基于尖點(diǎn)突變的城市交通狀態(tài)演化研究

邵子怡，張林,2，吳昊

(1.華北理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，河北 唐山 063210；2.中美城市交通研究中心，河北 唐山 063000)

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展和城市化進(jìn)程的加快，交通擁堵已經(jīng)成為制約城市發(fā)展的一大頑疾。道路交通系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，實(shí)測(cè)交通流數(shù)據(jù)在擁堵發(fā)生時(shí)刻會(huì)出現(xiàn)非連續(xù)的“突變”現(xiàn)象。此現(xiàn)象是在交通暢通狀態(tài)到交通擁擠狀態(tài)的過渡時(shí)期形成的。而傳統(tǒng)的交通流理論模型：Underwood指數(shù)模型、Greenshield線性模型、Greenberg對(duì)數(shù)模型，均為建立在二維平面基礎(chǔ)上的3個(gè)參數(shù)模型。這些模型無(wú)法解釋在交通流數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的“突變”現(xiàn)象。法國(guó)數(shù)學(xué)家Thom在20世紀(jì)70年代基于奇點(diǎn)理論和穩(wěn)定性理論建立了7種突變模型，并用于研究不連續(xù)變化的現(xiàn)象。1978年Dendrinos是第一個(gè)將突變理論應(yīng)用到交通流這一領(lǐng)域的人，他將二維的突變模型用來(lái)描述速度-流量關(guān)系曲線[1]。另一個(gè)模型是由Navin于1986年提出的，他認(rèn)為三維的突變模型適用于描述3個(gè)變量[2]。張亞平和張起森對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行變換之后，應(yīng)用尖點(diǎn)突變?nèi)ッ枋鼋煌?個(gè)參數(shù)的關(guān)系，并驗(yàn)證了尖點(diǎn)突變應(yīng)用于交通流預(yù)測(cè)的可行性[3]。姜璐等總結(jié)了初等突變理論在社會(huì)科學(xué)中的2種應(yīng)用途徑并以燕尾突變?yōu)槔?，給出了具體的分析步驟和突變特點(diǎn)[4]。YiShui等分析在快速路上的交通擁堵與交通瓶頸的關(guān)系，并得出交通運(yùn)行狀態(tài)會(huì)在較短時(shí)間發(fā)生突變并導(dǎo)致?lián)矶碌慕Y(jié)論[5]。上述研究只是將實(shí)例數(shù)據(jù)做了簡(jiǎn)單特征分析，預(yù)測(cè)未來(lái)交通流，但未采用尖點(diǎn)突變理論做系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)闡述，并對(duì)交通由暢通流-擁堵流的演變過程進(jìn)行分析研究。該研究從交通流的實(shí)際交通數(shù)據(jù)出發(fā)，對(duì)交通流作擁堵分析，并將其與尖點(diǎn)突變理論結(jié)合，從流量、占有率、速度3個(gè)參數(shù)對(duì)城市交通狀態(tài)的演化做詳盡分析。

1交通流的擁堵特性

1.1 數(shù)據(jù)樣本分析

該項(xiàng)研究利用無(wú)人機(jī)航拍的方式對(duì)唐山市路北區(qū)西山道與學(xué)院路交叉口于2019年11月21日和2019年11月22日的6:30～8:00早高峰時(shí)段進(jìn)行車流量采集。北新道與建設(shè)路均為雙向8車道，統(tǒng)計(jì)時(shí)間間隔為5 min，分別對(duì)流量、速度和占有率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了相應(yīng)的預(yù)處理，剔除了冗余、無(wú)效的數(shù)據(jù)。表1所示為高峰時(shí)段部分流量、速度、占有率的統(tǒng)計(jì)情況。

表1 數(shù)據(jù)樣本示例

1.2 交通流擁堵分析

根據(jù)交通擁堵發(fā)生的頻率可以將其分為常發(fā)性擁堵和偶發(fā)性擁堵，常發(fā)性擁堵在設(shè)計(jì)學(xué)因素的影響下可以分為結(jié)構(gòu)性擁堵和非結(jié)構(gòu)性擁堵。交通道路設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)性缺陷(分段限速、車道變窄等)不明顯存在的情況下導(dǎo)致的常發(fā)性擁堵，其主要原因是交通需求與交通供給不平衡。為了更形象、直觀地描述交通流三項(xiàng)參數(shù)與尖點(diǎn)突變之間的關(guān)系，繪制出占有率-流量、流量-速度和占有率-速度之間的關(guān)系圖。

