基本指數(shù)-最小下半方差投資組合優(yōu)化研究

張 鵬， 李欣茵， 曾永泉

(1. 華南師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 廣州 510006；2. 仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院人文與社會(huì)科學(xué)學(xué)院， 廣州 510225)

1952年，MARKOWITZ[1]提出了均值-方差模型，創(chuàng)立了投資組合理論，揭示了多樣化投資是降低投資風(fēng)險(xiǎn)的有效方法. 然而，方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量方法，在現(xiàn)實(shí)運(yùn)用中存在一些缺陷，比如現(xiàn)實(shí)環(huán)境往往不具備資產(chǎn)收益呈正態(tài)分布這一前提條件；并且，對(duì)于投資者而言，收益高于預(yù)期收益時(shí)并不存在風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)期望收益的正偏差和負(fù)偏差進(jìn)行同等對(duì)待顯然是不合理的. 為了克服方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量的局限性，MARKOWITZ[2]提出了使用半方差度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn). OGRYCZAK和RUSZCZYNSKI[3]證明在交易系數(shù)為1的前提下，使用標(biāo)準(zhǔn)半方差(半方差的平方根)作為風(fēng)險(xiǎn)度量時(shí)，均值-風(fēng)險(xiǎn)模型符合二階隨機(jī)占優(yōu). 進(jìn)一步地，SEYEDHOSSEINI等[4]分析了均值-半方差投資組合模型，并提出混合和聲搜索算法和人工蜂群算法進(jìn)行求解；于孝建等[5]提出了均值-半方差動(dòng)態(tài)配置模型.

有效市場(chǎng)理論認(rèn)為被動(dòng)投資策略才是最優(yōu)的[6]，運(yùn)用市值加權(quán)方法構(gòu)建投資組合是典型的被動(dòng)投資策略. 由于價(jià)格指標(biāo)過(guò)于嘈雜，基于市值加權(quán)的投資組合會(huì)給被高估的股票賦予過(guò)高的權(quán)重(反之亦然)，因此，ARNOTT等[7]首先提出基本指數(shù)(FI)策略替代市值加權(quán)方法，并證明了基于基本指數(shù)建立的投資組合在大多數(shù)國(guó)家的表現(xiàn)優(yōu)于市值加權(quán)的市場(chǎng)指數(shù). 此后，許多學(xué)者對(duì)基本指數(shù)方法進(jìn)行了研究與驗(yàn)證. 如：BASU和FORBES[8]認(rèn)為基本指數(shù)策略在澳大利亞證券市場(chǎng)上擁有潛在的杰出性能；RUIZ等[9]認(rèn)為基本指數(shù)策略在經(jīng)濟(jì)下行時(shí)期表現(xiàn)出色；CHANG和KRUEGER[10]對(duì)比美國(guó)ETFs和國(guó)際ETFs基本指數(shù)策略和傳統(tǒng)指數(shù)的回報(bào)率，發(fā)現(xiàn)基本指數(shù)策略的回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)較高.

為進(jìn)一步優(yōu)化投資組合，學(xué)者們嘗試將不同的投資組合模型進(jìn)行組合. 如：BUSER[11]將均值-方模型和CAPM模型相結(jié)合，提出了相對(duì)信息比率；DEMIGUEL等[12]將最小方差和等比例投資組合模型進(jìn)行壓縮，形成了新的混合投資組合模型；PYSARENKO等[13]以巴菲特指數(shù)為最佳混合比例，提出了基本指數(shù)模型和最小方差模型混合的投資組合模型.

在現(xiàn)實(shí)投資組合的管理中，忽視交易成本會(huì)導(dǎo)致投資組合無(wú)效. 為了更貼近現(xiàn)實(shí)，學(xué)者們嘗試將交易成本引入到投資組合模型當(dāng)中. 如:MEI和NOGALES[14]提出了具有比例交易成本的均值方差投資組合；HAUTSCH和VOIGT[15]將單位矩陣與方差-協(xié)方差矩陣以一定的比例壓縮，從而對(duì)二次交易成本進(jìn)行優(yōu)化；MEI等[16]提出了具有投資組合向量的P-范數(shù)交易成本的均值-方差投資組合模型；OLIVARES-NADAL和DEMIGUEL[17]提出了具有P-范數(shù)交易成本的均值-方差投資組合模型.

