四激振器激勵(lì)下振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)同步控制?

黃志龍，張眾超，楚樹坡，宋桂秋，張學(xué)良

（1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 沈陽，110819）（2.紹興文理學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院 紹興，312000）（3.青島海洋科學(xué)與技術(shù)試點(diǎn)國家實(shí)驗(yàn)室 青島，266237）

引言

同步理論在各個(gè)行業(yè)應(yīng)用廣泛［1‐3］。Wen 等［4‐5］對(duì)振動(dòng)同步理論進(jìn)行了廣泛的拓展和應(yīng)用，取得了重要成果。為了增加振動(dòng)機(jī)械的輸出功率，研究人員從2 個(gè)激振器同步運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)向多個(gè)激振器的同步運(yùn)動(dòng)研究。Zhang 等［6］研究了遠(yuǎn)共振振動(dòng)系統(tǒng)中3 個(gè)不相同的同向旋轉(zhuǎn)激振器的相位和速度自同步。Zhao 等［7］對(duì)4 個(gè)感應(yīng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了同步理論研究。劉云山等［8］利用自同步方法對(duì)三激振器激勵(lì)下的振動(dòng)同步傳動(dòng)理論進(jìn)行了研究。為了更加符合實(shí)際工況，激振器激勵(lì)振動(dòng)機(jī)械的同步理論研究應(yīng)考慮物料對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的影響［4‐5］。因此，筆者研究了考慮物料影響的振動(dòng)系統(tǒng)中4 個(gè)激振器的相位和速度同步。

隨著激振器數(shù)量的增加，采用控制理論解決同步問題是不錯(cuò)的選擇。在許多同步控制的研究和應(yīng)用中，自適應(yīng)滑?？刂扑惴ū粡V泛用于提高同步控制系統(tǒng)的魯棒性［9‐11］。Sun 等［12］通過交叉耦合和自適應(yīng)方法控制多個(gè)運(yùn)動(dòng)軸的反饋位置誤差，實(shí)現(xiàn)了位置同步。Kong 等［13］通過主從控制策略和自適應(yīng)滑?？刂扑惴ㄑ芯苛司€性振動(dòng)系統(tǒng)中4 個(gè)激振器的同步控制。為了提高振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的同步精度，筆者針對(duì)振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)激振器的同步控制問題建立了新的控制系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)采用相鄰交叉耦合控制策略和自適應(yīng)全局滑模算法，考慮了相鄰激振器之間的耦合特性。

筆者研究了振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)激振器的轉(zhuǎn)速和相位的相鄰交叉耦合同步控制。首先，推導(dǎo)了4 個(gè)激振器激勵(lì)下的振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型；其次，考慮到振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)反向旋轉(zhuǎn)激振器之間存在耦合動(dòng)力學(xué)特性，建立了相鄰交叉耦合策略控制器；然后，通過Lyapunov 理論證明了所提出的控制器的穩(wěn)定性；最后，通過數(shù)值模擬進(jìn)一步驗(yàn)證了提出的控制器能夠有效控制振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)。

1 振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

圖1 為給出了考慮物料影響的四激振器激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。4 個(gè)激振器對(duì)稱分布，激振器1和4 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，激振器2 和3 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。在系統(tǒng)的質(zhì)心平衡點(diǎn)取Oxy坐標(biāo)，系統(tǒng)有3 個(gè)自由度，即x，y方向和繞質(zhì)心擺動(dòng)方向ψ。當(dāng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)中4個(gè)激振器的速度和相位分別相同時(shí)，實(shí)現(xiàn)y方向上的線性振動(dòng)軌跡，消除了x方向的振動(dòng)和ψ方向上的擺動(dòng)。取y振動(dòng)方向和水平方向的夾角δ為振動(dòng)方向角，F(xiàn)m和Fm分別為物料在x和y方向上對(duì)振動(dòng)機(jī)體的非線性作用力。

圖1 四激振器驅(qū)動(dòng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematic model of nonlinear vibration system driv‐en by four exciters

利用拉格朗日方法建立了4 個(gè)激振器驅(qū)動(dòng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程

其中：rj為激振器的偏心距離，rj=r，j=1，2，3，4；l0為振動(dòng)機(jī)體的質(zhì)心和激振器回轉(zhuǎn)中心之間的距離；δ為振動(dòng)方向角；M為非線性振動(dòng)系統(tǒng)的總質(zhì)量，M=m+mj+kw mw；m為振動(dòng)機(jī)體的質(zhì)量；mj為激振器的質(zhì)量；mw為物料的質(zhì)量；kw為物料的結(jié)合系數(shù)；J為振動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jp為機(jī)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；le為振動(dòng)系統(tǒng)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)半徑；Jj為異步電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量，Jj≈mjr2；fj為異步電機(jī)的阻尼系數(shù)；Tej為 異步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩。