圖1所示是占有率-流量關(guān)系的二維圖。觀察圖1可得，交通狀態(tài)在非擁堵狀態(tài)和擁堵狀態(tài)比較集中，而非擁堵和擁堵狀態(tài)的銜接是不連續(xù)的，表現(xiàn)為交通狀態(tài)的突跳性。由此可見，交通狀態(tài)突跳性的變化與尖點(diǎn)突變理論的突變性是一致的。

圖1 占有率-流量關(guān)系圖

圖2所示是流量-速度關(guān)系的二維圖。觀察圖2可得，同一流量值可能對(duì)應(yīng)2個(gè)速度值，同一流量值的上半部分對(duì)應(yīng)的是擁堵狀態(tài)對(duì)應(yīng)的速度，下半部分是非擁堵狀態(tài)對(duì)應(yīng)的速度，這體現(xiàn)了交通狀態(tài)的多態(tài)性。由此可見，交通狀態(tài)的多態(tài)性與尖點(diǎn)突變理論的多模態(tài)性是一致的。

圖2 流量-速度關(guān)系圖

圖3所示是占有率-速度關(guān)系的二維圖。觀察圖3可得，該區(qū)域的數(shù)值較為集中，是因?yàn)轳{駛員具有較強(qiáng)的時(shí)間概念以減少道路上的延誤。在原點(diǎn)周圍占有率-速度出現(xiàn)了明顯的跳躍變化，由非擁堵的平衡狀態(tài)跳躍到擁堵的平衡狀態(tài)，這體現(xiàn)了交通狀態(tài)的不可達(dá)性，與尖點(diǎn)突變理論中的不可達(dá)性是一致的。

圖3 占有率-速度關(guān)系圖

通過對(duì)3個(gè)參數(shù)之間關(guān)系的分析，表明交通狀態(tài)與尖點(diǎn)突變理論有著相似的特征，因此利用尖點(diǎn)突變理論研究交通擁堵的狀態(tài)演化具有一定的理論依據(jù)。

2突變理論

法國(guó)數(shù)學(xué)家Thom于1972年在《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學(xué)》一書中關(guān)于突變?cè)韱栴}進(jìn)行闡述，標(biāo)志著突變理論的正式誕生。突變理論是通過建立勢(shì)函數(shù)，探究突變臨界點(diǎn)以描述系統(tǒng)發(fā)生突變時(shí)所發(fā)生的潛在規(guī)律。該理論表明，某個(gè)因素的持續(xù)變化可能會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的態(tài)勢(shì)發(fā)生突然改變。量變?cè)斐少|(zhì)變，事物的質(zhì)變關(guān)鍵在于中間態(tài)是否穩(wěn)定，反之則會(huì)發(fā)生突變。

突變理論包含2個(gè)參數(shù)，分別是狀態(tài)變量和控制變量。狀態(tài)變量是系統(tǒng)中任何時(shí)刻的狀態(tài)都由n個(gè)給定的變量確定(n有取值范圍)?？刂谱兞縿t是系統(tǒng)中受到m個(gè)變量的控制。控制變量就是影響系統(tǒng)形態(tài)的重要因素。在突變理論中，狀態(tài)參數(shù)與控制參數(shù)的數(shù)量分別控制在2個(gè)和4個(gè)的初等突變函數(shù)有以下7類：折迭型、尖點(diǎn)型、燕尾型、蝴蝶型、雙曲型、橢圓型、拋物型。針對(duì)不同系統(tǒng)，尤其是存在突變情況的系統(tǒng)，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確分析后，可以對(duì)狀態(tài)變量與控制變量的個(gè)數(shù)進(jìn)行確定，再次從以上7種初等突變函數(shù)中選擇一類適合的模型，從中總結(jié)該系統(tǒng)的演化特征。

突變理論的特性主要用來(lái)分析微分動(dòng)力學(xué)體系中狀態(tài)的跳躍變化，以及在光滑動(dòng)力學(xué)中平衡態(tài)的分歧問題。其特性體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

(1)突變性

對(duì)于Maxwell約定而言，系統(tǒng)總是轉(zhuǎn)移到使它的勢(shì)全局最小的平衡位置(即極小值中的最小值)，其勢(shì)的變化是連續(xù)的，但是導(dǎo)數(shù)變化是不連續(xù)的；對(duì)于理想延遲約定而言，系統(tǒng)在控制參數(shù)的變化時(shí)，由原來(lái)的平衡位置跳躍到局部極小或者全局極小位置，其勢(shì)的變化是不連續(xù)的。在交通系統(tǒng)中，勢(shì)函數(shù)的值隨著交通流量的增加而增加，若交通流量突然發(fā)生變化，超過突變臨界點(diǎn)，勢(shì)函數(shù)的數(shù)值會(huì)瞬間變小。

