小行星復雜形貌自適應附著軌跡動態(tài)規(guī)劃方法

葛丹桐，朱圣英

（1.北京理工大學 深空探測技術(shù)研究所，北京 100081；2.深空自主導航與控制工信部重點實驗室，北京 100081；3.飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081）

引 言

小行星具有極高的科學探索價值，通過研究與探索小行星，人類可進一步開發(fā)與利用太空資源，發(fā)展并驗證小行星防御技術(shù)。近兩年，日本“隼鳥2號”（Hayabusa 2）與美國“奧西里斯–雷克斯”（Origins Spectral Interpretation Resource Identification Security Regolith Explorer，OSIRIS-REx）任務分別對一顆C類小行星與一顆B類小行星開展了采樣返回探測[1-2]。其中Hayabusa 2已完成對小行星“龍宮”（Ryugu）的采樣任務，并于2020年底將樣品送回地球；OSIRIS-REx于2020年10月在小行星“貝努”（ Bennu）表面實現(xiàn)首次附著采樣，目前正在返回地球途中。

在小行星探測任務中，目標形貌復雜多樣，表面碎石、陡坡、凸包、隕石坑等障礙對探測器附著安全帶來挑戰(zhàn)[3-5]。同時，受動力學建模誤差、星上導航控制誤差以及太陽輻射、第三天體引力等環(huán)境擾動影響，探測器狀態(tài)存在不確定性[6-7]。在日本的“隼鳥號”（Hayabusa）任務中，當探測器第一次嘗試在目標小行星表面附著時，在其附近檢測到未知障礙并發(fā)出緊急上升指令，而由于存在較大姿態(tài)測量誤差，該指令并未執(zhí)行，導致探測器在目標表面發(fā)生了多次彈跳[8]，對任務安全構(gòu)成了威脅。因此，為了實現(xiàn)探測器在復雜形貌環(huán)境中的安全附著，有必要針對附著環(huán)境與探測器狀態(tài)不確定下的軌跡規(guī)劃方法展開研究，通過動態(tài)評估碰撞威脅并實時調(diào)整下降軌跡，提高小行星附著任務安全性。

現(xiàn)有研究中，常將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題求解[9-10]。然而受星上計算能力制約，最優(yōu)軌跡一般需提前在地面計算與存儲，并在實際下降過程中采用比例積分微分（Proportional Integral Derivative，PID）控制、滑?？刂?、自適應控制等方法[11-12]對標稱軌跡進行跟蹤，驅(qū)動探測器到達目標著陸點附近。此類方法缺乏一定靈活性，難以根據(jù)環(huán)境實時檢測結(jié)果對下降軌跡進行調(diào)整，且一旦實際動力學建模誤差與環(huán)境干擾超出預期，系統(tǒng)狀態(tài)有違背約束的風險[13]，從而可能導致任務失敗。

針對動態(tài)環(huán)境中的路徑規(guī)劃問題，文獻[14]在經(jīng)典A*算法基礎上提出D*算法，即動態(tài)A*算法。在已有路徑點序列上，結(jié)合環(huán)境地圖變化更新局部代價函數(shù)，并對局部路徑點進行重規(guī)劃，避免重新規(guī)劃整條路徑占用過多星上資源，提高規(guī)劃效率。隨后，進一步發(fā)展出LPA*、D* Lite、D*PO等算法[15-16]，其中D*PO算法引入多目標優(yōu)化理論，通過求解帕累托最優(yōu)路徑點，可實現(xiàn)多優(yōu)化目標下的路徑動態(tài)規(guī)劃。然而，與地面機器人路徑規(guī)劃相比，小行星附著任務中探測器運動受動力學、推力幅值、下降速度、末端狀態(tài)等約束[17-19]，且在環(huán)境擾動與狀態(tài)不確定性的共同影響下，探測器實際下降過程難以嚴格按照預設軌跡運動[20]。為了避免跟蹤過程中探測器違背工程約束，需要在規(guī)劃軌跡時考慮狀態(tài)與環(huán)境的不確定性影響，設計可安全跟蹤的路徑點序列。