投資組合模型在現(xiàn)實(shí)投資活動(dòng)中能否獲得好的效果需要進(jìn)行樣本外檢驗(yàn). 如：RAPACH和 WOHAR[18]分別使用遞歸方案和蒙特卡洛模擬方法對(duì)股票收益可預(yù)測(cè)性進(jìn)行了樣本外檢驗(yàn)；DEMIGUEL等[19]利用“滾動(dòng)窗口”方法檢驗(yàn)壓縮投資組合在樣本外的效果；XU和LIN[20]提出HAR-RRVSC模型，并運(yùn)用“滾動(dòng)窗口”方法研究結(jié)構(gòu)性變化在樣本外對(duì)已實(shí)現(xiàn)方差的預(yù)測(cè)能力的影響.

在文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上，本文運(yùn)用投資組合向量的1-、2-范數(shù)來(lái)衡量投資組合的交易成本，以基本指數(shù)和下半方差模型作為壓縮基準(zhǔn)，構(gòu)建具有范數(shù)交易成本的基本指數(shù)-最小下半方差投資組合優(yōu)化模型(下文簡(jiǎn)稱(chēng)“FI-semiv模型”)，并運(yùn)用不等式組的旋轉(zhuǎn)算法求解該模型.

1 預(yù)備知識(shí)

σ2(ri)=σ2(ri)++σ2(ri)-，

其中，σ2(ri)+=E((r+)2)，σ2(ri)-=E((r-)2).

定義1[21]設(shè)ri和rj是2個(gè)隨機(jī)變量，σ2(ri)和σ2(rj)為方差，σ2(ri)+、σ2(ri)-、σ2(rj)+和σ2(rj)-為半方差，稱(chēng)

COV(ri,rj)-=

COV(ri,rj)

為ri和rj的下協(xié)方差.

(1)

2 FI-semiv投資組合模型

2.1 投資組合的收益、風(fēng)險(xiǎn)與閾值約束

本文將分別采用隨機(jī)均值和下半方差來(lái)衡量投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn). 即投資組合的收益rp為：

(2)

其中，C為交易成本.

投資組合的下半方差V為

V(w)=w′G-w，

(3)

假設(shè)li=0，ui為wi的最大值，則投資組合的閾值約束為

0≤wi≤ui.

(4)

2.2 P-范數(shù)交易成本約束

交易成本在現(xiàn)實(shí)投資活動(dòng)中不可忽略，本文將P-范數(shù)交易成本[17]引入隨機(jī)最小下半方差模型.

當(dāng)k=0時(shí)，所研究的投資組合不考慮交易成本，投資過(guò)程中的交易成本為零.

2.3 基本指數(shù)投資組合模型

為了使基本指數(shù)更具有代表性，本文參照文獻(xiàn)[13]的組合方法，首先選擇波動(dòng)率高度相關(guān)的4個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)構(gòu)建資產(chǎn)i(i=1,2,…,n)的復(fù)合基本指數(shù)：

(5)

其中，BV表示賬面價(jià)值,D表示股息,FCF表示自由現(xiàn)金流,REV表示收入.

然后，利用復(fù)合基本指數(shù)構(gòu)建基本指數(shù)投資組合. 資產(chǎn)i的投資權(quán)重為

(6)

考慮到在交易過(guò)程中存在的交易成本，將P-范數(shù)交易成本引入基本指數(shù)模型中，則基本指數(shù)投資組合的期望收益rp為：

2.4 具有范數(shù)交易成本的最小下半方差組合模型

將交易成本納入到目標(biāo)函數(shù)中，構(gòu)建含P-范數(shù)交易成本的最小下半方差優(yōu)化模型：

(7)

2.5 具有范數(shù)交易成本的基本指數(shù)-下半方差投資組合模型

由模型(7)可以得到具有范數(shù)交易成本的最小下半方差最優(yōu)投資組合權(quán)重wsemiv. 由于資產(chǎn)的過(guò)去收益與公司基本面信息是互補(bǔ)的，在波動(dòng)性較低的“繁榮時(shí)期”，當(dāng)市場(chǎng)可能被低估且市場(chǎng)指數(shù)有可能穩(wěn)定增長(zhǎng)時(shí)，最好的方法是構(gòu)建一個(gè)多樣化的投資組合進(jìn)行投資，此時(shí)最佳投資權(quán)重可由最小下半方差模型獲得；當(dāng)市場(chǎng)可能被高估且市場(chǎng)崩潰的可能性增加時(shí)，最可靠的做法是根據(jù)公司的經(jīng)濟(jì)基本面所能獲取的信息進(jìn)行決策.