Fm和Fm分別為物料作用在x和y方向的非線性力［14］

其中φd，φz分別為物料顆粒開始拋擲運(yùn)動(dòng)時(shí)的振動(dòng)相角和物料顆粒拋擲運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)的振動(dòng)相角；分別為物料顆粒下落時(shí)在y方向上的速度和此時(shí)振動(dòng)機(jī)體在y方向上的速度。

在非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)異步電機(jī)的磁鏈方程［15］為

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

將式（5）代入式（1）中，通過控制非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)異步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩電流實(shí)現(xiàn)4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)激振器的同步運(yùn)動(dòng)。當(dāng)4 個(gè)異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速和相位實(shí)現(xiàn)同步時(shí)，非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)只能實(shí)現(xiàn)y方向上的直線振動(dòng)軌跡，消除了x方向上的運(yùn)動(dòng)和ψ方向上的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)。因此，考慮到物料影響的振動(dòng)系統(tǒng)的同步控制問題轉(zhuǎn)化為由具有非線性負(fù)載轉(zhuǎn)矩的感應(yīng)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的4 個(gè)激振器的速度和相位同步控制問題，狀態(tài)方程可以簡(jiǎn)化為

其 中：Amj=-fj/Jj；Bmj=Kj/Jj；Cmj=-1/Jj；uj為電機(jī)的輸入轉(zhuǎn)矩電流。

考慮到系統(tǒng)的外部負(fù)載擾動(dòng)，式（6）可寫成

2 反向回轉(zhuǎn)四激振器相鄰交叉耦合控制策略

采用相鄰交叉耦合控制策略對(duì)4 臺(tái)反向回轉(zhuǎn)的異步電機(jī)進(jìn)行控制，可以實(shí)現(xiàn)相鄰兩臺(tái)電機(jī)耦合形成耦合環(huán)，既考慮了兩個(gè)相鄰電機(jī)之間的交叉耦合特性又降低了控制系統(tǒng)的復(fù)雜程度。采用相鄰交叉耦合控制對(duì)4 臺(tái)反向回轉(zhuǎn)的異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速和相位差進(jìn)行控制，從而實(shí)現(xiàn)4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)的激振器的同步運(yùn)動(dòng)。首先定義第j臺(tái)電機(jī)的轉(zhuǎn)速和相位跟蹤誤差分別為=ωj(t)-ωd(t) 和ej(t)=φj(t)-φd(t)，其中ωj(t)和ωd(t)分別表示第j臺(tái)電機(jī)的參考轉(zhuǎn)速和實(shí)際輸出轉(zhuǎn)速。非線性振動(dòng)系統(tǒng)中異步電機(jī)跟蹤誤差應(yīng)該滿足

在相鄰交叉耦合控制策略中，同步誤差將通過補(bǔ)償模塊分別對(duì)相鄰電機(jī)和受擾動(dòng)電機(jī)本身形成反饋。對(duì)系統(tǒng)中4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)的電機(jī)的同步誤差應(yīng)該有

如 果νj(t)=0 和=0（j=1，2，3，4）成 立，則式（8）成立，從而實(shí)現(xiàn)非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)異步電機(jī)的同步控制目標(biāo)。在此定義電機(jī)的相位耦合誤差和電機(jī)的轉(zhuǎn)速耦合誤差為

圖2 反向旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機(jī)的相鄰交叉耦合控制框圖Fig.2 Adjacent cross-coupling control block diagram of reverse-rotation induction motors

3 四激振器相鄰交叉耦合控制器的設(shè)計(jì)

將非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)的相鄰交叉耦合控制器設(shè)計(jì)為跟蹤誤差控制器和同步誤差控制器兩部分。

3.1 跟蹤誤差控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

其中：Wj(t)≤σj為非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)總不確定性。

跟蹤誤差全局滑動(dòng)變量為

其中：αj和βj為正的常數(shù)。

全滑模因子F(t) 具有一階導(dǎo)數(shù)并且(t)=0，當(dāng)滿足式（12）時(shí)有

其中：λ為非常小的正常數(shù)。

由式（11）～（13）可知，對(duì)Sj求導(dǎo)后可以得到

設(shè)計(jì)等效控制率為

設(shè)計(jì)魯棒控制器為

由式（15）和式（16）可以得到非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)激振器的跟蹤誤差控制律為

