雙正弦激勵下懸架系統(tǒng)的混沌特性分析

張黎

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

汽車懸架系統(tǒng)作為車身、車架和車輪之間的連接結(jié)構(gòu)，在汽車行駛時(shí)會因地面的變化而受到振動及沖擊，這些沖擊的力量其中一部份會由輪胎吸收，但絕大部分是依靠輪胎與車身間的懸架裝置來吸收的。如今，國內(nèi)外學(xué)者轉(zhuǎn)向非線性動力系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的研究[1-2]。對于汽車懸架這樣復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，其非線性因素在一定激勵、載荷及頻域下會出現(xiàn)很大變化。由于非線性系統(tǒng)的多值性等，造成該系統(tǒng)容易產(chǎn)生混沌等復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為。研究汽車懸架這類復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，并進(jìn)行建模仿真，分析其非線性動力學(xué)行為可能出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，可為懸架系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供重要的理論基礎(chǔ)。

近些年，越來越多的學(xué)者關(guān)注汽車非線性懸架系統(tǒng)混沌特性的研究。如文獻(xiàn)[3-6]在單頻正弦激勵下，通過變化的激勵幅值、頻率及懸架性能參數(shù)研究懸架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動；文獻(xiàn)[7-9]在雙頻激勵下研究汽車懸架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動，并采用追蹤控制或小波函數(shù)控制等方法將該懸架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動控制在周期范圍內(nèi)；文獻(xiàn)[10-12]在不同的路面不平度激勵幅值及頻率作用下，汽車單自由度懸架系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)，計(jì)算混沌參數(shù)研究懸架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動。

本文以路面雙頻擬周期為激勵，建立非線性的單自由度汽車懸架模型，通過數(shù)值仿真計(jì)算，得到汽車懸架振動的時(shí)間歷程曲線、功率譜密度圖形和Poincaré 截面，從理論上給出了懸架振動發(fā)生混沌的可能性。同時(shí)，通過動態(tài)K&C 試驗(yàn)平臺進(jìn)行整車試驗(yàn)，獲取汽車輪心處的振動曲線，并計(jì)算最大 Lyapunov 指數(shù)等混沌參數(shù)，從而驗(yàn)證汽車懸架系統(tǒng)具有混沌特性。

1 汽車懸架的力學(xué)模型和運(yùn)動微分方程

1.1 懸架系統(tǒng)力學(xué)模型

本文僅從汽車懸架系統(tǒng)平順性方面研究。假設(shè)汽車關(guān)于軸線左右對稱，將汽車簡化為單自由度1/4 懸架模型，忽略輪胎的彈性和質(zhì)量，如圖1 所示。圖中M——車身質(zhì)量，x0——路面激勵，x——車身位移，F(xiàn)——非線性阻尼力，k1——車體剛度系數(shù)。

圖1 單自由度1/4 懸架模型Fig.1 Single-degree-of-freedom 1/4 suspension model

給定雙頻逆周期路面激勵，由牛頓定律得到系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程：

令y=x-x0；路面激勵為雙頻正弦激勵x0=A1sinφ1τ+A2sinφ2τ；φ1，φ2不可有理通約；非線性阻尼力其中，k2——非線性剛度系數(shù)，c1——線性阻尼系數(shù)，c2——非線性阻尼系數(shù)。

則式（1）為：

1.2 懸架系統(tǒng)仿真模型

MATLAB 提供的Similink 工具箱可對動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和分析。根據(jù)上述非線性微分方程，建立如圖2 所示的單自由度非線性懸架系統(tǒng)仿真框圖。

圖2 單自由度非線性懸架系統(tǒng)的仿真框圖Fig.2 Simulation block diagram of single-degree-offreedom nonlinear suspension system

綜合以下幾個(gè)方面，判斷該單自由度1/4 懸架系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌運(yùn)動：（1）系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，觀察系統(tǒng)響應(yīng)對初值的敏感程度；（2）系統(tǒng)的相軌跡，通過計(jì)算，觀察系統(tǒng)相圖構(gòu)成；（3）對于Poincaré 截面，通過觀察該截面圖中相點(diǎn)的情況判斷是否發(fā)生混沌。當(dāng)截面圖中出現(xiàn)少數(shù)的離散點(diǎn)或形成閉合圓環(huán)時(shí)，則系統(tǒng)運(yùn)動是周期或擬周期的；若截面圖中由一片無規(guī)則的密集點(diǎn)構(gòu)成，則系統(tǒng)運(yùn)動可能是混沌運(yùn)動；（4）對于系統(tǒng)的功率譜，若譜線是連續(xù)的，則懸架系統(tǒng)可能出現(xiàn)混沌運(yùn)動；（5）李雅普諾夫指數(shù)（Lyapunov）。計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)的Lyapunov 值是否大于0，若值為正，說明無論距離多近的不同初始軌跡線，在經(jīng)過一段時(shí)間演化后，會出現(xiàn)無法預(yù)測的差別，即混沌現(xiàn)象。