(2)不可達(dá)性

在系統(tǒng)中存在3種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)化，由穩(wěn)定平衡態(tài)—不穩(wěn)定平衡態(tài)—穩(wěn)定平衡態(tài)，系統(tǒng)從穩(wěn)定平衡態(tài)到達(dá)下一個(gè)穩(wěn)定平衡態(tài)的過程中直接跳躍了不穩(wěn)定平衡態(tài)，所以該不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)是系統(tǒng)不能達(dá)到的狀態(tài)。

(3)分歧性(發(fā)散性)

在系統(tǒng)中，狀態(tài)變量是隨著控制變量的變化而改變的。一般來(lái)說(shuō)，控制變量的改變只會(huì)引起狀態(tài)變量的微小變動(dòng)，但此微小變動(dòng)會(huì)使其處于突變的臨界位置來(lái)回?fù)u擺，則會(huì)導(dǎo)致極大改變。

(4)多模態(tài)性(雙模態(tài)性)

對(duì)于系統(tǒng)本身來(lái)說(shuō)，存在的狀態(tài)可能是2個(gè)，也可能是多個(gè)，所以在改變參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)才可能從一個(gè)穩(wěn)定位置躍遷到下一個(gè)穩(wěn)定位置，發(fā)生突變。在交通系統(tǒng)中，通暢和擁堵都是狀態(tài)的表現(xiàn)形式。

(5)滯后性

突變的發(fā)生是與控制變量的方向有關(guān)的。當(dāng)一個(gè)局部極小與另一個(gè)局部極小相互跳躍時(shí)，控制變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是不斷變化的，所以說(shuō)當(dāng)控制變量從不同方向進(jìn)行改變時(shí)，發(fā)生的突變狀況是有差異的。這種情況只存在于理想延遲約定，Maxwell約定中不存在滯后情況。

在選取模型進(jìn)行分析時(shí)，可以考慮系統(tǒng)中存在的狀態(tài)變量和控制變量的個(gè)數(shù)來(lái)建立合適的突變模型用于求解問題。假設(shè)系統(tǒng)的演化可以由一個(gè)狀態(tài)變量和2個(gè)控制變量來(lái)描述，并且有明顯的突變現(xiàn)象，則對(duì)平衡曲面的刻畫就有式(1)所示的形式。

x2+ux+v=0

(1)

由Siersma算法[6]可得，該系統(tǒng)平衡曲面方程可化為式(2)所示。

(2)

與折迭突變的平衡曲面為同一類型。

x2+v=0

(3)

由此可得，刻畫滿足式(1)的系統(tǒng)只需要1個(gè)控制變量。因此，描述上述2個(gè)控制變量和1個(gè)狀態(tài)變量系統(tǒng)的平衡曲面應(yīng)為式(4)所示。

4x3+2ux+v=0

(4)

在交通系統(tǒng)中，將對(duì)速度、流量、占有率3個(gè)變量進(jìn)行分析，因此，將速度作為狀態(tài)變量，流量、占有率作為控制變量，此時(shí)應(yīng)該選擇1個(gè)狀態(tài)變量和2個(gè)控制變量的尖點(diǎn)突變模型。

3基于尖點(diǎn)突變的交通狀態(tài)演化研究

3.1 基于尖點(diǎn)突變的交通狀態(tài)演化模型建立

尖點(diǎn)突變勢(shì)函數(shù)為：

F(x)=ax4+bαx2+cβx

(5)

對(duì)式(5)求導(dǎo)得到的曲面即為突變流形：

4ax3+2bαx2+cβ=0

(6)

12ax2+2bα=0

(7)

分叉集應(yīng)同時(shí)滿足突變流形方程與勢(shì)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)方程，即分叉集為突變流形的皺褶在α-β平面上的投影： 8bα3+27ac2β2=0

(8)

其中:

x——狀態(tài)變量：速度，km·h-1；

α——控制變量：流量，pcu ·h-1·lane-1；

β——狀態(tài)變量：車道占有率，%；

a、b、c——參數(shù)。

3.2 基于尖點(diǎn)突變的交通狀態(tài)演化模型求解

為滿足Maxwell約定，尖點(diǎn)突變理論應(yīng)用于交通流3個(gè)參數(shù)的分析中需進(jìn)行一些變換。初次變換為坐標(biāo)平移，經(jīng)過坐標(biāo)平移之后，α-β平面中的α軸與Maxwell約定中的垂直面重合并作為區(qū)分交通流中擁擠狀態(tài)與非擁擠狀態(tài)的界限，滿足分叉的特性(如圖4所示)。

圖4 尖點(diǎn)突變分叉集

(1)坐標(biāo)平移

(9)

