多項(xiàng)式剩余類環(huán)中冪零元計(jì)數(shù)問題研究*

田東代

(山東省菏澤市體育訓(xùn)練中心，山東 菏澤 274000)

1 預(yù)備知識

1.1 有限可交換環(huán)

有限交換環(huán)研究是代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性工作，主要內(nèi)容包括唯一性分解問題、準(zhǔn)素理想理論和公理化體系等方面[1]，從高次互反律、二元二次型和費(fèi)馬大定理等初等數(shù)論問題出發(fā)，圍繞一系列經(jīng)典案例展開研究，范圍涉及代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何與不變量理論等領(lǐng)域.交換環(huán)研究初期以唯一因子分解問題為主，通過對復(fù)整數(shù)環(huán)、理想數(shù)等不同代數(shù)的精細(xì)刻畫，提出了理想、序環(huán)等概念.E.Noether通過對理想升鏈條件的深入分析，實(shí)現(xiàn)了諾特環(huán)的公理化體系，從而建立起一般交換環(huán)理論,特別是她給出諾特環(huán)(含有限環(huán))的結(jié)構(gòu)分解定理，真正實(shí)現(xiàn)了交換環(huán)理論體系質(zhì)的飛躍.在理論發(fā)展比較完善之后，其不斷提升的理論層次拓寬了它的應(yīng)用范圍，滲透到數(shù)學(xué)的多個(gè)分支，相互間的影響和融合不斷促進(jìn)彼此的創(chuàng)新發(fā)展，呈現(xiàn)出未來發(fā)展的趨勢.

1.2 有限交換環(huán)與編碼設(shè)計(jì)

隨著20世紀(jì)通信技術(shù)的快速發(fā)展，通信編碼技術(shù)對交換環(huán)理論的依賴日漸顯著，具有特殊結(jié)構(gòu)的有限環(huán)(域)已成為現(xiàn)代編碼理論的核心支撐.經(jīng)典糾錯碼如Hamming碼、BCH碼、RS碼等[2,3]在通信和信息領(lǐng)域得到了普遍應(yīng)用，已成為信息技術(shù)領(lǐng)域重要的基礎(chǔ)性工作.近年來，移動通信技術(shù)的發(fā)展也對編碼技術(shù)提出了更加個(gè)性化的要求，具有編碼碼字多、最小距離大等特點(diǎn)的非線性編碼技術(shù)成為研究熱點(diǎn) ，促進(jìn)了有限環(huán)上編碼技術(shù)的實(shí)質(zhì)性進(jìn)步，極大豐富了糾錯碼理論的研究領(lǐng)域.

1.3 剩余類環(huán)

由于剩余類環(huán)中仍保留了歐幾里得輾轉(zhuǎn)除法運(yùn)算，剩余類環(huán)中元素具有因子分解特性，不可約多項(xiàng)式判定與零因子、冪零元分類成為有限環(huán)中最為重要的兩個(gè)基本問題.不可約多項(xiàng)式判別方法早期的成果主要是Eisenstein判別法和Berlamkamp[4,5]關(guān)于多項(xiàng)式計(jì)數(shù)的結(jié)果，同時(shí)也出現(xiàn)了一些確定性判別算法和隨機(jī)性檢測算法，但是都沒有一個(gè)簡單可行的算法思路，至今仍是一件較為復(fù)雜的工作.而零因子和冪零元的計(jì)數(shù)問題則依賴于多項(xiàng)式分解問題，與不可約多項(xiàng)式問題有關(guān)聯(lián)性.

1．4 研究思路與結(jié)果

本文利用中國剩余定理，首先給出多項(xiàng)式剩余類環(huán)的直和分解，把一般情況下的冪零元問題轉(zhuǎn)化為素?cái)?shù)冪階有限交換環(huán)的冪零元問題，再通過定義一般的莫比烏斯、歐拉函數(shù)等工具，使用組合反演公式給出冪零元的計(jì)數(shù)公式，結(jié)論刻畫思路清晰，表達(dá)形式簡明統(tǒng)一.

