嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)張量的子直和

何建鋒

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 楚雄 675000)

矩陣作為代數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本內(nèi)容，已在科學(xué)和工程的各個(gè)方面得到廣泛應(yīng)用. 隨著大數(shù)據(jù)分析的發(fā)展，人們對(duì)張量的研究日益增加. 目前，有關(guān)張量的研究成果已較為豐富[1-5]. 此處所提的張量也可以稱(chēng)作超矩陣，相比于矩陣元素有2個(gè)下標(biāo)，張量元素的下標(biāo)個(gè)數(shù)可以大于2個(gè). 鑒于矩陣與張量之間的聯(lián)系，許多矩陣?yán)碚撝械膬?nèi)容已被推廣到張量上進(jìn)行研究，如嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣[6]、特征值[1]、正定性[1]和Perron-Frobenius定理[7]等.

方陣的子直和是矩陣和的一種推廣，F(xiàn)ALLAT 和 JOHNSON[8]給出了方陣子直和的定義，并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行研究. 方陣子直和在矩陣的完備化[9]、區(qū)域分解方法中的重疊子域[10]等問(wèn)題中均有涉及. 目前關(guān)于方陣子直和的研究已有許多結(jié)果[8,11-17].

本文利用矩陣與張量之間的維數(shù)關(guān)系，定義了張量子直和與S-嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)型張量，證明了嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)張量的k-子直和是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)張量，并給出了張量的子直和為S-嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)型張量的一個(gè)充分條件.

1 張量的子直和

對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n(≥2)，如果ai1i2…im(ij=1,2,…,n;j=1,2,…,m)，則=(ai1i2…im)稱(chēng)為一個(gè)m階n維實(shí)張量，記為[m,n].

下面先給出幾個(gè)定義.

定義1[8]設(shè)方陣A和B的階分別為n1和n2，k為整數(shù)且滿足1≤k≤min{n1，n2}. 如果

其中A22和B11均為k階方陣，那么

稱(chēng)為A和B的k-子直和，記為C=A⊕kB.

定義2[11]設(shè)矩陣A=(aij)n×n，n≥2，S是集合[n]的一個(gè)非空子集，如果以下2個(gè)條件成立：

則稱(chēng)A是S-嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，簡(jiǎn)記為S-SDD矩陣.

定義3[18]設(shè)張量=(ai1i2…im)[m,n]，如果對(duì)于所有的i[n]，有

由定義1和定義2，利用矩陣與張量之間的聯(lián)系，可定義張量子直和與S-SDD型張量：

定義4設(shè)張量=(ai1i2…im)[m,n1]，=(bi1i2…im)[m,n2]，n1,n2≥2，n=n1+n2-k，k為整數(shù)且1≤k≤min(n1,n2)，t=m-k，令

ci1i2…im=

其中，S1={1,2,…,n1-k}，S2={n1-k+1,…,n1}，S3={n1+1,…,n}，則張量=(ci1i2…im)[m,n]稱(chēng)為與的k-子直和，記為=⊕k.

定義5設(shè)張量=(ai1i2…im)[m,n]，n≥2，S是集合[n]的一個(gè)非空子集，如果以下2個(gè)條件成立：

2 SDD張量和S-SDD型張量的子直和

本節(jié)證明2個(gè)SDD張量的子直和仍然是SDD張量，以及1個(gè)SDD張量與1個(gè)S-SDD型張量的子直和是S-SDD型張量.

定理1設(shè)張量=(ai1i2…im)[m,n1]，=(bi1i2…im)[m,n2]都是SDD張量，k為整數(shù)，且1≤k≤min(n1,n2)，n1,n2≥2，n=n1+n2-k. 如果aii…ibjj…j>0，iS2，j[k]，則與的k-子直和=⊕k是SDD張量.

證明分3種情形證明.

情形1. 當(dāng)i1S1時(shí)，有

則

情形2. 當(dāng)i1S2時(shí)，因?yàn)楹褪荢DD 張量，所以

(1)

bi1-t,i1-t,…,i1-t.

(2)

根據(jù)定義4，有

ci1i1…i1=ai1i1…i1+bi1-t,i1-t,…,i1-t.

(3)

由式(1)～(3)，可知

情形3. 當(dāng)i1S3時(shí)，有

則

綜上所述，當(dāng)i1S1∪S2∪S3時(shí)，有

定理1表明2個(gè)SDD張量的子直和仍然是SDD張量，但是，2個(gè)S-SDD型張量的子直和不一定是S-SDD型張量.

例1張量=(aijk)[3,4]，其中

令S={1,2}，則張量是S-SDD型張量. 但是 2-子直和=⊕2不是S-SDD型張量，此時(shí)定義5中的條件(ii)不成立，因?yàn)椋?dāng)i=1，j=5時(shí)，有

下面給出2個(gè)張量的子直和為S-SDD型張量的一個(gè)條件.

定理2設(shè)張量=(ai1i2…im)[m,n1]是S-SDD型張量，張量=(bi1i2…im)[m,n2]是SDD張量，S是S1的一個(gè)非空子集，n1,n2≥2，k為整數(shù)且1≤k≤min(m,n)，集合S1、S2、S3與定義4中的相同. 如果aii…ibjj…j>0，iS2，j[k]，則k-子直和=⊕k是S-SDD型張量.

證明先證明S=S1時(shí)的情形. 要證明張量是S-SDD型張量，需證明以下2個(gè)條件成立：

當(dāng)S=S1時(shí)，S在[n1+n2-k]中的補(bǔ)集為S2∪S3.

從而條件(i)成立.

(2)下面分2種情形證明條件(ii)成立.

①當(dāng)jS2時(shí)，由iS=S1，有

且|bi…i|>ri() (i[n2]). 從而

(|bj-t,…,j-t|-rj-t())×

由此可知當(dāng)jS2時(shí)，條件(ii)成立.

②當(dāng)jS3時(shí)，由iS=S1，有()=()，從而

綜上所述，當(dāng)S=S1時(shí)，結(jié)論成立.

當(dāng)|S|<|S1|時(shí)，證明過(guò)程類(lèi)似. 由此可知，是S-SDD型張量.