懸臂澆筑掛籃主桁受力分析及構(gòu)造優(yōu)化

劉良成

（中鐵四局集團第三建設(shè)有限公司，天津300163）

懸臂澆筑法由于操作簡便、結(jié)構(gòu)輕盈、施工效率高，被廣泛應于大跨度預應力混凝土連續(xù)梁橋施工中。掛籃是懸臂澆筑梁體時用于承受梁體自重及施工荷載并能逐段向前移動、經(jīng)特殊設(shè)計的專用設(shè)備[1]，主桁是其主要承力構(gòu)件。掛籃主桁根據(jù)桿件的夾角可分為菱形、三角形等且各桿件長度、夾角等設(shè)計也根據(jù)受力需要各不相同。李斌等[2]以掛籃主桁上弦桿與水平面的夾角為控制參數(shù)，指出在夾角為9°時的楔形掛籃主桁架為最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形式；葉清鋒[3]指出主桁上弦桿與水平面的夾角θ在8°≤θ≤16°時，主桁架的綜合性能最佳。吳載清[4]通過建立主桁有限元模型，指出掛籃異形三角主桁的最優(yōu)夾角為8°～12°。上述對掛籃主桁受力的研究主要采用了固定變量單因素的分析方法，未考慮在多因素作用下主桁的綜合受力性能。

鑒于相同材料的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化規(guī)律及平面靜定桁架的內(nèi)力求解唯一性[5～6]，本文建立掛籃主桁的任意結(jié)構(gòu)參數(shù)模型，導出主桁內(nèi)力理論計算公式，探討掛籃主桁在各設(shè)計參數(shù)影響下的受力特性及規(guī)律，進而探究合理且最優(yōu)的主桁構(gòu)造形式。

1 模型建立及公式推導

掛籃主桁桿件之間均采用鉸接，均為拉壓桿（三角掛籃的主縱梁除外），將其簡化為平面靜定桁架的力學模型。掛籃主桁結(jié)構(gòu)由兩個共邊的三角形組成。見圖1。

圖1 掛籃主桁任意結(jié)構(gòu)模型

當前端上弦桿與水平面平行即α=90°時，即為標準菱形掛籃；當上弦桿前端節(jié)點D下降并與水平面成一定夾角即∠0°＜(90°-α)＜∠CDB時，即為非標準菱形掛籃，也稱楔形掛籃；當上弦桿前端節(jié)點下降至與下弦桿位于同一水平面即α=90°-∠CDB時，形式上等同于三角形掛籃[7]。

掛籃主桁通過前上橫梁承受底籃系統(tǒng)、內(nèi)外導梁等作用的荷載F，見圖2。

圖2 掛籃主桁任意結(jié)構(gòu)力學計算模型

不考慮材料及構(gòu)件非線性的影響，根據(jù)整體隔離體平衡方程

根據(jù)式（2）和式（3）可得，掛籃主桁前、后支點的反力分別為

根據(jù)結(jié)點法[8]，取節(jié)點D為隔離體，列平衡方程，計算前斜桿BD的內(nèi)力（壓力）FN1和上弦桿CD的內(nèi)力（拉力）FN2。同理分別取節(jié)點A、C為隔離體，列相應的平衡方程，分別計算出下弦桿AB的內(nèi)力（壓力）FN4、后斜桿AC的內(nèi)力（拉力）FN5和豎桿BC的內(nèi)力（壓力）FN3。

對節(jié)點D，列平衡方程式

式（6）中α'即為∠CBD，根據(jù)正弦和余弦定理，則有cosα'=cos∠CBD

聯(lián)解式（6）～（8），得

同理，對節(jié)點A、C列平衡方程式

常規(guī)的掛籃主桁結(jié)構(gòu)，下弦桿與水平面平行，即β=90°，式（11）～（13）可簡化為

為簡化計算，掛籃主桁各桿件均按等截面直桿考慮，F(xiàn)N2和FN5均為拉桿。由式（10）和式（16）得出，當α=90°即菱形掛籃時，F(xiàn)N5＞FN2，后斜桿為最不利的拉桿。根據(jù)拉桿的強度校核條件，最大拉應力σ拉max應小于材料的許用拉應力[σ]，即

式中：A為主桁桿件的截面面積。

FN1、FN4和FN3均為壓桿，由式（9）和式（15）得出，F(xiàn)N1≥FN4，當且僅當，此時前斜桿與下弦桿為等強度桿件，是一種受力較優(yōu)的結(jié)構(gòu)。

