基于內點法和拉格朗日乘子法的混合試驗冗余作動器控制方法

王尚長， 楊 格， 吳 斌， 譚啟陽， 楊少攀

(1. 武漢理工大學 土木工程與建筑學院，武漢 430070; 2. 哈爾濱工業(yè)大學 土木工程學院，哈爾濱 150090)

結構抗震試驗是檢驗建筑結構抗震性能、探索抗震設計理論的重要工具[1]。隨著我國建筑結構的不斷發(fā)展，結構件尺寸不斷增大，為了能更準確地模擬結構地震響應，試件的大型化、足尺化已成為必然趨勢[2-3]。擬靜力試驗、地震模擬振動臺試驗[4-5]、擬動力試驗[6]是目前最常用的三種結構抗震試驗方法。其中，擬動力試驗又稱混合試驗[7]，它可以經濟有效地開展大型結構的抗震試驗研究，因而受到了研究者的廣泛關注。對于大型結構的足尺或者大比例尺擬動力試驗，其試件剛度往往較大，為了滿足出力要求，每個加載方向可能至少需要兩臺作動器。此時，作動器數量多于所要控制的試件自由度數量，即存在冗余作動器[8]。冗余作動器具有消除加載系統奇異、增加系統剛度和出力均勻等優(yōu)點，通過采用冗余作動器，試驗加載系統可以使用多個質量更輕、出力更小的作動器來實現加載。此外，在某臺作動器失效的情況下，加載系統仍具有繼續(xù)工作的能力，增加了試驗的安全性。邱法維等[9]對單根柱進行了單向和雙向的擬動力試驗，試驗表明水平雙向地震作用對結構的危害更為嚴重，在雙向試驗中研究冗余作動器的加載控制具有重要的價值。

Meyer等[10]對機械手控制時采用最小能耗功率損失最小為目標函數，驗證了此時設備承受很大內力。Molina等[11]為使各臺作動器出力之和最小而提出一種約束方程，并且對作動器采用全位移控制策略完成了三層雙向結構試驗。Wu等[12]提出等效力控制方法，并利用力-位移轉換系數將等效力轉化為位移命令，對作動器仍采用傳統位移控制方法完成了實時混合試驗，Chen等[13]在此基礎上對等效力控制方法進行了改進，并選取三層框架支撐的全尺度鋼筋混凝土砌體剪力墻作為物理子結構進行了試驗驗證。武漢理工大學吳斌教授團隊研發(fā)的一款混合試驗軟件HyTest[14-15]將加載控制方法整合到一起，并且完成了多種類型的混合試驗[16]。在不存在冗余作動器的情況下，以上控制方法對單臺作動器或試驗采用了各種控制方法都獲得良好精度，但是由于作動器與試件和反力墻的連接不可避免地存在滑移、變形等原因，在冗余作動器存在的試驗仍然采用傳統的控制手段將會對試驗精度甚至試驗安全產生很大影響。比如，柱子的單向試驗，在柱頂一個方向上布置兩臺采用位移控制的作動器，由于滑移、變形等原因，位移命令使兩臺作動器互相掣肘，產生巨大內力甚至發(fā)生危險。

為了解決上述問題，王貞等[17]提出對冗余作動器采用力控制模式完成了單層單跨雙向混合試驗。本文在此基礎上考慮作動器的出力范圍，提出考慮作動器出力邊界的冗余作動器控制方法，給出作動器系統能力可行域的求解方法；然后基于Simulink搭建了加載控制系統仿真平臺，通過預先確定的運動軌跡模擬了冗余控制系統與非冗余控制系統工作狀態(tài)，檢驗了冗余作動器的控制效果。最后對一個兩層雙向足尺結構開展了虛擬混合試驗，驗證了所提冗余控制方法的有效性，并給定了各臺作動器最大出力參考值，可為相關人員在選擇作動器噸位或型號時提供參考。

