數(shù)控機(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點的選擇

劉昀晟，苗恩銘，張明德，馮 定，李建剛

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽合肥230009；2. 重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400054；3. 長江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北荊州434023；4. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳），廣東深圳518055）

1 引 言

熱誤差對數(shù)控機(jī)床尤其是高精度數(shù)控機(jī)床的精度影響嚴(yán)重，占總誤差的40%～70%［2-3］。降低機(jī)床熱誤差對加工精度的負(fù)面影響成為研究熱點。目前，減小熱誤差影響的方法主要有：結(jié)構(gòu)的改進(jìn)，新材料的使用，溫度的控制、建模并以軟件方式補償熱誤差等。

以有限元法為代表的數(shù)值模擬方法被廣泛應(yīng)用于機(jī)床結(jié)構(gòu)的熱變形建模。鄧小雷等人［4］對數(shù)控機(jī)床主軸-立柱系統(tǒng)進(jìn)行了有限元分析，建立了主軸-立柱系統(tǒng)耦合分析模型來獲取其熱態(tài)特性。Li 等人［5］研究了熱誤差和力誘導(dǎo)誤差對滾齒機(jī)加工精度的耦合影響，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了數(shù)值模擬，揭示了組件和工作臺的溫度分布以及相應(yīng)的位移誤差。該方法可以在設(shè)計階段完成機(jī)床整體或關(guān)鍵部件的尺寸優(yōu)化，但是更適用于新的機(jī)床產(chǎn)品，因計算速率等問題，較難對現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行在線實時熱誤差補償。

Ge 等人［6］通過使用具有負(fù)線性膨脹系數(shù)的碳纖維增強塑料（Carbon Fiber Reinforced Plastic，CFRP）來補償金屬的熱膨脹，采用結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計方法設(shè)計了熱變形補償系統(tǒng)中的傳熱通道，使熱量均勻分布。Grama 等人［7］從溫度控制的角度提出了冷卻器觸發(fā)模型，通過動態(tài)控制冷卻器壓縮機(jī)的開關(guān)頻率和開關(guān)“開啟”時間，使散熱與機(jī)床產(chǎn)生的熱量相一致，大大降低了機(jī)床的熱誤差。然而，新材料的使用和溫度控制這兩種方法的補償成本很高，而且屬于在機(jī)床設(shè)計階段的優(yōu)化方法，不適合對現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行熱變形補償。

通過建模以軟件方式補償熱誤差是提升數(shù)控機(jī)床精度的重要方法［8-9］。該方法在分析機(jī)床熱行為的機(jī)理上，研究熱誤差這一輸出量和以溫度測點溫升為主的輸入量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，以軟件的方式補償機(jī)床熱誤差，無需改變現(xiàn)有機(jī)床的硬件，兼顧了減小熱誤差影響的功能性和低成本使用的經(jīng)濟(jì)性，而且很容易應(yīng)用在現(xiàn)有機(jī)床上。建立預(yù)測精度高、穩(wěn)健性強的機(jī)床熱誤差補償模型是以軟件方式補償熱誤差的最終目的。穩(wěn)健性是指在復(fù)雜工況下維持準(zhǔn)確結(jié)果的特性［1］。以軟件方式建立穩(wěn)健性熱誤差補償模型需要解決兩個重點問題：（1）選擇合適的溫度敏感點；（2）選擇合適的建模算法。

合適的溫度敏感點選擇是建立穩(wěn)健性熱誤差補償模型的關(guān)鍵［9-10］。要建立預(yù)測精高、穩(wěn)健性強的機(jī)床熱誤差補償模型，參與建模的溫度敏感點必須能最大限度地反映溫度場的分布特性，同時還要降低彼此之間共線性的干擾［11-12］。在選出合適的溫度敏感點的基礎(chǔ)之上，再對建模算法進(jìn)行選擇。最小化殘差是選擇建模算法的核心思想，目標(biāo)是模型帶入建模數(shù)據(jù)的擬合誤差最小。根據(jù)此思想，多元回歸、嶺回歸、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)等均為常用的熱誤差建模算法［12-18］。

