月面應(yīng)急上升自適應(yīng)制導(dǎo)技術(shù)研究

湛康意，陳海朋，余薛浩，王 祿，李昃雯

（上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109）

引 言

我國探月工程按照“繞”“落”“回”逐步實施，“嫦娥五號”（Chang'E-5，CE-5）采樣返回為我國探月工程三步走畫上圓滿句號。在采樣返回任務(wù)中，登月艙完成采樣任務(wù)后，需要從月面起飛，進(jìn)入環(huán)繞器所在軌道面與之完成交會對接后，一起返回地球。采樣返回任務(wù)除了涉及月面下降及軟著陸技術(shù)外，還涉及到月面上升制導(dǎo)技術(shù)。月面動力上升段可以看成軟著陸動力下降段的逆過程。20世紀(jì)“阿波羅”（Apollo）計劃創(chuàng)造了人類首次登陸月球并返回的歷史，文獻(xiàn)[1]中描述了Apollo登月艙上升和下降的過程。

隨著我國探月計劃的進(jìn)一步推進(jìn)，對月面上升制導(dǎo)技術(shù)的需求越來越突出。為了進(jìn)一步提高任務(wù)的成功率，需要研究月面應(yīng)急情況下的上升制導(dǎo)問題，即在出現(xiàn)緊急情況時，上升器能夠快速從月面上升，直接進(jìn)入環(huán)繞器停泊軌道，并與之完成交會對接。在應(yīng)急返回過程中，存在著終端速度位置狀態(tài)不確定和異面上升等難題。

目前，針對月面下降和軟著陸技術(shù)研究的成果很多[2-4]，而研究月面上升制導(dǎo)技術(shù)的文獻(xiàn)相對較少。“嫦娥三號”在動力下降段中，成功應(yīng)用了自適應(yīng)動力顯式制導(dǎo)技術(shù)，并通過終端狀態(tài)的預(yù)測，對制導(dǎo)目標(biāo)進(jìn)行修正，以滿足接近段的初始條件[5]。對于月面上升制導(dǎo)技術(shù)的研究，則主要集中在迭代制導(dǎo)、多項式制導(dǎo)、間接法以及直接法優(yōu)化求解上升軌跡。鞏慶海等[6]研究了迭代制導(dǎo)在月面上升中的應(yīng)用，對比分析了月面上升段與運載火箭上升段的異同。迭代制導(dǎo)所需的軌道參數(shù)需要通過推算或射前注入，迭代初值也需要在起飛前確定，對于應(yīng)急起飛情況適應(yīng)性較差。李鑫等[7]針對載人登月任務(wù)中登月艙上升入軌的制導(dǎo)問題，分別推導(dǎo)了顯式制導(dǎo)律和燃料最優(yōu)制導(dǎo)律，并進(jìn)行了對比分析。該顯式制導(dǎo)律能夠綜合考慮節(jié)省燃料、抗干擾和入軌精度，只能夠適應(yīng)小角度異面發(fā)射問題。李桃取等[8]針對月球探測器大角度異面上升入軌問題，基于E制導(dǎo)和軌道機(jī)動原理，提出了一種共面間接上升策略，可以適應(yīng)大角度異面任務(wù)，但存在等待耗時問題。馬克茂等[9]以燃料消耗為最優(yōu)指標(biāo)，利用極小值原理，將問題轉(zhuǎn)化為時間自由的兩點邊值問題。采用了一種基于初值的預(yù)估方法和向前掃描法對該問題進(jìn)行求解。但是在建模過程中，只考慮了二維平面。邱豐等[10]針對航天器月面上升在線軌跡規(guī)劃問題，提出了一種求解最優(yōu)軌跡的聯(lián)立框架。通過內(nèi)點法求解離散后的非線性問題，采用收納深度控制策略從平衡解的精度和計算效率的角度來改進(jìn)優(yōu)化算法的實時性，但仍然存在求解計算量大的問題。