1 冗余作動器的控制

雙向結構試驗對象假定為單層單跨空間鋼框架，樓板為正方形剛體，試件及作動器布置方案如圖1所示?？紤]樓板平面內的3個自由度，即兩個平動位移和一個平面內的轉角。采用4臺作動器實現這3個自由度上的位移，本試驗的作動器數量多于自由度數量，因此存在冗余作動器。將4號作動器定義為冗余作動器，采用力控制，其余3臺作動器則為非冗余作動器，采用位移控制。本試驗的加載控制點[18]為樓板的質心，通過建立樓板質心與非冗余作動器伸長量之間的關系，以及樓板質心恢復力與冗余作動器出力值之間的關系，實現雙向試驗。

圖1 試件及加載設備

1.1 基于平面的運動學分析

為準確分析試件運動性能，需要采用兩套坐標系來進行數學描述：第一套坐標系是固定于地面的整體坐標系XgOgYg；第二套坐標系是固定于樓板上且以質心Ol為原點的局部坐標系XlOlYl，整體坐標軸和局部坐標軸始終相互平行。以第i號作動器為例，在作動器未出力之前，作動器與樓板連接點坐標為Ai，作動器出力之后，樓板發(fā)生平動和轉動。假定樓板先發(fā)生繞質心轉動，再發(fā)生平動，如圖2所示。

圖2 樓板位置變換

因此，可設樓板發(fā)生繞質心轉動后，Ai變換到A′i，發(fā)生平動后，A′i變換到A″i。設質心位移命令記為

d=(xd,yd,θd)T

(1)

在作動器作用之前，已知位移矢量：

則A′存在如下矢量關系

OlA′i=T·OlAi

(2)

OgA′i=OgOl+OlA′i

(3)

由式(2)和式(3)可以得到

(4)

A′iA″i=(xd,yd)T為考慮樓板平動矢量，得到

OgA″=OgA′+A′A″

(5)

由式(4)和式(5)得到

(6)

所以作動器的伸長量可以表示為

Li=‖BiA″i‖2-‖BiAi‖2=
‖OgA″i-OgBi‖2-‖OgAi-OgBi‖2

(7)

式中：OgBi為作動器與反力墻連接點位置矢量； ‖·‖2為2-范數,作動器的伸長量與樓板質心位移之間的函數關系表示為

Li=G(d)

(8)

1.2 基于平面的靜力學分析

在樓板平面內三個自由度方向上建立恢復力與作動器出力之間的方程。第i號作動器出力方向的單位向量為

(9)

(10)

式中：k1=(1 0)T、k2=(0 1)T分別為整體坐標系XgOgYg的橫軸與縱軸的單位矢量。

(11)

整理式(10)、式(11)可以簡記為

fvi=Tifi

(12)

若試件的恢復力為R=(rxryrθ)T，則作動器出力值與試件恢復力之間的關系為

(13)

式(13)可以化為矩陣形式[19]

R=AF

(14)

式中：F=[‖f1‖2‖f2‖2… ‖fn‖2]T，

式中：Mi=-e1·k1(yA″i-yol)+e1·k2(xA″i-xol)。

1.3 基于內點法和拉格朗日乘子法的冗余作動器控制方法

式(14)對應三個自由度，但有多于三個的未知量，理論情況下具有無窮多組解，這為優(yōu)化作動器出力提供了可能。內點法[20]可以利用問題中的約束函數和目標函數構造出新的目標函數，把不等式約束問題的求解轉化為求解一系列無約束非線性規(guī)劃問題。該方法求解形式是從可行區(qū)域內部收斂到約束問題邊界上的解。

拉格朗日乘子法是一種經典求解條件極值的解析方法，可將所有等式約束的優(yōu)化模型問題轉化為求解無約束極值問題[21]。

本文針對樓板平面內的三自由度控制問題，為使各臺作動器出力值相對均勻，以各臺作動器出力值平方和最小作為優(yōu)化目標并考慮作動器的最大出力，以式(15)表示；作動器約束條件以式(14)和式(16)表示

(15)

(16)

式(14)～式(16)運用內點法和拉格朗日乘子法得到考慮約束條件的目標控制函數為

(17)

以4臺作動器為例，式(17)中對各變量的偏導數為0，即

(18)

為方便理解，將式(18)展開為：

以上aij代表式(14)A中第i行第j列元素，Xi代表X中第i個變量，求解可以采用牛頓迭代方法，本文給出牛頓迭代格式如下

(19)