針對溫度敏感點選擇，目前高斯積分、灰色系統(tǒng)理論、模糊聚類方法和有限元仿真技術(shù)等被廣泛運用于溫度敏感點的選擇［12-21］。這些方法多以分類選優(yōu)思想為指導(dǎo)進(jìn)行溫度敏感點的選擇，目的是減小溫度敏感點之間的共線性，提升建模算法的穩(wěn)健性。其中，模糊聚類和灰色關(guān)聯(lián)在敏感點分類和優(yōu)化中具有優(yōu)勢，該方法被廣泛研究［14，18，22-23］。以模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度選取溫度敏感點策略［14］為例，該策略選出的溫度敏感點能有效降低溫度敏感點之間的共線性［9］，大幅提升機(jī)床熱誤差補償模型的穩(wěn)健性，但也存在溫度敏感點變動的問題，而溫度敏感點的變動會造成補償模型精度的損失［10，12］。本文針對這一問題，從造成溫度敏感點變動性的機(jī)理出發(fā)，解釋了溫度敏感點變動的產(chǎn)生原因，并在此基礎(chǔ)上提出了一種穩(wěn)健的溫度敏感點選擇方法，最后通過全年12 批次的實驗數(shù)據(jù)驗證了這一方法的有效性。分別使用穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法和非穩(wěn)健性選擇方法建立了兩個熱誤差補償模型，分析發(fā)現(xiàn)，因未考慮溫度敏感點變動而建立的模型，其擬合精度、預(yù)測精度及長期預(yù)測穩(wěn)健性會大幅降低?；跈C(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法的熱誤差補償模型不僅可以避免模型精度的穩(wěn)健性難以滿足工況需求，而且可以實現(xiàn)用5 個溫度傳感器就將模型全年的預(yù)測精度均值控制為5.18 μm，全年的預(yù)測精度的波動性可以控制為2.57 μm?；跈C(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法建立的模型具有優(yōu)秀的預(yù)測精度和長期預(yù)測穩(wěn)健性；機(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法提升了傳統(tǒng)的“模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度”方法的適用范圍，具有重大的理論價值和工程應(yīng)用價值。

2 實 驗

機(jī)床是一個復(fù)雜的整體區(qū)域，熱對機(jī)床的整體影響在加工過程中耦合表現(xiàn)為機(jī)床主軸相對于被加工工件的空間偏移。對于三軸C 型立式數(shù)控機(jī)床（以下簡稱機(jī)床）來說，由于機(jī)床整體結(jié)構(gòu)設(shè)計關(guān)于YZ平面對稱，主軸X向受熱較均勻，熱誤差最小，Y向次之，Z向熱誤差最大。如圖1所示，主軸Z向熱誤差可達(dá)X向熱誤差的8 倍左右、可達(dá)Y向熱誤差的2 倍左右，在不同批次實驗中所表現(xiàn)的熱變形量不同，但是熱變形趨勢類似。因此，本文針對變化最大機(jī)床主軸Z向熱誤差，通過全年的跟蹤實驗，提出的方法同樣適用于對主軸Y向和X向熱誤差的補償。

在不同轉(zhuǎn)速、室內(nèi)無空調(diào)的條件下共做了12 批次實驗，熱誤差的測量采用國際標(biāo)準(zhǔn)《機(jī)床檢驗通則第3 部分：熱效應(yīng)的確定》（ISO 230-3：2001 IDT）［24］提出的五點測量法。依據(jù)本團(tuán)隊十余年的連續(xù)性研究和國際上其他學(xué)者的相關(guān)研究［13-14，25-26］，在機(jī)床關(guān)鍵部位布置了10 個溫度傳感器，熱誤差和溫度數(shù)據(jù)采用同步采集的方式。

