用半偏法測(cè)電表內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)研究

梁宏燕

(中科院上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 上海 201800)

馮 杰

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

半偏法測(cè)電阻實(shí)質(zhì)上屬于“電表的改裝”知識(shí)，主要考查對(duì)歐姆定律、串并聯(lián)電路規(guī)律的綜合靈活應(yīng)用情況，通過(guò)增加試題的開(kāi)放性，可以考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，因此，該實(shí)驗(yàn)是高考的熱點(diǎn).在2017版《高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出注重學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，《考試大綱》中提出了“一核四層四翼”命題要求的背景下，2019年高考全國(guó)卷Ⅰ第23題重溫了電表改裝這一經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，提醒教師注重教材中的學(xué)生實(shí)驗(yàn).本文以半偏法測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)為例，介紹了半偏法以及改進(jìn)方案的實(shí)驗(yàn)原理，從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差進(jìn)行了分析，并用實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了理論誤差的推導(dǎo)是正確的.最后，通過(guò)對(duì)2015和2019年實(shí)驗(yàn)題的分析，展示了在高考中正在落實(shí)物理核心素養(yǎng)，在科學(xué)探究中要求學(xué)生具備一定的注重實(shí)驗(yàn)過(guò)程的能力、分析綜合能力以及反思的能力.

根據(jù)控制電路滑動(dòng)變阻器的連接方式不同，半偏法可分為限流式半偏法和分壓式半偏法.

1 限流式半偏法

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

圖1 限流式半偏法原理圖

1.1.1 誤差的定性分析

1.1.2 誤差的定量分析

要準(zhǔn)確表征測(cè)量值與真實(shí)值之間的偏差，需對(duì)誤差進(jìn)行計(jì)算.

閉合開(kāi)關(guān)S1，斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S2，電流表指針偏轉(zhuǎn)到滿刻度時(shí)，其示數(shù)記為I1，有

(1)

開(kāi)關(guān)S1和S2都閉合時(shí)，電流表指針偏轉(zhuǎn)到滿刻度的一半，示數(shù)記為I′1，有

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)得，電表內(nèi)阻rg為

(3)

(4)

則實(shí)際值大于測(cè)量值.因此，當(dāng)干路中的滑動(dòng)變阻器阻值非常大時(shí)，得出下式

rg=R′

(5)

1.2 誤差的主要來(lái)源

誤差一般包括隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，前者可通過(guò)多次測(cè)量減小，系統(tǒng)誤差的來(lái)源主要有方案設(shè)計(jì)、儀器精度、測(cè)量環(huán)境和測(cè)量人員.本文只定量分析方案設(shè)計(jì)和儀器精度所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差(分別簡(jiǎn)稱為方案誤差和儀器誤差)，通過(guò)計(jì)算其相對(duì)誤差來(lái)確定實(shí)驗(yàn)誤差的主要來(lái)源.

1.2.1 方案誤差

誤差公式

將式(4)代入δ1的表達(dá)式，得

(6)

由于RP遠(yuǎn)大于rg，則方案誤差非常小.

1.2.2 儀器誤差

在式(3)中，考慮到實(shí)驗(yàn)所滿足的條件：RP?R′(r可以略去不計(jì))，可將式(3)近似為

(7)

根據(jù)誤差公式(絕對(duì)值和法)可得

(8)

儀器的精度由其準(zhǔn)確度等級(jí)表示，儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)用基本誤差百分?jǐn)?shù)的數(shù)值來(lái)表示，數(shù)值越小，精度越高.設(shè)電流表的準(zhǔn)確度等級(jí)為k級(jí)，則ΔI=I·k%；若電阻箱的準(zhǔn)確等級(jí)為a級(jí)，則ΔR=R·a%+b,b為常數(shù)，單位是歐姆.I1=2I′1代入式(8)得

(9)

若k=0.5，a=0.1，b=0.01 Ω，則δ2=3%+0.1%，儀器誤差約占3%.由此可見(jiàn)，儀器的精確度是造成限流式半偏法誤差的主要原因，方案誤差占比很小.

1.3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中，電流表選擇量程為20 mA的數(shù)字毫安表，準(zhǔn)確等級(jí)0.1，干路中的滑動(dòng)變阻器用電阻箱代替，其準(zhǔn)確等級(jí)為0.1.電流表內(nèi)阻的真實(shí)值由式(3)計(jì)算得出，電路連接如圖1所示，測(cè)試結(jié)果詳見(jiàn)表1.