2 基本概念與相關(guān)成果

2.1 基本概念

2.1.1 唯一分解概念

沒有零因子的交換環(huán)結(jié)構(gòu)相對簡單，其元素能唯一表示為素元的乘積，稱為唯一分解整環(huán)，有關(guān)研究內(nèi)容已經(jīng)十分成熟.具有零因子的交換環(huán)則難以給出統(tǒng)一刻畫，但仍然可以表示為理想的直和分解.域上的多項(xiàng)式環(huán)是整環(huán)，每個(gè)多項(xiàng)式都可分解成不可約多項(xiàng)式的乘積，兩個(gè)多項(xiàng)式表示可能相差一個(gè)單位元.因此，一般約定不可約多項(xiàng)的首項(xiàng)系數(shù)為1 .整數(shù)剩余類環(huán)Zn[x]上的多項(xiàng)式環(huán)中由于系數(shù)零因子的存在，多項(xiàng)式表示方式變化增多，雖然仍可以進(jìn)行歐幾里得除法運(yùn)算，但整環(huán)中的唯一分解性不再保留，差異是Zn(模n 剩余類環(huán))中的一個(gè)零因子.因此，多項(xiàng)式計(jì)數(shù)問題需要考慮分解方式的變化，下面從一些概念定義入手，給出Zn[x]中多項(xiàng)式的分解描述.

定義1 設(shè)多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x2+a0,式中an,an-1，…，a1,a0∈Zn,那么多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)公因子定義為整數(shù)an,an-1,…,a1,a0的最大公因子gcd(great common divisor)，即有：

gcd(f(x))=gcd(an,an-1，…，a1,a0).

若gcd(f(x))為Zn中的可逆元，則稱f(x)為系數(shù)公因子等于1的多項(xiàng)式.此時(shí)，兩個(gè)系數(shù)公因子相差一個(gè)可逆元的多項(xiàng)式被認(rèn)為是同一多項(xiàng)式.

多項(xiàng)式環(huán)Zn[x]中多項(xiàng)式表示的標(biāo)準(zhǔn)形式.

結(jié)論1 任意多項(xiàng)式可表示為f(x)=gcd(f(x))f1(x),式中f1(x)是系數(shù)公因子等于1的多項(xiàng)式.

證明 假若多項(xiàng)式f(x)有兩個(gè)不同的分解，f(x)=af1(x)和f(x)=bf2(x).不妨設(shè)f1(x),f2(x)是兩個(gè)不同的系數(shù)公因子等于1的多項(xiàng)式，則此時(shí)應(yīng)有a=b，否則按照定義有：

gcd(f(x))=gcd(af1(x))=a·gcd(f1(x))=a·1=a

gcd(f(x))=gcd(bf2(x))=b·gcd(f2(x))=b·1=b

則有a=b，矛盾.

多項(xiàng)式剩余類環(huán)Zn[x]/f(x)元素表示的標(biāo)準(zhǔn)形式.

2.1.2 冪零元判別條件

2.1.3 多項(xiàng)式計(jì)數(shù)函數(shù)

我們沿用文獻(xiàn)[6]的符號與定義.

定義4[6]若正整數(shù)n含有平方因子，則莫比烏斯函數(shù)μ(n)的值為零，否則定義為：

定義5[7]設(shè)f(x)是多項(xiàng)式環(huán)Fp[x]中的n次多項(xiàng)式，定義φ(f)為Fp[x]中次數(shù)小于n且與f(x)互素的多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)，并稱之為廣義歐拉函數(shù).

定義6 廣義歐拉函數(shù)φ(n,m,d)為Zn[x] 中系數(shù)公因子等于d且次數(shù)小于m的多項(xiàng)式的個(gè)數(shù).

結(jié)論2 關(guān)于廣義歐拉函數(shù)φ(n,m,d)有如下結(jié)論：

證明 首先Zn[x]中所有次數(shù)小于m的多項(xiàng)式總數(shù)為nm.另一方面，可根據(jù)多項(xiàng)式系數(shù)公因子對多項(xiàng)式進(jìn)行分類，分類數(shù)與n的因子個(gè)數(shù)相同，而每一個(gè)分類中元素計(jì)數(shù)公式為φ(n,m,d)，根據(jù)組合分類相加原則得到

證畢.

