基于卓越工程師教育的頻率特性分析課堂教學(xué)研究

張德祥， 潘天紅， 張道信， 劉凱峰

(安徽大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引言

2010年，我國為貫徹落實《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要2010-2020年》和《國家中長期人才發(fā)展規(guī)劃綱要(2010-2020年)》，正式啟動“卓越工程師教育培養(yǎng)計劃”[1]，其內(nèi)涵就是培養(yǎng)工程實踐能力和創(chuàng)新能力強的工程技術(shù)人才，探索形成一系列具有示范作用的卓越人才培養(yǎng)新模式。2017年2月以來，教育部積極推進(jìn)新工科建設(shè)，先后形成了“復(fù)旦共識”、“天大行動”和“北京指南”，并發(fā)布了《關(guān)于開展新工科研究與實踐的通知》和《關(guān)于推進(jìn)新工科研究與實踐項目的通知》。新工科建設(shè)是對“卓越工程師教育培養(yǎng)計劃”進(jìn)行的補充更新，強調(diào)創(chuàng)新引領(lǐng)作用，培養(yǎng)具有創(chuàng)新性卓越工程技術(shù)人才[2]。

作為電子、電氣、自動化、通信等電類學(xué)科的專業(yè)基礎(chǔ)課“電路分析”、“模擬電子技術(shù)”、“信號與系統(tǒng)”、“自動控制理論”等一系列課程，其課程工程應(yīng)用性強，要求理論教學(xué)與實踐教學(xué)相結(jié)合，突出對學(xué)生工程意識、工程素質(zhì)和工程創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。因此在教學(xué)過程中必須重視從工程應(yīng)用的背景和工程應(yīng)用的物理意義上對課程進(jìn)行教學(xué)手段和教學(xué)方法的改進(jìn)。

頻率特性分析在電路分析、電子技術(shù)、控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、測控技術(shù)、機(jī)械振動等領(lǐng)域都具有重要的地位，是重要的系統(tǒng)特性的分析方法。頻率特性分析可以分析系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之間的幅值和相位的變化，從而獲得控制系統(tǒng)的傳遞特性和數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)變，通過物理意義的講解、啟發(fā)式、案例式、討論式等不同的教學(xué)方法以及系統(tǒng)仿真等不同教學(xué)手段，逐步引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、獨立分析能力的養(yǎng)成和工程實踐能力的培養(yǎng)。通過課程實驗環(huán)節(jié)、課程設(shè)計環(huán)節(jié)、工程實訓(xùn)、畢業(yè)設(shè)計等實踐強化階段加深學(xué)生對于理論知識的消化和理解，培養(yǎng)學(xué)生的工程意識、工程素質(zhì)和工程創(chuàng)新能力。

1 頻率特性分析教學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.1 復(fù)數(shù)的概念和計算

對于頻率特性分析的教學(xué)首先要求學(xué)生對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一定要掌握好，主要體現(xiàn)在對于復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的表示、復(fù)數(shù)的物理意義、復(fù)數(shù)的加減乘除等基礎(chǔ)概念要掌握和熟練計算，這是學(xué)生熟練掌握和計算頻率特性的重要基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)由于學(xué)生的復(fù)數(shù)理解能力和計算能力差，在教學(xué)過程中就會遇到很多困難，學(xué)生在計算中也經(jīng)常發(fā)生錯誤。在教學(xué)過程中要帶學(xué)生復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的直角形式、極坐標(biāo)形式、指數(shù)形式、三角形式等四種基本表達(dá)方式和基本加減乘除的運算方法。圖1是復(fù)數(shù)A在復(fù)平面的表示，復(fù)數(shù)的公式表示如公式(1)所示。

圖1 復(fù)數(shù)A在復(fù)平面的表示

A=a+jb=|A|∠θ=|A|cosθ+j|A|sin=|A|ejθ

(1)

1.2 拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換，又名拉氏變換，拉氏變換是一個線性變換，可將一個有參數(shù)實數(shù)t(t≥ 0)的函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個參數(shù)為復(fù)數(shù)s的函數(shù)。拉普拉斯變換對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計算簡化，拉普拉斯變換在許多工程技術(shù)和科學(xué)研究領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。

對于t>=0函數(shù)值不為零的連續(xù)時間函數(shù)x(t)通過關(guān)系式：

(2)

式中s=β+jw是復(fù)變量；拉普拉斯變換是將函數(shù)f(t)分解到頻率幅值都在變化的圓上。

1.3 傅里葉級數(shù)