基于以上問題，本文針對小行星復雜形貌附著軌跡動態(tài)規(guī)劃方法展開研究，旨在構(gòu)建小行星附著多目標最優(yōu)路徑點序列，基于標稱軌跡與實時檢測環(huán)境障礙的沖突預判，形成形貌自適應的附著軌跡動態(tài)規(guī)劃方法，提高探測器在小行星復雜形貌環(huán)境附著的安全性。

1 小行星附著軌跡規(guī)劃模型

在小行星質(zhì)心固連系下建立探測器動力學方程

其中：r為探測器位置；v為探測器速度；ω為小行星自旋角速度；g(r)為探測器在r處所受的引力加速度，其值由多面體引力場模型給出[21]；u為控制量；ap為探測器所受的太陽光壓、第三體引力等環(huán)境擾動。

基于狀態(tài)反饋，以上方程可在當前狀態(tài)附近線性化為

2 附著路徑點動態(tài)規(guī)劃

2.1 算法概述

本文所提出的形貌自適應附著軌跡動態(tài)規(guī)劃方法由3部分構(gòu)成——初始最優(yōu)路徑點規(guī)劃、碰撞威脅評估與局部路徑點重規(guī)劃，算法結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 算法結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the algorithm

算法包含以下步驟：

1）將位置空間離散成網(wǎng)格。結(jié)合實時導航獲取的探測器狀態(tài)估計結(jié)果，計算位置誤差橢球為[22]

其中：μr為位置估計均值；Dr為位置估計協(xié)方差矩陣；Cr為特征根構(gòu)成的對角矩陣；UE為著陸點固連坐標系到誤差橢球坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣。記位置誤差橢球半長軸長度為aE，則網(wǎng)格邊長應滿足l≥aE。

2）附著過程初始時刻t0，基于初始時刻環(huán)境地圖障礙集合O0，規(guī)劃探測器從初始位置rO到著陸點rf的帕累托最優(yōu)路徑點序列W?。

3）附著過程中更新障礙集合Ok，基于探測器當前狀態(tài)x(k)、初始最優(yōu)路徑點序列W?，評估是否存在碰撞威脅。若無碰撞威脅，繼續(xù)步驟4）；若存在碰撞威脅，跳到步驟6）。

4）結(jié)合探測器當前狀態(tài)x(k)，跟蹤初始最優(yōu)路徑點序列W?的下一路徑點。

2.2 初始最優(yōu)路徑點規(guī)劃

小行星附著過程初始時刻，假設所有未知區(qū)域為無障礙空間，將與障礙重合的網(wǎng)格標記為禁飛區(qū)，剩余網(wǎng)格視為安全區(qū)，網(wǎng)格的中心點集合構(gòu)成路徑點解空間。在搜索路徑點時，從初始位置rO開始，依次考慮當前節(jié)點相鄰3n?1節(jié)點，其中n為維數(shù)，將位于安全區(qū)的節(jié)點放入OPEN表中。結(jié)合小行星附著任務能耗、著陸精度、障礙規(guī)避3個方面的任務需求，設計以下目標函數(shù)。

代價目標函數(shù)c1(wi)用于估計探測器從初始位置w0轉(zhuǎn)移到節(jié)點wi的代價，其值等于從初始位置w0到達上一節(jié)點wi?1的轉(zhuǎn)移代價與從節(jié)點wi?1到達節(jié)點wi的轉(zhuǎn)移代價之和

在初始位置時c1(w0)=0。從安全節(jié)點wi?1到達安全節(jié)點wi的轉(zhuǎn)移代價?c1(wi?1,wi)由兩節(jié)點之間距離矢量的?！琩(wi?1,wi)‖與探測器運動方向共同決定

對于禁飛區(qū)節(jié)點，進入或從禁飛區(qū)網(wǎng)格出來的轉(zhuǎn)移代價記為+∞。著陸點目標函數(shù)c2(wi)作為啟發(fā)式函數(shù)，通過計算節(jié)點與著陸點間的直線距離

確定不同節(jié)點在搜索過程中的優(yōu)先級，提高路徑規(guī)劃效率。風險評估目標函數(shù)c3(wi)用于評估探測器轉(zhuǎn)移至節(jié)點wi的過程中，在狀態(tài)不確定性影響下與最近障礙發(fā)生碰撞的概率。受下降過程中動力學建模誤差、導航誤差、執(zhí)行誤差等因素影響，探測器的實際運動軌跡可能偏離路徑點連線，使得路徑規(guī)劃階段滿足要求的軌跡在附著跟蹤過程中超出任務約束。假設軌跡跟蹤最大偏移量為δ，定義風險評估目標函數(shù)c3(wi)為