定理1Zn[x] 中系數(shù)公因子等于1且次數(shù)小于m的多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為：

證明引用經(jīng)典組合反演公式證明.如果有兩個(gè)整數(shù)函數(shù)F(u),G(u)滿足求和公式

則組合反演公式為

根據(jù)組合反演公式可直接得到

推論1 設(shè)n=pr,則φ(n,m,1)=pmr-pm(r-1).

2.2 相關(guān)成果

關(guān)于域上的多項(xiàng)式剩余類環(huán)中冪零元計(jì)數(shù)問題已得到完整解決，具體如下.

式中φ(n)是歐拉函數(shù).

R(f)=pn-t,t=?(p1(x)p2(x)…ps(x)),

其中?(g(x))表示多項(xiàng)式g(x)的次數(shù).

利用此表達(dá)式可給出冪零元計(jì)數(shù)的另外一種形式.

剩余類環(huán)Fp(x)/f(x)中冪零元的個(gè)數(shù)為：

3 主要結(jié)果

3.1 直和分解

本節(jié)將利用剩余類環(huán)中元素分解表示的特性給出具體的直和分解方法，并以此為基礎(chǔ)討論局部環(huán)中冪零元的計(jì)數(shù)問題.

3.1.1Zn的直和分解

證明 利用中國剩余定理構(gòu)造環(huán)同構(gòu)映射Ψ.對于Zn中任意元素a，考慮同余方程組：

(1)

3.1.2Zn[x]/(fx)的直和分解

利用結(jié)論3同樣的方法可得到Zn[x]/f(x)的局部環(huán)分解結(jié)構(gòu).

定理5多項(xiàng)式剩余類環(huán)的直和分解為：

(2)

由此可證同余方程組(2)有唯一解.于是映射Ψ是一一對應(yīng).另外，易驗(yàn)證其保持加法和乘法運(yùn)算，從而得到一個(gè)環(huán)同構(gòu).證畢.

3.1.3Zpr[x]/(f(x))的冪零元計(jì)數(shù)

設(shè)f(x)系數(shù)公因子為1的m次多項(xiàng)式.若f(x) 為不可約多項(xiàng)式，則剩余類環(huán)Zpr[x]/(f(x))中系數(shù)公因子為1的多項(xiàng)式是冪零元的充分必要條件為f(x)的倍式，即零多項(xiàng)式.因此，只考慮可約多項(xiàng)式為模的情況.

引理1 設(shè)f(x)系數(shù)公因子為1的m次多項(xiàng)式，若f(x)為不可約多項(xiàng)式的方冪，設(shè)f(x)=p(x)r，

?(p(x))=t，則Zpr[x]/(f(x)) 中系數(shù)公因子為1的冪零元計(jì)數(shù)個(gè)數(shù)為p(m-t)r-p(m-t)(r-1).

φ(pr,m-t,1)=p(m-t)r-p(m-t)(r-1).

式中t=?(p1(x)p2(x)…ps(x)).

g(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)g1(x)，

4 結(jié)語

本文構(gòu)造了多項(xiàng)式剩余類環(huán)的局部直和分解，將剩余類環(huán)中冪零元計(jì)數(shù)問題歸約為局部環(huán)中的計(jì)數(shù)問題，給出了具體計(jì)數(shù)表達(dá)式.所采用的代數(shù)分析思路與組合函數(shù)計(jì)數(shù)考慮雖源于傳統(tǒng)經(jīng)典組合論內(nèi)容，但也充分利用了多項(xiàng)式可整除性，融合了一些巧妙的論證技巧，方法上的創(chuàng)新性對于有限局部環(huán)特殊元素計(jì)數(shù)問題具有一定的借鑒作用，尤其是對于有限局部環(huán)上編碼理論的研究有著重要的積極意義.