圖1 三軸C 型立式數(shù)控機(jī)床的熱誤差Fig.1 Thermal errors of three-axis C-type vertical CNC machine tool

2.1 熱誤差測量裝置

熱誤差測量裝置參照國際標(biāo)準(zhǔn)《機(jī)床檢驗通則第3 部分：熱效應(yīng)的確定》（ISO 230-3：2001 IDT）［24］提出的五點測量法原理進(jìn)行設(shè)計。由于文章針對機(jī)床主軸Z向熱誤差進(jìn)行研究，故未使用測量X和Y向的位移傳感器。測量裝置如圖2所示。

圖2 中，檢驗棒材質(zhì)為金屬，固定于機(jī)床的主軸上；夾具材質(zhì)與檢驗棒相同，固定在工作臺上；電渦流微位移傳感器的探頭型號為CWY-DOTR-810803-00-04-50-01，前置器型號為CWYDO-TR-810800-50-01-02-04，測量分辨力可達(dá)亞微米，精度為±1 μm，它固定在夾具工具上。位移傳感器用于測量檢驗棒在Z方向的位移，以測量熱誤差。

圖2 熱誤差測量裝置圖Fig. 2 Diagram of thermal error measuring devices

2.2 溫度傳感器安放位置

在影響機(jī)床主軸Z向熱誤差的關(guān)鍵部位一共布置了10 個溫度傳感器，記為T1～T10，目的是對影響機(jī)床主軸Z向熱變形的機(jī)床主要熱源附近的溫度進(jìn)行測量。 溫度傳感器型號為DS18B20 型數(shù)字溫度傳感器，測溫范圍在-55～125 ℃，對溫度的分辨率為0.062 5 ℃，測溫精度可達(dá)±0.5 ℃（-10～85 ℃），采用磁吸附方式安放在機(jī)床上。溫度傳感器在機(jī)床上的安放位置示意圖和實物圖如圖3～圖4 所示，具體安裝位置如表1 所示。表1 中，T1～T5溫度傳感器的具體安放位置在圖4 中用箭頭標(biāo)出。

圖3 溫度傳感器安放位置示意圖Fig.3 Schematic diagram of temperature sensor installation positions

圖4 溫度傳感器安放位置實物圖Fig.4 Photo of temperature sensor installation positions

表1 溫度傳感器安放位置Tab.1 Installation positions of temperature sensors

2.3 熱誤差的測量過程

熱誤差的測量步驟如下：

步驟1：將位移傳感器安裝在夾具上，夾具裝夾于主軸正下方，主軸下壓至設(shè)定位置觸發(fā)測量信號，同時測量并記錄機(jī)床主軸Z向熱誤差初值和溫度值。后續(xù)測量得到的熱誤差值為減去熱誤差初值的變動值。

步驟2：主軸上移，工作臺不動，主軸以指定參數(shù)空轉(zhuǎn)3 min。

步驟3：主軸停轉(zhuǎn)，下壓至設(shè)定位置觸發(fā)測量信號，同時測量并記錄主軸Z向熱誤差值和溫度值。

步驟4：重復(fù)步驟2 和步驟3 直至機(jī)床達(dá)到熱穩(wěn)態(tài)，結(jié)束測定。

2.4 實驗數(shù)據(jù)

以Leaderway-V450 數(shù)控加工中心的主軸Z向熱誤差為研究對象。實驗采用工作臺不動，主軸空轉(zhuǎn)的方式，每3 min 測量一次實驗數(shù)據(jù)，每次實驗基本持續(xù)4 h 以上，得到了全年實驗數(shù)據(jù)共12 批次。12 批次數(shù)據(jù)的實驗條件按環(huán)境溫度升序排列，具體參數(shù)如表2 所示。將12 批次數(shù)據(jù)中機(jī)床主軸Z向熱變形繪制如圖5 所示。

表2 12 批次實驗數(shù)據(jù)的實驗條件Tab.2 Experimental conditions of 12 batches of experimental data