式中：φ為主桁桿件的壓桿穩(wěn)定因素，與桿件的柔度有關(guān)。

2 掛籃主桁內(nèi)力多因素分析

利用Maple軟件深入分析各因素取值對主桁內(nèi)力變化規(guī)律的影響。

2.1 菱形掛籃

對于菱形掛籃主桁，有α=90°，β=90°；為計算簡便，取F=1；菱形掛籃主桁FN5＞FN2、FN1＞FN4，以最不利的前斜桿FN1、豎桿FN3、后斜桿FN5作為分析對象。令討論菱形掛籃主桁各桿件長度之比對內(nèi)力值的影響。

2.1.1 前斜桿內(nèi)力

菱形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力（壓力）隨m值增加呈非線性關(guān)系減小且自m＞1后曲線趨于平緩、非線性影響不顯著。見圖3。

圖3 菱形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力變化規(guī)律

故當0.8≤m≤1.5，菱形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力相對較小，為合理且較優(yōu)的設(shè)計構(gòu)造。

2.1.2 豎桿內(nèi)力

菱形掛籃主桁豎桿內(nèi)力（壓力）隨n值增加呈非線性關(guān)系減小且自n＞1之后曲線趨于平緩、非線性影響較不明顯。見圖4。

圖4 菱形掛籃主桁豎桿內(nèi)力變化規(guī)律

故當0.8≤n≤1.2，菱形掛籃主桁豎桿內(nèi)力相對較小，為合理且較優(yōu)的設(shè)計構(gòu)造。

2.1.3 后斜桿內(nèi)力

菱形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力可表示為

菱形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力隨m、n值增加均呈現(xiàn)非線性關(guān)系減小，自m＞1、n＞1后曲面趨于平緩、非線性影響較不顯著且m、n值對主桁后斜桿內(nèi)力的非線性變化關(guān)系影響一致。當（C為常數(shù)）時，主桁后斜桿的內(nèi)力為定值。見圖5。

圖5 菱形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力變化規(guī)律

2.1.4 綜合受力分析

為確定菱形掛籃主桁綜合受力的最佳指標，構(gòu)建與m、n值相關(guān)的菱形掛籃主桁內(nèi)力評價函數(shù)。

式中：ψ1、ψ2、ψ3分別為FN1、FN3、FN5桿件內(nèi)力占綜合受力指標的權(quán)值，與桿件的受力特性、特殊要求有關(guān)，為計算方便，可取ψ1+ψ2+ψ3=1。

代入式（9）、式（14）和式（16），可得

移項歸列，得

根據(jù)式（21），菱形掛籃主桁內(nèi)力評價函數(shù)f(m，n)隨m、n值增加均呈非線性關(guān)系減小，f(m，n)的梯度和散度隨m、n值增加均呈非線性關(guān)系減小且梯度和散度變化速率分別與權(quán)值ψ1+ψ3、ψ2+ψ3成正相關(guān)。

根據(jù)式（22），若f(m，n)=C（C為常數(shù)）呈以為長半軸和短半軸的橢圓曲線；當ψ1=ψ2時，為圓曲線。

菱形掛籃主桁實踐設(shè)計應用時，先擬定內(nèi)力評價函數(shù)的目標值（C0），合理選取ψ1、ψ2、ψ3，在滿足式（23）的條件下，根據(jù)工程實際需要，選取合理且最優(yōu)的m、n值。

2.2 楔形掛籃

2.2.1α角度

對于楔形掛籃主桁，有∠（90°-∠CDB）＜α＜90°。當L2=L3sinα，有FN5=FN2和FN1=FN4，是受力較優(yōu)的結(jié)構(gòu)。分別代入式（9）～（10）和式（15）～（17）中可得

由式（24）可知，F(xiàn)N3恒為2F，F(xiàn)N1和FN4內(nèi)力相等且與α角度呈非線性正相關(guān)，F(xiàn)N5和FN2內(nèi)力相等且與α角度呈非線性正相關(guān)。

事實上，當L1=L3cosα時，形狀上類似三角掛籃。但由于三角掛籃主桁桿AB和BD為壓彎桿件的主縱梁，在B點處為剛接，與本文按桁架計算的邊界條件不一致，故上述公式不適用于三角掛籃主桁內(nèi)力的計算，應另作討論。