表1 半偏法測(cè)電流表內(nèi)阻數(shù)據(jù)記錄表

實(shí)驗(yàn)表明，滑動(dòng)變阻器接入電路中的阻值越大，其誤差越小，當(dāng)滑動(dòng)變阻器阻值超過(guò)電流表內(nèi)阻的50倍時(shí)，其相對(duì)誤差約為2%.可見(jiàn)，該方案從理論上推導(dǎo)的實(shí)驗(yàn)誤差是正確的.

1.4 限流式半偏法的改進(jìn)方案

若要消除方案誤差，可在干路中串聯(lián)一只電流表A0，保持干路電流不變，如圖2所示.先接通S1，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器RP，使兩電流表都滿偏，示數(shù)記為Ig；再合上S2后，可調(diào)節(jié)R′和RP，使電流表A0滿偏，電流表A半偏.由rgI′1=R′(Ig-I′1),可得

rg=R′

(10)

雖然這一方案理論上不存在方案誤差，但儀器增加了，誤差是否一定減小呢.為了驗(yàn)證這一猜想，用數(shù)字毫安表代替指針毫安表，電阻箱代替滑動(dòng)變阻器.電路連接如圖2，電流表內(nèi)阻的真實(shí)值表達(dá)式

圖2 限流式半偏法的改進(jìn)方案

實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果如表2所示.從表中數(shù)據(jù)可知相對(duì)誤差不足1%,此改進(jìn)方案可以減少誤差.

表2 半偏法測(cè)電流表內(nèi)阻改進(jìn)方案的數(shù)據(jù)記錄表

1.5 實(shí)驗(yàn)方案改進(jìn)前后數(shù)據(jù)處理

利用Origin軟件對(duì)表1與表2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，繪制散點(diǎn)圖，然后進(jìn)行非線性擬合，如圖3所示.結(jié)果顯示，實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與理論值吻合.

圖3 對(duì)電流表內(nèi)阻的測(cè)量值擬合

由圖3可知，當(dāng)滿足滑動(dòng)變阻器阻值遠(yuǎn)大于電流表內(nèi)阻時(shí)，原方案(電路圖1)相對(duì)誤差已經(jīng)非常小，與改進(jìn)方案相比，它們的相對(duì)誤差非常接近，且原方案(電路圖1)所用器材少，操作方便.因此，目前多數(shù)學(xué)校仍采用電路圖1方案測(cè)電流表的內(nèi)阻.

2 分壓式半偏法

2.1 實(shí)驗(yàn)原理

圖4 分壓式半偏法

2.1.1 誤差的定性分析

2.1.2 誤差的定量分析

要準(zhǔn)確表征測(cè)量值與真實(shí)值之間的數(shù)值關(guān)系，需要進(jìn)行計(jì)算.現(xiàn)設(shè)定滑片左邊的電阻記為RP1,右邊的電阻記為RP2，滑動(dòng)變阻器的總阻值記為RP，有

RP=RP1+RP2

電源內(nèi)阻忽略不計(jì).閉合S1和S2時(shí)，電壓表示數(shù)記為U0.有

(11)

只斷開(kāi)S2，滑動(dòng)變阻器保持不變，調(diào)節(jié)電阻箱，使電壓表示數(shù)記為U′.則

(12)

由式(11)、(12)得

(13)

由于

代入式(13)，得

(14)

電壓表內(nèi)阻的測(cè)量值R2大于真實(shí)值RV.要減小誤差，滑動(dòng)變阻器的阻值越小越好.

2.2 誤差的主要來(lái)源

2.2.1 方案誤差

誤差公式

把式(14)代入得

另

RP1=nRP

RP2=(1-n)RP

式中0

(15)

由于電壓表的內(nèi)阻RV遠(yuǎn)大于滑動(dòng)變阻器的阻值R，一般為RV=100R.這樣，δ′1最大值為0.25%，由此可見(jiàn)，分壓式半偏法的方案誤差很小.

2.2.2 儀器誤差

從式(14)可知，根據(jù)相對(duì)誤差公式(絕對(duì)值和法)，可得

(16)

經(jīng)計(jì)算，δ′2的值約為0.2%，由此可見(jiàn)，分壓式半偏法的誤差主要取決于滑動(dòng)變阻器和電阻箱的精度.

2.3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

實(shí)驗(yàn)中，干路中的滑動(dòng)變阻器用電阻箱代替，其準(zhǔn)確等級(jí)為0.1.電壓表內(nèi)阻的真實(shí)值由式(14)計(jì)算得出，電路連接如圖4所示，測(cè)得的數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 半偏法測(cè)電壓表內(nèi)阻數(shù)據(jù)記錄表(E=4 V)

續(xù)表3

實(shí)驗(yàn)表明，隨著滑動(dòng)變阻器阻值的增大，誤差也隨之增大，與理論推理一致.因此，用半偏法測(cè)電壓表內(nèi)阻時(shí)，滑動(dòng)變阻器阻值越小越好.