其中：j=1，2，3，4。

穩(wěn)定性與有效性分析如下。

定理1如果εj>σj（j=1，2，3，4）成立，則有跟蹤誤差控制律方程（17）使4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)激振器的轉(zhuǎn)速和相位跟蹤誤差軌跡限制在跟蹤誤差滑模面上，并且控制系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明1

求導(dǎo)可得

當(dāng)εj>σj成立，則有<0 成立。根據(jù)Lyapu‐nov 穩(wěn)定性定理，具有4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)的激振器的跟蹤誤差控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，因此可以得到=0，對(duì)式（12）求導(dǎo)后代入=0，可以得到

因?yàn)棣羓和βj都是正的常數(shù)，方程滿足Hurwitz條件?？梢缘玫?0 和=0（j=1，2，3，4）。

3.2 同步誤差數(shù)學(xué)模型和穩(wěn)定性分析

基于相鄰交叉耦合控制策略，設(shè)計(jì)出4 臺(tái)異步電機(jī)相位和轉(zhuǎn)速同步誤差的數(shù)學(xué)模型。異步電機(jī)的相位和轉(zhuǎn)速同步誤差滑動(dòng)面j（j=1，2，3，4）為

其中：Sj(t)為第j個(gè)激振器的轉(zhuǎn)速和相位跟蹤誤差滑動(dòng)面。

將反向回轉(zhuǎn)激振器的轉(zhuǎn)速和相位同步誤差控制律設(shè)計(jì)為

穩(wěn)定性與有效性分析如下。

定理2如果εj>σj（j=1，2，3，4）成立，非線性振動(dòng)系統(tǒng)中4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)的異步電機(jī)的速度和相位同步誤差控制器可以在控制速率式（23）控制下穩(wěn)定在滑動(dòng)面上，因此系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明2結(jié)合式（22），可以得到為

因此，非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)激振器的跟蹤誤差控制器和同步誤差控制器能夠使激振器的轉(zhuǎn)速和相位實(shí)現(xiàn)同步，可以得到全局滑?？刂坡蔀?/p>

3.3 自適應(yīng)算法和全局穩(wěn)定性分析

由于振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)的高度非線性和時(shí)變特性，激振器所承受的非線性時(shí)變負(fù)載轉(zhuǎn)矩很難確定。因此，采用自適應(yīng)方法來調(diào)整開關(guān)增益εj（j=1，2，3，4）可以得到更好的控制效果，設(shè)計(jì)εj為

其中：γj為正值的自適應(yīng)增益。

全局穩(wěn)定性證明如下，Lyapunov 正定函數(shù)定義為

對(duì)式（29）求導(dǎo)可得

其中

其中：ηj和δj為小的正常數(shù)。

將提出的相鄰交叉耦合控制器使用飽和函數(shù)sat（sj）代替符號(hào)函數(shù)sgn（sj）能更好地抑制抖振現(xiàn)象

其中：z為一個(gè)大于零并且非常小的值。

修改后的控制律為

4 仿真分析

所提出的相鄰交叉耦合控制器由Matlab/Simu‐link 模擬。使用相鄰交叉耦合控制器來控制非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)，以說明非線性振動(dòng)系統(tǒng)的特性，并討論和分析了非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)物料參數(shù)變化對(duì)相鄰交叉耦合控制系統(tǒng)的影響，以反映所提出的相鄰交叉耦合控制器對(duì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的有效性。振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)和控制系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)如表1 和表2 所示。

表1 振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)的參數(shù)Tab.1 Vibration machinery‐material system parame‐ters

表2 4 個(gè)異步電機(jī)和控制系統(tǒng)的參數(shù)Tab.2 Parameters of four asynchronous motors and control systems

采用提出的相鄰交叉耦合控制器控制考慮物料非線性力的4 個(gè)激振器激勵(lì)振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)。仿真分析的結(jié)果如圖3 所示。由圖3（a）可以看出，4 個(gè)異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速在啟動(dòng)階段和穩(wěn)定階段的同步效果較好，啟動(dòng)階段無轉(zhuǎn)速超調(diào)，穩(wěn)定階段的轉(zhuǎn)速波動(dòng)較小。由圖3（b）可以看出，4 個(gè)異步電機(jī)相互之間的相位差曲線在啟動(dòng)階段出現(xiàn)波動(dòng)，由于系統(tǒng)受到物料非線性力作用，系統(tǒng)穩(wěn)定后相位差小幅增大但仍然在零附近波動(dòng)。由圖3（c，d）可以看出，系統(tǒng)能夠在y方向上產(chǎn)生穩(wěn)定的直線振動(dòng)軌跡，消除了x方向的振動(dòng)，并且ψ方向上的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)在穩(wěn)定后很小。這說明在相鄰交叉耦合控制器的控制下，4 個(gè)激振器激勵(lì)非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)能夠滿足實(shí)際要求實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定振動(dòng)軌跡。從上述分析可以看出，由于相鄰交叉耦合控制器在控制過程中同時(shí)考慮了跟蹤誤差和相鄰電機(jī)之間的同步誤差，因此可以有效地控制考慮物料影響的振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)，以達(dá)到所需要的直線振動(dòng)軌跡。針對(duì)四激振器激勵(lì)下非線性振動(dòng)系統(tǒng)提出的相鄰交叉耦合控制器提高了控制精度，合理地降低了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性。

