通電直螺線管自感與互感的物理圖像*

王 鵬

(忻州師范學(xué)院物理系 山西 忻州 034000)

1 引言

通過幾個學(xué)期分別對不同專業(yè)的大學(xué)生教授大學(xué)物理課程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們普遍對自感與互感現(xiàn)象中的部分學(xué)習(xí)內(nèi)容不能很好地理解和掌握.學(xué)生們對通電直螺線管的自感/互感現(xiàn)象的描述、自感/互感系數(shù)的定義與計(jì)算表示能夠理解，但是對兩根直螺線管在順接和逆接時的總自感系數(shù)計(jì)算公式則表示困惑.主要體現(xiàn)在以下兩個方面：

(1)兩根通電直螺線管串聯(lián)后的總自感系數(shù)(L總)的計(jì)算公式為

L總=L1+L2±2M

(1)

其中L1與L2分別表示兩根螺線管的自感系數(shù)，M為二者之間的互感系數(shù).

兩根螺線管順接串聯(lián)時公式取加號，逆接串聯(lián)時則取減號.不少學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)螺線管由順接變?yōu)槟娼訒r，兩根螺線管內(nèi)部的磁場方向?qū)耐较蜃優(yōu)榉捶较?，因此不僅M前面的加減計(jì)算有所變化，L1與L2之間的加減計(jì)算也應(yīng)該有所變化，學(xué)生普遍對L1與L2始終相加表示困惑.

(2)教材中提到，對無限長或長度遠(yuǎn)大于半徑的通電螺線管(以下稱為“理想螺線管”)，其自感系數(shù)計(jì)算如下

(2)

由于自感與互感并不算是大學(xué)物理課程的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，因此對于以上兩個問題，大學(xué)物理教材中幾乎都沒有給出詳細(xì)的解釋.另外，雖然有一些文章采用數(shù)學(xué)分析的方法對上述兩個公式進(jìn)行了分析[2～8]，但是較多的數(shù)學(xué)公式使學(xué)生們專注于計(jì)算，不利于學(xué)生構(gòu)建清晰的物理圖像.“物理圖像”并不是簡單的“物理模型”.“物理模型”的一個重要特點(diǎn)是忽略一個過程或現(xiàn)象的次要因素而凸顯主要因素，比如“質(zhì)點(diǎn)”和“剛體”就是最常見的物理模型.構(gòu)建“物理模型”的過程就是尋找“理想化的近似”，目的是為了更方便地進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算并得出定量結(jié)論.而“物理圖像”則是一個物理定律或結(jié)論在拋開數(shù)學(xué)計(jì)算之后所留下的物理內(nèi)涵，僅能夠通過近乎籠統(tǒng)的語言甚至腦海中的圖像來描述.“物理圖像”對一個過程或現(xiàn)象的描述往往不夠精確(因?yàn)闆]有數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程)，卻最能表示物理本質(zhì)和物理邏輯.如果學(xué)生們能夠擺脫數(shù)學(xué)計(jì)算而掌握物理內(nèi)涵，就代表學(xué)生理解了，而非“記住”了所學(xué)的內(nèi)容.學(xué)生不僅可以實(shí)現(xiàn)知識的“理解記憶”，也能夠很好地進(jìn)行“學(xué)習(xí)遷移”，能夠發(fā)現(xiàn)很多看起來完全不同的知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建“知識框架”，學(xué)習(xí)效率也會大大提高.但這也要求教師本身就對知識有深刻的認(rèn)識，并在教學(xué)過程中對學(xué)生加以正確的引導(dǎo).

因此，本論文針對學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑，通過“物理語言”而非數(shù)學(xué)公式對自感與互感部分的內(nèi)容進(jìn)行分析，幫助學(xué)生能夠更好地理解自感與互感現(xiàn)象，不僅掌握通電螺線管自感系數(shù)與互感系數(shù)的計(jì)算方法，也能夠建立正確的物理圖像.

2 通電螺線管串聯(lián)的等效總自感系數(shù)分析

2.1 兩根通電螺線管串聯(lián)時的自感系數(shù)關(guān)系

通電螺線管的自感電動勢(E自感)計(jì)算式為

(3)

其中L,I和Ψ分別為螺線管的自感、通入電流和磁鏈數(shù).可以看到，式(3)的本質(zhì)就是法拉第電磁感應(yīng)定律，自感系數(shù)L可以表征螺線管的自感能力，即計(jì)算自感電動勢的大小.基于這一點(diǎn)，可以先從數(shù)學(xué)上分析兩根螺線管的串聯(lián)問題.如圖1(a)和(b)所示，兩根通電螺線管分別通過順接和逆接的方式進(jìn)行串聯(lián)，自感系數(shù)分別為L1和L2.當(dāng)電路中通入了變化的電流I時，兩根螺線管將同時產(chǎn)生自感電動勢，其方向可以利用楞次定律判斷，其大小可以通過式(3)計(jì)算.不失一般性，可以先假設(shè)圖1電流I此時具有增強(qiáng)的趨勢，則兩根螺線管將分別產(chǎn)生E自感，方向如圖1(a)和(b)中所示，感應(yīng)電流方向(I自感)如圖所示.顯然，無論兩根螺線管順接還是逆接，它們所產(chǎn)生的感應(yīng)電流方向相同，滿足串聯(lián)關(guān)系.這表明兩根串聯(lián)在一起的螺線管具有相同方向的自感響應(yīng)，與連接方式無關(guān).