式(19)中雅可比矩陣J為

2 數值分析

2.1 作動器能力可行域

為檢驗考慮作動器能力范圍的冗余作動器控制方法，現以一個算例來進行數值模擬。已知樓板尺寸為長×寬=2.0 m×2.0 m，僅考慮樓板質心處平面內的三個自由度，設定試件在Xg、Yg方向剛度均為100 kN/mm，轉動剛度為100 kNmm/rad。采用4臺液壓伺服作動器，其初始長度為1 m，最大出力均為2 000 kN，定義4號作動器為冗余作動器，其試驗平面圖為圖3。

圖3 樓板平面位置及作動器編號

采用MATLAB軟件模擬，式(17)對各變量的偏導數為0，對于非線性方程組(18)采用式(19)形式進行迭代求解。

加載系統的運動性能由其結構形式和作動器參數所決定。本文將作動器組成的加載系統對結構產生的閉合曲線稱之為作動器能力可行域，并將其作為衡量作動器使用和布置以及冗余控制是否合理的重要指標。如果試驗預加載位移在作動器能力可行域內，試驗能夠順利進行；如果試驗預加載位移在作動器能力可行域之外，試驗可能導致失敗。求解該系統下作動器能力可行域時令懲罰因子為μi=0，流程圖如圖4所示，試件質心在不同轉角θd命令下作動器能力可行域如圖5所示。

圖4 作動器能力可行域求解過程

圖5 樓板在不同轉角命令情況下的作動器能力可行域

結果表明，加載設備對試驗對象加載時存在加載極限；考慮試件轉動情況在某些情況能夠增強加載系統在空間的作用能力，但是多數情況下試件轉動會降低其作用能力。在試驗之前相關試驗人員可根據本節(jié)內容驗證加載系統能力，為作動器布置形式和型號等方面提供理論依據。

2.2 冗余作動器的控制效果

對于冗余作動器控制方法，為與文獻[17]的作動器控制方法相比較，令θd=0，此時更改懲罰因子為μi=10-2，求出兩種方法的作動器能力可行域，如圖6所示。圖中也給出了試件質心位移曲線，選擇Δx=0.01 mm將運動軌跡離散，隨著試件質心位置變動求解冗余作動器出力結果。冗余作動器的出力值與質心位移在Xg方向的分量之間的關系如圖7所示。

圖6 樓板質心運動軌跡

圖7 冗余作動器出力結果

該試驗結果顯示，當位移命令使作動器實際出力值在其作動器能力可行域之內時，兩種控制方法效果一致，表明該方法的可行性；當位移命令使作動器實際出力值接近或超過其最大能力時，本文方法不會產生作動器出力命令，從而保證了加載系統和試驗人員的安全。另外，因為在目標函數中引入初始控制力αi，所以本文方法可以通過調節(jié)該參數來改變作動器能力可行域。

3 虛擬混合試驗

3.1 基于Simulink的加載控制系統

為了驗證本文提出的冗余作動器控制方法，搭建了采用多臺作動器的雙向試驗加載仿真平臺如圖8所示。作動器模型采用標準二階傳遞函數[22]

圖8 基于Simulink的加載控制系統

(20)

式中： 作動器的等效阻尼比ζa取80%，等效圓頻率ωa取300 rad/s。采樣時間設定為0.001 s，對單臺作動器通過階躍響應調試其PI參數如圖9所示。選取KI=50，KP=0.1。

圖9顯示該作動器具有時滯τ=0.15 s，因此以上試驗加載控制系統不能很好地模擬實時混合試驗[23-24]。由于本例為對慢速混合試驗[25]的模擬，故不需要考慮時滯問題。為消除時滯對仿真結果的影響，本文對加載目標進行線性插值并給出插值個數：N≥Δτ/Δt-1。

圖9 作動器模型的單步階躍響應

結合MATLAB和Simulink進行加載控制系統的數值仿真，設定一組簡單位移命令，其中，頻率全為5 Hz，x軸平移振幅為10 mm，y軸平移振幅為20 mm，繞z軸轉動振幅為0.01°，由于時滯是0.15 s，N≥14，取N=19。如式(21)所示，系統響應如圖10所示。

圖10 消除時滯后的系統響應

(21)

