全帶、安全氣囊和假人模型組成，如圖2所示。

圖2 乘員約束系統(tǒng)模型

為保證所建立的仿真模型能用于后續(xù)乘員約束系統(tǒng)的優(yōu)化設計，須將仿真結(jié)果和實車碰撞試驗結(jié)果進行對標?；贑?NCAP評價體系，在駕駛室內(nèi)放置混Ⅲ型第50百分位假人，對該車進行初速度為50 km/h的正面100%重疊剛性壁障實車碰撞試驗，并將B柱下端傳感器測得的減速度曲線輸入到仿真模型中。

試驗獲得的假人各部位傷害響應曲線、安全帶力曲線與仿真計算得到的曲線對比見圖3。典型損傷指標對比如表1所示?？梢钥闯?，仿真曲線與試驗結(jié)果基本吻合，且各損傷指標的相對誤差均在10%以內(nèi)。綜上所述，所建立的仿真模型滿足精度要求，可用于后續(xù)優(yōu)化設計。

圖3 仿真與試驗的響應曲線對比

表1 損傷指標仿真與試驗結(jié)果對比

3.2 優(yōu)化問題定義

約束系統(tǒng)的設計參數(shù)眾多，若同時進行優(yōu)化設計效率極低，基于文獻［12］中全局靈敏度分析的結(jié)果，選擇包括限力器限力等級x1、預緊器預緊時間x2、排氣孔直徑x3、充氣質(zhì)量流率比例x4和氣囊體積x5在內(nèi)的5個參數(shù)作為后續(xù)優(yōu)化設計的設計變量，考慮到加工精度和裝配誤差的不確定性，假設設計變量服從協(xié)方差系數(shù)為0.05的正態(tài)分布。各參數(shù)初始值與取值范圍如表2所示。

表2 設計變量初始值與取值范圍

為綜合并準確評價乘員損傷情況，以兼顧頭、胸、腿部的加權損傷準則WIC［13］作為約束系統(tǒng)的優(yōu)化目標，其表達式為

以頭部傷害準則HIC36、胸部3 ms合成加速度C3ms、胸部壓縮量Ccomp和左右大腿軸向力FFCL與FFCR作為約束，對乘員約束系統(tǒng)進行優(yōu)化。參考GB 11551和C?NCAP中的評價標準，各約束條件初始值和優(yōu)化目標值如表3所示。

表3 損傷指標初始值和目標值

3.3 試驗設計

最優(yōu)拉丁超立方試驗設計（optimal Latin hypercube design，OLHD）方法可以在設計空間中生成更為均勻的樣本點，因此，使用OLHD方法在設計空間中分別采集50組樣本點和15組驗證點，提交MADYMO進行仿真計算，得到每組數(shù)據(jù)對應的損傷指標值。

3.4 GWO?KRG近似模型的建立

在建立GWO?KRG近似模型過程中，需對GWO算法的初始參數(shù)進行設置，經(jīng)過多次調(diào)試，最終確定的GWO算法參數(shù)設置為:種群數(shù)量為100，最大迭代次數(shù)為1 000，優(yōu)化參數(shù)維度為5。

針對每個損傷指標，應用GWO算法對KRG近似模型的相關參數(shù)進行優(yōu)化，終止條件為GWO算法滿足連續(xù)200次迭代，且每次迭代誤差不超過1×10-12。表4為GWO算法最終確定的最優(yōu)相關參數(shù)。

表4 GWO?KRG近似模型最優(yōu)相關參數(shù)

為驗證GWO?KRG近似模型的預測優(yōu)勢，基于采集的樣本點，首先構(gòu)建了RSM、RBF和KRG 3種傳統(tǒng)近似模型，隨后構(gòu)建了PSO?KRG模型，并將以上4種近似模型與GWO?KRG近似模型進行對比。為保證公平，PSO初始參數(shù)的設置同GWO算法。PSO?KRG和GWO?KRG的精度用15組驗證點來檢驗，所有近似模型的精度對比結(jié)果如表5所示。

表5 不同近似模型的精度對比

一般地，當R2≥0.9和MRE≤5%時，近似模型具有較高的精度，預測能力較好?？梢钥闯?，RSM模型可用于擬合C3ms和WIC，RBF模型可用于擬合C3ms和HIC36，KRG模型可用于擬合Ccomp。3種近似模型中的任何一種均不能同時滿足所有損傷指標的精度要求。