3 溫度敏感點變動性機(jī)理分析

采用較為成熟的“模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度”進(jìn)行溫度敏感點的選擇，并針對其變動機(jī)理進(jìn)行分析。

3.1 模糊聚類

模糊聚類就是用模糊數(shù)學(xué)的理論去研究聚類問題，在機(jī)床熱誤差建模技術(shù)中，模糊聚類算法用于將相似的溫度測點聚為一類，為進(jìn)一步利用灰色關(guān)聯(lián)度篩選參與建模的溫度敏感點做準(zhǔn)備。其具體步驟為：

（1）建立模糊相似矩陣：將溫度測點之間的相似程度轉(zhuǎn)換為0～1 之間的模糊關(guān)系。

設(shè)xi(i=1，2，…，m)為數(shù)控機(jī)床m個溫度變量數(shù)據(jù)，xi(k)(k=1，2，…，n)為第i個溫度變量的第k個測量值。通過計算相關(guān)系數(shù)rij(1≤i，j≤m)來確定模糊相似矩陣R=(rij)m×m。

（2）建立模糊等價矩陣：使得溫度測點之間的模糊關(guān)系具有傳遞性，否則無法進(jìn)行聚類。

重新定義乘法和加法運算，認(rèn)為：A×B=min(A，B)；A+B=max(A，B)。

在此基礎(chǔ)上采用平方法經(jīng)過有限次運算求出R的傳遞閉包（包含R的最小傳遞模糊關(guān)系的矩陣稱為R的傳遞閉包），R^ 就是一個模糊等價矩陣。

（3）判定系數(shù)分類：將模糊關(guān)系大于某一閾值的溫度測點歸為一類，閾值稱為判定系數(shù)。

3.2 灰色關(guān)聯(lián)度分析

灰色關(guān)聯(lián)度分析是量化被分析數(shù)據(jù)序列之間的聯(lián)系緊密程度的一種方法?；疑P(guān)聯(lián)度計算值越大，則相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之越小。

圖5 12 批次數(shù)據(jù)中機(jī)床主軸Z 向熱變形Fig.5 Thermal deformation data of 12 batches of machine tool spindle in Z-direction

本文采用鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度分析方法，計算公式為［9］：

其中：y代表熱誤差；xi代表為第i個溫度測點觀測值，i=1…m，m為溫度測點個數(shù)；y(k)，xi(k)分別代表熱誤差的第k個觀測值和第i個溫度測點的第k個觀測值；γ(y，xi)為熱誤差和第i個溫度測點之間的灰色關(guān)聯(lián)度；ρ為分辨系數(shù)，在[0，1] 之間取值，一般取ρ=0.5；Δy(k)，xi(k)=|y(k)-xi(k)|，為熱誤差序列與溫度傳感器測得數(shù)據(jù)序列的絕對差值，形成的絕對差值矩陣為(Δy(k)，x1(k)…Δy(k)，xi(k)…Δy(k)，xm(k))；Δmin和Δmax為這個矩陣中的最小數(shù)和最大數(shù)。

3.3 溫度敏感點選擇

采用模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度方法從12 批次數(shù)據(jù)中選取出的溫度敏感點如表3 所示。

表3 溫度敏感點選擇情況Tab.3 Selection results of temperature-sensitive points for 12 batches of data

由表3 可知，12 批次數(shù)據(jù)選出的溫度敏感點大部分為T1，T7，T10，這3 個測點位置發(fā)熱量較大且在各類中與機(jī)床熱變形關(guān)聯(lián)權(quán)重最大，但也出現(xiàn)了選擇T8，T5的情況。顯然，采用模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度方法選擇出的溫度敏感點具有變動性。當(dāng)某個溫度測點受到干擾時，可能會造成誤選溫度敏感點的現(xiàn)象。為解決選擇的溫度敏感點變動性缺陷，需要對其機(jī)理進(jìn)行研究分析。