由圖10可知，選擇插值點個數N為19個，時滯對仿真結果帶來的誤差幾乎消除。

3.2 冗余系統與非冗余系統的比較

為設立非冗余系統作為對照組，將此系統去掉4號作動器，其他作動器參數保持不變，為比較冗余系統與非冗余系統的工作狀態(tài)，設定轉角為0，其運動參數如式(22)，各臺作動器出力值如圖11所示。

(22)

由圖11可知，在1號作動器出力峰值處t=0.01 s時，非冗余系統1號和2號作動器在x向合力為Fx=F1+F2=-500 kN+1 500 kN=1 000 kN，冗余系統1號和2號作動器在x向合力為F′x=F′1+F′2=500 kN+500 kN=1 000 kN；非冗余系統各臺作動器出力最大值之和為4 000 kN，而冗余系統各臺作動器出力最大值之和為3 000 kN。綜上所述，冗余系統不僅能夠減小作動器之間產生的內力，而且還可以充分利用小型作動器完成大型試驗。

圖11 冗余系統與非冗余系統響應

3.3 基于MATLAB和OpenSees & Simulink的虛擬混合試驗

為仿真控制系統對試驗過程的效果，以在中國建筑技術中心完成的雙向混合試驗等效結構為試驗對象，如圖12所示。結構雙向跨度均為6.5 m，底層層高為3.9m，二層層高為3.5 m。每層樓板僅考慮平面內的三個自由度，布置4臺作動器，其中4號作動器均為冗余作動器，底層布置的4臺作動器量程信息為-1 500～1 000 kN，二層布置的4臺作動器量程信息為-3 000～2 000 kN。在OpenSees中分別建立數值子結構模型和物理子結構模型，模型將結構質量集中在梁柱結點上，每個結點質量為26 000 kg，梁柱模型采用nonlinearBeamColumn單元，鋼材采用Steel02模型，混凝土采用Concrete01模型，材料參數如表1、表2所示。截面等參數信息參見文獻[26-27]。

圖12 試件及加載設備

表1 混凝土材料信息

表2 用鋼材料信息

對結構輸入雙向地震動：El Centro 1940(NS)、El Centro 1940(WE)，調節(jié)地震加速度峰值：X向為400 gal，Y向為302.86 gal。MATLAB作為協調器，實現與OpenSees和Simulink實時交互，當前步試件恢復力采用結構上一步采集的試件恢復力。具體流程如圖13所示，位移實現如圖14所示，各臺作動器力時程曲線如圖15所示。

圖13 混合試驗流程

圖14 樓層位移命令與響應

圖15 各臺作動器力時程曲線

從圖13可以看出，加載控制系統能夠與位移命令很好地吻合在一起，表明本文提出的冗余控制方法具有很高的精度。從圖14可以看出，同層同方向上的兩臺作動器出力幾乎相同，表明本方法可以保證作動器出力均勻，從而充分發(fā)揮作動器的加載能力。同時，通過各作動器的出力時程，還可以獲得各作動器最大出力值，從而可以為試驗人員選擇作動器噸位提供支持。

4 結 論

本文針對雙向混合試驗中的冗余作動器問題，提出了基于內點法和拉格朗日乘子法的冗余作動器控制方法和作動器能力可行域計算方法，搭建了基于Simulink冗余加載控制仿真系統，并通過雙層雙向結構的虛擬混合試驗加以驗證，主要結論如下：

(1) 提出了考慮作動器出力邊界的冗余作動器控制方法，數值模擬表明該方法可以避免作動器出力超界，同時還能充分考慮作動器的加載能力。

(2) 提出作動器能力可行域的計算方法，指出作動器能力可行域不僅與作動器的布置位置和型號有關，還與試件恢復力和實際轉角有關。本方法可為試驗人員在布置和選擇作動器時提供參考。

(3) 搭建了基于Simulink的冗余加載控制仿真系統，分析了冗余控制系統和非冗余控制系統的工作狀態(tài)。結果表明冗余控制系統消除了系統內力，降低了對作動器最大出力的要求，并且減小了系統總出力值。

(4) 以中國建筑技術中心完成的雙層雙向混合試驗為原型，開展了雙向虛擬混合試驗，結果表明所提冗余控制方法控制精度較高，還能保證各臺作動器出力均勻，充分發(fā)揮作動器的加載能力。