基于M估計(jì)的遭遇段彈目運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)擬合方法?

裴 喆

（92941部隊(duì) 葫蘆島 125000）

1 引言

通常利用光學(xué)測(cè)量防空導(dǎo)彈遭遇段導(dǎo)彈和目標(biāo)的x、y、z方向運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，對(duì)這6組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合除差處理是計(jì)算導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部毀傷、脫靶量等參數(shù)的重要依據(jù)［1～3］。如果其中1組甚至多組數(shù)據(jù)的擬合精度不高，那么勢(shì)必影響導(dǎo)彈性能分析。目前經(jīng)常采用普通最小二乘（Ordinary Least Squares）擬合（以下簡(jiǎn)稱OLS擬合）方法，數(shù)據(jù)不含粗差時(shí)擬合精度較高［1，3］。但是由于設(shè)備測(cè)量誤差、彈目尾焰紅外成像面積散布誤差、事后人工選點(diǎn)誤差等因素影響，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)有時(shí)包含少量粗差，尤其小幅值粗差。OLS擬合抗粗差能力弱，致使擬合精度下降。為此本文研究基于M估計(jì)的遭遇段彈目運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)擬合方法，并對(duì)其抗粗差能力和擬合效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

2 M估計(jì)與Tukey權(quán)重函數(shù)

OLS擬合給予每個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的權(quán)重均為1，且擬合目標(biāo)是使殘差平方和最小，因此擬合結(jié)果受粗差影響較大［4］。穩(wěn)健擬合的目的就是減小粗差影響，目前主要有L估計(jì)、R估計(jì)、M估計(jì)等方法。其中M估計(jì)是經(jīng)典極大似然估計(jì)的推廣，被稱為廣義極大似然估計(jì)［4～5］?；贛估計(jì)的穩(wěn)健擬合方法采用特定的權(quán)重函數(shù)構(gòu)建一個(gè)增速較低的殘差函數(shù)，擬合目標(biāo)是使該殘差函數(shù)之和最小，所以殘差越大，權(quán)重越小，達(dá)到抵抗粗差的目的［6～7］。

M估計(jì)常用的權(quán)重函數(shù)有Huber、Tukey、Ham?pel等。本文采用Tukey權(quán)重函數(shù)，其表達(dá)式如式（1）所示［8～9］：

式中，w為權(quán)重大?。?≤w≤1）；c為調(diào)節(jié)系數(shù)；u為標(biāo)準(zhǔn)化殘差，計(jì)算公式如下［9］：

式中εn為擬合殘差；S為穩(wěn)健估計(jì)量的尺度，通常用殘差εn的中位數(shù)絕對(duì)離差MAD計(jì)算，當(dāng)εn服從正態(tài)分布時(shí)，利用式（3）計(jì)算的S是該正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)［9～10］。

中位數(shù)絕對(duì)離差MAD的計(jì)算公式為［9～10］：

式中MED為殘差εn的中位數(shù)。MED和MAD分別是穩(wěn)健擬合中重要的位置測(cè)度和尺度測(cè)度［11］。

調(diào)節(jié)系數(shù)c取常用值4.685時(shí)，Tukey權(quán)重函數(shù)如圖1所示。

證據(jù)留痕 積極應(yīng)對(duì)（李遠(yuǎn)強(qiáng)等） ....................................................................................................................7-57

圖1 Tukey權(quán)重函數(shù)（c=4.685）

由式（1）和圖1可知，對(duì)于|u|＞c（即|εn|＞cS）的兩端殘差，Tukey函數(shù)賦予的權(quán)重w均為0，因此它是 有 淘 汰 域 的 權(quán)重 函數(shù)［5］；對(duì) |u|≤c（即|εn|≤cS）的中間段殘差也進(jìn)行權(quán)重分配，越靠近中心其權(quán)重w越接近1。同時(shí)可知c值越小，其抗粗差能力越強(qiáng)，這也是本文用來識(shí)別小幅值粗差的理論依據(jù)。

3 不含粗差時(shí)的擬合結(jié)果分析

假設(shè)防空導(dǎo)彈和目標(biāo)在遭遇段150ms時(shí)間內(nèi)均作勻速直線運(yùn)動(dòng)是成立的［3］，以導(dǎo)彈y方向運(yùn)動(dòng)為例，其真值數(shù)據(jù)yM0（ti）可由式（5）表示。