圖3 考慮物料影響的系統(tǒng)同步性能Fig.3 Synchronization performance of system considering the influence of material

由于在實(shí)際工程中，物料質(zhì)量在振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)行期間會(huì)發(fā)生變化，下面分析當(dāng)物料質(zhì)量發(fā)生變化時(shí)對(duì)相鄰交叉耦合控制器的性能影響。當(dāng)?shù)?s 時(shí)物料質(zhì)量從50 kg 變?yōu)?0 kg，其他參數(shù)保持不變，討論此時(shí)對(duì)相鄰交叉耦合控制器同步性能的影響。如圖4（a，b）所示，在相鄰交叉耦合控制器的作用下，4 個(gè)激振器的轉(zhuǎn)速和相位處于同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，物料的變化對(duì)轉(zhuǎn)速和相位同步運(yùn)動(dòng)沒有影響，并且相位差一直在零附近波動(dòng)。如圖4（c，d）所示，非線性振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)在y方向上的振幅隨著物料質(zhì)量的減小而增大，并且系統(tǒng)在物料發(fā)生變化后仍然可以在y方向上形成有效的直線振動(dòng)軌跡，x方向和ψ擺動(dòng)方向的振動(dòng)很小，表明系統(tǒng)的響應(yīng)是穩(wěn)定的。如圖4（e，f）所示，由于物料的變化，輸出轉(zhuǎn)矩隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩減小而變化?？梢钥闯?，當(dāng)物料變化時(shí)，相鄰交叉耦合控制器可以控制系統(tǒng)中4 個(gè)激振器在上述干擾條件下實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)動(dòng)，這與前面的理論分析一致，4 個(gè)激振器中激振器1 和激振器4 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，激振器2和3 沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。反向回轉(zhuǎn)的激振器相互抵消x方向上的作用力，相互疊加y方向作用力。當(dāng)4 個(gè)激振器的轉(zhuǎn)速和相位都處于同步狀態(tài)時(shí)，在y方向產(chǎn)生穩(wěn)定的直線振動(dòng)軌跡，消除x方向振動(dòng)和ψ方向的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)。綜上所述，針對(duì)4 個(gè)激振器激勵(lì)下的振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)所提出的相鄰交叉耦合控制器能夠抑制物料參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)同步性能的影響。相鄰交叉耦合控制器對(duì)4 個(gè)激振器激勵(lì)下的振動(dòng)系統(tǒng)具有良好的控制性能，并且提高了控制精度。

圖4 物料質(zhì)量變化對(duì)相鄰交叉耦合控制器的影響Fig.4 The influence of material mass changes on adjacent cross-coupling control controller

5 結(jié)論

1）推導(dǎo)了考慮物料影響的4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)激振器激勵(lì)下的振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，針對(duì)非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)激振器的轉(zhuǎn)速和相位同步問題，建立了自適應(yīng)全局滑模算法和相鄰交叉耦合控制策略結(jié)合的控制器。

2）通過相鄰交叉耦合控制器對(duì)非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)激振器的控制，非線性振動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定的直線振動(dòng)軌跡。相鄰交叉耦合策略考慮了相鄰激振器之間的耦合作用，提高了4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)的激振器轉(zhuǎn)速和相位的控制精度。自適應(yīng)全局滑模算法能夠?qū)Ψ蔷€性振動(dòng)系統(tǒng)的總不確定性進(jìn)行自適應(yīng)逼近，使系統(tǒng)的響應(yīng)更加平穩(wěn)。

3）由于系統(tǒng)中存在非線性力的影響，使4 個(gè)反向回轉(zhuǎn)異步電機(jī)受到復(fù)雜的非線性時(shí)變負(fù)載轉(zhuǎn)矩，但在相鄰交叉耦合控制器的作用下系統(tǒng)仍然實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定的振幅。通過分析非線性振動(dòng)機(jī)械‐物料系統(tǒng)中物料參數(shù)變化對(duì)相鄰交叉耦合控制器的影響，進(jìn)一步驗(yàn)證了控制器控制非線性振動(dòng)系統(tǒng)的有效性。