從數(shù)學(xué)角度看，自感系數(shù)的定義式，即式(3)是一個常系數(shù)的線性微分算式，因此，感應(yīng)電動勢的方向是否相同決定了在計(jì)算總自感系數(shù)時L1與L2的加減情況.如圖1(a)所示，順接情況下兩個自感電動勢的方向一致，滿足串聯(lián)關(guān)系；在不考慮互感的情況下，電路中的總自感電動勢等于兩個自感電動勢相加.而在逆接情況下，如圖1(b)所示，兩根螺線管的感應(yīng)電動勢方向呈現(xiàn)為一個“向左”一個“向右”，看起來二者似乎方向相反，應(yīng)當(dāng)在計(jì)算中作差，但實(shí)際上，如果順著導(dǎo)線的方向觀察，例如沿著I自感的方向，可以看到兩個電動勢方向其實(shí)一致，均與原電流方向相反.因此，逆接情況下計(jì)算總自感電動勢時也應(yīng)當(dāng)將兩個自感電動勢相加.以上分析表明，兩根串聯(lián)的螺線管中所產(chǎn)生的自感電動勢方向始終一致，與串聯(lián)方式無關(guān)，因此兩個自感系數(shù)L1與L2在計(jì)算總自感系數(shù)的過程中應(yīng)始終相加.

實(shí)線黑色箭頭表示電流從螺線管的前面流過，虛線黑色箭頭表示電流從螺線管的后面流過.B原電和B感電分別是由原電流I所引起的磁場和感應(yīng)電流引起的磁場

圖1 兩根通電螺線管串聯(lián)示意圖

接下來嘗試擺脫數(shù)學(xué)公式，從物理圖像的角度來印證上述結(jié)論.如前所述，同一電路中的兩根螺線管在電流I變化時將同時產(chǎn)生自感電動勢.根據(jù)楞次定律，每一個自感線圈所產(chǎn)生的E自感以及I自感的“責(zé)任”和“目標(biāo)”都是為了削弱電流變化所帶來的影響，即阻礙磁通量的變化.那么，兩根螺線管只要是串聯(lián)，導(dǎo)線中流過的就是相同的電流，產(chǎn)生的就是相同的磁場，電流變化對兩根螺線管造成的影響就是相同的，則阻礙磁通量變化這一“責(zé)任”和“目標(biāo)”對兩根螺線管來說也是一致的.這種一致性與兩根自感線圈的順接或逆接以及電流增大或減小沒有關(guān)系.既然兩根螺線管的“責(zé)任”始終一致，在串聯(lián)時二者 “齊心協(xié)力”地達(dá)成“目標(biāo)”，產(chǎn)生同方向的E自感以及I自感，計(jì)算總自感系數(shù)時將L1和L2相加也就很自然了.

綜上所述，自感現(xiàn)象的本質(zhì)就是電磁感應(yīng)現(xiàn)象，感應(yīng)的方向遵循楞次定律，感應(yīng)的強(qiáng)弱則遵循法拉第電磁感應(yīng)定律.而從“自感”字面可以看出，此時的感應(yīng)現(xiàn)象只與螺線管自身有關(guān)，即所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的方向僅僅與自身的電流方向和變化趨勢有關(guān)，而與另外一根螺線管無關(guān).因此無論兩根通電螺線管順接還是反接，只要是串聯(lián)，電流變化在兩根螺線管中所引起的兩個自感電動勢就必須要共同肩負(fù)起阻礙磁鏈或電流變化的“責(zé)任”，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)公式上則為二者相加，即計(jì)算螺線管串聯(lián)的總自感系數(shù)時，兩個自感系數(shù)總是相加的.

也可以根據(jù)以上物理圖像來解釋式(1)中互感系數(shù)對總自感系數(shù)的影響.互感系數(shù)的定義式與自感系數(shù)[即式(3)]相近，區(qū)別僅在于互感系數(shù)表示的是兩根螺線管之間的相互影響程度.當(dāng)兩根螺線管順接串聯(lián)時，如圖1(a)中所示，各自所產(chǎn)生的磁場與另一根螺線管中的磁場方向相同[圖1(a)中兩組B原電方向相同]，此時因電流變化而引起的互感電動勢(E互感)與自感電動勢的“責(zé)任”一致，都是為了阻礙電流的變化，因此在計(jì)算中L與M應(yīng)當(dāng)相加；而兩根螺線管逆接串聯(lián)時，E自感與E互感的“責(zé)任”雖然一致，都是為了維持電流或磁通量不變，但二者的“目標(biāo)”卻并不一致.如圖1(b)中所示，兩根螺線管所要維持的磁通量方向正好相反(圖1(b)中兩組B原電方向相反)，因此E自感與E互感的方向相反，導(dǎo)致在計(jì)算自感系數(shù)時L與M應(yīng)當(dāng)相減.由于兩根螺線管均可以引起對方產(chǎn)生互感電動勢，電路中存在兩個相等的E互感(兩個互感系數(shù)相等且串聯(lián)時電流的變化相等)，且這兩個E互感的方向均同時與自身的E自感同向(順接時自感與互感電動勢相加)或反向(逆接時自感與互感電動勢相減)，因此，兩根螺線管串聯(lián)后的總自感系數(shù)可以用公式(1)進(jìn)行計(jì)算.值得指出的是，公式(1)無論從數(shù)學(xué)角度還是物理圖像角度分析都沒有施加任何特定條件，因此是普適的，具有一般性.