為了提高模型的有效性，本文以基本指數(shù)模型和具有范數(shù)交易成本的最小下半方差模型為混合對(duì)象，對(duì)投資組合權(quán)重進(jìn)行混合重組，構(gòu)建具有范數(shù)交易成本的FI-semiv模型.

假設(shè)c、d為使投資者效用最大化的最佳混合比率，則混合投資比例為

(8)

該混合方法有2個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：一是求解基本指數(shù)模型和具有范數(shù)交易成本的最小下半方差模型；二是確定最佳混合比率.

s.t.c+d=1.

(9)

令d=1-c，并將根據(jù)模型(6)得到的投資組合與模型(7)求解得的最小方差模型的最優(yōu)解應(yīng)用于模型(9)中，則模型(9)可轉(zhuǎn)化為

(10)

求解模型(10)，可得到具有范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合，其預(yù)期收益為：

3 模型的求解

模型中基本指數(shù)的計(jì)算不涉及最優(yōu)化或估計(jì)，本文首先通過(guò)模型(5)和模型(6)得到基本指數(shù)投資組合權(quán)重以及具有范數(shù)交易成本的最小下半方差模型的最優(yōu)解，然后對(duì)模型(9)進(jìn)行求解，從而得到具有范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合的權(quán)重.

若下半?yún)f(xié)方差矩陣G-是半正定的，則模型(7)是一個(gè)凸二次規(guī)劃問(wèn)題，因此，本文使用不等式的旋轉(zhuǎn)算法[23]求解該模型.

(1)當(dāng)交易成本系數(shù)k=0時(shí)，模型(7)可以轉(zhuǎn)化為

(11)

(12)

(2)當(dāng)交易成本范數(shù)P=1，交易成本矩陣Λ=I時(shí)，交易成本為：

設(shè)yi=|wi-wi0|，則模型(7)可轉(zhuǎn)化為

(13)

則模型(13)的庫(kù)恩-塔克(K-T)條件為

(14)

因x°λxL*λx和y°λyL*λy,據(jù)τx°λxL*L /ττy°λy可知τλxLτλy。據(jù)引理1.2的對(duì)偶

則模型(7)可轉(zhuǎn)化為

(15)

則模型(15)的庫(kù)恩-塔克(K-T)條件為

(16)

4 實(shí)證研究

本文假設(shè)投資者從歷史標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的成分股中選擇30只股票進(jìn)行投資，這30只股票分別為S1(ABT.N)、S2(AMG.N)、S3(AVB.N)、S4(CBRE.N)、S5(CE.N)、S6(CLX.N)、S7(CNP.N)、S8(EL.N)、S9(HFC.N)、S10(JEC.N)、S11(JEF.N)、S12(JNJ.N)、S13(KO.N)、S14(NKE.N)、S15(STZ.N)、S16(TPR.N)、S17(WCG.N)、S18(WELL.N)、S19(XOM.N)、S20(AAPL.O)、S21(CPRT.O)、S22(GOOGL.O)、S23(INTC.O)、S24(JKHY.O)、S25(MXIM.O)、S26(SBUX.O)、S27(TROW.O)、S28(TSCO.O)、S29(TTWO.O)、S30(BSX.N).

本文收集上述30只股票2008—2017年度賬面價(jià)值股息、自由現(xiàn)金流、收入以及2009年1月至2018年12月的收益率作為樣本數(shù)據(jù). 基于財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，可通過(guò)第k年度的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)構(gòu)建第k+1年度的基本指數(shù)投資組合，基本指數(shù)投資組合權(quán)重在第k+1年將保持不變. 本文采用“滾動(dòng)窗口”方法得到FI-semiv模型的T-M個(gè)時(shí)期的投資組合權(quán)重，即獲取一個(gè)包含N種資產(chǎn)連續(xù)T個(gè)月資產(chǎn)收益率的數(shù)據(jù)庫(kù)，選擇M個(gè)月作為估計(jì)窗口的長(zhǎng)度，從t=M+1開(kāi)始，使用t之前的M個(gè)月的數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)模型所需參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，確定最優(yōu)的投資組合權(quán)重，利用該權(quán)重和第t+1月的資產(chǎn)收益率計(jì)算第t+1月的總收益，并將其作為滾動(dòng)第一個(gè)時(shí)期的收益率. 在估計(jì)窗口M中刪除第1個(gè)月的資產(chǎn)收益率數(shù)據(jù)，同時(shí)增加第t+1月的資產(chǎn)收益率，以形成一個(gè)新的估計(jì)窗口，重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，直至t=T-1. 在該方法下，會(huì)產(chǎn)生T-M個(gè)時(shí)期的最優(yōu)投資組合權(quán)重wt和收益率rt(t=1,2,…,T-M).