3.4 溫度敏感點變動性機(jī)理

模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度選擇溫度敏感點的指導(dǎo)思想是分類選優(yōu)。分類后溫度測點與熱誤差的灰色關(guān)聯(lián)度的變動是造成溫度敏感點變動的主要原因?；疑P(guān)聯(lián)度公式為：

將公式分為3 個部分當(dāng)溫度敏感點選定后，第①部分和第③部分皆為定值。第②部分的實質(zhì)為熱誤差和第i個溫度測點在第k個觀測值的差的絕對值，第2 部分的值越小，r(y(k)，xi(k))的值越大，表明溫度測點和熱誤差變化曲線越接近，即灰色關(guān)聯(lián)通過變量變化曲線的幾何相似程度來判斷溫度測點和熱誤差之間的相關(guān)性。這會造成某個溫度測點或者熱誤差的測量意外受到擾動，如：溫度傳感器、位移傳感器電平短時失穩(wěn)等。干擾造成的溫升曲線波動或熱誤差測量曲線波動會使得該測點與熱誤差之間的灰色關(guān)聯(lián)度的值下降。

如圖6 所示，（a）圖中1 號溫度傳感器測得的溫升曲線與熱誤差測量曲線的相關(guān)性比（c）圖中2 號溫度傳感器測得的溫升曲線與熱誤差測量曲線的相關(guān)性更高，但由于意外的測量擾動使得（a）圖中1 號溫度傳感器的溫升曲線產(chǎn)生波動，變成了（b）圖中所示的1 號溫度傳感器溫升曲線，由此導(dǎo)致1 號溫度傳感器溫升曲線與熱誤差變化曲線的幾何相似程度降低，就會造成使用灰色關(guān)聯(lián)度選取溫度敏感點時，會錯誤地選出（c）圖中的2號溫度測點作為溫度敏感點。

由溫度敏感點變動性的機(jī)理分析可知，在模糊聚類過后的類中選優(yōu)過程中，使用灰色關(guān)聯(lián)度算法選取溫度敏感點不具備足夠的穩(wěn)健性。當(dāng)溫度傳感器或熱誤差測量傳感器受到偶然的擾動致使溫升曲線或熱誤差測量曲線產(chǎn)生波動時，由于是通過變量變化曲線的幾何相似程度來判斷溫度測點和熱誤差之間的相關(guān)性，灰色關(guān)聯(lián)度有時不能選取出每類中與熱誤差相關(guān)性最大的溫度測點。

圖6 灰色關(guān)聯(lián)度原理造成溫度敏感點選擇波動示意圖Fig.6 Schematic diagram of temperature sensitive point selection fluctuation caused by grey correlation degree principle

本文針對造成變動性缺陷的機(jī)理，對溫度敏感點選擇情況進(jìn)行了進(jìn)一步的分析，提出了穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法。該方法解決了灰色關(guān)聯(lián)度誤判溫度測點的缺陷，提升了溫度敏感點選擇的科學(xué)性和穩(wěn)健性。

4 穩(wěn)健性溫度敏感點選擇及熱誤差模型建立

4.1 穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法

12 批次溫度傳感器數(shù)據(jù)通過模糊聚類得到的聚類結(jié)果如表4 所示。由于聚類結(jié)果中第二類皆為T7，第三類皆為T10，限于篇幅，將之省略，僅展示第一類的分類情況。第一類中的測點位置順序按由式（6）計算出來的灰色關(guān)聯(lián)度降序排列。

表4 12 批次溫度傳感器數(shù)據(jù)模糊聚類結(jié)果（第一類）Tab.4 Fuzzy clustering results of 12 batches of temperature sensor data（First class）

從表4 中可以看出，雖然第一類中各溫度測點的灰色關(guān)聯(lián)度排序出現(xiàn)了變動性，但是排名前3 的測點始終是T1，T5和T8。針對造成變動性缺陷的機(jī)理，基于增強溫度測點選擇穩(wěn)健性和減小溫度測點之間共線性影響的思想，提出擴(kuò)大溫度敏感點選擇范圍的穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法，以提高代入模型的溫度敏感點選擇穩(wěn)健性，即選擇第一類中灰色關(guān)聯(lián)度排名前三的測點和第二類、第三類中排名第一的測點作為溫度敏感點。