式中，ti為采樣時(shí)間（i=1，2，…，n），yM0（ti）為位置真值，vMy為速度真值，y0為位置截距真值。

測(cè)量誤差用ε（ti）表示，則yM0（ti）的測(cè)量數(shù)據(jù)yM（ti）表示為

下面對(duì)yM（ti）不含粗差時(shí)OLS擬合和M估計(jì)擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。設(shè)置ti=［10.01s，10.15s］，采樣周期為10ms，則采樣個(gè)數(shù)為15。設(shè)vMy為-50m/s，y0為100m，由式（5）得到y(tǒng)M0（ti）。再設(shè)ε（ti）為白噪聲誤差，即ε（ti）～N（0，σ02），σ0取 0.15m，ε（ti）不含粗差（幅值絕對(duì)值均小于 3σ0），由式（6）得到 yM（ti）。擬合結(jié)果（vMy的估計(jì)值 vMye和 y0的估計(jì)值 y0e）如表1所示，擬合殘差特征量（標(biāo)準(zhǔn)差σMy、MAD以及尺度S）如表2所示。

表1 yM（ti）不含粗差時(shí)的擬合結(jié)果

表2 yM（ti）不含粗差時(shí)的擬合殘差特征量

分析表1和表2可知：

1）從擬合結(jié)果看，不含粗差時(shí)兩種擬合得到vMy和y0的估計(jì)精度都很高，其中OLS擬合與c=4.685時(shí)M估計(jì)擬合的精度相當(dāng)。當(dāng)c值從4.685逐漸減小到2，vMy和y0的估計(jì)精度逐步下降，但下降幅度非常小，可知擬合仍是穩(wěn)健的，并未將正常數(shù)據(jù)誤判為粗差。這是因?yàn)橛烧龖B(tài)分布可知，1次測(cè)量誤差絕對(duì)值超過2σ0的概率僅為4.56%［12］，即在22次測(cè)量中只有1次的誤差絕對(duì)值超過2σ0，而yM（ti）的采樣個(gè)數(shù)僅為15。

4 包含粗差時(shí)的擬合仿真驗(yàn)證

4.1 基于M估計(jì)的擬合方法及步驟

本文主要討論幅值絕對(duì)值在（3σ0～3.5σ0）范圍內(nèi)的粗差，因?yàn)檫@種小幅值粗差較為“隱蔽”，OLS擬合很難識(shí)別它們。由于雙站光學(xué)同幀畫幅數(shù)據(jù)已經(jīng)有效減小各種測(cè)量誤差［2～3］，粗差比例很少大于15%，因此對(duì)于上節(jié)中采樣個(gè)數(shù)為15的yM（ti）數(shù)據(jù)，只討論包含1～2個(gè)粗差的情況。

基于M估計(jì)的擬合方法及步驟如下。

1）取最小c值識(shí)別粗差

調(diào)節(jié)系數(shù) c最小取 2，對(duì) yM（t）i進(jìn)行 M 估計(jì)擬合，根據(jù)殘差|εn|＞2.5S的準(zhǔn)則識(shí)別粗差，標(biāo)記粗差的位置和個(gè)數(shù)。如果未識(shí)別出粗差則對(duì)yM（ti）進(jìn)行OLS擬合。

2）增大c值替換粗差

逐步增大c的取值（每次增大0.1），對(duì)yM（ti）進(jìn)行M估計(jì)擬合并且識(shí)別粗差，如果識(shí)別的粗差與c=2時(shí)所識(shí)別粗差的位置和個(gè)數(shù)均相同，就將粗差替換為當(dāng)前c值對(duì)應(yīng)的擬合數(shù)據(jù)，因?yàn)閏值越大擬合精度越高；直到識(shí)別粗差的位置或個(gè)數(shù)與c=2時(shí)所識(shí)別粗差的不同，即可停止增大c值。最后再對(duì)粗差替換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行OLS擬合。

4.2 只包含1個(gè)粗差時(shí)的仿真驗(yàn)證

與位于其他位置相比，1個(gè)粗差位于數(shù)據(jù)一端時(shí)OLS擬合識(shí)別它更困難。為此在上節(jié)中無粗差的yM（ti）末端加入1個(gè)粗差（幅值為3.2σ0），擬合結(jié)果如表3所示，擬合殘差特征量如表4所示。