傳統(tǒng)的迭代制導(dǎo)、多項式制導(dǎo)都需要提供終端目標(biāo)位置和速度信息，而對于應(yīng)急上升任務(wù)需要地面及時測算目標(biāo)參數(shù)，過程較為復(fù)雜。而間接法則可以將目標(biāo)軌道根數(shù)直接放入終端約束中，解的精度高且滿足一階最優(yōu)性必要條件，對于一些動力學(xué)模型簡單的問題，間接法具備一定的優(yōu)勢。國內(nèi)外學(xué)者在間接法求解上升軌跡方面做了大量工作，其中，Lu等[11-12]基于間接法研究了大氣層內(nèi)的上升制導(dǎo)，采用有限差分和密度同輪技術(shù)來求解兩點邊值問題，國內(nèi)崔乃剛、黃盤興等[13-15]也對該方法進(jìn)行了研究。目前該方法只推導(dǎo)了目標(biāo)軌道為圓軌道的五約束條件，而沒有考慮橢圓軌道的五約束條件；此外，文中采用割線法來調(diào)整飛行時間，在工程實現(xiàn)中存在著迭代不收斂的情況。李超兵等[16]針對傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)小角度修正假設(shè)的不足，基于間接法研究了一種多終端約束的最優(yōu)制導(dǎo)方法，并通過引入權(quán)重因子來提高制導(dǎo)方程數(shù)值求解精度，該方法仍然需要給出終端的速度和位置，不適用應(yīng)急上升情況。

本文針對月面應(yīng)急上升問題，基于間接法研究了一種自適應(yīng)顯式制導(dǎo)算法，通過工程化的近似處理和雙層迭代求解策略，使得該制導(dǎo)算法能夠滿足實時制導(dǎo)需求。該方法目標(biāo)參數(shù)裝訂簡單，能夠同時滿足應(yīng)急狀況下的共面和異面上升任務(wù)需求。

1 最優(yōu)問題建模

月面最優(yōu)上升制導(dǎo)問題可以描述為根據(jù)上升器當(dāng)前的飛行狀態(tài)，計算最優(yōu)制導(dǎo)指令，使得上升器在能夠精準(zhǔn)進(jìn)入預(yù)定軌道的同時，也能滿足燃料消耗最少的性能指標(biāo)，對于恒定推力的上升器，燃料消耗最少代表著飛行時間最短。對于具有終端速度約束的最優(yōu)上升制導(dǎo)問題，終端飛行時間自由、以飛行時間最短為性能指標(biāo)的優(yōu)化求解過程，與終端時間固定以末端能量最大為性能指標(biāo)、再通過調(diào)節(jié)終端飛行時間使得終端速度與目標(biāo)速度相等的求解過程具有等價性，而且后者在問題求解的收斂性上更優(yōu)于前者[17-18]。因此，本文首先構(gòu)建給定終端時間、入軌點能量最大的兩點邊值問題。

上升器在月球表面處于真空狀態(tài)，沒有大氣的影響，主要受到月球引力和發(fā)動機(jī)的恒定推力，在月面發(fā)慣系中，上升器的質(zhì)心運動模型可以描述為

對于月面上升制導(dǎo)，一般入軌高度在15 km左右，月球引力加速度變化較小，因此對引力加速度做出如下簡化

其中：μ為月球引力常量；r0為當(dāng)前月心距離大小。

入軌能量最大性能指標(biāo)為

對于半長軸、偏心率、軌道傾角、入軌點真近點角和升交點赤經(jīng)約束的五約束問題，可以先考慮終端約束為

根據(jù)最優(yōu)控制理論，構(gòu)建如下哈密爾頓函數(shù)

通常λV也被稱為主矢量。

協(xié)態(tài)變量方程為

求解可得

邊值條件為

邊值條件的求解具體可參考文獻(xiàn)[15]中的推導(dǎo)過程，消去乘子變量可得

結(jié)合式（5）和式（12）可以得到五約束問題下的6個等式約束

為了探究不同榨油方式在不同儲存環(huán)境下油脂的脂肪酸含量的變化，進(jìn)行了GC-MS的分析，脂肪酸GC-MS圖譜見圖4，脂肪酸組成見表1，表中δ代表3次測試的誤差。由圖4和表1可知，內(nèi)蒙古漢麻種植基地提供的冷榨油與熱榨油脂肪酸組成大體相同，脂肪酸種類與脂肪酸含量與何錦風(fēng)等[1]測試結(jié)果相符，冷榨油和熱榨油飽和脂肪酸含量分別為12.29%和11.66%，不飽和脂肪酸含量分別為87.65%和87.27%，脂肪酸與標(biāo)準(zhǔn)圖譜的配比度均在90%以上。