其中：wh為障礙集合O0中的節(jié)點。

節(jié)點wi距離wh越近，探測器與障礙碰撞概率越高，風險評估目標函數(shù)c3(wi)取值越大。通過在風險評估目標函數(shù)中引入冗余量δ，可在搜索路徑點時避免選取禁飛區(qū)相鄰節(jié)點，使得探測器即使在最大跟蹤誤差下，仍能與障礙保持安全距離。

2.3 碰撞威脅評估

附著過程中，探測器通過星上敏感器如相機、激光雷達等對測量范圍內(nèi)的碎石、陡坡、凸包、隕石坑等障礙進行檢測[13]。為了提高附著安全性，除了考慮探測器在狀態(tài)不確定條件下的障礙碰撞概率，還需對星上新檢測到的環(huán)境障礙與初始最優(yōu)路徑點序列W?間是否存在沖突進行實時評估。

2.4 局部路徑點重規(guī)劃

3 路徑點魯棒跟蹤

第2節(jié)給出標稱情況下探測器附著的多目標最優(yōu)路徑點序列，并在環(huán)境與軌跡存在沖突時，局部調(diào)整路徑點實現(xiàn)障礙規(guī)避。而在實際附著過程中，探測器還需要對規(guī)劃得到的路徑點序列進行實時跟蹤，生成滿足系統(tǒng)動力學的安全附著軌跡。

在現(xiàn)有跟蹤控制方法中，模型預測控制[23-24]根據(jù)系統(tǒng)最新狀態(tài)，通過在有限時域上反復求解最優(yōu)控制問題，在降低優(yōu)化問題求解難度的同時，提高了多約束下系統(tǒng)跟蹤性能。本節(jié)基于模型預測控制方法構(gòu)造路徑點跟蹤控制律，通過考慮動力學方程環(huán)境擾動與模型線性化導致的有界建模誤差，實現(xiàn)對所規(guī)劃路徑點序列的實時魯棒跟蹤。

具體來說，在探測器跟蹤路徑點序列向著陸點運動過程中，結(jié)合探測器動力學方程與實時狀態(tài)更新，采用模型預測控制方法構(gòu)造路徑點跟蹤優(yōu)化性能指標，通過對探測器控制量進行優(yōu)化，生成動力學建模誤差下的路徑點序列跟蹤軌跡。

其中：Nf為有限時域長度；k為當前有限時域的第k步；Q,R為地面提前選定的正定矩陣，為保證優(yōu)化結(jié)果收斂性，矩陣 P通過求解里卡蒂方程得到

4 數(shù)值仿真

圖2 仿真地形與初始最優(yōu)路徑點序列Fig.2 Simulated terrain model and the initial optimal waypoint sequence

圖3 X-Z平面內(nèi)的初始最優(yōu)路徑點序列Fig.3 The Pareto optimal waypoint sequence on the X-Z plane

圖4 實際跟蹤軌跡在X-Z平面投影Fig.4 The projection of the landing trajectory on the X-Z plane

圖5 探測器位置與速度在X軸和Z軸的變化Fig.5 Positions and velocities of the spacecraft on X and Z axes

圖6 X-Z平面內(nèi)的重規(guī)劃路徑點序列Fig.6 The re-planning waypoint sequence on the X-Z plane

5 結(jié) 論

本文結(jié)合小行星探測器狀態(tài)不確定性與實時障礙檢測結(jié)果，對復雜形貌小行星附著軌跡動態(tài)規(guī)劃方法展開研究。在多目標優(yōu)化理論基礎上，考慮附著過程工程約束，通過魯棒跟蹤最優(yōu)路徑點序列并局部重規(guī)劃沖突路徑點，得到對小行星復雜形貌環(huán)境具有自適應能力的軌跡動態(tài)規(guī)劃方法。仿真結(jié)果表明該算法可生成與環(huán)境相匹配的安全附著軌跡，并在新障礙出現(xiàn)時，通過調(diào)整最少路徑點對障礙進行有效規(guī)避。