其中：

xm——最大流量時(shí)最大車道占有率對(duì)應(yīng)的速度，km·h-1；

αm——最大流量，pcu ·h-1·lane-1；

βm——最大流量對(duì)應(yīng)最大車道占有率，%

(2)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

坐標(biāo)平移后，需要對(duì)α軸和β軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，與Maxwell約定的垂直面重疊，因此可將α軸定義為區(qū)分非擁擠和擁擠狀態(tài)的界限，即：

(10)

其中：

m——圖形因子：是αm與βm的比值；

θ——旋轉(zhuǎn)角度，°。

經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，方程可寫為：

(11)

4 城市交通狀態(tài)演化分析

突變理論的應(yīng)用最早的特征是Zeeman提出的“狗受到威脅時(shí)的反應(yīng)”。“狗受到威脅時(shí)的反應(yīng)”被假設(shè)為一個(gè)系統(tǒng)(比如一條狗)在遇到不同因素的情況下做出的不同反應(yīng)(比如狗的咆哮、追趕)。將狗的反應(yīng)定義為狀態(tài)因素，憤怒和恐懼定義為控制因素。圖5表示狗由正常到受到威脅時(shí)的若干種行為可能。

圖5 狗受到威脅時(shí)的反應(yīng)

路徑L1：此路徑表示在憤怒和恐懼2種控制因素同時(shí)增加時(shí)，可能會(huì)造成的2種不同結(jié)果分別是畏縮不前(路徑L2)和產(chǎn)生攻擊行為(路徑L3)。

路徑L4：隨著憤怒增加，狗的回避突然轉(zhuǎn)變?yōu)楣?。?dāng)狗受到外界刺激而被激怒時(shí)，通常會(huì)保持一段時(shí)間的畏縮不前，而后突然變?yōu)楣魻顟B(tài)。一旦出于攻擊狀態(tài)，即使憤怒減小也會(huì)維持現(xiàn)狀。

路徑L5：此時(shí)狗處于攻擊狀態(tài)，隨著恐懼的增加，攻擊狀態(tài)會(huì)突變?yōu)槲房s不前。一旦處于畏縮不前的狀態(tài)，即使恐懼減少也會(huì)維持現(xiàn)狀。

“狗受到威脅時(shí)的反應(yīng)”與城市交通擁堵的演化相似(如圖6所示)。在城市道路，伴隨上班高峰期的到來(lái)，車量逐漸增加，相應(yīng)路段的車輛占有率也會(huì)隨之增加。與此同時(shí)，交通路徑會(huì)按照路徑L4-L5從暢通狀態(tài)過渡到擁堵狀態(tài)；若當(dāng)交通流處于暢通平衡態(tài)，突然有交通事故的發(fā)生，則會(huì)導(dǎo)致路段占有率激增，路段通行能力大大減小，流量減小，此時(shí)交通流會(huì)按照L3-L2從暢通狀態(tài)突變?yōu)閾矶聽顟B(tài)。為預(yù)防城市道路交通擁堵的發(fā)生，提出以下建議與措施：(1)對(duì)城市道路的功能和配套設(shè)施采取科學(xué)的評(píng)估方法，使其符合當(dāng)前城市道路系統(tǒng)的要求；(2)對(duì)道路等級(jí)進(jìn)行重新規(guī)劃，根據(jù)周邊配套設(shè)施配置合理的道路等級(jí)比重，做到運(yùn)行效率高又考慮到交通流的分流效果，最大限度的發(fā)揮道路資源；(3)通過合理的渠化設(shè)計(jì)在原有道路條件的基礎(chǔ)上增加道路通行能力；(4)在有效避免交通事故發(fā)生的前提下，也可提高瓶頸路口的通行能力，緩解交通擁堵的傳播。

圖6 城市交通流狀態(tài)演化

5結(jié)論

(1)闡述了道路系統(tǒng)在運(yùn)行過程中具有的基本特征和運(yùn)行規(guī)律，提出了基于尖點(diǎn)突變的城市交通狀態(tài)演化模型。通過對(duì)勢(shì)函數(shù)和分叉集的討論分析，對(duì)交通狀態(tài)進(jìn)行劃分。

(2)結(jié)合“狗受到威脅時(shí)的反應(yīng)”的分析對(duì)交通狀態(tài)的演化過程進(jìn)行描述。發(fā)現(xiàn)城市道路交通狀態(tài)會(huì)存在不穩(wěn)定的突變特性。

(3)城市道路發(fā)生交通擁堵現(xiàn)象時(shí)，為更好地實(shí)施交通控制和擁堵疏導(dǎo)應(yīng)從多角度出發(fā)，考慮交通流的空間特性，利用尖點(diǎn)突變曲面判斷城市道路交通狀態(tài)突變的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，根據(jù)擁堵形成的消散特征實(shí)施有效、合理的疏導(dǎo)措施。