為了檢驗(yàn)FI-semiv模型的優(yōu)劣，本文首先分別求解具有1-、2-范數(shù)交易成本的FI-semiv模型，并進(jìn)行樣本外檢驗(yàn)；然后比較FI-semiv投資組合與最小方差投資組合、最小下半方差投資組合、等比例投資組合的樣本外表現(xiàn).

(17)

4.1 FI-semiv投資組合樣本外績(jī)效分析

假設(shè)初始投資權(quán)重wi0=0(i=1,2,…,30)，交易成本參數(shù)k=0.003，投資組合的上、下界限制分別為li=0,ui=0.3，即0≤wi≤0.3. 按照定義2，本文選取賬面價(jià)值、股息、自由現(xiàn)金流和收入4個(gè)波動(dòng)性高度相關(guān)的財(cái)務(wù)指標(biāo)構(gòu)建基本指數(shù)，由模型(5)、(6)得到基本指數(shù)投資組合的權(quán)重，再將基本指數(shù)與最小下半方投資組合權(quán)重進(jìn)行混合，從而得到混合投資組合權(quán)重.

(1)具有1-范數(shù)交易成本的FI-semiv模型. 假設(shè)投資者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)γ=1，由模型(13)得到具有1-范數(shù)交易成本的最小下半方差投資組合權(quán)重，由模型(6)得到基本指數(shù)投資組合權(quán)重，從而由模型(9)得到效用最大化視角下具有1-范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合的最佳混合比例，并計(jì)算混合模型的收益率、方差和夏普比率.

由表1可知：①具有1-范數(shù)交易成本的FI-semiv模型的夏普比率均值約為0.320 7. ②在產(chǎn)生的60期最優(yōu)投資組合中，有28個(gè)時(shí)期的投資組合等價(jià)于基本指數(shù)模型得到的投資組合(即c=1，d=0)，有31個(gè)時(shí)期的投資組合等價(jià)于具有1-范數(shù)交易成本的最小下半方差投資組合(即c=0，d=1). ③有18個(gè)時(shí)期的夏普比率為負(fù)數(shù)，其中t=58時(shí)的夏普比率最低，為-3.033 5；有23個(gè)時(shí)期的夏普比率超過(guò)0.5，且當(dāng)t=22時(shí)夏普比率最高，為3.156 3.

(2)具有2-范數(shù)交易成本的FI-semiv模型. 假設(shè)投資者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)γ=1，由模型(15)、(6)可得到具有2-范數(shù)交易成本的最小下半方差最優(yōu)投資組合與基本指數(shù)投資組合，將其應(yīng)用于模型(9)，從而得到效用最大化投資組合的最佳混合比例，并計(jì)算其收益率、方差和夏普比率.

由表2可知：①具有1-范數(shù)交易成本的FI-semiv模型的夏普比率均值約為0.470 8. ②在產(chǎn)生的所有最優(yōu)投資組合中，有29個(gè)時(shí)期的投資組合等價(jià)于基本指數(shù)投資組合(即c=1，d=0)，有31個(gè)時(shí)期的投資組合等價(jià)于具有2-范數(shù)交易成本的最小下半方差投資組合(即c=0，d=1). ③有12個(gè)時(shí)期的夏普比率為負(fù)，在t=58時(shí)夏普比率最低，為-2.597 0；夏普比率大于0.5的時(shí)期達(dá)到31個(gè)時(shí)期，且當(dāng)t=22時(shí)夏普比率最高，為3.397 3.