雖然消除誤差的手段有很多，但重要的是了解誤差產(chǎn)生的原因，并有針對性地進(jìn)行解決。穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法很明顯已經(jīng)消除了“模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度”方法中由于灰色關(guān)聯(lián)度原理缺陷造成的溫度敏感點選擇變動性。為驗證穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法選擇出的溫度敏感點的正確性，這里采用多元線性回歸算法分別以T1，T5，T8，T7，T10和T8，T7，T10的數(shù)據(jù)為自變量建立機(jī)床熱誤差補償預(yù)測模型。

4.2 熱誤差模型及精度分析

4.2.1 兩種模型的建立

將穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法選擇的溫度敏感點T1，T5，T8，T7，T10帶入多元線性回歸算法進(jìn)行建模，結(jié)合全年12 批次數(shù)據(jù)建立了模型RM1～R-M12。由于篇幅關(guān)系，僅列舉部分模型如下：

R-M1～R-M12 相互預(yù)測的預(yù)殘差標(biāo)準(zhǔn)差如圖7 所示，其中擬合看成模型對自身的預(yù)測。

預(yù)測殘差標(biāo)準(zhǔn)差用于表示預(yù)測精度，其計算公式為：

式中：Ci為預(yù)測模型對第i個熱變形測量數(shù)據(jù)的預(yù)測殘差，n為一批次數(shù)據(jù)量大小。

圖7 R-M1～R-M12 相互預(yù)測的預(yù)測殘差標(biāo)準(zhǔn)差Fig.7 Prediction residual standard deviation of R-M1-R-M12 mutual prediction

從圖7 可以看出，基于T1，T5，T8，T7，T10代入多元線性回歸算法建立的模型的預(yù)測精度良好；在對第10 批次和第12 批次數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測時，由于第10 批次和第12 批次數(shù)據(jù)遭受了干擾，預(yù)測精度出現(xiàn)了一定幅度的波動?？傮w上看，模型的預(yù)測精度基本保持在10 μm 以內(nèi)。

將未采用穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法而誤選出的溫度敏感點T8，T7，T10帶入多元線性回歸算法進(jìn)行建模，結(jié)合全年12 批次數(shù)據(jù)建立了模型E-M1～E-M12。由于篇幅關(guān)系，僅列舉部分模型如下：

E-M1：y=2.20+5.25x1-0.09x2+0.47x3，

E-M12：y=2.30+5.78x1+0.17x2-0.21x3.

E-M1～E-M12 相互預(yù)測的預(yù)測殘差標(biāo)準(zhǔn)差如圖8 所示，其中擬合看成模型對自身的預(yù)測。

從圖8 中可以看出，由于T8不是穩(wěn)健的與熱誤差相關(guān)性最大的溫度敏感點，擾動較大。T8，T7，T10代入多元線性回歸算法建立的模型與穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法選擇的T1，T5，T8，T7，T10代入多元線性回歸算法建立的模型相比，預(yù)測精度和預(yù)測精度的穩(wěn)健性均大幅下降。

4.2.2 兩種模型的精度分析

圖8 E-M1～E-M12 相互預(yù)測的預(yù)測殘差標(biāo)準(zhǔn)差Fig.8 Prediction residual standard deviation of E-M1～E-M12 mutual prediction

對全年12 批次實驗數(shù)據(jù)采用穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法選擇的溫度敏感點T1，T5，T8，T7，T10帶入多元線性回歸算法所建立模型和未采用穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法選出的溫度敏感點T8，T7，T10帶入多元線性回歸算法所建立模型進(jìn)行精度分析，結(jié)果如圖9～圖10 所示。其中，S為模型的擬合標(biāo)準(zhǔn)差，用來表征模型的擬合精度，其值越小，說明模型的擬合精度越高；Sm為模型對其他批次數(shù)據(jù)的預(yù)測殘差標(biāo)準(zhǔn)差均值，用來表征模型的預(yù)測精度，其值越小，說明模型的預(yù)測精度越高；Sd為模型對其他批次數(shù)據(jù)預(yù)測殘差標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差，用來表征模型預(yù)測精度的離散程度，其值越小，說明模型的穩(wěn)健性越高。