對(duì)半偏法測(cè)電壓表內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)，測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，不僅測(cè)量了電源電動(dòng)勢(shì)為4 V時(shí)的情況，還測(cè)量了8 V和12 V的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用Origin軟件對(duì)這3種不同電源電壓的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，如圖5所示.

圖5 3種電壓下測(cè)電壓表內(nèi)阻測(cè)量值擬合

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，測(cè)量值與理論值相符.

2.4 分壓式半偏法的改進(jìn)方案

要消除方案誤差，需在電壓表和變阻箱所在的支路兩端加控制電壓表V1，如圖6所示，閉合開(kāi)關(guān)S1和S2，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器使兩電壓表都滿偏，再斷開(kāi)S2,調(diào)節(jié)變阻箱，可以電壓表V1滿偏，電壓表V半偏，則電壓表內(nèi)阻等于電阻箱的示數(shù)，即RV=R′.在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，為了方便記錄數(shù)據(jù)，滑動(dòng)變阻器用電阻箱代替.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4所示.

圖6 分壓式半偏法改進(jìn)方案

表4 半偏法測(cè)電壓表內(nèi)阻改進(jìn)方案的數(shù)據(jù)記錄表(E=4 V)

3 考題應(yīng)用

【例1】(2015年高考全國(guó)卷Ⅱ)電壓表滿偏時(shí)通過(guò)該表的電流是半偏時(shí)通過(guò)該表電流的2倍.某同學(xué)利用這一事實(shí)測(cè)量電壓表的內(nèi)阻(半偏法)，實(shí)驗(yàn)室提供的器材如下：待測(cè)電壓表V(量程3 V，內(nèi)阻約3 000 Ω)，電阻箱(最大阻值99 999.9 Ω)，滑動(dòng)變阻器(最大阻值100 Ω，額定電流2 A)，電源E(電動(dòng)勢(shì)6 V，內(nèi)阻不計(jì))，開(kāi)關(guān)兩個(gè)，導(dǎo)線若干.

(1)虛線框內(nèi)為該同學(xué)設(shè)計(jì)的測(cè)量電壓表內(nèi)阻的電路圖(圖7)的一部分，將電路圖補(bǔ)充完整.

圖7 例1題圖

(2)根據(jù)設(shè)計(jì)的電路，寫出實(shí)驗(yàn)步驟：________________.

(3)將這種方法測(cè)出的電壓表內(nèi)阻記為R′V，與電壓表內(nèi)阻的真實(shí)值RV相比，R′V____________RV(選填“>”“=”或“<”)，主要理由是_________________.

解析：(1)因滑動(dòng)變阻器阻值與電壓表的內(nèi)阻相比較，其阻值較小，所以選擇分壓式接法.實(shí)驗(yàn)電路連接如圖8所示.

圖8 測(cè)電壓表內(nèi)阻電路圖

(2)移動(dòng)滑動(dòng)變阻器滑片，使通電后電壓表的示數(shù)最?。婚]合開(kāi)關(guān)S1和S2，調(diào)節(jié)R1，使電壓表的指針滿偏；保持滑片位置不動(dòng)，斷開(kāi)S2，調(diào)節(jié)電阻箱，使電壓表的指針半偏；讀取電阻箱的電阻值，即為電壓表的內(nèi)阻.

點(diǎn)評(píng)：本考題是對(duì)分壓式半偏法測(cè)電壓表內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)原理、操作步驟、誤差分析的考查，其實(shí)也是對(duì)歐姆定律和串、并聯(lián)電路的綜合應(yīng)用.第(1)問(wèn)考查了滑動(dòng)變器的連接方式，即分壓式和限流式，考生需理解選擇分壓式連接的條件才能做出正確選擇.第(2)問(wèn)考查的是實(shí)驗(yàn)操作步驟，包括電路的保護(hù)和半偏法原理的理解，問(wèn)題設(shè)置基于系統(tǒng)化知識(shí)，以開(kāi)放性的形式呈現(xiàn)，能否答好此題，與學(xué)生的邏輯思維習(xí)慣有密切的聯(lián)系.第(3)問(wèn)是對(duì)半偏法誤差分析的考查，體現(xiàn)了串、并聯(lián)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.該題考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)互相聯(lián)系的掌握情況， 體現(xiàn)了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和素養(yǎng)的綜合表現(xiàn).