至此，給定終端時間條件下，入軌點能量最大的兩點邊值問題構(gòu)建完畢。

2 上升制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 終端狀態(tài)快速計算

為了提高計算效率，滿足可實時迭代求解的要求，需要對求解兩點邊值問題進(jìn)行一些工程化近似處理。要求解終端參數(shù)，需要求解微分方程式（3），給定無量綱飛行時間τf，可得上升器位置和速度矢量為

表1 高斯–勒讓德求積公式節(jié)點和系數(shù)Table 1 Gauss-Legendre quadrature formula nodes and coefficients

求解協(xié)態(tài)變量方程可得

2.2 制導(dǎo)指令迭代求解

本文采用收斂性較好的雙層迭代求解策略，來計算制導(dǎo)指令。首先求解入軌點能量最大的兩點邊值問題，再通過一定策略調(diào)整飛行時間，使得入軌點速度等于目標(biāo)速度，即可獲得最優(yōu)的制導(dǎo)程序角。

最后需要調(diào)整τf，使得入軌點的速度大小等于目標(biāo)值。在文獻(xiàn)[15,17～18]中，都采用了如下所示的割線法來迭代求解飛行時間

在實際仿真中發(fā)現(xiàn)，遠(yuǎn)離終端目標(biāo)值時，較大范圍的τf能夠使入軌點能量最大的兩點邊值問題存在解，隨著上升器越來越接近終端目標(biāo)，兩點邊值問題存在解的τf范圍越來越小，割線法在迭代求解過程中使得τf不受控，容易超出使得問題有解的范圍，導(dǎo)致問題求解失敗。為了提高求解的收斂性和可靠性，本文設(shè)計了下所示的迭代策略來調(diào)整τf

圖1 制導(dǎo)指令雙層迭代求解策略Fig.1 Two-layer iterative solution strategy for guidance instruction

2.3 協(xié)態(tài)變量初值猜測

對于一般的兩點邊值問題，協(xié)態(tài)變量初值猜測是困難的，但是在本文研究的問題中，協(xié)態(tài)變量主矢量λV代表了推力的最佳方向，間接賦予了協(xié)態(tài)變量λV0一定的“物理含義”。通過仿真分析發(fā)現(xiàn)，在協(xié)態(tài)變量初值中，影響兩點邊值問題收斂性較大的是主矢量 λV0，通過對實際飛行任務(wù)的分析可知，推力方向決定了速度的方向，進(jìn)而決定了上升器運動的方向。因此，在迭代過程中，主矢量 λV0初始猜測值可按照下式計算獲得，而協(xié)態(tài)變量λr0的初始猜測值直接取λr0=O。

3 仿真驗證

為了驗證制導(dǎo)算法的性能，本文分別對月面共面上升問題和異面上升問題進(jìn)行了仿真，并考核了制導(dǎo)算法對秒耗量和比沖偏差的適應(yīng)性。其中，仿真參數(shù)如表2所示，暫不考慮發(fā)動機(jī)后效的影響。

表2 仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters

對共面任務(wù)仿真，設(shè)目標(biāo)軌道面升交點赤經(jīng)為300°，外層迭代修正因子 ρ=1.0。圖2為額定工況下共面上升制導(dǎo)仿真結(jié)果。先垂直上升，10 s后加入本文的自適應(yīng)制導(dǎo)律。從圖2中可以看出，俯仰、偏航程序角滿足線性正切規(guī)律。由表3可知，半長軸、偏心率、軌道傾角和升交點赤經(jīng)具有相當(dāng)高的精度，自適應(yīng)制導(dǎo)律對秒耗量偏差和比沖偏差均具有良好的適應(yīng)性。求解共面上升制導(dǎo)指令過程中，內(nèi)層求解協(xié)態(tài)變量初值平均迭代收斂次數(shù)為3次，外層調(diào)整τf平均迭代收斂次數(shù)為2次。3.4 GHz PC機(jī)Matlab仿真環(huán)境下，共面制導(dǎo)任務(wù)單次計算耗時約20 ms。