要想講清楚頻率特性的物理意義，必須要對傅里葉級數(shù)進(jìn)行講解，講清其物理意義。傅里葉級數(shù)是法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，表示任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示，傅里葉級數(shù)為一種特殊的三角級數(shù)，根據(jù)歐拉公式，三角函數(shù)又能化成指數(shù)形式，也稱傅立葉級數(shù)為一種指數(shù)級數(shù)。

傅里葉級數(shù)的物理意義就是時域的周期函數(shù)可以看成是由不同頻率成分的正弦和余弦信號組成。若f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，其三角形式展開的傅里葉級數(shù)表達(dá)式可以表示為：

(3)

在工程應(yīng)用上，其物理意義也就是表面上是時域的函數(shù)，但實質(zhì)上是不同頻率成分的正弦和余弦組成的函數(shù)，其系數(shù)表示該頻率成分在整個組成中的權(quán)重，值越大，表示該頻率所占分量就越大，成分就越多，n=1時的頻率w0為基頻信號，其他都是諧波信號，都是基頻信號的整數(shù)倍，因而頻率成分是離散的。

1.4 傅里葉變換

對于非周期的連續(xù)時域函數(shù)f(t)需要用傅里葉變換對時域信號進(jìn)行分解獲得不同頻率成分的組成情況，傅里葉變換是將時域函數(shù)f(t)分解到頻率不同、幅值恒為1的單位圓上。其表達(dá)式可以表示為：

(4)

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的拉普拉斯積分變換，它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分，在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式。但從工程的角度看，傅里葉變換的物理意義是任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加，一個非周期函數(shù)可以看出是由不同頻率成分的信號組成，其頻率是連續(xù)的，可取到任意頻率，其中F(w)表示該頻率成分在信號組成中所占的權(quán)重，權(quán)重越大，表示該頻率成分越多，所占分量也越大。

1.5 時域和頻域的概念

時域和頻域是信號的基本性質(zhì)，這樣可以用多種方式來分析信號，每種方式提供了不同的角度，解決問題的最快方式不一定是最明顯的方式，用來分析信號的不同角度稱為域。

時域(時間域)其自變量是時間，即橫軸是時間，縱軸是信號的變化，其動態(tài)信號是描述信號在不同時刻取值的函數(shù)。頻域(頻率域)其自變量是頻率，即橫軸是頻率，縱軸是該頻率信號的幅度，也就是通常說的頻譜圖。

一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便，信號分析的趨勢是從時域分析向頻域分析發(fā)展，然而，它們是互相聯(lián)系，缺一不可，相輔相成的。但頻域分析引導(dǎo)人們從信號的表面深入到信號的本質(zhì)，看到信號的組成部分，通過對成分的了解，人們可以更好地使用信號。

2 頻率特性分析的教學(xué)技巧

2.1 頻率特性的概念

頻率特性是指線性系統(tǒng)在輸入為一定頻率的正弦信號或余弦信號，其輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一定是同頻率的正弦或余弦信號，只是幅值和相位發(fā)生了變化[3]。所以在教學(xué)過程中要灌輸學(xué)生線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出具有頻率不變性的基本概念，讓學(xué)生掌握頻率特性的基本表達(dá)方式。由于時域信號總可以看成是由不同頻率成分的正弦信號所組成，因此，當(dāng)某一時域信號通過線性系統(tǒng)時，其輸出可以看成系統(tǒng)對于不同頻率成分信號的幅值和相位的變化情況的組合。其中幅值變化稱為幅頻特性，相角變化稱為相頻特性，這兩種變化關(guān)系稱為頻率特性，其表達(dá)式為：

G(jw)=|G(jw)|∠G(jw)=|G(jw)|ejθ

(5)

式中|G(jw)|為幅頻特性，θ∠G(jw)為相頻特性。

對于線性系統(tǒng)，如果輸入為r(t)=Arsin(wt+φ)，則線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：

y(t)=Ar|G(jw)|sin(wt+φ+θ)

(6)

幅頻特性反映的是系統(tǒng)對輸入的某一頻率成分的放大倍數(shù)，是頻率的函數(shù)，也就是說系統(tǒng)對于不同頻率成分的放大倍數(shù)的不一致的；相頻特性反映的是系統(tǒng)對于輸入信號不同頻率成分傳輸?shù)臏蠡虺疤匦浴?/p>