以上分析過程著重闡述了兩螺線管串聯(lián)時電磁感應(yīng)現(xiàn)象互相耦合的物理圖像，在無需借助數(shù)學(xué)公式的情況下就可以解釋數(shù)學(xué)計(jì)算問題，更有助于加強(qiáng)學(xué)生對物理知識的“感性認(rèn)識”，避免教師和學(xué)生過多地專注數(shù)學(xué)公式的計(jì)算而忽略了物理現(xiàn)象的內(nèi)涵.

2.2 兩根通電螺線管串聯(lián)時的等效總自感系數(shù)計(jì)算

接下來我們同樣結(jié)合數(shù)學(xué)公式和物理圖像來解釋式(1)和(2)之間的“矛盾”問題.如圖2所示，對一個非理想的螺線管，其內(nèi)部磁場的計(jì)算公式應(yīng)通過畢奧-薩伐爾定律計(jì)算如下

圖2 計(jì)算直通電螺線管軸上各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度示意圖

(4)

對理想螺線管，無限長或長度遠(yuǎn)大于半徑，θ1和θ2分別趨近于π和零，式(4)簡化為B=μnI.當(dāng)然，利用磁場中的環(huán)路定理可以更快地得到理想螺線管的這個結(jié)論.如圖2所示，選擇一個磁場中的閉合回路CDEF，根據(jù)環(huán)路定理得

(5)

對理想螺線管，內(nèi)部磁場(BEF)是勻強(qiáng)的而外部無磁場(BCD=0)，CF與DE均垂直于磁場，因此得到B=μnI.若理想螺線管的體積V=lS，內(nèi)部磁鏈數(shù)Ψ=NBS=LI，代入B=μnI中則可以得到式(2).可以看到，上述推導(dǎo)過程使用了“理想螺線管”這一條件，表明式(2)僅針對理想螺線管才有效，并不具有一般性，不能用于普通螺線管自感系數(shù)的計(jì)算.因此，式(1)與式(2)只對理想螺線管才可以同時使用并得到一致的結(jié)論，對普通螺線管的自感系數(shù)進(jìn)行計(jì)算必然會產(chǎn)生不同的結(jié)果.因此，從數(shù)學(xué)角度上可以認(rèn)識到所謂“矛盾”是來自于兩個公式的適用范圍不一致.

從物理圖像的角度也可以得到上述結(jié)論.互感現(xiàn)象是由于一根通電螺線管所產(chǎn)生的磁感線進(jìn)入另一根螺線管并發(fā)生數(shù)目變化所導(dǎo)致的.而磁感線是閉合的，它在理想螺線管內(nèi)部均勻排列，在螺線管外部則遍布全空間，因此磁感線在螺線管外部極其稀疏，磁感應(yīng)強(qiáng)度可以視為零，進(jìn)入另一根螺線管的磁感線數(shù)目(即磁通量)也可以視為總是零，因此不會導(dǎo)致互感現(xiàn)象.綜上所述，沒有互感這一結(jié)論只能用于兩根理想螺線管之間，兩根非理想螺線管之間則是存在互感的.顯然，互感系數(shù)受到兩根螺線管之間的位置與取向，以及是否有鐵芯等因素影響.

以上分析表明兩根理想螺線管之間的互感系數(shù)M等于零.此時再去看式(1)和(2)，兩根理想螺線管串聯(lián)后的總自感系數(shù)無需考慮互感，簡單地等于兩個自感系數(shù)之和，與長度成正比，兩個公式的結(jié)果一致.可以看到，正是由于忽視了兩根螺線管之間的互感系數(shù)M的取值情況才導(dǎo)致了所謂的“矛盾”.

3 結(jié)論

式(1)可以從法拉第電磁感應(yīng)定律或者麥克斯韋方程組得到，是計(jì)算兩根通電螺線管串聯(lián)時總自感系數(shù)的普適公式.但是式(2)則只對理想螺線管模型(長度遠(yuǎn)大于半徑或無限長有限粗)適用，因此在使用每一個公式時應(yīng)當(dāng)清楚公式的來源和公式中每個物理量的物理意義，才會保證對物理公式的使用以及對物理概念的理解不會出錯.另外，在教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)匾牒啙嵉膱D形和定性分析有助于學(xué)生建立正確的物理圖像，避免學(xué)生過于專注數(shù)學(xué)公式而忽略對物理本質(zhì)的追求.