【例2】(2019年高考全國(guó)卷Ⅰ)某同學(xué)要將一量程為250 μA的微安表改裝為量程為20 mA的電流表.該同學(xué)測(cè)得微安表內(nèi)阻為1 200 Ω，經(jīng)計(jì)算后將一阻值為R的電阻與該微安表連接，進(jìn)行改裝.然后利用一標(biāo)準(zhǔn)毫安表，根據(jù)圖9(a)所示電路對(duì)改裝后的電表進(jìn)行檢測(cè)(虛線框內(nèi)是改裝后的電表).

(1)根據(jù)圖9(a)和題給條件，將圖9(b)中的實(shí)物連接.

(2)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)毫安表的示數(shù)為16.0 mA時(shí)，微安表的指針位置如圖9(c)所示，由此可以推測(cè)出改裝的電表量程不是預(yù)期值，而是.(填正確答案標(biāo)號(hào))

圖9 例2題圖

A．18 mA B．21 mA

C．25 mA D．28 mA

(3)產(chǎn)生上述問(wèn)題的原因可能是( )(填正確答案標(biāo)號(hào))

A．微安表內(nèi)阻測(cè)量錯(cuò)誤，實(shí)際內(nèi)阻大于1 200 Ω

B．微安表內(nèi)阻測(cè)量錯(cuò)誤，實(shí)際內(nèi)阻小于1 200 Ω

C．R值計(jì)算錯(cuò)誤，接入的電阻偏小

D．R值計(jì)算錯(cuò)誤，接入的電阻偏大

(4)要達(dá)到預(yù)期目的，無(wú)論怎樣測(cè)得的內(nèi)阻值都是正確，都不必重新測(cè)量，只需要將阻值為R的電阻換為一個(gè)阻值為kR的電阻即可，其中k=.

解析：(1)電表改裝成電流表時(shí)，微安表應(yīng)與定值電阻R并聯(lián)，則實(shí)物電路連接如圖10所示.

圖10 微安表改裝成電流表實(shí)物連接圖

(2)由標(biāo)準(zhǔn)毫安表讀數(shù)可知，改裝后的電流表，實(shí)際量程被擴(kuò)大的倍數(shù)為100倍.故當(dāng)原微安表表盤達(dá)到滿偏時(shí)，實(shí)際量程為25 mA，故選項(xiàng)C正確.

(3)根據(jù)IgRg=(I-Ig)R，得

改裝后量程偏大的原因可能是，原微安表內(nèi)阻真實(shí)值Rg大于1 200 Ω；或定值電阻R的計(jì)算有誤，計(jì)算值偏大，實(shí)際接入的定值電阻R阻值偏小.故選項(xiàng)A，C正確.

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)電表改裝基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查.第(1)問(wèn)是小量程的電流表改裝成大量程的電流表，需并聯(lián)一定值電阻，本題是從設(shè)計(jì)電路的角度進(jìn)行考查.第(2)問(wèn)考查學(xué)生在實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)中的基本能力，即觀察能力.第(3)問(wèn)考查學(xué)生對(duì)該實(shí)驗(yàn)的誤差分析，即反思實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從而提出改進(jìn)措施的能力.第(4)問(wèn)在前3問(wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了升華，從該題可以看出，不再拘泥于具體的半偏法測(cè)電表內(nèi)阻，是該方法的推廣，指針可以偏轉(zhuǎn)任意角度，考查學(xué)生知識(shí)的遷移和運(yùn)用能力.該題注重選材的普遍性，但突出知識(shí)體系的完整和聯(lián)系，體現(xiàn)了核心素養(yǎng)背景下由關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程的要求，引導(dǎo)學(xué)生培育支撐終生發(fā)展、適應(yīng)時(shí)代要求的能力和綜合素質(zhì).

4 結(jié)束語(yǔ)

從2019年的實(shí)驗(yàn)考題來(lái)看，全國(guó)卷Ⅰ的命題不再遷就中學(xué)教學(xué)“重知識(shí)輕能力，以講實(shí)驗(yàn)代替做實(shí)驗(yàn)”的現(xiàn)狀，而是堅(jiān)持以能力和素養(yǎng)考查為主導(dǎo).這一試題的特征是重新回歸到教材重點(diǎn)學(xué)習(xí)的學(xué)生實(shí)驗(yàn)，在試題中重視實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原理的誤差(方案誤差)的考查，不注重考慮儀器帶來(lái)的誤差，這是鼓勵(lì)學(xué)校要開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，如果能有效利用身邊易于獲取的資源又能達(dá)到實(shí)驗(yàn)?zāi)康母茫瑫r(shí)提倡充分利用資源，如同一器材能演示多個(gè)現(xiàn)象.

綜上所述，對(duì)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)原理、操作步驟、數(shù)據(jù)處理、誤差分析的處理，以及反思實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出改進(jìn)措施也是物理教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)的有效教學(xué).