2.2 相量計算法

在“電路分析”理論課教學(xué)過程中需要采用相量分析法進(jìn)行教學(xué)，此時學(xué)生只在數(shù)學(xué)中學(xué)過傅里葉級數(shù)的概念，要通過傅里葉級數(shù)的復(fù)習(xí)講解，讓學(xué)生掌握時域和頻域的關(guān)系，掌握信號的實質(zhì)是由不同頻率成分組成[4]。在教學(xué)過程中還要結(jié)合電容和電感元器件的容抗和阻抗的相量表示方法，講授計算方法和步驟。由于電路分析課程中涉及的信號是正弦輸入，所以相量的表達(dá)和線性系統(tǒng)的頻率不變性的概念要灌輸給學(xué)生的。

同時在“電路分析”課程中要從工程應(yīng)用角度講清輸入可能是電壓或電流，輸出也可能是電壓或電流，因此得到的頻率特性表達(dá)物理意義要講清楚。也就是頻率特性表達(dá)可能是電壓傳輸特性、電流傳輸特性、阻抗傳輸特性、電導(dǎo)傳輸特性等四種情況。

在“模擬電子技術(shù)”課程中也涉及到頻率特性的講解，主要集中在對于無源和有源器件的頻率特性的講解，這時要從工程應(yīng)用角度著重從頻域角度出發(fā)講清濾波器的概念和物理意義，也就是對于變化的輸入信號，通過系統(tǒng)的濾波特性對輸入時域信號中內(nèi)含的不同頻率成分具有不同的放大或縮小能力，從而使輸出信號發(fā)生不同的變化，進(jìn)而引入低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器的意義講解。

對于“信號與系統(tǒng)”課程、“自動控制理論”課程等教學(xué)過程中，由于已經(jīng)在“模擬電子技術(shù)”課程中涉及到濾波器的功能介紹，對傅里葉變換的概念也已經(jīng)掌握，所以在教學(xué)過程中要加強對于頻域中系統(tǒng)對于不同頻率成分的濾波功能的講授，要從工程應(yīng)用的角度去講解頻率特性的實際意義和應(yīng)用背景，同時根據(jù)頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性的系統(tǒng)固有特性。

2.3 復(fù)數(shù)域計算法

在復(fù)數(shù)域計算方法中，就是采用拉普拉斯變換實現(xiàn)系統(tǒng)頻率特性的求解，此時，需要對從代數(shù)的傳遞函數(shù)的角度理解信號的傳遞特性。對于系統(tǒng)的頻率特性的求解主要是先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，再根據(jù)傳遞函數(shù)與頻率特性的關(guān)系 來進(jìn)行變換直接求解出系統(tǒng)的頻率特性[5]。

2.4 頻率特性的分析

對于求出的頻率特性G(jw)需要對特性進(jìn)行分析，這也是非常關(guān)鍵的知識點。對于頻率特性表達(dá)一般有理論數(shù)值表達(dá)和圖形表達(dá)方法，但一般都是采用圖形表達(dá)方式更加直觀。

在圖形表達(dá)方式中有極坐標(biāo)形式，也就是把幅頻特性和相頻特性同時表達(dá)在同一極坐標(biāo)中，此時得到的幅相頻率特性曲線上任何一點到原點的向量距離就是某一頻率對應(yīng)的幅頻特性，向量與正實軸的夾角就是相頻特性。

在圖形表達(dá)方式中還有對數(shù)頻率特性圖形式，也就是將幅頻特性和相頻特性在不同的坐標(biāo)上進(jìn)行分別繪圖，其中橫坐標(biāo)以頻率w作為變量，縱坐標(biāo)分別表示幅頻和相頻。但在教學(xué)過程中必須將對數(shù)頻率特性圖對數(shù)坐標(biāo)要交待清楚，對于橫坐標(biāo)，如果等距分割則頻率太大圖會變得很長，所以橫坐標(biāo)采用對數(shù)分度，仍然以頻率w為標(biāo)注；而對于幅頻特性圖的縱坐標(biāo)要先求對數(shù)，把幅頻特性|G(jw)|的乘積變成求和，再乘20變成分貝(dB)單位。所以在教學(xué)過程要對于坐標(biāo)的來源要交待清楚，否則學(xué)生對于后來畫的圖形無法理解。