2 懸架系統(tǒng)的數(shù)值仿真及數(shù)據(jù)處理

2.1 懸架系統(tǒng)參數(shù)及仿真設(shè)置

設(shè)懸架系統(tǒng)參數(shù)M=300 kg，k1=160 000 N/m3，k2=180 000 N/m3，c1=250 N·s/m，c2=-25 N·s3/m3，φ1=7.8 rad/s，φ2=20+10rad/s，選取初始條件為y（0）=-0.001，y（0）=0，時(shí)間步長取0.015 s，激勵幅值A(chǔ)1=A2分別取0.010，0.020，0.0250，0.030，0.032，用4 階定步長Runge-Kutta 法對式（2）進(jìn)行數(shù)值積分。

2.2 懸架仿真數(shù)據(jù)處理

分別計(jì)算出不同幅值激勵下系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)、相軌跡、Poincaré 截面圖、功率譜，如圖3—圖7 所示。

圖3 激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.01 m 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.3 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.01 m

圖4 激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.02 m 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.4 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.02 m

圖5 激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.025 m 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.5 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.025 m

圖6 激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.03 m 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.6 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.03 m

圖7 激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.032 m 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.7 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.032 m

通過計(jì)算最大Lyapunov 指數(shù)得到表1。

表1 不同激勵幅值下最大 Lyapunov 指數(shù)值Tab.1 The maximum Lyapunov exponent value under different excitation amplitudes

根據(jù)各激勵幅值下的Poincaré 截面、功率譜及最大Lyapunov 指數(shù)值，有以下分析：當(dāng)激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.01 時(shí)，Poincaré截面整體為一種閉合環(huán)，功率譜是離散的頻率譜線構(gòu)成，最大Lyapunov 值為負(fù)，則系統(tǒng)作周期運(yùn)動；當(dāng)激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.02 時(shí)，Poincaré 截面整體為一種閉合環(huán)，功率譜是離散的頻率譜線構(gòu)成，最大Lyapunov 值為0，則系統(tǒng)作擬周期運(yùn)動；當(dāng)激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.025 時(shí)，Poincaré 截面整體為一種閉合環(huán)，功率譜是多個(gè)離散的頻率譜線構(gòu)成，最大Lyapunov 值基本為0，則系統(tǒng)作擬周期運(yùn)動；當(dāng)激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.03 時(shí)，Poincaré 截面閉合環(huán)

開始破裂，功率譜中的頻率譜線開始呈連續(xù)分布，最大Lyapunov 值為正，則系統(tǒng)開始作混沌運(yùn)動；當(dāng)激勵幅值A(chǔ)1=A2=0.032 時(shí)，Poincaré 截面閉合環(huán)完全破裂由無限多個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成，功率譜中的頻率譜線呈連續(xù)分布，最大Lyapunov 值為正，則系統(tǒng)作混沌運(yùn)動。

3 整車試驗(yàn)

對懸架進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)采用整車試驗(yàn)方法，如圖8 所示。車身固定地面，前軸放置動態(tài)K&C 試驗(yàn)臺架上，通過控制平臺給整車輸入雙頻激勵，由于動態(tài)K&C試驗(yàn)臺架激勵頻率與幅值的限制，需降低懸架仿真試驗(yàn)時(shí)的激勵幅值，獲取不同幅值下輪心垂向位移的時(shí)域響應(yīng)等振動曲線。

圖8 整車試驗(yàn)安裝Fig.8 Test installation of the whole vehicle

對實(shí)測的整車懸架振動曲線，將該曲線時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行離散處理，然后進(jìn)行相空間重構(gòu)獲得延遲時(shí)間及最小嵌入維數(shù)，最后通過小數(shù)據(jù)法計(jì)算求得最大Lyapunov 值。

3.1 實(shí)車振動激勵數(shù)據(jù)處理

對實(shí)車振動試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，得圖9—圖11。

圖9 激勵幅值0.01 m 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.9 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.01 m

圖10 激勵幅值0.025 m 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.10 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.025 m

圖11 激勵幅值0.028 m 時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜Fig.11 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.028 m

計(jì)算實(shí)車試驗(yàn)數(shù)據(jù)的最大Lyapunov 指數(shù)得到表2。

表2 不同激勵幅值下最大 Lyapunov 指數(shù)值Tab.2 The maximum Lyapunov exponent value under different excitation amplitudes

由上述整車試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析知，隨著激勵幅值不斷增加，Poincaré 截面由少數(shù)的點(diǎn)構(gòu)成的圓環(huán)逐漸成為充滿相空間的一部分，結(jié)合最大Lyapunov 指數(shù)由（λ=-0.002 136 7<0），變成（λ=0.016 6>0），可判斷懸架系統(tǒng)的運(yùn)動由周期運(yùn)動轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動。

4 結(jié)語

本文采用數(shù)值分析法，對單自由度1/4 非線性懸架模型在雙頻擬周期激勵下進(jìn)行混沌特性研究法分析，通過求解非線性懸架模型，分析其時(shí)域響應(yīng)、相位圖、Poincaré 截面、功率譜及計(jì)算最大Lyapunov 值確定該非線性懸架系統(tǒng)有進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài)的可能，大致確定懸架系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的激勵幅值，并在動態(tài)K&C 試驗(yàn)臺架進(jìn)行整車懸架系統(tǒng)的振動試驗(yàn)，驗(yàn)證了實(shí)車懸架系統(tǒng)極可能從周期運(yùn)動進(jìn)入到混沌運(yùn)動狀態(tài)，為汽車懸架系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及改進(jìn)提供了依據(jù)。