Sm和Sd的計算公式為如下：

式中：Sri為模型對其他批次數(shù)據(jù)的預(yù)測殘差標(biāo)準(zhǔn)差；n=11，為預(yù)測數(shù)據(jù)批次數(shù)。

圖9 R-M1～R-M12 精度分析Fig.9 Accuracy analysis of R-M1-R-M12 models

從圖9 和圖10 中可以看出，使用穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法建立的模型對于全年12 批次數(shù)據(jù)的擬合精度均值（2.85 μm）、預(yù)測精度均值（5.18 μm）和長期預(yù)測穩(wěn)健性均值（2.57 μm），對比未使用穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法建立的模型的擬合精度均值（6.48 μm）、預(yù)測精度均值（9.55 μm）和長期預(yù)測穩(wěn)健性均值（3.55 μm），穩(wěn)健性分別提升了56.0%，45.8% 和27.6%。溫度敏感點選擇的波動性對于數(shù)控機(jī)床熱誤差模型的精度影響很大。由于溫度敏感點波動而代入錯誤的溫度敏感點建立模型，會造成模型擬合精度、預(yù)測精度和長期預(yù)測穩(wěn)健性的大幅損失?；跈C(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法的熱誤差補償模型不僅可以避免模型穩(wěn)健性難以滿足工況需求，而且可以避免帶入錯誤溫度敏感點建模，用5 個溫度傳感器就將模型全年的預(yù)測精度均值控制在5.18 μm，預(yù)測精度波動控制在2.57 μm，模型具有優(yōu)秀的預(yù)測精度和長期預(yù)測穩(wěn)健性。

圖10 E-M1～E-M12 精度分析Fig.10 Accuracy analysis of E-M1～E-M12 models

5 結(jié) 論

建立預(yù)測精度高、穩(wěn)健性強的機(jī)床熱誤差補償模型是研究機(jī)床熱誤差模型的最終目的，本文通過對較為成熟的模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度方法進(jìn)行深入研究，在充分分析溫度敏感點變動性機(jī)理的基礎(chǔ)上提出穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法，提升了傳統(tǒng)方法的適用范圍，運用該方法在全年時間內(nèi)實現(xiàn)了良好的補償效果，為研究如何選擇穩(wěn)健的溫度敏感點來建立機(jī)床熱誤差補償模型開拓了新的思路。

溫度敏感點選擇的波動性對于數(shù)控機(jī)床熱誤差模型的精度影響很大。本文根據(jù)造成變動性缺陷的機(jī)理，提出擴(kuò)大溫度敏感點的選擇范圍以提高代入模型的溫度敏感點選擇穩(wěn)健性的溫度敏感點選擇方法。并通過全年12 批次實驗數(shù)據(jù)驗證了這一方法消除溫度敏感點選擇變動的有效性和所選出溫度敏感點的正確性?；跈C(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法建立的熱誤差補償模型，在數(shù)控機(jī)床上根據(jù)全年實驗驗證應(yīng)用，結(jié)果顯示：使用機(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法建立的熱誤差補償模型不僅可以避免模型精度的穩(wěn)健性難以滿足工況需求，而且可以避免帶入錯誤溫度敏感點建模，用5 個溫度傳感器將模型全年的預(yù)測精度均值控制在5.18 μm，全年的預(yù)測精度的波動控制在2.57 μm。該模型具有優(yōu)秀的預(yù)測精度和長期預(yù)測穩(wěn)健性，機(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點選擇方法具有重大的理論價值和工程應(yīng)用價值。