3 頻率特性分析的教學(xué)方法

3.1 理論教學(xué)法

在理論教學(xué)過程中，要先弄清楚本班學(xué)生對于復(fù)試的概念和計算、拉普拉斯變換是否學(xué)習(xí)過，如果沒有學(xué)習(xí)過就需要補充，如果學(xué)習(xí)過可以帶學(xué)生簡單復(fù)習(xí)下，以保證學(xué)生能聽懂頻率特性。其次，就是要把傅里葉級數(shù)的概念和物理意義告訴學(xué)生，讓學(xué)生弄懂信號的本質(zhì)，構(gòu)建頻域的基本概念，同時通過簡單的舉例來說明頻域中頻率成分的組成。

對于頻率特性的講解要從正弦輸入下穩(wěn)態(tài)輸出的規(guī)律來進(jìn)行講解，通過簡單的RC串聯(lián)電路推導(dǎo)出頻率特性的概念，再對于復(fù)雜RLC混合電路進(jìn)行講解，主要講授解決的方法和步驟，再結(jié)合雙端口網(wǎng)絡(luò)去分析頻率特性的傳輸特性，掌握頻率特性的物理意義。

所以在教學(xué)過程中要對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識采用提問式教學(xué)了解學(xué)生掌握程度，采用啟發(fā)式回顧傅里葉級數(shù)的回顧和頻域的逐步引入，采用討論式教學(xué)方式對頻率不變性和頻率特性概念進(jìn)行引入，采用案例式教學(xué)讓學(xué)生掌握工程應(yīng)用過程中關(guān)于濾波器的使用，逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握頻率特性在工程應(yīng)用中的作用和使用方法。

3.2 實驗教學(xué)法

理論教學(xué)主要是對于已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的系統(tǒng)進(jìn)行頻率分析方法的理解，但很多實際系統(tǒng)可能存在無法準(zhǔn)確得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這時就可以利用頻率特性的方法對系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行實驗獲取，所以通過實驗教學(xué)可以充分讓學(xué)生對于頻率特性的理解和掌握。

在實驗過程中可以采取兩種方式對頻率特性實驗法進(jìn)行講授，首先采取已知結(jié)構(gòu)參數(shù)的系統(tǒng)進(jìn)行實驗，在輸入端加入一定幅值的正弦信號作為輸入信號，利用儀器測量系統(tǒng)的輸出信號。不斷從小到大改變輸入正弦信號的頻率大小，比較輸出信號與輸入信號之間的幅值變化和相角變化，得到系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，從而得到系統(tǒng)的頻率特性。同時再與理論值進(jìn)行比較獲得頻率特性測量方式的正確性驗證和頻率特性的正確性。

還有一種方法就是采用未知結(jié)構(gòu)參數(shù)的系統(tǒng)，通過頻率特性測試的方法獲得系統(tǒng)的頻率特性，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)數(shù)學(xué)模型搭建系統(tǒng)建立起測試系統(tǒng)。在利用系統(tǒng)的響應(yīng)來驗證實際系統(tǒng)的響應(yīng)與測試系統(tǒng)響應(yīng)之間的差異性，從而獲得根據(jù)頻率特性辨識和重構(gòu)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法，驗證和加深對頻率特性的物理意義和工程應(yīng)用的理解，培養(yǎng)學(xué)生的工程意識、工程素質(zhì)和工程創(chuàng)新能力。

3.3 仿真教學(xué)法

在進(jìn)行理論教學(xué)和實驗教學(xué)的同時要注重仿真教學(xué)，利用Multisim10仿真、Simulink仿真、Matlab仿真、Silvaco Atlas仿真等仿真軟件對系統(tǒng)的頻率特性進(jìn)行仿真，可以通過圖形直觀地獲得頻率特性的圖線和系統(tǒng)的響應(yīng)，仿真具有改變參數(shù)簡單、圖形直觀的優(yōu)點，可以把實驗方案搬到仿真中來進(jìn)行重現(xiàn)和比較[6～7]。

4 結(jié)語

作為工程學(xué)科的專業(yè)課教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生具有工程創(chuàng)新能力和工程實踐能力，提升學(xué)生的工程意識、工程素質(zhì)和工程能力，從而在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)手段、教學(xué)設(shè)計和評價機(jī)制等各方面進(jìn)行教學(xué)改革和教學(xué)研究。對于頻率特性的教學(xué)過程中，因為涉及到的數(shù)學(xué)知識和信號的知識點比較多，所以必須注重從頻域的角度引導(dǎo)學(xué)生對時頻與頻域之間的關(guān)系進(jìn)行理解，從而真正理解頻率特性的實質(zhì)和物理意義，加強頻率特性的工程應(yīng)用中的驗證和應(yīng)用。