多自由度非線性懸架系統(tǒng)混沌特性

葉宇翔，張翔

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

懸架系統(tǒng)作為緩沖和吸收振動(dòng)的主要構(gòu)件，其性能的好壞會(huì)嚴(yán)重影響到汽車的平順性[1]。懸架系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性，汽車懸架的非線性因素一般集中在懸架彈簧、阻尼及輪胎上[2]，而非線性因素在特定的激勵(lì)幅值和激勵(lì)頻率下會(huì)產(chǎn)生巨大的變化，進(jìn)而對(duì)非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)特征產(chǎn)生較大的影響。Wu[3]等建立了包括駕駛員模型在內(nèi)的整車八自由度模型，在正弦路面激勵(lì)下，通過(guò)分析非線性系統(tǒng)的龐加萊（Poincaré）截面和最大Lyapunov 指數(shù)，證明非線性系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象。

本文推導(dǎo)出整車七自由度動(dòng)力學(xué)微分方程，考慮懸架彈簧、阻尼的非線性，利用MATLAB/Simulink 建立仿真模型，在正弦路面激勵(lì)下，用4 階Runge-Kutta 法對(duì)整車模型進(jìn)行仿真分析[5]。通過(guò)分析龐加萊（Poincaré）截面和Lyapunov指數(shù)，發(fā)現(xiàn)懸架系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨著路面的變化，在周期狀態(tài)、倍周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)之間多次變遷。

1 整車非線性系統(tǒng)搭建

如圖1 所示，模型考慮了車身的垂向振動(dòng)、俯仰、側(cè)傾3 個(gè)自由度，4 個(gè)車輪垂向的4 個(gè)自由度[4]，建立整車七自由度數(shù)學(xué)模型。

圖1 七自由度整車模型Fig.1 7-DOF vehicle model

1.1 非線性懸架系統(tǒng)搭建

懸架系統(tǒng)的非線性彈簧力和阻尼力表示為

式中：ki1，ki2，ki3——懸架系統(tǒng)剛度系數(shù)；——懸架系統(tǒng)阻尼系數(shù)；——懸架拉伸行程阻尼系數(shù)；——懸架壓縮行程阻尼系數(shù)；ΔZsi——懸架系統(tǒng)的動(dòng)行程；——?jiǎng)有谐套兓南鄬?duì)速度。

式中：df——前輪輪距的一半；dr——后輪輪距的一半；l1——前軸至車輛質(zhì)心的距離；l2——后軸至車輛質(zhì)心的距離；Zb——車身的垂向位移；θ——車身俯仰角；φ——車身側(cè)傾角。

將車輪進(jìn)行線性化處理，作用在車輪上的地面反作用力為

式中：kti——車輪剛度；qi——車輪接地面的垂向位移。Zti——輪心處的垂向位移。

1.2 汽車整車數(shù)學(xué)模型

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，建立整車運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

式中：mb——車身質(zhì)量；m1——左前輪質(zhì)量；m2——左后輪質(zhì)量；m3——右前輪質(zhì)量；m4——右后輪質(zhì)量；Iθ——車身俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Iφ——車身側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1.3 路面激勵(lì)

采用正弦路面激勵(lì)，只考慮前后車輪的相角延遲，不考慮路面激勵(lì)幅值的影響，公式如下：

式中：A——路面激勵(lì)幅值；f ——路面激勵(lì)頻率；α——前后輪激勵(lì)相角延遲。

2 系統(tǒng)的仿真模型

2.1 車輛在垂向激勵(lì)下的混沌分析

在不同路面激勵(lì)頻率下，非線性因素會(huì)產(chǎn)生巨大的變化，因而影響車身垂向位移和車輪垂向位移。激勵(lì)振幅為0.005 m，激勵(lì)頻率1～20 Hz，采用龍格庫(kù)塔法對(duì)模型進(jìn)行求解[6]。考慮相角延遲為α=49π/180，將不同頻率下的車輛懸架特性參數(shù)輸入Simulink 仿真模型中，以激勵(lì)頻率、龐加萊（Poincaré）截面為橫縱坐標(biāo)，繪制車身垂向位移分岔圖、車輪垂向位移分岔圖，如圖2 所示。