圖2 月面共面上升制導(dǎo)仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of lunar coplanar ascending guidance

對異面任務(wù)仿真，設(shè)目標(biāo)軌道面升交點赤經(jīng)為286.823°，外層迭代修正因子ρ=0.75。圖3為異面上升情況下的仿真結(jié)果。從圖3（d）可以看出，異面上升時，存在較大的偏航角。圖3（f）為異面上升的時，垂直軌道面?zhèn)认蚓嚯x的變化曲線。入軌高度為15 km，垂直軌道面?zhèn)认驒C(jī)動距離高達(dá)到72 km。仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計的自適應(yīng)制導(dǎo)算法能夠適應(yīng)一定程度的異面上升任務(wù)。表3為異面上升入軌精度統(tǒng)計，對于異面上升情況，半長軸和偏心率仍然具有較高的精度，但是軌道傾角精度、升交點赤經(jīng)精度不如共面上升的高，其中主要原因是在上升過程中，同時存在垂直軌道面的側(cè)向機(jī)動，會對入軌精度產(chǎn)生影響。在求解異面上升制導(dǎo)指令過程中，內(nèi)層求解協(xié)態(tài)變量初值平均迭代收斂次數(shù)為4次，外層調(diào)整τf平均迭代收斂次數(shù)為3次。3.4 GHz PC機(jī)Matlab仿真環(huán)境下，異面制導(dǎo)任務(wù)單次計算耗時約21.8 ms。

表3 共面上升入軌精度Table 3 Orbit entry accuracy in coplanar ascent

圖3 月面異面上升制導(dǎo)仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of lunar non-coplanar ascent guidance

本文設(shè)計的制導(dǎo)算法能夠適應(yīng)0～9°異面角度上升任務(wù)。其中，直接異面上升入軌和先共面上升再軌道轉(zhuǎn)移入軌的燃料消耗如圖4所示，可以看出異面角在3°以內(nèi)時，兩者燃耗相差不大，隨著異面角度進(jìn)一步增大，直接異面上升入軌相比軌道轉(zhuǎn)移入軌燃耗顯著增大，此時直接異面上升入軌不再適用。文獻(xiàn)[20]中針對載人登月短期訪問任務(wù)，考慮應(yīng)急返回需求，給出了月面調(diào)整角度計算方法和任務(wù)期間返回上升軌道與目標(biāo)軌道平面夾角最小化的條件。按照該方法設(shè)計目標(biāo)交會軌道的軌道傾角，對于非極地地區(qū)的6 d以內(nèi)的短期月面探測任務(wù)，可使得異面角度最大不超過4.86°；對于低緯度地區(qū)探測任務(wù)，可通過設(shè)計目標(biāo)軌道傾角使得異面角度最大不超過3°。本文設(shè)計的制導(dǎo)方法在任務(wù)周期內(nèi)能夠全程適用。

圖4 異面入軌和軌道轉(zhuǎn)移入軌燃料消耗仿真結(jié)果Fig.4 Simulation result of fuel consumption for non-coplanar ascent and orbital transfer

表4 異面上升入軌精度Table 4 Orbit entry accuracy in non-coplanar ascent

4 結(jié) 論

針對月面應(yīng)急上升任務(wù)，本文研究了一種自適應(yīng)顯式制導(dǎo)律。該自適應(yīng)制導(dǎo)律目標(biāo)參數(shù)裝訂簡單，能夠同時適應(yīng)月面共面和異面上升任務(wù)。從對偏差的適應(yīng)性來看，在存在大秒耗量偏差和比沖偏差的情況下，該自適應(yīng)制導(dǎo)律仍然具有較高的入軌精度。從收斂性上來看，本文設(shè)計的雙層求解策略，改進(jìn)的外層時間調(diào)整策略和內(nèi)層協(xié)態(tài)變量初值的選取策略，能夠有效保證制導(dǎo)律迭代求解收斂。