菲涅爾公式討論光波反射和折射時(shí)振幅的變化*

劉家興 劉高福 陳德良

(貴州師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽(yáng) 550018)

光波是一種電磁波,當(dāng)光進(jìn)入兩種介質(zhì)分界面時(shí)，傳播方向滿足反射和折射定律，根據(jù)麥克斯韋方程組和電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系可以研究平面光波在兩介質(zhì)分界面上的反射和折射問(wèn)題，并可用菲涅爾公式來(lái)描述其振幅間的關(guān)系，菲涅爾公式是大學(xué)物理中的一組重要公式，對(duì)其相關(guān)問(wèn)題的討論是大學(xué)物理教學(xué)研究中的熱點(diǎn)[1,2]，對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有重要的作用，但教材中未對(duì)反射和折射波的振幅變化作出詳細(xì)說(shuō)明，學(xué)生也不容易發(fā)現(xiàn)其變化關(guān)系.筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，利用菲涅爾公式、電磁波的能量和能流密度等理論，討論光在界面上的反射系數(shù)和透射系數(shù)、反射率和折射率等問(wèn)題，幫助學(xué)生深入理解菲涅爾公式和光波振幅的概念.

1 菲涅爾公式

當(dāng)光波射到兩種不同介質(zhì)的分界面上時(shí)，將分成兩個(gè)波，一個(gè)反射波和一個(gè)折射波，根據(jù)麥克斯韋的電磁理論，以及光的反射定律、折射定律和邊值關(guān)系，可以得到菲涅爾公式如下[3,4]

(1)

(2)

(3)

(4)

其中A1s和A1p表示入射波垂直分量和平行分量的振幅，A′1s和A′1p表示反射波垂直分量和平行分量的振幅，A2s和A2p表示折射波垂直分量和平行分量的振幅，rs和ts表示s波(即垂直分量)的振幅反射系數(shù)和透射系數(shù)，rp和tp表示p波(即平行分量)的振幅反射系數(shù)和透射系數(shù).

2 反射系數(shù)和透射系數(shù)

2.1 光從光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)

利用折射定律n2sinθ2=n1sinθ1和三角函數(shù)公式，可將式(1)～(4)用折射率n1，n2和入射角θ1表示，當(dāng)光波由光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)，即n1

圖1 n1=1,n2=1.3,rs,rp,ts,tp隨入射角θ1變化關(guān)系曲線

圖2 n1=1.3,n2=1.5,rs,rp,ts,tp隨入射角θ1變化關(guān)系曲線

2.2 當(dāng)光從光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)

利用折射定律n2sinθ2=n1sinθ1和三角函數(shù)公式，將式(1)～(4)用折射率n1，n2和入射角θ1表示，在光波由光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)，即n1>n2時(shí)，振幅反射系數(shù)rs,rp和透射系數(shù)ts,tp隨著入射角θ1變化而變化.例如當(dāng)n1=1.3,n2=1,rs,rp,ts,tp，隨入射角θ1的變化關(guān)系如圖3所示，當(dāng)n1=1.5,n2=1.3，rs,rp,ts,tp隨入射角θ1的變化關(guān)系如圖4所示.從圖可以看出，隨著入射角的增大，rs,ts,tp一直在增大，|rp|先減小后增大.在入射角從0～90°整個(gè)變化過(guò)程中，|rs|≤1，rp≤1，在0≤θ1≤θC的變化過(guò)程中，ts>1，tp>1，即折射光s分量和p分量的振幅大于入射光相應(yīng)分量的振幅，從折射光是入射光的一部分的角度看，好像不滿足“能量守恒”定律.

圖3 n1=1.3,n2=1,rs,rp,ts,tp隨入射角θ1變化關(guān)系曲線

圖4 n1=1.5,n2=1.3,rs,rp,ts,tp隨入射角θ1變化關(guān)系曲線

2.3 關(guān)于能量是否守恒的證明

光波是一種電磁波，要考察光波在界面上反射和折射時(shí)有沒(méi)有違背“能量守恒”定律，必須考慮電磁波能量的表示量——坡印廷矢量，它表示單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于傳播方向的單位面積的能量.其表示為

(5)

(6)

又由于折射率

(7)

其中ε0和μ0為真空介電常數(shù)和真空磁導(dǎo)率常數(shù)，所以當(dāng)光從光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)時(shí)，折射率n變大了，在能量相同的情況下，振幅會(huì)變小；當(dāng)光從光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)時(shí)，折射率n變小了，較小的振動(dòng)能量也有可能引起較大的振幅，這樣就不難理解當(dāng)光從光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)時(shí)振幅增大，即違背“能量守恒”定律這一現(xiàn)象.

下面以平面光波為例來(lái)證明光波在界面上反射和折射時(shí)滿足能量守恒定律.已知平面光波單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于傳播方向單位面積的能量，即光強(qiáng)度為[4]

(8)

記入射光波強(qiáng)度為I1，反射光波強(qiáng)度為I′1，折射光波強(qiáng)度為I2，則每秒入射到單位面積上的能量W1、反射波和折射波每秒從分界面出射的能量W′1和W2分別表示為

(9)

(10)

(11)

μ1=μ2=μ0

于是，在分界面上反射波、折射波單位面積上的能量流與入射波單位面積上的能量流之比為

(12)

(13)

式中，R和T分別表示能量反射率和能量透射率.

將菲涅爾公式代入上式，可得s波和p波反射率和透射率分別為

(14)

(15)

(16)

(17)

Rs+Ts=

(18)

Rp+Tp=

(19)

即在不考慮界面的吸收和散射的情況下，s波和p波的反射率加透射率分別等于1，滿足能量守恒定律.

3 結(jié)論

利用菲涅爾公式討論光波在分界面上的反射和折射時(shí)振幅的變化關(guān)系，當(dāng)光從光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)時(shí)，反射光和折射光的振幅均小于入射光振幅，當(dāng)光從光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)時(shí)，反射光的振幅小于入射光的振幅，而折射光的振幅大于入射光的振幅，好像是不滿足“能量守恒”定律的一種有趣現(xiàn)象，利用能流密度的概念對(duì)這一特殊現(xiàn)象作了討論，并用平面光波證明了光波在界面反射和折射時(shí)，光能量滿足能量守恒定律.