表1 具有1-范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合相關(guān)指標(biāo)Table 1 The related indicators of 1-P-FI-semiv portfolios

表2 具有2-范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合相關(guān)指標(biāo)Table 2 The related indicators of 2-P-FI-semiv portfolios

續(xù)表2

4.2 與其他模型的樣本外績(jī)效比較分析

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)上述模型的有效性，本文分別將最小方差模型、最小下半方差模型、等比例投資模型與具有范數(shù)交易成本的FI-semiv模型的樣本外表現(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比. 為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，具有1-范數(shù)交易成本(2-范數(shù)交易成本)的最小方差模型、最小下半方差模型、等比例投資模型、FI-semiv模型分別簡(jiǎn)稱(chēng)為1-P-min、1-P-semiv、1-P-ew、1-P-FI-semiv(2-P-min、2-P-semiv、2-P-ew、2-P-FI-semiv).

假設(shè)交易成本參數(shù)k=0.003，單個(gè)資產(chǎn)的上、下界限制為0≤wi≤0.3，初始投資權(quán)重wi0=0 (i=1,2,…,30). 運(yùn)用旋轉(zhuǎn)算法對(duì)最小方差模型和最小下半方差模型進(jìn)行求解，得到上述8個(gè)投資組合在T-M個(gè)時(shí)期的平均收益率、平均標(biāo)準(zhǔn)差和平均夏普比率.

由表3可知：(1)具有范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合的平均夏普比率高于具有范數(shù)交易成本的最小方差組合、最小下半方差組合以及等比例投資組合的平均夏普比率. (2)具有1-、2-范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合的平均夏普比率分別比具有1-、2-范數(shù)交易成本的最小下半方差投資組合提高了0.061 5和0.156 0，其中具有2-范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合的平均夏普比率提高更加明顯(提高了49.56%).

表3 8個(gè)模型的相關(guān)指標(biāo)Table 3 The related indicators of measured models

由圖1、圖2可知：(1)在T-M個(gè)時(shí)期中，混合投資組合的最高、最低夏普比率和平均夏普比率均高于最小方差投資組合、最小下半方差投資組合以及等比例投資組合的最高、最低夏普比率和平均夏普比率，說(shuō)明混合模型優(yōu)于其余3個(gè)模型. (2)具有1-、2-范數(shù)交易成本的最小下半方差投資組合均有17個(gè)時(shí)期的夏普比率為負(fù)；在具有1-、2-范數(shù)交易成本的混合投資組合相應(yīng)時(shí)期中，均有14個(gè)時(shí)期的夏普比率得到了提高；在具有1-、2-范數(shù)交易成本的等比例投資組合中分別有25、24個(gè)時(shí)期的夏普比率為負(fù)，具有1-、2-范數(shù)交易成本的混合投資組合的夏普比率分別有19、18個(gè)時(shí)期得到提高；此外，在具有2-范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合中，夏普比率為負(fù)的時(shí)期減少至12個(gè)時(shí)期，說(shuō)明混合投資組合在經(jīng)濟(jì)不景氣時(shí)期能夠更準(zhǔn)確地判斷企業(yè)狀況，從而有效提高投資組合的夏普比率.

圖1 具有1-范數(shù)交易成本的投資組合的夏普比率

圖2 具有2-范數(shù)交易成本的投資組合夏普比率

綜上所述，具有范數(shù)交易成本的FI-semiv投資組合能夠提高平均收益率和降低風(fēng)險(xiǎn)，從而在總體上提高投資組合的夏普比率.

5 結(jié)論

基于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同定義以及考慮到基本面狀況對(duì)未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格的影響，本文采用下半方差衡量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，并將基本指數(shù)投資組合與最小下半方差投資組合進(jìn)行壓縮，提出了FI-semiv模型. 考慮到交易成本在投資決策中不可忽略，本文在模型中引入1-、2-范數(shù)交易成本，將該混合模型轉(zhuǎn)化為具有閾值約束的二次規(guī)劃模型，進(jìn)一步使用旋轉(zhuǎn)算法進(jìn)行求解. 最后，使用“滾動(dòng)窗口”方法，獲得T-M個(gè)時(shí)期的最優(yōu)投資組合，并以夏普比率為評(píng)價(jià)指標(biāo)，分別與最小方差投資組合、最小下半方差投資組合、等比例投資組合進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明FI-semiv投資組合的夏普比率顯著高于最小方差投資組合、最小下半方差投資組合、等比例投資組合的夏普比率，基于FI-semiv模型構(gòu)建的投資組合的投資效率更高.