已知MRE用于評價近似模型的局部最大誤差，而R2用來評價近似模型的整體擬合精度，由表5可知，GWO?KRG近似模型和PSO?KRG近似模型的全局精度相差不大，但GWO?KRG近似模型的局部精度要優(yōu)于PSO?KRG近似模型。針對GWO?KRG近似模型，從局部精度來看，除FFCR的MRE小于5%外，其余損傷指標的MRE均小于3%；從全局精度來看，除FFCL和FFCR的R2大于0.9外，其余損傷指標的R2均大于0.95。而對于PSO?KRG近似模型，其FFCR的MRE已大于5%，F(xiàn)FCL的R2小于0.9，不滿足上文提到的精度要求。因此，GWO?KRG近似模型精度最佳，可將其應用于后續(xù)的乘員約束系統(tǒng)優(yōu)化設計。

3.5 優(yōu)化過程與結(jié)果分析

乘員約束系統(tǒng)確定性優(yōu)化和可靠性優(yōu)化設計的數(shù)學模型分別為

其中，Rj設置為95%，即約束函數(shù)的期望可靠度要達到95%以上。在GWO?KRG近似模型基礎上，采用MIGA對約束系統(tǒng)進行確定性優(yōu)化設計，并采用蒙特卡羅描述抽樣方法在設計空間內(nèi)采集2 000組樣本點，對確定性優(yōu)化結(jié)果進行約束函數(shù)的可靠性評估，確定性優(yōu)化設計結(jié)果和可靠度評估結(jié)果如表6所示。

表6 初始設計和兩種優(yōu)化設計結(jié)果對比

從表中可以看出，在確定性優(yōu)化設計結(jié)果中，HIC36和Ccomp的可靠度僅有87.15%和76.26%，可靠度遠沒有達到期望可靠度要求，所以在工程應用中存在設計失效風險。因此，需對約束系統(tǒng)進行下一步的可靠性優(yōu)化設計。從表6可知，經(jīng)可靠性優(yōu)化后，HIC36和Ccomp的可靠度均提高到95%及以上，因此，采用可靠性優(yōu)化設計得到的設計變量作為優(yōu)化結(jié)果。兩種優(yōu)化設計問題得到的設計變量見表7。

表7 設計變量優(yōu)化結(jié)果對比

3.6 可靠性優(yōu)化設計結(jié)果驗證

根據(jù)表7修改約束系統(tǒng)仿真模型的設計變量值，并提交計算機進行MADYMO仿真計算，可靠性優(yōu)化設計方法得到的仿真值如表8所示。由表可知，各損傷指標預測值與仿真值的最大相對誤差為3.1%，最小相對誤差為1.05%，較小的相對誤差證實優(yōu)化結(jié)果有效，所提出的GWO?KRG近似模型可信度較高。

表8 可靠性優(yōu)化設計驗證和優(yōu)化效果

與初始設計相比，HIC36優(yōu)化效果明顯，降低了40.1%，Ccomp和C3ms分別降低了5.6%和8.9%，雖然FFCL和FFLR相比初始設計均有少量增加，但優(yōu)化目標WIC降低了29.7%，表明乘員總體損傷降低，優(yōu)化后的乘員約束系統(tǒng)能起到良好的保護效果。

圖4示出初始設計、確定性優(yōu)化設計與可靠性優(yōu)化設計結(jié)果下，假人頭部X向加速度和胸部壓縮量仿真驗證曲線的對比。相比初始設計，確定性優(yōu)化設計和可靠性優(yōu)化設計均降低了乘員損傷，約束系統(tǒng)防護性能均得到提升。雖然確定性優(yōu)化設計要優(yōu)于可靠性優(yōu)化設計結(jié)果，但各損傷指標的可靠性得不到保證，因此，最終設計方案選擇可靠性優(yōu)化設計。

圖4 優(yōu)化結(jié)果仿真驗證曲線對比

4結(jié)論

（1）通過灰狼優(yōu)化算法對KRG近似模型的相關性參數(shù)進行優(yōu)化，構(gòu)建了比傳統(tǒng)近似模型和PSOKRG模型精度更高的GWO-KRG近似模型，并應用到后續(xù)的約束系統(tǒng)優(yōu)化設計中。

（2）從初始設計、確定性優(yōu)化設計和可靠性優(yōu)化設計的仿真對比結(jié)果可知，確定性優(yōu)化結(jié)果雖然滿足各損傷指標的目標要求，但不滿足可靠度要求?？煽啃詢?yōu)化設計方法在降低乘員加權損傷準則WIC的同時，使設計可靠性也得到了提高，相比初始設計，WIC下降了29.7%；相比確定性優(yōu)化，HIC36和Ccomp的可靠度分別提高到了100%和95%。