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    分?jǐn)?shù)階Modified Equal Width(MEW)方程的精確解

    2021-07-02 08:13:56
    焦作大學(xué)學(xué)報(bào) 2021年2期
    關(guān)鍵詞:整數(shù)導(dǎo)數(shù)青島

    王 丹

    (青島理工大學(xué)琴島學(xué)院,山東 青島 266106)

    分?jǐn)?shù)階微分方程是對(duì)傳統(tǒng)整數(shù)階微分方程的推廣,在很多領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用,其精確解的研究是海洋動(dòng)力學(xué)﹑物理學(xué)﹑光學(xué)及工程學(xué)等諸多學(xué)科領(lǐng)域的一項(xiàng)重要任務(wù)。鑒于非線性分?jǐn)?shù)階微分方程精確解的重要性,構(gòu)造非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解的很多有效的方法應(yīng)運(yùn)而生,如反散射法[1]﹑Bǎ cklund變換法[2-3]﹑Darboux變換法[4]﹑Tanh函數(shù)法[5-9]及展開法等。

    R.Khalil[11]等人給出了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的新的定義,本文在此定義的基礎(chǔ)上研究了分?jǐn)?shù)階MEW方程的精確解。

    1.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

    2.分?jǐn)?shù)階MEW方程

    Morrison[12]等人將如下形式的整數(shù)階微分方程

    命名為equal width方程(EWE),該方程是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)物理方程,其解析解引起了很多學(xué)者的關(guān)注,到目前為止,已有大量的方法如:B樣條曲線法[13]﹑基于無(wú)網(wǎng)格核法[14]等有效的方法來(lái)求解。本文將研究分?jǐn)?shù)階modified equal width(MEW)方程:

    對(duì)于方程(8),對(duì)其積分一次,并令積分常數(shù)為零,則得如下方程:

    3.分?jǐn)?shù)階MEW方程的精確解

    將(12)帶入到方程(10)中,并結(jié)合方程(11)的解,我們可以得到方程(6)的解析孤波解如下:

    4.結(jié)論

    本文通過(guò)使用變換和改進(jìn)的展開法,借助符號(hào)計(jì)算軟件求得了時(shí)空分?jǐn)?shù)階MEW方程的暗波解﹑周期解及其他形式的精確解,這是以往雙曲正切函數(shù)有理展開法所不能的。這說(shuō)明該方法在求解非線性分?jǐn)?shù)階微分方程是有效的,可以用來(lái)解決更廣范的非線性偏微分方程的精確解。

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