由于實際工程設(shè)計時，L1可以進行調(diào)整，L2與掛籃主桁安裝所需長度相關(guān)（一般不大于0#塊箱梁長度的一半）；因此在L2=L3sinα的條件下，仍以最不利的FN1、FN3、FN5作為分析對象，討論楔形掛籃主桁α角度值、m值對內(nèi)力值的影響。

2.2.2 前斜桿內(nèi)力

楔形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力隨m值增加呈非線性關(guān)系增加，隨α值增加近似呈非線性關(guān)系增加且非線性變化關(guān)系受m值影響較α值更為顯著。見圖6。

圖6 楔形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力變化規(guī)律

2.2.3 豎桿內(nèi)力

楔形掛籃主桁豎桿內(nèi)力隨m、α值增加呈現(xiàn)非線性關(guān)系減??；在α值較小時，受m值影響較為顯著，隨著α值增大，受m值影響的顯著性降低。見圖7。

圖7 楔形掛籃主桁豎桿內(nèi)力變化規(guī)律

在0.6≤m≤1.5時，主桁豎桿內(nèi)力較小，為合理且較優(yōu)的設(shè)計構(gòu)造。

2.2.4 楔形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力

楔形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力隨m值增加呈現(xiàn)非線性關(guān)系減小，隨α值增加呈非線性關(guān)系增加且非線性變化關(guān)系受m值影響較α值更為顯著；在m值較小時，受α值影響較為顯著，隨著m值增大，受α值影響的顯著性降低。見圖8。

圖8 楔形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力變化規(guī)律

2.2.5 綜合受力分析

為確定楔形掛籃主桁綜合受力的最佳指標，定義與m、α值相關(guān)的楔形掛籃主桁內(nèi)力評價函數(shù)。

式中：ξ1、ξ2、ξ3分別為FN1、FN3、FN5桿件內(nèi)力占綜合受力指標的權(quán)值，與桿件的受力特性、特殊要求有關(guān)，為計算方便，可取ξ1+ξ2+ξ3=1。

若f(m，α)=常數(shù)，可視為以為變量的二元二次方程

二次項系數(shù)A、B、C不為零且x、y均是不為零的正實數(shù)，則式（26）存在無窮個正實數(shù)解析解。

楔形掛籃主桁設(shè)計應用時，先擬定內(nèi)力評價函數(shù)的目標值，合理選取ξ1、ξ2、ξ3，根據(jù)工程實際需要，選取合理且最優(yōu)的m、α值。

需要指出的是，根據(jù)上述思路，還可將楔形掛籃主桁內(nèi)力評價函數(shù)定義為三元二次方程分析m、n、α值對楔形掛籃主桁的前斜桿、豎桿、后斜桿及綜合受力評價函數(shù)的影響。

3 結(jié)論

1）菱形和楔形掛籃主桁為平面靜定桁架結(jié)構(gòu)，各桿件均為拉壓桿，通過結(jié)點法和隔離體平衡方程可推導出任意結(jié)構(gòu)主桁各桿件的內(nèi)力公式。

2）掛籃任意結(jié)構(gòu)主桁中，后斜桿的內(nèi)力不小于上弦桿的內(nèi)力，前斜桿的內(nèi)力不小于下弦桿的內(nèi)力，受力最不利的主桁桿件為后斜桿（拉桿）、前斜桿（壓桿）和豎桿（壓桿）。

3）菱形掛籃主桁內(nèi)力值與豎桿和上弦桿的長度比、下弦桿和上弦桿的長度比呈非線性變化關(guān)系；主桁內(nèi)力值的非線性變化關(guān)系較不明顯時，相對應的豎桿和上弦桿的長度比、下弦桿和上弦桿的長度比區(qū)間范圍較優(yōu)且為合理的設(shè)計構(gòu)造。

4）楔形掛籃主桁內(nèi)力值與豎桿和上弦桿的長度比、豎桿和上弦桿的夾角值呈非線性變化關(guān)系；主桁內(nèi)力值的非線性變化關(guān)系較不明顯時，相對應的豎桿和上弦桿的長度比、豎桿和上弦桿的夾角值區(qū)間范圍較優(yōu)且為合理的設(shè)計構(gòu)造。

5）構(gòu)建菱形或楔形掛籃主桁內(nèi)力評價函數(shù)，擬定內(nèi)力評價函數(shù)的目標值并求解評價函數(shù)的最優(yōu)解，根據(jù)工程實際需要，可選取合理且最優(yōu)的設(shè)計構(gòu)造，實現(xiàn)受力、構(gòu)造雙優(yōu)化。