表3 1個(gè)粗差位于yM（ti）一端時(shí)的擬合結(jié)果

表41 個(gè)粗差位于yM（ti）一端時(shí)的擬合殘差特征量

分析表3和表4，并與表1、表2對(duì)比，可知：

1）受粗差影響，OLS擬合估計(jì)值vMye、y0e均沒有不含粗差時(shí)的估計(jì)值準(zhǔn)確。依據(jù)通常采用的殘差絕對(duì)值大于3σMy的準(zhǔn)則，OLS擬合未能識(shí)別出粗差。

2）c值從2～3.2，M估計(jì)擬合均能正確識(shí)別粗差，c=3.2時(shí)的擬合估計(jì)值比c=2時(shí)的準(zhǔn)確。將粗差數(shù)據(jù)用c=3.2時(shí)的擬合數(shù)據(jù)替換后，再次OLS擬合的估計(jì)值已逼近真值，相比粗差替換前的估計(jì)精度明顯提高。

3）與不含粗差相比，包含粗差時(shí)的擬合殘差標(biāo)準(zhǔn)差σMy均有所增大，但M估計(jì)擬合的MAD和S增幅較小，可見二者的穩(wěn)健性較好。同時(shí)正因?yàn)镸AD和S的增幅較小，本文識(shí)別粗差準(zhǔn)則采用|εn|＞2.5S，而不是常用的|εn|＞3S。

4.3 包含兩個(gè)粗差時(shí)的仿真驗(yàn)證

4.3.1 含兩個(gè)同向粗差時(shí)的擬合效果

與位于其他位置相比，兩個(gè)同向粗差集中靠近數(shù)據(jù)一端時(shí)，OLS擬合識(shí)別更為困難。為此，在無粗差的yM（ti）末端加入兩個(gè)同向粗差，幅值均為3.3σ0，擬合結(jié)果如表5所示，擬合曲線如圖2所示。圖中，yM（ti）、yM2（ti）分別為替換粗差前、后的測(cè)量數(shù)據(jù)曲線，yMO（ti）、yMO2（ti）分別為替換粗差前、后的OLS擬合數(shù)據(jù)曲線，縱坐標(biāo)統(tǒng)一用yM表示。

表5 兩個(gè)同向粗差集中于yM（ti）一端時(shí)的擬合結(jié)果

圖2 2個(gè)同向粗差集中于yM（ti）一端時(shí)的擬合曲線

由表5和圖2可知，兩個(gè)粗差對(duì)OLS擬合曲線有明顯的拉偏影響，粗差替換后擬合效果明顯改善。c值從2到2.6時(shí)M估計(jì)擬合均能正確識(shí)別出兩個(gè)粗差，且未將正常數(shù)據(jù)誤判為粗差。

4.3.2 含兩個(gè)反向粗差時(shí)的擬合效果

對(duì)于兩個(gè)反向粗差，正、負(fù)粗差分別位于數(shù)據(jù)兩端形成“蹺蹺板”式情形相比位于其他位置的情形對(duì)擬合影響更大。OLS擬合識(shí)別它們更為困難為此，在無粗差的yM（ti）兩端加入兩個(gè)反向粗差，幅值分別為-3.3σ0和3.3σ0，擬合結(jié)果如表6所示，擬合曲線如圖3所示。

由表6和圖3可知，反向粗差分布于兩端比同向粗差集中于一端對(duì)擬合的影響還要嚴(yán)重，因此僅在c從2～2.3時(shí)M估計(jì)擬合能正確識(shí)別出兩個(gè)粗差。粗差替換后擬合估計(jì)值vMye、y0e的準(zhǔn)確性明顯提高。

表6 兩個(gè)反向粗差分布于yM（ti）兩端時(shí)的擬合結(jié)果

圖3 兩個(gè)反向粗差分布于yM（ti）兩端時(shí)的擬合曲線

5 結(jié)語

本文研究了基于M估計(jì)的遭遇段彈目運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)擬合方法。對(duì)于測(cè)量數(shù)據(jù)中的少量小幅值粗差，方法通過選取較小的Tukey權(quán)重函數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)c值，可在正確識(shí)別粗差的同時(shí)得到較為穩(wěn)健的擬合結(jié)果；而在此基礎(chǔ)上增大c值又可提高粗差替換值的準(zhǔn)確性。研究表明：當(dāng)數(shù)據(jù)中小幅值粗差比例不大于15%時(shí)，本文方法可有效識(shí)別這些粗差，粗差替換后的擬合效果明顯優(yōu)于普通最小二乘法。