圖2 車輛模型頻率分岔圖Fig.2 Vehicle model frequency bifurcation diagram

從圖2 中可以看出，當(dāng)f=9 Hz 時(shí)，出現(xiàn)分形現(xiàn)象，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)出現(xiàn)突變，可能出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)f=11～14 Hz 時(shí)，分岔圖中龐加萊（Poincaré）截面點(diǎn)數(shù)變多，可能是混沌狀態(tài)；當(dāng)f=15～17 Hz 時(shí)，龐加萊（Poincaré）截面點(diǎn)數(shù)減少，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，可能再次進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)。分析結(jié)果表明，路面激勵(lì)頻率不同會(huì)導(dǎo)致懸架系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。根據(jù)上述非線性系統(tǒng)仿真分析，選取5，9，14，17 Hz 的路面激勵(lì)頻率進(jìn)行深入研究。

2.2 混沌現(xiàn)象分析

混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)初值較為敏感，易產(chǎn)生隨機(jī)性的非周期運(yùn)動(dòng)，且不可預(yù)測(cè)。選取5，9，14，17 Hz激勵(lì)頻率下，分析車身垂向位移的時(shí)域信號(hào)、相軌跡、龐加萊（Poincaré）截面、功率譜和最大Lyapunov 指數(shù)。

（1）第1 組（f=5 Hz）

由圖3 所示，時(shí)間歷程圖穩(wěn)定具有較強(qiáng)規(guī)律性，相軌跡表現(xiàn)為大量圓環(huán)疊加，龐加萊（Poincaré）截面形成封閉的圓環(huán)，此時(shí)最大Lyapunov 指數(shù)為-0.598 2。由混沌識(shí)別方法可知，該七自由度車輛系統(tǒng)呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)。

圖3 f=5 Hz 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.3 System parameter curve and graph (f=5 Hz)

（2）第2 組（f=9 Hz）

由圖4 所示，時(shí)間歷程較穩(wěn)定但開(kāi)始出現(xiàn)不規(guī)律變化，相軌跡表現(xiàn)為大量圓環(huán)疊加，龐加萊（Poincaré）截面形成多個(gè)封閉的圓環(huán)，功率譜開(kāi)始出現(xiàn)連續(xù)趨勢(shì)但有明顯的尖峰，此時(shí)最大Lyapunov 指數(shù)為0。由混沌識(shí)別方法可知，該七自由度車輛系統(tǒng)呈現(xiàn)倍周期運(yùn)動(dòng)。

圖4 f=9 Hz 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.4 System parameter curve and graph (f=9 Hz)

（3）第3 組（f=14 Hz）

由圖5 所示，時(shí)間歷程圖不規(guī)律，相軌跡不重復(fù)且雜亂無(wú)章，龐加萊（Poincaré）截面出現(xiàn)大量密集的點(diǎn)，功率譜呈現(xiàn)出連續(xù)現(xiàn)象，此時(shí)最大Lyapunov指數(shù)為0.534 6。由混沌識(shí)別方法可知，該七自由度車輛系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖5 f=14 Hz 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.5 System parameter curve and graph (f=14 Hz)

（4）第4 組（f=17 Hz）

由圖6 所示，時(shí)間歷程圖穩(wěn)定，相軌跡出現(xiàn)上下不同圓環(huán)，龐加萊（Poincaré）截面近似形成封閉的圓環(huán)，功率譜開(kāi)始出現(xiàn)不連續(xù)趨勢(shì)。由混沌識(shí)別方法可知，該七自由度車輛系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)向周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)過(guò)渡。

圖6 f=17 Hz 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.6 System parameter curve and graph (f=17 Hz)

3 結(jié)語(yǔ)

本文采用數(shù)值分析法，對(duì)整車七自由度仿真模型在正弦路面激勵(lì)下進(jìn)行混沌特性研究分析。通過(guò)分岔圖、相軌跡、龐加萊（Poincaré）截面、功率譜及計(jì)算最大Lyapunov 指數(shù)，判斷非線性懸架系統(tǒng)是否能夠進(jìn)入混沌狀態(tài)，大致確定了懸架系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的臨界條件，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨著非線性因素改變，會(huì)發(fā)生運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變遷?？紤]到車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的復(fù)雜性，且在特定情況下極可能從周期運(yùn)動(dòng)演變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，本研究可為懸架系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和改進(jìn)提供理論參考。